sqrt.md

   1 # Square Root
   2
   3 Square root (sometimes shortened to *sqrt*) of [number](number.md) *a* is such a number *b* that *b^2 = a*, for example 3 is a square root of 9 because 3^2 = 9. Finding square root is one of the most basic and important operations in [math](math.md) and [programming](programming.md), e.g. for computing [distances](distance.md), solving [quadratic equations](quadratic_equation.md) etc. Square root is a special case of finding Nth [root](root.md) of a number for N = 2. Square root of a number doesn't have to be a whole number; in fact if the square isn't a whole number, it is always an [irrational number](irrational_number.md) (i.e. it can't be expressed as a fraction of two integers, for example square root of [two](two.md) is approximately 1.414...); and it doesn't even have to be a [real number](real_number.md) (e.g. square root of -1 is [i](i.md)). Strictly speaking there may exist multiple square roots of a number, for example both 5 and -5 are square roots of 25 -- the positive square root is called **principal square root**; principal square root of *x* is the same number we get when we raise *x* to 1/2, and this is what we are usually interested in -- from now on by *square root* we will implicitly mean *principal square root*. Programmers write *square root of x* as `sqrt(x)` (which should give the same result as raising to 1/2, i.e. `pow(x,0.5)`), mathematicians write it as:
   4
   5 ```
   6   _    1/2
   7 \/x = x
   8 ```
   9
  10 Here is the graph of square root [function](function.md) (notice it's a [parabola](parabola.md) flipped by the diagonal axis, for square root is an inverse function to the function *x^2*):
  11
  12 ```
  13       ^ sqrt(x)
  14       |       :       :       :       :       :
  15     3 + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~
  16       |       :       :       :       :       :
  17       |       :       :       :       :       ___....--
  18     2 + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ __..---'"""": ~
  19       |       :       : __..--""""    :       :
  20       |       :  __.--'"      :       :       :
  21     1 + ~ ~ _--'" ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~ ~ ~ + ~
  22       |  _-"  :       :       :       :       :
  23       | /     :       :       :       :       :
  24   ----+"------|-------|-------|-------|-------|----> x
  25       |0      1       2       3       4       5
  26       |
  27 ```
  28
  29 TODO
  30
  31 ## Programming
  32
  33 TODO
  34
  35 If we need extreme speed, we may use a [look up table](lut.md) with precomputed values.
  36
  37 Within desired precision square root can be relatively quickly computed iteratively by [binary search](binary_search.md). Here is a simple [C](c.md) function computing integer square root this way:
  38
  39 ```
  40 unsigned int sqrt(unsigned int x)
  41 {
  42   unsigned int l = 0, r = x / 2, m;
  43
  44   while (1)
  45   {
  46     if (r - l <= 1)
  47       break;
  48
  49     m = (l + r) / 2;
  50
  51     if (m * m > x)
  52       r = m;
  53     else
  54       l = m;
  55   }
  56
  57   return (r * r <= x ? r : l) + (x == 1);
  58 }
  59 ```
  60
  61 TODO: Heron's method
  62
  63 The following is a **non-iterative [approximation](approximation.md)** of integer square root in [C](c.md) that has acceptable accuracy to about 1 million (maximum error from 1000 to 1000000 is about 7%): { Painstakingly made by me. ~drummyfish }
  64
  65 ```
  66 int32_t sqrtApprox(int32_t x)
  67 {
  68   return
  69     (x < 1024) ?
  70     (-2400 / (x + 120) + x / 64 + 20) :
  71       ((x < 93580) ?
  72        (-1000000 / (x + 8000) + x / 512 + 142) :
  73        (-75000000 / (x + 160000) + x / 2048 + 565));
  74 }
  75 ```