doc/info/distrib.texi.m4

   1 @menu
   2 * Introduction to distrib::
   3 * Functions and Variables for continuous distributions::
   4 * Functions and Variables for discrete distributions::
   5 @end menu
   6
   7 @c Define an m4 macro for the NormalRV function that is used below.
   8 @c Can't use @macro because m4 is processed too late for this to work.
   9 m4_define(<<<m4_NormalRV>>>,
  10 m4_math(<<<{\rm Normal}($1, $2)>>>, <<<@math{Normal($1, $2)}>>>))
  11
  12 @c Define the function student t to denote Student's t random variable
  13 m4_define(<<<m4_student_t>>>,
  14 @math{t($1)})
  15
  16 @c Define Chi^2(n), the chi-squared random variate function.
  17 m4_define(<<<m4_chi2>>>,
  18 m4_math(<<<\chi^2($1)>>>, <<<@math{Chi^2($2)}>>>))
  19
  20 @c Define the Gamma RV
  21 m4_define(<<<m4_GammaRV>>>,
  22 m4_math(<<<\Gamma\left($1,$2\right)>>>, <<<@math{Gamma($1,$2)}>>>))
  23
  24 @c Define the noncentral chi-squared RV
  25 m4_define(<<<m4_noncentral_chi2>>>,
  26 m4_math(<<<{\rm nc\_Chi}^2($1,$2)>>>, <<<@math{nc_Chi^2($1,$2)}>>>))
  27
  28 @c Define the exponential RV
  29 m4_define(<<<m4_exponentialRV>>>,
  30 m4_math(<<<{\rm Exponential}($1)>>>, <<<@math{Exponential($1)}>>>))
  31
  32 @c Define the Weibull RV
  33 m4_define(<<<m4_weibullRV>>>,
  34 m4_math(<<<{\rm Weibull}($1,$2)>>>, <<<@math{Weibull($1,$2)}>>>))
  35
  36 @c Define lognormal RV
  37 m4_define(<<<m4_lognormalRV>>>,
  38 m4_math(<<<{\rm Lognormal}($1,$2)>>>,<<<@math{Lognormal($1,$2)}>>>))
  39
  40 @c Define beta RV
  41 m4_define(<<<m4_betaRV>>>,
  42 m4_math(<<<{\rm Beta}($1,$2)>>>,<<<@math{Beta($1,$2)}>>>))
  43
  44 @c Define continuous uniform RV
  45 m4_define(<<<m4_continuous_uniformRV>>>,
  46 m4_math(<<<{\rm
  47 ContinuousUniform}($1,$2)>>>,<<<@math{ContinuousUniform($1,$2)}>>>))
  48
  49 @c Define logistic RV
  50 m4_define(<<<m4_logisticRV>>>,
  51 m4_math(<<<{\rm Logistic}($1,$2)>>>,<<<<@math{Logistice($1,$2)}>>>))
  52
  53 @c Define pareto RV
  54 m4_define(<<<m4_paretoRV>>>,
  55 m4_math(<<<{\rm Pareto}($1,$2)>>>,<<<@math{Pareto($1,$2)}>>>))
  56
  57 @c Define Rayleigh RV
  58 m4_define(<<<m4_rayleighRV>>>,
  59 m4_math(<<<{\rm Rayleigh}($1)>>>,<<<@math{Rayleigh($1)}>>>))
  60
  61 @node Introduction to distrib, Functions and Variables for continuous distributions
  62 @section Introduction to distrib
  63
  64
  65 Package @code{distrib} contains a set of functions for making probability computations on both discrete and continuous univariate models.
  66
  67 What follows is a short reminder of basic probabilistic related definitions.
  68
  69 Let @math{f(x)} be the @var{density function} of an absolute continuous random variable @math{X}. The @var{distribution function} is defined as
  70 m4_displaymath(
  71 <<<F\left(x\right)=\int_{ -\infty }^{x}{f\left(u\right)\;du}>>>,
  72 <<<
  73 @example
  74                        x
  75                       /
  76                       [
  77                F(x) = I     f(u) du
  78                       ]
  79                       /
  80                        minf
  81 @end example
  82 >>>)
  83 which equals the probability m4_math(<<<{\rm Pr}(X \le x)>>>, <<<@math{Pr(X <= x)}>>>).
  84
  85 The @var{mean} value is a localization parameter and is defined as
  86 m4_displaymath(
  87 <<<E\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{x\,f\left(x\right)\;dx}>>>,
  88 <<<
  89 @example
  90                      inf
  91                     /
  92                     [
  93            E[X]  =  I   x f(x) dx
  94                     ]
  95                     /
  96                      minf
  97 @end example
  98 >>>)
  99
 100 The @var{variance} is a measure of variation,
 101 m4_displaymath(
 102 <<<V\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,\left(x
 103  -E\left[X\right]\right)^2\;dx}>>>,
 104 <<<
 105 @example
 106                  inf
 107                 /
 108                 [                    2
 109          V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
 110                 ]
 111                 /
 112                  minf
 113 @end example
 114 >>>)
 115 which is a positive real number. The square root of the variance is
 116 the @var{standard deviation}, m4_math(<<<D[x]=\sqrt{V[X]}>>>, <<<@math{D[X]=sqrt(V[X])}>>>), and it is another measure of variation.
 117
 118 The @var{skewness coefficient} is a measure of non-symmetry,
 119 m4_displaymath(
 120 <<<SK\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
 121  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}>>>,
 122 <<<
 123 @example
 124                  inf
 125                 /
 126             1   [                    3
 127   SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
 128               3 ]
 129           D[X]  /
 130                  minf
 131 @end example
 132 >>>)
 133
 134 And the @var{kurtosis coefficient} measures the peakedness of the distribution,
 135 m4_displaymath(
 136 <<<KU\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
 137  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3>>>,
 138 <<<
 139 @example
 140                  inf
 141                 /
 142             1   [                    4
 143   KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
 144               4 ]
 145           D[X]  /
 146                  minf
 147 @end example
 148 >>>)
 149 If @math{X} is gaussian, @math{KU[X]=0}. In fact, both skewness and kurtosis are shape parameters used to measure the non--gaussianity of a distribution.
 150
 151 If the random variable @math{X} is discrete, the density, or @var{probability}, function @math{f(x)} takes positive values within certain countable set of numbers @math{x_i}, and zero elsewhere. In this case, the distribution function is
 152 m4_displaymath(
 153 <<< F\left(x\right)=\sum_{x_{i}\leq x}{f\left(x_{i}\right)} >>>,
 154 <<<
 155 @example
 156                        ====
 157                        \
 158                 F(x) =  >    f(x )
 159                        /        i
 160                        ====
 161                       x <= x
 162                        i
 163 @end example
 164 >>>)
 165
 166 The mean, variance, standard deviation, skewness coefficient and kurtosis coefficient take the form
 167 m4_displaymath(
 168 <<<\eqalign{
 169 E\left[X\right]&=\sum_{x_{i}}{x_{i}f\left(x_{i}\right)}, \cr
 170 V\left[X\right]&=\sum_{x_{i}}{f\left(x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left[X\right]\right)^2},\cr
 171 D\left[X\right]&=\sqrt{V\left[X\right]},\cr
 172 SK\left[X\right]&={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 173  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}, \cr
 174 KU\left[X\right]&={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 175  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3,
 176 }>>>,
 177 <<<
 178 @example
 179           ====
 180           \
 181    E[X] =  >  x  f(x ) ,
 182           /    i    i
 183           ====
 184            x
 185             i
 186
 187            ====
 188            \                     2
 189    V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
 190            /        i    i
 191            ====
 192             x
 193              i
 194
 195           D[X] = sqrt(V[X]),
 196
 197                      ====
 198               1      \                     3
 199   SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])
 200            D[X]^3    /        i    i
 201                      ====
 202                       x
 203                        i
 204
 205                      ====
 206               1      \                     4
 207   KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
 208            D[X]^4    /        i    i
 209                      ====
 210                       x
 211                        i
 212 @end example
 213 >>>)
 214 respectively.
 215
 216 There is a naming convention in package @code{distrib}. Every function name has two parts, the first one makes reference to the function or parameter we want to calculate,
 217 @example
 218 Functions:
 219    Density function            (pdf_*)
 220    Distribution function       (cdf_*)
 221    Quantile                    (quantile_*)
 222    Mean                        (mean_*)
 223    Variance                    (var_*)
 224    Standard deviation          (std_*)
 225    Skewness coefficient        (skewness_*)
 226    Kurtosis coefficient        (kurtosis_*)
 227    Random variate              (random_*)
 228 @end example
 229
 230 The second part is an explicit reference to the probabilistic model,
 231 @example
 232 Continuous distributions:
 233    Normal              (*normal)
 234    Student             (*student_t)
 235    Chi^2               (*chi2)
 236    Noncentral Chi^2    (*noncentral_chi2)
 237    F                   (*f)
 238    Exponential         (*exp)
 239    Lognormal           (*lognormal)
 240    Gamma               (*gamma)
 241    Beta                (*beta)
 242    Continuous uniform  (*continuous_uniform)
 243    Logistic            (*logistic)
 244    Pareto              (*pareto)
 245    Weibull             (*weibull)
 246    Rayleigh            (*rayleigh)
 247    Laplace             (*laplace)
 248    Cauchy              (*cauchy)
 249    Gumbel              (*gumbel)
 250
 251 Discrete distributions:
 252    Binomial             (*binomial)
 253    Poisson              (*poisson)
 254    Bernoulli            (*bernoulli)
 255    Geometric            (*geometric)
 256    Discrete uniform     (*discrete_uniform)
 257    hypergeometric       (*hypergeometric)
 258    Negative binomial    (*negative_binomial)
 259    Finite discrete      (*general_finite_discrete)
 260 @end example
 261
 262 For example, @code{pdf_student_t(x,n)} is the density function of the Student distribution with @var{n} degrees of freedom, @code{std_pareto(a,b)} is the standard deviation of the Pareto distribution with parameters @var{a} and @var{b} and @code{kurtosis_poisson(m)} is the kurtosis coefficient of the Poisson distribution with mean @var{m}.
 263
 264
 265 In order to make use of package @code{distrib} you need first to load it by typing
 266 @example
 267 (%i1) load("distrib")$
 268 @end example
 269
 270 For comments, bugs or suggestions, please contact the author at @var{'riotorto AT yahoo DOT com'}.
 271
 272 @opencatbox{Categories:}
 273 @category{Statistical functions}
 274 @category{Share packages}
 275 @category{Package distrib}
 276 @closecatbox
 277
 278
 279
 280
 281 @node Functions and Variables for continuous distributions, Normal Random Variable, Introduction to distrib
 282 @section Functions and Variables for continuous distributions
 283 Maxima knows the following kinds of continuous distributions.
 284
 285 @menu
 286 * Normal Random Variable::
 287 * Student's t Random Variable::
 288 @end menu
 289
 290 @node Normal Random Variable, Functions and Variables for discrete distributions, Functions and Variables for continuous distributions
 291 @subsection Normal Random Variable
 292
 293 @node Introduction to Normal Random Variables
 294 @subsubsection Introduction to Normal Random Variables
 295
 296 Normal random variables (also called Gaussian) is denoted
 297 by m4_NormalRV(m, s) where
 298 @math{m} is the mean and @math{s > 0} is the standard deviation.
 299
 300 @node Functions and Variables for Normal Random Variables
 301 @subsubsection Functions and Variables for Normal Random Variables
 302 @anchor{pdf_normal}
 303 @deffn {Function} pdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 304 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 305
 306 The pdf is the well-known integral
 307 m4_displaymath(
 308 <<<{1\over s\sqrt{2\pi}} e^{\displaystyle -{(x-m)^2\over 2s^2}}>>>,
 309 <<<@math{1/(s*sqrt(2*%pi))*exp(-1/(2s^2)*(x-m)^2)}>>>)
 310
 311 @opencatbox{Categories:}
 312 @category{Package distrib}
 313 @closecatbox
 314
 315 @end deffn
 316
 317
 318 @anchor{cdf_normal}
 319 @deffn {Function} cdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 320 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
 321
 322 The cdf can be written analytically:
 323 m4_displaymath(
 324 <<<{1\over 2} + {1\over 2} {\rm erf}\left(x-m\over s\sqrt{2}\right)>>>,
 325 <<<@math{1/2 + 1/2*erf((x-m)/(s*sqrt(2)))}>>>)
 326
 327 @c ===beg===
 328 @c load ("distrib")$
 329 @c cdf_normal(x,m,s);
 330 @c ===end===
 331 @example
 332 (%i1) load ("distrib")$
 333 (%i2) cdf_normal(x,m,s);
 334                                     x - m
 335                               erf(---------)
 336                                   sqrt(2) s    1
 337 (%o2)                         -------------- + -
 338                                     2          2
 339 @end example
 340
 341 See also @mrefdot{erf}
 342
 343 @opencatbox{Categories:}
 344 @category{Package distrib}
 345 @closecatbox
 346
 347 @end deffn
 348
 349
 350 @anchor{quantile_normal}
 351 @deffn {Function} quantile_normal (@var{q},@var{m},@var{s})
 352 Returns the @var{q}-quantile of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @mrefdot{cdf_normal} Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 353
 354 @c ===beg===
 355 @c load ("distrib")$
 356 @c quantile_normal(95/100,0,1);
 357 @c float(%);
 358 @c ===end===
 359 @example
 360 (%i1) load ("distrib")$
 361 (%i2) quantile_normal(95/100,0,1);
 362                                       9
 363 (%o2)             sqrt(2) inverse_erf(--)
 364                                       10
 365 (%i3) float(%);
 366 (%o3)               1.644853626951472
 367 @end example
 368
 369 @opencatbox{Categories:}
 370 @category{Package distrib}
 371 @closecatbox
 372
 373 @end deffn
 374
 375
 376 @anchor{mean_normal}
 377 @deffn {Function} mean_normal (@var{m},@var{s})
 378 Returns the mean of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @var{m}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 379
 380 @opencatbox{Categories:}
 381 @category{Package distrib}
 382 @closecatbox
 383
 384 @end deffn
 385
 386
 387 @anchor{var_normal}
 388 @deffn {Function} var_normal (@var{m},@var{s})
 389 Returns the variance of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @math{s^2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 390
 391 @opencatbox{Categories:}
 392 @category{Package distrib}
 393 @closecatbox
 394
 395 @end deffn
 396
 397 @anchor{std_normal}
 398 @deffn {Function} std_normal (@var{m},@var{s})
 399 Returns the standard deviation of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}, namely @var{s}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 400
 401 @opencatbox{Categories:}
 402 @category{Package distrib}
 403 @closecatbox
 404
 405 @end deffn
 406
 407
 408 @anchor{skewness_normal}
 409 @deffn {Function} skewness_normal (@var{m},@var{s})
 410 Returns the skewness coefficient of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 411
 412 @opencatbox{Categories:}
 413 @category{Package distrib}
 414 @closecatbox
 415
 416 @end deffn
 417
 418
 419 @anchor{kurtosis_normal}
 420 @deffn {Function} kurtosis_normal (@var{m},@var{s})
 421 Returns the kurtosis coefficient of a m4_NormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 422
 423 @opencatbox{Categories:}
 424 @category{Package distrib}
 425 @closecatbox
 426
 427 @end deffn
 428
 429
 430 @anchor{random_normal}
 431 @deffn {Function} random_normal (@var{m},@var{s}) @
 432 @fname{random_normal} (@var{m},@var{s},@var{n})
 433
 434 Returns a m4_NormalRV(m,s) random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_normal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
 435
 436 This is an implementation of the Box-Mueller algorithm, as described in Knuth, D.E. (1981) @var{Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming.} Addison-Wesley.
 437
 438 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 439
 440 @opencatbox{Categories:}
 441 @category{Package distrib}
 442 @category{Random numbers}
 443 @closecatbox
 444
 445 @end deffn
 446
 447 @node Student's t Random Variable, Noncentral Student's t Random Variable, Normal Random Variable, Normal Random Variable
 448 @subsection Student's t Random Variable
 449
 450 @node Introduction to Student's t Random Variable
 451 @subsubsection Introduction to Student's t Random Variable
 452
 453 Student's t random variable is denoted by m4_student_t(n) where
 454 @math{n} is the degrees of freedom with @math{n > 0}.  If @math{Z} is
 455 a m4_NormalRV(0,1) variable and @math{V} is an
 456 independent m4_math(\chi^2, chi^2) random variable with @math{n} degress of
 457 freedom, then
 458
 459 m4_displaymath(
 460 <<<Z \over \sqrt{V/n}>>>,
 461 <<<@math{Z/sqrt(V/n)}>>>)
 462
 463 has a Student's @math{t}-distribution with @math{n} degrees of freedom.
 464
 465 @node Functions and Variables for Student's t Random Variable
 466 @subsubsection Functions and Variables for Student's t Random Variable
 467 @anchor{pdf_student_t}
 468 @deffn {Function} pdf_student_t (@var{x},@var{n})
 469 Returns the value at @var{x} of the density function of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>0} degrees of freedom. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 470
 471 The pdf is
 472 m4_displaymath(
 473 <<<\left[\sqrt{n} B\left({1\over 2}, {n\over 2}\right)\right]^{-1}
 474 \left(1+{x^2\over n}\right)^{\displaystyle -{n+1\over 2}}>>>,
 475 <<<@math{(sqrt(n)*beta(1/2,n/2))^(-1) (1+x^2/n)^(-(n+1)/2)}>>>)
 476
 477 @opencatbox{Categories:}
 478 @category{Package distrib}
 479 @closecatbox
 480
 481 @end deffn
 482
 483
 484 @anchor{cdf_student_t}
 485 @deffn {Function} cdf_student_t (@var{x},@var{n})
 486 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>0} degrees of freedom.
 487
 488 The cdf is
 489 m4_displaymath(
 490 <<<{\rm cdf\_student\_t}(x,n) =
 491 \cases{
 492 1-\displaystyle{1\over 2} I_t\left({n\over 2}, {1\over 2}\right) & $x \ge 0$ \cr
 493 \displaystyle{1\over 2} I_t\left({n\over 2}, {1\over 2}\right) & $x < 0$
 494 }>>>,
 495 <<<
 496 @example
 497                      [ 1-1/2*I_t(n/2, 1/2)  x >= 0
 498 cdf_student_t(x,n) = [
 499                      [ 1/2*I_t(n/2, 1/2)    x < 0
 500 @end example
 501 >>>)
 502
 503 where m4_math(<<<t = n/(n+x^2)>>>, <<<@math{t = n/(n+x^2)}>>>) and m4_math(<<<I_t(a,b)>>>, <<<@math{I_t(a,b)}>>>) is the
 504 @ref{beta_incomplete_regularized} function.
 505
 506 @c ===beg===
 507 @c load ("distrib")$
 508 @c cdf_student_t(1/2, 7/3);
 509 @c float(%);
 510 @c ===end===
 511 @example
 512 (%i1) load ("distrib")$
 513 (%i2) cdf_student_t(1/2, 7/3);
 514                                          7  1  28
 515              beta_incomplete_regularized(-, -, --)
 516                                          6  2  31
 517 (%o2)    1 - -------------------------------------
 518                                2
 519 (%i3) float(%);
 520 (%o3)                .6698450596140415
 521 @end example
 522
 523 @opencatbox{Categories:}
 524 @category{Package distrib}
 525 @closecatbox
 526
 527 @end deffn
 528
 529
 530 @anchor{quantile_student_t}
 531 @deffn {Function} quantile_student_t (@var{q},@var{n})
 532 Returns the @var{q}-quantile of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 533
 534 @opencatbox{Categories:}
 535 @category{Package distrib}
 536 @closecatbox
 537
 538 @end deffn
 539
 540
 541 @anchor{mean_student_t}
 542 @deffn {Function} mean_student_t (@var{n})
 543 Returns the mean of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 544
 545 @opencatbox{Categories:}
 546 @category{Package distrib}
 547 @closecatbox
 548
 549 @end deffn
 550
 551
 552 @anchor{var_student_t}
 553 @deffn {Function} var_student_t (@var{n})
 554 Returns the variance of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>2}.
 555
 556 @c ===beg===
 557 @c load ("distrib")$
 558 @c var_student_t(n);
 559 @c ===end===
 560 @example
 561 (%i1) load ("distrib")$
 562 (%i2) var_student_t(n);
 563                                 n
 564 (%o2)                         -----
 565                               n - 2
 566 @end example
 567
 568 @opencatbox{Categories:}
 569 @category{Package distrib}
 570 @closecatbox
 571
 572 @end deffn
 573
 574
 575 @anchor{std_student_t}
 576 @deffn {Function} std_student_t (@var{n})
 577 Returns the standard deviation of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 578
 579 @opencatbox{Categories:}
 580 @category{Package distrib}
 581 @closecatbox
 582
 583 @end deffn
 584
 585
 586 @anchor{skewness_student_t}
 587 @deffn {Function} skewness_student_t (@var{n})
 588 Returns the skewness coefficient of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>3}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 589
 590 @opencatbox{Categories:}
 591 @category{Package distrib}
 592 @closecatbox
 593
 594 @end deffn
 595
 596
 597 @anchor{kurtosis_student_t}
 598 @deffn {Function} kurtosis_student_t (@var{n})
 599 Returns the kurtosis coefficient of a Student random variable m4_student_t(n), with @math{n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 600
 601 @opencatbox{Categories:}
 602 @category{Package distrib}
 603 @closecatbox
 604
 605 @end deffn
 606
 607
 608 @anchor{random_student_t}
 609 @deffn {Function} random_student_t (@var{n}) @
 610 @fname{random_student_t} (@var{n},@var{m})
 611
 612 Returns a Student random variate m4_student_t(n), with @math{n>0}. Calling @code{random_student_t} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 613
 614 The implemented algorithm is based on the fact that if @math{Z} is a
 615 normal random variable m4_NormalRV(0,1) and @math{S^2} is
 616 a m4_math(\chi^2, chi squared) random variable with @math{n} degrees of
 617 freedom, m4_chi2(n), then
 618
 619 m4_displaymath(
 620 <<<X={{Z}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}>>>,
 621 <<<
 622 @example
 623                            Z
 624                  X = -------------
 625                      /   2  \ 1/2
 626                      |  S   |
 627                      | ---  |
 628                      \  n   /
 629 @end example
 630 >>>)
 631 is a Student random variable with @math{n} degrees of freedom, m4_student_t(n).
 632
 633 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 634
 635 @opencatbox{Categories:}
 636 @category{Package distrib}
 637 @category{Random numbers}
 638 @closecatbox
 639
 640 @end deffn
 641
 642 @node Noncentral Student's t Random Variable, Chi-squared Random Variable, Student's t Random Variable, Normal Random Variable
 643 @subsection Noncentral Student's t Random Variable
 644
 645 @c Define m4_nct to produce the nc_t function that displays nicely in
 646 @c html/TeX and info.
 647 m4_define(<<<m4_noncentral_t>>>,
 648 m4_math(<<<{\rm nc\_t}($1, $2)>>>,<<<@math{nc_t($1, $2)}>>>))
 649
 650 @node Introduction to Noncentral Student's t Random Variable
 651 @subsubsection Introduction to Noncentral Student's t Random Variable
 652 Let @math{ncp} be the non-centrality parameter, @math{n} be the
 653 degrees of freedom for the non-central Student's @math{t} random
 654 variable.
 655
 656 Then let @math{X} be a m4_NormalRV(n,ncp) and @math{S^2} be an independent m4_math(\chi^2,
 657 chi squared) random variable with @math{n} degrees of freedom, the
 658 random variable
 659 m4_displaymath(
 660 <<<U = {X \over \sqrt{S^2\over n}}>>>,
 661 <<<@math{U = X/sqrt(S^2/n)}>>>)
 662
 663 has a non-central Student's @math{t} distribution with non-centrality
 664 parameter @math{ncp}.
 665
 666 @node Functions and Variables for Noncentral Student's t Random Variable
 667 @subsubsection Functions and Variables for Noncentral Student's t Random Variable
 668
 669 @anchor{pdf_noncentral_student_t}
 670 @deffn {Function} pdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 671 Returns the value at @var{x} of the density function of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 672
 673 The pdf is
 674 m4_displaymath(
 675 <<<\left[\sqrt{n} B\left({1\over 2}, {n\over
 676 2}\right)\right]^{-1}\left(1+{x^2\over n}\right)^{-{(n+1)/2}}
 677 \exp\left(-{\mu^2\over 2}\right)
 678 \bigg[A_n(x; \mu) + B_n(x; \mu)\bigg]>>>,
 679 <<<
 680 @example
 681                 2
 682               mu          (- n) - 1
 683             - ---         ---------
 684                2    2         2
 685           %e      (x  + 1)          (B(x, n, mu) + An(x, n, mu))
 686           -------------------------------------------------
 687                               1  n
 688                          beta(-, -) sqrt(n)
 689                               2  2
 690
 691 @end example
 692 >>>)
 693 where
 694 m4_displaymath(
 695 <<<\eqalign{
 696 A_n(x;\mu) &= {}_1F_1\left({n+1\over 2}; {1\over 2}; {\mu^2 x^2\over
 697 2\left(x^2+n\right)}\right) \cr
 698 B_n(x;\mu) &= {\sqrt{2}\mu x \over \sqrt{x^2+n}} {\Gamma\left({n\over
 699 2} + 1\right)\over \Gamma\left({n+1\over 2}\right)}\;
 700 {}_1F_1\left({n\over 2} + 1; {3\over 2}; {\mu^2 x^2\over
 701 2\left(x^2+n\right)}\right)
 702 }>>>,
 703 <<<
 704 @example
 705                                         2  2
 706                        n + 1    1     mu  x
 707  A(x, n, mu) = %f    ([-----], [-], ----------)
 708                  1, 1    2      2       2
 709                                     2 (x  + n)
 710
 711                                                    2  2
 712                                   n        3     mu  x           n
 713                sqrt(2) mu %f    ([- + 1], [-], ----------) gamma(- + 1) x
 714                             1, 1  2        2       2             2
 715                                                2 (x  + n)
 716  B(x, n, mu) = ----------------------------------------------------------
 717                                      n + 1        2
 718                                gamma(-----) sqrt(x  + n)
 719                                        2
 720 @end example
 721 >>>)
 722 and m4_math(\mu, mu) is the non-centrality parameter @math{ncp}.
 723
 724 Sometimes an extra work is necessary to get the final result.
 725
 726 @c ===beg===
 727 @c load ("distrib")$
 728 @c expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 729 @c float(%);
 730 @c ===end===
 731 @example
 732 (%i1) load ("distrib")$
 733 (%i2) expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 734 @group
 735                            7/2                         7/2
 736       0.04296414417400905 5      1.323650307289301e-6 5
 737 (%o2) ------------------------ + -------------------------
 738          3/2   5/2                       sqrt(%pi)
 739         2    14    sqrt(%pi)
 740                                                         7/2
 741                                    1.94793720435093e-4 5
 742                                  + ------------------------
 743                                              %pi
 744 @end group
 745 (%i3) float(%);
 746 (%o3)          .02080593159405669
 747 @end example
 748
 749 @opencatbox{Categories:}
 750 @category{Package distrib}
 751 @closecatbox
 752
 753 @end deffn
 754
 755
 756 @anchor{cdf_noncentral_student_t}
 757 @deffn {Function} cdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 758 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. This function has no closed form and it is numerically computed.
 759
 760 @c ===beg===
 761 @c load ("distrib")$
 762 @c cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 763 @c ===end===
 764 @example
 765 (%i1) load ("distrib")$
 766 (%i2) cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 767 (%o2)          .9952030093319743
 768 @end example
 769
 770 @opencatbox{Categories:}
 771 @category{Package distrib}
 772 @closecatbox
 773
 774 @end deffn
 775
 776
 777 @anchor{quantile_noncentral_student_t}
 778 @deffn {Function} quantile_noncentral_student_t (@var{q},@var{n},@var{ncp})
 779 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 780
 781 @opencatbox{Categories:}
 782 @category{Package distrib}
 783 @closecatbox
 784
 785 @end deffn
 786
 787
 788 @anchor{mean_noncentral_student_t}
 789 @deffn {Function} mean_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 790 Returns the mean of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>1} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 791
 792 The mean is
 793 m4_displaymath(
 794 <<<\mu \sqrt{n}\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right) \over
 795 \sqrt{2}\;\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)>>>,
 796 <<<
 797 @example
 798                                 n - 1
 799                        mu gamma(-----) sqrt(n)
 800                                   2
 801                        -----------------------
 802                                         n
 803                           sqrt(2) gamma(-)
 804                                         2
 805 @end example
 806 >>>)
 807
 808 where m4_math(\mu, mu) is the noncentrality parameter @math{ncp}.
 809
 810 @c ===beg===
 811 @c load ("distrib")$
 812 @c mean_noncentral_student_t(df,k);
 813 @c ===end===
 814 @example
 815 (%i1) load ("distrib")$
 816 (%i2) mean_noncentral_student_t(df,k);
 817                    df - 1
 818              gamma(------) sqrt(df) k
 819                      2
 820 (%o2)        ------------------------
 821                               df
 822                 sqrt(2) gamma(--)
 823                               2
 824 @end example
 825
 826 @opencatbox{Categories:}
 827 @category{Package distrib}
 828 @closecatbox
 829
 830 @end deffn
 831
 832
 833 @anchor{var_noncentral_student_t}
 834 @deffn {Function} var_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 835 Returns the variance of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 836
 837 The variance is
 838 m4_displaymath(
 839 <<<{n(\mu^2+1)\over n-2} - {n\mu^2\; \Gamma\left(\displaystyle{n-1\over 2}\right)^2
 840 \over 2\Gamma\left(\displaystyle{n\over 2}\right)^2}>>>,
 841 <<<
 842 @example
 843                                      2 n - 1       2
 844                        2        gamma (-----) n ncp
 845                  n (ncp  + 1)            2
 846                  ------------ - --------------------
 847                     n - 2                  2 n
 848                                     2 gamma (-)
 849                                              2
 850 @end example
 851 >>>)
 852
 853 where m4_math(\mu, mu) is the noncentrality parameter @math{ncp}.
 854
 855 @opencatbox{Categories:}
 856 @category{Package distrib}
 857 @closecatbox
 858
 859 @end deffn
 860
 861
 862 @anchor{std_noncentral_student_t}
 863 @deffn {Function} std_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 864 Returns the standard deviation of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 865
 866 @opencatbox{Categories:}
 867 @category{Package distrib}
 868 @closecatbox
 869
 870 @end deffn
 871
 872
 873 @anchor{skewness_noncentral_student_t}
 874 @deffn {Function} skewness_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 875 Returns the skewness coefficient of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>3} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 876
 877 @c The TeX form is obtained from
 878 @c tex(skewness_noncentral_student_t(n,mu)).  Likewise the info form
 879 @c is just cut-n-pasted from maxima's terminal output.
 880 If @math{U} is a non-central Student's @math{t} random variable with
 881 @math{n} degrees of freedom and a noncentrality parameter m4_math(\mu,
 882 @math{mu}), the skewness is
 883 m4_displaymath(
 884 <<<\eqalign{
 885 SK[U] &=
 886 {\mu\sqrt{n}\,\Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)
 887 \over{\sqrt{2}\Gamma\left({{n
 888  }\over{2}}\right)\sigma^{3}}}\left({{n
 889  \left(2n+\mu^2-3\right)}\over{\left(n-3\right)\left(n-2\right)}}
 890  -2\sigma^2\right) \cr
 891  \sigma^2 &= {{n\left(\mu^2+1\right)}\over{n-2}}-{{n \mu^2\,
 892  \Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)^2}\over{2\Gamma\left({{n
 893  }\over{2}}\right)^2}}
 894 }
 895 >>>,
 896 <<<
 897 @example
 898 skewness_noncentral_student_t(n, mu) =
 899                                      2
 900           n - 1           n (2 n + mu  - 3)
 901 (mu gamma(-----) sqrt(n) (-----------------
 902             2              (n - 3) (n - 2)
 903                       2      2 n - 1
 904          2          mu  gamma (-----) n
 905       (mu  + 1) n                2
 906  - 2 (----------- - -------------------)))
 907          n - 2                 2 n
 908                         2 gamma (-)
 909                                  2
 910                                     2      2 n - 1
 911                        2          mu  gamma (-----) n
 912                 n   (mu  + 1) n                2      3/2
 913 /(sqrt(2) gamma(-) (----------- - -------------------)   )
 914                 2      n - 2                 2 n
 915                                       2 gamma (-)
 916                                                2
 917 @end example
 918 >>>)
 919
 920 @opencatbox{Categories:}
 921 @category{Package distrib}
 922 @closecatbox
 923
 924 @end deffn
 925
 926
 927 @anchor{kurtosis_noncentral_student_t}
 928 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 929 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Student random variable m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>4} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 930
 931 If @math{U} is a non-central Student's @math{t} random variable with
 932 @math{n} degrees of freedom and a noncentrality parameter m4_math(\mu,
 933 @math{mu}), the kurtosis is
 934
 935 @c The formula we see can be basically derived by computing
 936 @c (kurtosis_noncentral_student_t(n,mu)+3)*var_noncentral_student_t(n,mu)^2,
 937 @c which comes from the definition of kurtosis.  The rest is then
 938 @c obtained by replacing a constant by F.
 939 m4_displaymath(
 940 <<<\eqalign{
 941 KU[U] &=
 942 {\mu_4\over \sigma^4} - 3\cr
 943   \mu_4 &= {{\left(\mu^4+6\mu^2+3\right)n^2}\over{(n-4)(n-2)}}
 944  -\left({{n\left(3(3n-5)+\mu^2(n+1)\right)
 945  }\over{(n-3)(n-2)}}-3\sigma^2\right) F \cr
 946  \sigma^2 &= {{n\left(\mu^2+1\right)}\over{n-2}}-{{n \mu^2
 947  \Gamma\left({{n-1}\over{2}}\right)^2}\over{2\Gamma\left({{n
 948  }\over{2}}\right)^2}} \cr
 949  F &= {n\mu^2\Gamma\left({n-1\over 2}\right)^2 \over
 950  2\sigma^4\Gamma\left({n\over 2}\right)^2}
 951 }>>>,
 952 <<<
 953 @example
 954 kurtosis_noncentral_student_t(n, mu) =
 955     4       2       2
 956  (mu  + 6 mu  + 3) n       2      2 n - 1
 957 (-------------------- - (mu  gamma (-----) n
 958    (n - 4) (n - 2)                    2
 959                                                      2      2 n - 1
 960                      2                  2          mu  gamma (-----) n
 961   n (3 (3 n - 5) + mu  (n + 1))      (mu  + 1) n                2
 962  (----------------------------- - 3 (----------- - -------------------)))
 963          (n - 3) (n - 2)                n - 2                 2 n
 964                                                        2 gamma (-)
 965                                                                 2
 966                                  2      2 n - 1
 967                     2          mu  gamma (-----) n
 968          2 n     (mu  + 1) n                2      2
 969 /(2 gamma (-)))/(----------- - -------------------)  - 3
 970            2        n - 2                 2 n
 971                                    2 gamma (-)
 972                                             2
 973 @end example
 974 >>>)
 975
 976 @opencatbox{Categories:}
 977 @category{Package distrib}
 978 @closecatbox
 979
 980 @end deffn
 981
 982
 983 @anchor{random_noncentral_student_t}
 984 @deffn {Function} random_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp}) @
 985 @fname{random_noncentral_student_t} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
 986
 987 Returns a noncentral Student random variate m4_noncentral_t(n,ncp), with @math{n>0}. Calling @code{random_noncentral_student_t} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 988
 989 The implemented algorithm is based on the fact that if @var{X} is a
 990 normal random variable m4_NormalRV(ncp,1) and @math{S^2} is
 991 a m4_math(\chi^2, chi square) random variable with @var{n} degrees of freedom, m4_chi2(n), then
 992 m4_displaymath(
 993 <<<U={{X}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}>>>,
 994 <<<
 995 @example
 996                            X
 997                  U = -------------
 998                      /   2  \ 1/2
 999                      |  S   |
1000                      | ---  |
1001                      \  n   /
1002 @end example
1003 >>>)
1004 is a noncentral Student random variable with @math{n} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}, m4_noncentral_t(n,ncp).
1005
1006 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1007
1008 @opencatbox{Categories:}
1009 @category{Package distrib}
1010 @category{Random numbers}
1011 @closecatbox
1012
1013 @end deffn
1014
1015
1016 @node Chi-squared Random Variable, Noncentral Chi-squared Random Variable, Noncentral Student's t Random Variable, Normal Random Variable
1017 @subsection Chi-squared Random Variable
1018
1019 @node Introduction to Chi-squared Random Variable
1020 @subsubsection Introduction to Chi-squared Random Variable
1021
1022 Let m4_math(<<<X_1, X_2, \ldots, X_n>>>, <<<@math{X_1, X_2, ...,
1023 X_k}>>>) be independent and identically distributed m4_NormalRV(0,1) variables.  Then
1024 m4_displaymath(
1025 <<<X^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2>>>,
1026 <<<@math{X^2 = sum(X_i^2, i, 1, n)}>>>)
1027
1028 is said to follow a chi-square distribution with @math{n} degrees of
1029 freedom.
1030
1031 @node Functions and Variables for Chi-squared Random Variable
1032 @subsubsection Functions and Variables for Chi-squared Random Variable
1033
1034 @anchor{pdf_chi2}
1035 @deffn {Function} pdf_chi2 (@var{x},@var{n})
1036 Returns the value at @var{x} of the density function of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1037 The m4_chi2(n) random variable is equivalent to the m4_GammaRV(n/2,2).
1038
1039 The pdf is
1040
1041 m4_displaymath(
1042 <<<{\rm pdf\_chi2}(x,n) =
1043 \cases{
1044  \displaystyle{x^{n/2-1} e^{-x/2} \over 2^{n/2} \Gamma\left({n\over 2}\right)} & $x
1045  > 0$ \cr
1046  0 & otherwise
1047 }>>>,
1048 <<<
1049 @example
1050                         n/2 - 1   - x/2
1051                        x        %e      unit_step(x)
1052       pdf_chi2(x, n) = -----------------------------
1053                                      n   n/2
1054                                gamma(-) 2
1055                                      2
1056 @end example
1057 >>>)
1058
1059 @c ===beg===
1060 @c load ("distrib")$
1061 @c pdf_chi2(x,n);
1062 @c ===end===
1063 @example
1064 (%i1) load ("distrib")$
1065 (%i2) pdf_chi2(x,n);
1066                          n/2 - 1   - x/2
1067                         x        %e
1068 (%o2)                   ----------------
1069                           n/2       n
1070                          2    gamma(-)
1071                                     2
1072 @end example
1073
1074 @opencatbox{Categories:}
1075 @category{Package distrib}
1076 @closecatbox
1077
1078 @end deffn
1079
1080
1081 @anchor{cdf_chi2}
1082 @deffn {Function} cdf_chi2 (@var{x},@var{n})
1083 Returns the value at @math{x} of the distribution function of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1084
1085 The cdf is
1086 m4_displaymath(
1087 <<<{\rm cdf\_chi2}(x,n) =
1088 \cases{
1089 1 - Q\left(\displaystyle{n\over 2}, {x\over 2}\right) & $x > 0$ \cr
1090 0 & otherwise
1091 }>>>,
1092 <<<
1093 @example
1094                         n  x
1095 cdf_chi2(x, n) = (1 - Q(-, -)) unit_step(x)
1096                         2  2
1097 @end example
1098 >>>)
1099 where @math{Q(a,z)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized} function.
1100
1101 @c ===beg===
1102 @c load ("distrib")$
1103 @c cdf_chi2(3,4);
1104 @c float(%);
1105 @c ===end===
1106 @example
1107 (%i1) load ("distrib")$
1108 (%i2) cdf_chi2(3,4);
1109                                                3
1110 (%o2)      1 - gamma_incomplete_regularized(2, -)
1111                                                2
1112 (%i3) float(%);
1113 (%o3)               .4421745996289256
1114 @end example
1115
1116 @opencatbox{Categories:}
1117 @category{Package distrib}
1118 @closecatbox
1119
1120 @end deffn
1121
1122
1123 @anchor{quantile_chi2}
1124 @deffn {Function} quantile_chi2 (@var{q},@var{n})
1125 Returns the @var{q}-quantile of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1126
1127 This function has no closed form and it is numerically computed.
1128
1129 @c ===beg===
1130 @c load ("distrib")$
1131 @c quantile_chi2(0.99,9);
1132 @c ===end===
1133 @example
1134 (%i1) load ("distrib")$
1135 (%i2) quantile_chi2(0.99,9);
1136 (%o2)                   21.66599433346194
1137 @end example
1138
1139 @opencatbox{Categories:}
1140 @category{Package distrib}
1141 @closecatbox
1142
1143 @end deffn
1144
1145
1146 @anchor{mean_chi2}
1147 @deffn {Function} mean_chi2 (@var{n})
1148 Returns the mean of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1149
1150 The m4_chi2(n) random variable is equivalent to the m4_GammaRV(n/2,2).
1151
1152 @c ===beg===
1153 @c load ("distrib")$
1154 @c mean_chi2(n);
1155 @c ===end===
1156 @example
1157 (%i1) load ("distrib")$
1158 (%i2) mean_chi2(n);
1159 (%o2)                           n
1160 @end example
1161
1162 @opencatbox{Categories:}
1163 @category{Package distrib}
1164 @closecatbox
1165
1166 @end deffn
1167
1168
1169 @anchor{var_chi2}
1170 @deffn {Function} var_chi2 (@var{n})
1171 Returns the variance of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1172
1173 The m4_chi2(n) random variable is equivalent to the m4_GammaRV(n/2,2).
1174
1175 @c ===beg===
1176 @c load ("distrib")$
1177 @c var_chi2(n);
1178 @c ===end===
1179 @example
1180 (%i1) load ("distrib")$
1181 (%i2) var_chi2(n);
1182 (%o2)                          2 n
1183 @end example
1184
1185 @opencatbox{Categories:}
1186 @category{Package distrib}
1187 @closecatbox
1188
1189 @end deffn
1190
1191
1192 @anchor{std_chi2}
1193 @deffn {Function} std_chi2 (@var{n})
1194 Returns the standard deviation of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1195
1196 The m4_chi2(n) random variable is equivalent to the m4_GammaRV(n/2,2).
1197
1198 @c ===beg===
1199 @c load ("distrib")$
1200 @c std_chi2(n);
1201 @c ===end===
1202 @example
1203 (%i1) load ("distrib")$
1204 (%i2) std_chi2(n);
1205 (%o2)                    sqrt(2) sqrt(n)
1206 @end example
1207
1208 @opencatbox{Categories:}
1209 @category{Package distrib}
1210 @closecatbox
1211
1212 @end deffn
1213
1214
1215 @anchor{skewness_chi2}
1216 @deffn {Function} skewness_chi2 (@var{n})
1217 Returns the skewness coefficient of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1218
1219 The m4_chi2(n) random variable is equivalent to the m4_GammaRV(n/2,2).
1220
1221 @c ===beg===
1222 @c load ("distrib")$
1223 @c skewness_chi2(n);
1224 @c ===end===
1225 @example
1226 (%i1) load ("distrib")$
1227 (%i2) skewness_chi2(n);
1228                                      3/2
1229                                     2
1230 (%o2)                              -------
1231                                    sqrt(n)
1232 @end example
1233
1234 @opencatbox{Categories:}
1235 @category{Package distrib}
1236 @closecatbox
1237
1238 @end deffn
1239
1240
1241 @anchor{kurtosis_chi2}
1242 @deffn {Function} kurtosis_chi2 (@var{n})
1243 Returns the kurtosis coefficient of a Chi-square random variable m4_chi2(n), with @math{n>0}.
1244
1245 The m4_chi2(n) random variable is equivalent to the m4_GammaRV(n/2,2).
1246
1247 @c ===beg===
1248 @c load ("distrib")$
1249 @c kurtosis_chi2(n);
1250 @c ===end===
1251 @example
1252 (%i1) load ("distrib")$
1253 (%i2) kurtosis_chi2(n);
1254                                12
1255 (%o2)                          --
1256                                n
1257 @end example
1258
1259 @opencatbox{Categories:}
1260 @category{Package distrib}
1261 @closecatbox
1262
1263 @end deffn
1264
1265
1266 @anchor{random_chi2}
1267 @deffn {Function} random_chi2 (@var{n}) @
1268 @fname{random_chi2} (@var{n},@var{m})
1269
1270 Returns a Chi-square random variate m4_chi2(n), with @math{n>0}. Calling @code{random_chi2} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1271
1272 The simulation is based on the Ahrens-Cheng algorithm. See @code{random_gamma} for details.
1273
1274 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1275
1276 @opencatbox{Categories:}
1277 @category{Package distrib}
1278 @category{Random numbers}
1279 @closecatbox
1280
1281 @end deffn
1282
1283
1284 @node Noncentral Chi-squared Random Variable, F Random Variable, Chi-squared Random Variable, Normal Random Variable
1285 @subsection Noncentral Chi-squared Random Variable
1286 @node Introduction to Noncentral Chi-squared Random Variable
1287 @subsubsection Introduction to Noncentral Chi-squared Random Variable
1288
1289 Let m4_math(<<<X_1, X_2, ..., X_n>>>, <<<@math{X[1], X[2], ..., X[n]}>>>) be @math{n}
1290 independent normally distributed random variables with
1291 means m4_math(\mu_k, mu[k]) and unit variances.  Then the random variable
1292
1293 m4_displaymath(
1294 <<<\sum_{k=1}^n X_k^2>>>,
1295 <<<@math{sum(X[k]^2, k, 1, n)}>>>)
1296
1297 has a noncentral m4_math(\chi^2, chi-squared) distribution.  The
1298 number of degrees of freedom is @math{n}, and the noncentrality
1299 parameter is defined by
1300
1301 m4_displaymath(
1302 <<<\sum_{k=1}^n \mu_k^2>>>,
1303 <<<@math{sum(mu[k]^2, k, 1, n)}>>>)
1304
1305
1306 @node Functions and Variables for Noncentral Chi-squared Random Variable
1307 @subsubsection Functions and Variables for Noncentral Chi-squared Random Variable
1308 @anchor{pdf_noncentral_chi2}
1309 @deffn {Function} pdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
1310 Returns the value at @math{x} of the density function of a
1311 noncentral m4_math(\chi^2, Chi-square) random
1312 variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To
1313 make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1314
1315 For @math{x < 0}, the pdf is 0, and for m4_math(x \ge 0, @math{x >= 0}) the pdf is
1316 m4_displaymath(
1317 <<<{\rm pdf\_noncentral\_chi2}(x, n,\lambda) =
1318 {1\over 2}e^{-(x+\lambda)/2} \left(x\over
1319 \lambda\right)^{n/4-1/2}I_{{n\over 2} - 1}\left(\sqrt{n \lambda}\right)
1320 >>>,
1321 <<<
1322 @example
1323  pdf_noncentral_chi2(x, n, ncp) =
1324                                                        (- x) - ncp
1325                                                        -----------
1326                   n                     x  n/4 - 1/2        2
1327          bessel_i(- - 1, sqrt(ncp x)) (---)          %e            unit_step(x)
1328                   2                    ncp
1329          ----------------------------------------------------------------------
1330                                            2
1331 @end example
1332 >>>)
1333
1334 @opencatbox{Categories:}
1335 @category{Package distrib}
1336 @closecatbox
1337
1338 @end deffn
1339
1340
1341 @anchor{cdf_noncentral_chi2}
1342 @deffn {Function} cdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
1343 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1344
1345 @opencatbox{Categories:}
1346 @category{Package distrib}
1347 @closecatbox
1348
1349 @end deffn
1350
1351
1352 @anchor{quantile_noncentral_chi2}
1353 @deffn {Function} quantile_noncentral_chi2 (@var{q},@var{n},@var{ncp})
1354 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1355
1356 This function has no closed form and it is numerically computed.
1357
1358 @opencatbox{Categories:}
1359 @category{Package distrib}
1360 @closecatbox
1361
1362 @end deffn
1363
1364
1365 @anchor{mean_noncentral_chi2}
1366 @deffn {Function} mean_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1367 Returns the mean of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1368
1369 @opencatbox{Categories:}
1370 @category{Package distrib}
1371 @closecatbox
1372
1373 @end deffn
1374
1375
1376 @anchor{var_noncentral_chi2}
1377 @deffn {Function} var_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1378 Returns the variance of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1379
1380 @opencatbox{Categories:}
1381 @category{Package distrib}
1382 @closecatbox
1383
1384 @end deffn
1385
1386
1387 @anchor{std_noncentral_chi2}
1388 @deffn {Function} std_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1389 Returns the standard deviation of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1390
1391 @opencatbox{Categories:}
1392 @category{Package distrib}
1393 @closecatbox
1394
1395 @end deffn
1396
1397
1398 @anchor{skewness_noncentral_chi2}
1399 @deffn {Function} skewness_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1400 Returns the skewness coefficient of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1401
1402 @opencatbox{Categories:}
1403 @category{Package distrib}
1404 @closecatbox
1405
1406 @end deffn
1407
1408
1409 @anchor{kurtosis_noncentral_chi2}
1410 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1411 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Chi-square random variable m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1412
1413 @opencatbox{Categories:}
1414 @category{Package distrib}
1415 @closecatbox
1416
1417 @end deffn
1418
1419
1420 @anchor{random_noncentral_chi2}
1421 @deffn {Function} random_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp}) @
1422 @fname{random_noncentral_chi2} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
1423
1424 Returns a noncentral Chi-square random variate m4_noncentral_chi2(n,ncp), with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. Calling @code{random_noncentral_chi2} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1425
1426 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1427
1428 @opencatbox{Categories:}
1429 @category{Package distrib}
1430 @category{Random numbers}
1431 @closecatbox
1432
1433 @end deffn
1434
1435
1436
1437 @node F Random Variable, Exponential Random Variable, Noncentral Chi-squared Random Variable, Normal Random Variable
1438 @subsection F Random Variable
1439 @node Introduction to F Random Variable
1440 @subsubsection Introduction to F Random Variable
1441 Let @math{S_1} and @math{S_2} be independent random variables with
1442 a m4_math(\chi^2, chi-squared) distribution with degrees of freedom
1443 @math{n} and @math{m}, respectively.  Then
1444 m4_displaymath(
1445 <<<F = {S_1/n \over S_2/m}>>>,
1446 <<<@math{F = (S_1/n)/(S_2/m)}>>>) has an @math{F} distribution with @math{n} and @math{m} degrees of
1447 freedom.
1448
1449 @node Functions and Variables for F Random Variable
1450 @subsubsection Functions and Variables for F Random Variable
1451 @anchor{pdf_f}
1452 @deffn {Function} pdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1453 Returns the value at @var{x} of the density function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1454
1455 The pdf is
1456 m4_displaymath(
1457 <<<{\rm pdf\_f}(x,n,m) =
1458 \cases{
1459 B\left({n\over 2},{m\over 2}\right)^{-1}
1460 \left(\displaystyle{n\over m}\right)^{n/ 2}
1461 x^{n/2-1}
1462 \left(1 + \displaystyle{n\over m}x\right)^{-\left(n+m\right)/2} & $x > 0$ \cr
1463 0 & otherwise
1464 }>>>,
1465 <<<
1466 @example
1467  pdf_f(x, n, m) =
1468                                                          (- n) - m
1469                                                          ---------
1470                     n n/2       n + m   n/2 - 1  n x         2
1471                    (-)    gamma(-----) x        (--- + 1)          unit_step(x)
1472                     m             2               m
1473                    ------------------------------------------------------------
1474                                               m        n
1475                                         gamma(-) gamma(-)
1476                                               2        2
1477
1478 @end example>>>)
1479
1480 @opencatbox{Categories:}
1481 @category{Package distrib}
1482 @closecatbox
1483
1484 @end deffn
1485
1486
1487 @anchor{cdf_f}
1488 @deffn {Function} cdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1489 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}.
1490
1491 The cdf is
1492 m4_displaymath(
1493 <<<{\rm cdf\_f}(x,n,m) =
1494 \cases{
1495 1 - I_z\left(\displaystyle{n\over 2}, {m\over 2}\right) & $x > 0$ \cr
1496 0 & otherwise
1497 }>>>,
1498 <<<
1499 @example
1500                                                    m  n     m
1501  cdf_f(x, n, m) = (1 - beta_incomplete_regularized(-, -, -------))
1502                                                    2  2  n x + m
1503                                                              unit_step(x)
1504 @end example
1505 >>>)
1506
1507 @ifnotinfo
1508 where
1509 m4_displaymath(
1510 <<<z = {m\over nx+m}>>>,
1511 <<<>>>)
1512
1513 and m4_math(I_z(a,b)) is the @ref{beta_incomplete_regularized}
1514 function.
1515 @end ifnotinfo
1516 @c ===beg===
1517 @c load ("distrib")$
1518 @c cdf_f(2,3,9/4);
1519 @c float(%);
1520 @c ===end===
1521 @example
1522 (%i1) load ("distrib")$
1523 (%i2) cdf_f(2,3,9/4);
1524                                          9  3  3
1525 (%o2)    1 - beta_incomplete_regularized(-, -, --)
1526                                          8  2  11
1527 (%i3) float(%);
1528 (%o3)                 0.66756728179008
1529 @end example
1530
1531 @opencatbox{Categories:}
1532 @category{Package distrib}
1533 @closecatbox
1534
1535 @end deffn
1536
1537
1538 @anchor{quantile_f}
1539 @deffn {Function} quantile_f (@var{q},@var{m},@var{n})
1540 Returns the @var{q}-quantile of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_f}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1541
1542 @c ===beg===
1543 @c load ("distrib")$
1544 @c quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1545 @c ===end===
1546 @example
1547 (%i1) load ("distrib")$
1548 (%i2) quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1549 (%o2)                   0.518947838573693
1550 @end example
1551
1552 @opencatbox{Categories:}
1553 @category{Package distrib}
1554 @closecatbox
1555
1556 @end deffn
1557
1558
1559 @anchor{mean_f}
1560 @deffn {Function} mean_f (@var{m},@var{n})
1561 Returns the mean of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1562
1563 @opencatbox{Categories:}
1564 @category{Package distrib}
1565 @closecatbox
1566
1567 @end deffn
1568
1569
1570 @anchor{var_f}
1571 @deffn {Function} var_f (@var{m},@var{n})
1572 Returns the variance of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1573
1574 @opencatbox{Categories:}
1575 @category{Package distrib}
1576 @closecatbox
1577
1578 @end deffn
1579
1580
1581 @anchor{std_f}
1582 @deffn {Function} std_f (@var{m},@var{n})
1583 Returns the standard deviation of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1584
1585 @opencatbox{Categories:}
1586 @category{Package distrib}
1587 @closecatbox
1588
1589 @end deffn
1590
1591
1592 @anchor{skewness_f}
1593 @deffn {Function} skewness_f (@var{m},@var{n})
1594 Returns the skewness coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>6}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1595
1596 @opencatbox{Categories:}
1597 @category{Package distrib}
1598 @closecatbox
1599
1600 @end deffn
1601
1602
1603 @anchor{kurtosis_f}
1604 @deffn {Function} kurtosis_f (@var{m},@var{n})
1605 Returns the kurtosis coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>8}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1606
1607 @opencatbox{Categories:}
1608 @category{Package distrib}
1609 @closecatbox
1610
1611 @end deffn
1612
1613
1614 @anchor{random_f}
1615 @deffn {Function} random_f (@var{m},@var{n}) @
1616 @fname{random_f} (@var{m},@var{n},@var{k})
1617
1618 Returns a F random variate @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. Calling @code{random_f} with a third argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
1619
1620 The simulation algorithm is based on the fact that if @var{X} is a @math{Chi^2(m)} random variable and @math{Y} is a m4_chi2(n) random variable, then
1621 m4_displaymath(
1622 <<<F={{n X}\over{m Y}}>>>,
1623 <<<
1624 @example
1625                         n X
1626                     F = ---
1627                         m Y
1628 @end example
1629 >>>)
1630 is a F random variable with @var{m} and @var{n} degrees of freedom, @math{F(m,n)}.
1631
1632 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1633
1634 @opencatbox{Categories:}
1635 @category{Package distrib}
1636 @category{Random numbers}
1637 @closecatbox
1638
1639 @end deffn
1640
1641
1642 @node Exponential Random Variable, Lognormal Random Variable, F Random Variable, Normal Random Variable
1643 @subsection Exponential Random Variable
1644 @node Introduction to Exponential Random Variable
1645 @subsubsection Introduction to Exponential Random Variable
1646 The @emph{exponential distribution} is the probablity distribution of
1647 the time between events in a process where the events occur
1648 continuously and independently at a constant average rate.
1649
1650 @node Functions and Variables for Exponential Random Variable
1651 @subsubsection Functions and Variables for Exponential Random Variable
1652 @anchor{pdf_exp}
1653 @deffn {Function} pdf_exp (@var{x},@var{m})
1654 Returns the value at @var{x} of the density function of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1655
1656 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1657
1658 The pdf is
1659 m4_displaymath(
1660 <<<{\rm pdf\_exp}(x,m) =
1661 \cases{
1662 me^{-mx} & $x \ge 0$ \cr
1663 0 & otherwise
1664 }>>>,
1665 <<<>>>)
1666
1667 @c ===beg===
1668 @c load ("distrib")$
1669 @c pdf_exp(x,m);
1670 @c ===end===
1671 @example
1672 (%i1) load ("distrib")$
1673 (%i2) pdf_exp(x,m);
1674                                 - m x
1675 (%o2)                       m %e
1676 @end example
1677
1678 @opencatbox{Categories:}
1679 @category{Package distrib}
1680 @closecatbox
1681
1682 @end deffn
1683
1684
1685 @anchor{cdf_exp}
1686 @deffn {Function} cdf_exp (@var{x},@var{m})
1687 Returns the value at @var{x} of the distribution function of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1688
1689 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1690
1691 The cdf is
1692 m4_displaymath(
1693 <<<{\rm cdf\_exp}(x,m) =
1694 \cases{
1695 1 - e^{-mx} & $x \ge 0$ \cr
1696 0 & otherwise
1697 }>>>,
1698 <<<>>>)
1699 @c ===beg===
1700 @c load ("distrib")$
1701 @c cdf_exp(x,m);
1702 @c ===end===
1703 @example
1704 (%i1) load ("distrib")$
1705 (%i2) cdf_exp(x,m);
1706                                  - m x
1707 (%o2)                      1 - %e
1708 @end example
1709
1710 @opencatbox{Categories:}
1711 @category{Package distrib}
1712 @closecatbox
1713
1714 @end deffn
1715
1716
1717 @anchor{quantile_exp}
1718 @deffn {Function} quantile_exp (@var{q},@var{m})
1719 Returns the @var{q}-quantile of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_exp}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1720
1721 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1722
1723 @c ===beg===
1724 @c load ("distrib")$
1725 @c quantile_exp(0.56,5);
1726 @c quantile_exp(0.56,m);
1727 @c ===end===
1728 @example
1729 (%i1) load ("distrib")$
1730 (%i2) quantile_exp(0.56,5);
1731 (%o2)                   .1641961104139661
1732 (%i3) quantile_exp(0.56,m);
1733                              0.8209805520698303
1734 (%o3)                        ------------------
1735                                      m
1736 @end example
1737
1738 @opencatbox{Categories:}
1739 @category{Package distrib}
1740 @closecatbox
1741
1742 @end deffn
1743
1744
1745 @anchor{mean_exp}
1746 @deffn {Function} mean_exp (@var{m})
1747 Returns the mean of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1748
1749 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1750
1751 @c ===beg===
1752 @c load ("distrib")$
1753 @c mean_exp(m);
1754 @c ===end===
1755 @example
1756 (%i1) load ("distrib")$
1757 (%i2) mean_exp(m);
1758                                 1
1759 (%o2)                           -
1760                                 m
1761 @end example
1762
1763 @opencatbox{Categories:}
1764 @category{Package distrib}
1765 @closecatbox
1766
1767 @end deffn
1768
1769
1770 @anchor{var_exp}
1771 @deffn {Function} var_exp (@var{m})
1772 Returns the variance of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1773
1774 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1775
1776 @c ===beg===
1777 @c load ("distrib")$
1778 @c var_exp(m);
1779 @c ===end===
1780 @example
1781 (%i1) load ("distrib")$
1782 (%i2) var_exp(m);
1783                                1
1784 (%o2)                          --
1785                                 2
1786                                m
1787 @end example
1788
1789 @opencatbox{Categories:}
1790 @category{Package distrib}
1791 @closecatbox
1792
1793 @end deffn
1794
1795
1796 @anchor{std_exp}
1797 @deffn {Function} std_exp (@var{m})
1798 Returns the standard deviation of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1799
1800 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1801
1802 @c ===beg===
1803 @c load ("distrib")$
1804 @c std_exp(m);
1805 @c ===end===
1806 @example
1807 (%i1) load ("distrib")$
1808 (%i2) std_exp(m);
1809                                 1
1810 (%o2)                           -
1811                                 m
1812 @end example
1813
1814 @opencatbox{Categories:}
1815 @category{Package distrib}
1816 @closecatbox
1817
1818 @end deffn
1819
1820
1821 @anchor{skewness_exp}
1822 @deffn {Function} skewness_exp (@var{m})
1823 Returns the skewness coefficient of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1824
1825 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1826
1827 @c ===beg===
1828 @c load ("distrib")$
1829 @c skewness_exp(m);
1830 @c ===end===
1831 @example
1832 (%i1) load ("distrib")$
1833 (%i2) skewness_exp(m);
1834 (%o2)                           2
1835 @end example
1836
1837 @opencatbox{Categories:}
1838 @category{Package distrib}
1839 @closecatbox
1840
1841 @end deffn
1842
1843
1844 @anchor{kurtosis_exp}
1845 @deffn {Function} kurtosis_exp (@var{m})
1846 Returns the kurtosis coefficient of an m4_exponentialRV(m) random variable, with @math{m>0}.
1847
1848 The m4_exponentialRV(m) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(1,1/m).
1849
1850 @c ===beg===
1851 @c load ("distrib")$
1852 @c kurtosis_exp(m);
1853 @c ===end===
1854 @example
1855 (%i1) load ("distrib")$
1856 (%i2) kurtosis_exp(m);
1857 (%o3)                           6
1858 @end example
1859
1860 @opencatbox{Categories:}
1861 @category{Package distrib}
1862 @closecatbox
1863
1864 @end deffn
1865
1866
1867 @anchor{random_exp}
1868 @deffn {Function} random_exp (@var{m}) @
1869 @fname{random_exp} (@var{m},@var{k})
1870
1871 Returns an m4_exponentialRV(m) random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_exp} with a second argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
1872
1873 The simulation algorithm is based on the general inverse method.
1874
1875 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1876
1877 @opencatbox{Categories:}
1878 @category{Package distrib}
1879 @category{Random numbers}
1880 @closecatbox
1881
1882 @end deffn
1883
1884
1885 @node Lognormal Random Variable, Gamma Random Variable, Exponential Random Variable, Normal Random Variable
1886 @subsection Lognormal Random Variable
1887 @node Introduction to Lognormal Random Variable
1888 @subsubsection Introduction to Lognormal Random Variable
1889 The @emph{lognormal} distribution is distribution for a random
1890 variable whose logarithm is normally distributed.
1891
1892 @node Functions and Variables for Lognormal Random Variable
1893 @subsubsection Functions and Variables for Lognormal Random Variable
1894 @anchor{pdf_lognormal}
1895 @deffn {Function} pdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
1896 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1897
1898 The pdf is 0 for @math{x < 0}.  Otherwise it is
1899 m4_displaymath(
1900 <<<{1\over x s \sqrt{2\pi}}
1901 \exp\left(-{\left(\log x - m\right)^2\over 2s^2}\right)>>>,
1902 <<<>>>)
1903 @opencatbox{Categories:}
1904 @category{Package distrib}
1905 @closecatbox
1906
1907 @end deffn
1908
1909
1910 @anchor{cdf_lognormal}
1911 @deffn {Function} cdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
1912 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
1913
1914 @c ===beg===
1915 @c load ("distrib")$
1916 @c cdf_lognormal(x,m,s);
1917 @c ===end===
1918 @example
1919 (%i1) load ("distrib")$
1920 (%i2) cdf_lognormal(x,m,s);
1921 @group
1922                            log(x) - m
1923                        erf(----------)
1924                            sqrt(2) s     1
1925 (%o2)                  --------------- + -
1926                               2          2
1927 @end group
1928 @end example
1929
1930 See also @mrefdot{erf}
1931
1932 @opencatbox{Categories:}
1933 @category{Package distrib}
1934 @closecatbox
1935
1936 @end deffn
1937
1938
1939 @anchor{quantile_lognormal}
1940 @deffn {Function} quantile_lognormal (@var{q},@var{m},@var{s})
1941 Returns the @var{q}-quantile of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_lognormal}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1942
1943 @c ===beg===
1944 @c load ("distrib")$
1945 @c quantile_lognormal(95/100,0,1);
1946 @c float(%);
1947 @c ===end===
1948 @example
1949 (%i1) load ("distrib")$
1950 (%i2) quantile_lognormal(95/100,0,1);
1951                   sqrt(2) inverse_erf(9/10)
1952 (%o2)           %e
1953 (%i3) float(%);
1954 (%o3)               5.180251602233015
1955 @end example
1956
1957 @opencatbox{Categories:}
1958 @category{Package distrib}
1959 @closecatbox
1960
1961 @end deffn
1962
1963
1964 @anchor{mean_lognormal}
1965 @deffn {Function} mean_lognormal (@var{m},@var{s})
1966 Returns the mean of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1967
1968 @opencatbox{Categories:}
1969 @category{Package distrib}
1970 @closecatbox
1971
1972 @end deffn
1973
1974
1975 @anchor{var_lognormal}
1976 @deffn {Function} var_lognormal (@var{m},@var{s})
1977 Returns the variance of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1978
1979 @opencatbox{Categories:}
1980 @category{Package distrib}
1981 @closecatbox
1982
1983 @end deffn
1984
1985 @anchor{std_lognormal}
1986 @deffn {Function} std_lognormal (@var{m},@var{s})
1987 Returns the standard deviation of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1988
1989 @opencatbox{Categories:}
1990 @category{Package distrib}
1991 @closecatbox
1992
1993 @end deffn
1994
1995
1996 @anchor{skewness_lognormal}
1997 @deffn {Function} skewness_lognormal (@var{m},@var{s})
1998 Returns the skewness coefficient of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1999
2000 @opencatbox{Categories:}
2001 @category{Package distrib}
2002 @closecatbox
2003
2004 @end deffn
2005
2006
2007 @anchor{kurtosis_lognormal}
2008 @deffn {Function} kurtosis_lognormal (@var{m},@var{s})
2009 Returns the kurtosis coefficient of a m4_lognormalRV(m,s) random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2010
2011 @opencatbox{Categories:}
2012 @category{Package distrib}
2013 @closecatbox
2014
2015 @end deffn
2016
2017
2018 @anchor{random_lognormal}
2019 @deffn {Function} random_lognormal (@var{m},@var{s}) @
2020 @fname{random_lognormal} (@var{m},@var{s},@var{n})
2021
2022 Returns a m4_lognormalRV(m,s) random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_lognormal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2023
2024 Log-normal variates are simulated by means of random normal variates. See @code{random_normal} for details.
2025
2026 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2027
2028 @opencatbox{Categories:}
2029 @category{Package distrib}
2030 @category{Random numbers}
2031 @closecatbox
2032
2033 @end deffn
2034
2035
2036 @node Gamma Random Variable, Beta Random Variable, Lognormal Random Variable, Normal Random Variable
2037 @subsection Gamma Random Variable
2038 @node Introduction to Gamma Random Variable
2039 @subsubsection Introduction to Gamma Random Variable
2040 The @emph{gamma distribution} is a two-parameter family of probability
2041 distributions.  Maxima uses the parameterization using the shape and
2042 scale for the first and second parameters of the distribution.
2043
2044 @node Functions and Variables for Gamma Random Variable
2045 @subsubsection Functions and Variables for Gamma Random Variable
2046 @anchor{pdf_gamma}
2047 @deffn {Function} pdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
2048 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2049
2050 The shape parameter is @math{a}, and the scale parameter is @math{b}.
2051
2052 The pdf is 0 for @math{x<0} and for m4_math(x \ge 0, @math{x >= 0})
2053 m4_displaymath(
2054 <<<{x^{a-1}e^{-x/b}\over b^a \Gamma(a)}>>>,
2055 <<<@math{x^(a-1)*exp(-x/b)/(b^a*gamma(a))>>>)
2056
2057 @opencatbox{Categories:}
2058 @category{Package distrib}
2059 @closecatbox
2060
2061 @end deffn
2062
2063
2064 @anchor{cdf_gamma}
2065 @deffn {Function} cdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
2066 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}.
2067
2068 The cdf is 0 for @math{x < 0}.  Otherwise it is
2069 m4_displaymath(
2070 <<<1-Q(a,{x\over b})>>>,
2071 <<<@math{1-gamma_incomplete_regularized(a,x/b)}>>>)
2072 @ifnotinfo
2073 where @math{Q(a,z)} is the @ref{gamma_incomplete_regularized}
2074 function.
2075 @end ifnotinfo
2076 @c ===beg===
2077 @c load ("distrib")$
2078 @c cdf_gamma(3,5,21);
2079 @c float(%);
2080 @c ===end===
2081 @example
2082 (%i1) load ("distrib")$
2083 (%i2) cdf_gamma(3,5,21);
2084                                               1
2085 (%o2)     1 - gamma_incomplete_regularized(5, -)
2086                                               7
2087 (%i3) float(%);
2088 (%o3)              4.402663157376807E-7
2089 @end example
2090
2091 @opencatbox{Categories:}
2092 @category{Package distrib}
2093 @closecatbox
2094
2095 @end deffn
2096
2097
2098 @anchor{quantile_gamma}
2099 @deffn {Function} quantile_gamma (@var{q},@var{a},@var{b})
2100 Returns the @var{q}-quantile of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gamma}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2101
2102 @opencatbox{Categories:}
2103 @category{Package distrib}
2104 @closecatbox
2105
2106 @end deffn
2107
2108
2109 @anchor{mean_gamma}
2110 @deffn {Function} mean_gamma (@var{a},@var{b})
2111 Returns the mean of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2112
2113 @opencatbox{Categories:}
2114 @category{Package distrib}
2115 @closecatbox
2116
2117 @end deffn
2118
2119
2120 @anchor{var_gamma}
2121 @deffn {Function} var_gamma (@var{a},@var{b})
2122 Returns the variance of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2123
2124 @opencatbox{Categories:}
2125 @category{Package distrib}
2126 @closecatbox
2127
2128 @end deffn
2129
2130 @anchor{std_gamma}
2131 @deffn {Function} std_gamma (@var{a},@var{b})
2132 Returns the standard deviation of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2133
2134 @opencatbox{Categories:}
2135 @category{Package distrib}
2136 @closecatbox
2137
2138 @end deffn
2139
2140
2141 @anchor{skewness_gamma}
2142 @deffn {Function} skewness_gamma (@var{a},@var{b})
2143 Returns the skewness coefficient of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2144
2145 @opencatbox{Categories:}
2146 @category{Package distrib}
2147 @closecatbox
2148
2149 @end deffn
2150
2151
2152 @anchor{kurtosis_gamma}
2153 @deffn {Function} kurtosis_gamma (@var{a},@var{b})
2154 Returns the kurtosis coefficient of a m4_GammaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2155
2156 @opencatbox{Categories:}
2157 @category{Package distrib}
2158 @closecatbox
2159
2160 @end deffn
2161
2162
2163 @anchor{random_gamma}
2164 @deffn {Function} random_gamma (@var{a},@var{b}) @
2165 @fname{random_gamma} (@var{a},@var{b},@var{n})
2166
2167 Returns a m4_GammaRV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_gamma} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2168
2169 The implemented algorithm is a combination of two procedures, depending on the value of parameter @var{a}:
2170
2171 For @math{a>=1}, Cheng, R.C.H. and Feast, G.M. (1979). @var{Some simple gamma variate generators}. Appl. Stat., 28, 3, 290-295.
2172
2173 For @math{0<a<1}, Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1974). @var{Computer methods for sampling from gamma, , poisson and binomial cdf_tributions}. Computing, 12, 223-246.
2174
2175 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2176
2177 @opencatbox{Categories:}
2178 @category{Package distrib}
2179 @category{Random numbers}
2180 @closecatbox
2181
2182 @end deffn
2183
2184
2185 @node Beta Random Variable, Continuous Uniform Random Variable, Gamma Random Variable, Normal Random Variable
2186 @subsection Beta Random Variable
2187 @node Introduction to Beta Random Variable
2188 @subsubsection Introduction to Beta Random Variable
2189 The @emph{beta} distribution is a family of distributions defined over
2190 @math{[0,1]} parameterized by two positive shape parameters @math{a},
2191 and @math{b}.
2192
2193 @node Functions and Variables for Beta Random Variable
2194 @subsubsection Functions and Variables for Beta Random Variable
2195 @anchor{pdf_beta}
2196 @deffn {Function} pdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
2197 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2198
2199 For m4_math(<<<0 \le x \le 1>>>, <<<@math{0 <= x <= 1}>>>), the pdf is
2200 m4_displaymath(
2201 <<<{1\over B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}>>>,
2202 <<<@math{x^(a-1)*(1-x)^(b-1)/beta(a,b)}>>>)
2203 Otherwise, the pdf is 0.
2204
2205 @opencatbox{Categories:}
2206 @category{Package distrib}
2207 @closecatbox
2208
2209 @end deffn
2210
2211
2212
2213 @anchor{cdf_beta}
2214 @deffn {Function} cdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
2215 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}.
2216
2217 The cdf is
2218 m4_displaymath(
2219 <<<{\rm cdf\_beta}(x,a,b) =
2220 \cases{
2221 0 & $x < 0$ \cr
2222 I_x(a,b) & $0 \le x \le 1$ \cr
2223 1 & $x > 1$
2224 }>>>,
2225 <<<>>>)
2226 @c ===beg===
2227 @c load ("distrib")$
2228 @c cdf_beta(1/3,15,2);
2229 @c float(%);
2230 @c ===end===
2231 @example
2232 (%i1) load ("distrib")$
2233 (%i2) cdf_beta(1/3,15,2);
2234                              11
2235 (%o2)                     --------
2236                           14348907
2237 (%i3) float(%);
2238 (%o3)              7.666089131388195E-7
2239 @end example
2240
2241 @opencatbox{Categories:}
2242 @category{Package distrib}
2243 @closecatbox
2244
2245 @end deffn
2246
2247
2248 @anchor{quantile_beta}
2249 @deffn {Function} quantile_beta (@var{q},@var{a},@var{b})
2250 Returns the @var{q}-quantile of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_beta}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2251
2252 @opencatbox{Categories:}
2253 @category{Package distrib}
2254 @closecatbox
2255
2256 @end deffn
2257
2258
2259 @anchor{mean_beta}
2260 @deffn {Function} mean_beta (@var{a},@var{b})
2261 Returns the mean of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2262
2263 @opencatbox{Categories:}
2264 @category{Package distrib}
2265 @closecatbox
2266
2267 @end deffn
2268
2269
2270 @anchor{var_beta}
2271 @deffn {Function} var_beta (@var{a},@var{b})
2272 Returns the variance of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2273
2274 @opencatbox{Categories:}
2275 @category{Package distrib}
2276 @closecatbox
2277
2278 @end deffn
2279
2280 @anchor{std_beta}
2281 @deffn {Function} std_beta (@var{a},@var{b})
2282 Returns the standard deviation of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2283
2284 @opencatbox{Categories:}
2285 @category{Package distrib}
2286 @closecatbox
2287
2288 @end deffn
2289
2290
2291 @anchor{skewness_beta}
2292 @deffn {Function} skewness_beta (@var{a},@var{b})
2293 Returns the skewness coefficient of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2294
2295 @opencatbox{Categories:}
2296 @category{Package distrib}
2297 @closecatbox
2298
2299 @end deffn
2300
2301
2302 @anchor{kurtosis_beta}
2303 @deffn {Function} kurtosis_beta (@var{a},@var{b})
2304 Returns the kurtosis coefficient of a m4_betaRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2305
2306 @opencatbox{Categories:}
2307 @category{Package distrib}
2308 @closecatbox
2309
2310 @end deffn
2311
2312
2313 @anchor{random_beta}
2314 @deffn {Function} random_beta (@var{a},@var{b}) @
2315 @fname{random_beta} (@var{a},@var{b},@var{n})
2316
2317 Returns a m4_betaRV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_beta} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2318
2319 The implemented algorithm is defined in Cheng, R.C.H.  (1978). @var{Generating Beta Variates with Nonintegral Shape Parameters}. Communications of the ACM, 21:317-322
2320
2321 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2322
2323 @opencatbox{Categories:}
2324 @category{Package distrib}
2325 @category{Random numbers}
2326 @closecatbox
2327
2328 @end deffn
2329
2330 @node Continuous Uniform Random Variable, Logistic Random Variable, Beta Random Variable, Normal Random Variable
2331 @subsection Continuous Uniform Random Variable
2332 @node Introduction to Continuous Uniform Random Variable
2333 @subsubsection Introduction to Continuous Uniform Random Variable
2334 The @emph{continuous uniform} distribution is constant over the
2335 interval @math{[a,b]} and is zero elsewhere.
2336 @node Functions and Variables for Continuous Uniform Random Variable
2337 @subsubsection Functions and Variables for Continuous Uniform Random Variable
2338 @anchor{pdf_continuous_uniform}
2339 @deffn {Function} pdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
2340 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2341
2342 The pdf for m4_math(<<<x \in [0,1]>>>, <<<@math{x in [0,1]}>>>) is
2343 m4_displaymath(
2344 <<<{1\over b-a}>>>,
2345 <<<@math{1/(b-a)}>>>)
2346 and is 0 otherwise.
2347
2348 @opencatbox{Categories:}
2349 @category{Package distrib}
2350 @closecatbox
2351
2352 @end deffn
2353
2354
2355 @anchor{cdf_continuous_uniform}
2356 @deffn {Function} cdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
2357 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2358
2359 The cdf is
2360 m4_displaymath(
2361 <<<{\rm cdf\_continuous\_uniform}(x,a,b) =
2362 \cases{
2363 0 & for $x < a$ \cr
2364 \cr
2365 \displaystyle{x-a\over b-a} & for $a \le x \le b$ \cr
2366 \cr
2367 1 & for $x > b$
2368 }>>>,
2369 <<<>>>)
2370 @opencatbox{Categories:}
2371 @category{Package distrib}
2372 @closecatbox
2373
2374 @end deffn
2375
2376
2377 @anchor{quantile_continuous_uniform}
2378 @deffn {Function} quantile_continuous_uniform (@var{q},@var{a},@var{b})
2379 Returns the @var{q}-quantile of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_continuous_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2380
2381 @opencatbox{Categories:}
2382 @category{Package distrib}
2383 @closecatbox
2384
2385 @end deffn
2386
2387
2388 @anchor{mean_continuous_uniform}
2389 @deffn {Function} mean_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2390 Returns the mean of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2391
2392 @opencatbox{Categories:}
2393 @category{Package distrib}
2394 @closecatbox
2395
2396 @end deffn
2397
2398
2399 @anchor{var_continuous_uniform}
2400 @deffn {Function} var_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2401 Returns the variance of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2402
2403 @opencatbox{Categories:}
2404 @category{Package distrib}
2405 @closecatbox
2406
2407 @end deffn
2408
2409 @anchor{std_continuous_uniform}
2410 @deffn {Function} std_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2411 Returns the standard deviation of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2412
2413 @opencatbox{Categories:}
2414 @category{Package distrib}
2415 @closecatbox
2416
2417 @end deffn
2418
2419
2420 @anchor{skewness_continuous_uniform}
2421 @deffn {Function} skewness_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2422 Returns the skewness coefficient of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2423
2424 @opencatbox{Categories:}
2425 @category{Package distrib}
2426 @closecatbox
2427
2428 @end deffn
2429
2430
2431 @anchor{kurtosis_continuous_uniform}
2432 @deffn {Function} kurtosis_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
2433 Returns the kurtosis coefficient of a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2434
2435 @opencatbox{Categories:}
2436 @category{Package distrib}
2437 @closecatbox
2438
2439 @end deffn
2440
2441
2442 @anchor{random_continuous_uniform}
2443 @deffn {Function} random_continuous_uniform (@var{a},@var{b}) @
2444 @fname{random_continuous_uniform} (@var{a},@var{b},@var{n})
2445
2446 Returns a m4_continuous_uniformRV(a,b) random variate, with @math{a<b}. Calling @code{random_continuous_uniform} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2447
2448 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
2449
2450 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2451
2452 @opencatbox{Categories:}
2453 @category{Package distrib}
2454 @category{Random numbers}
2455 @closecatbox
2456
2457 @end deffn
2458
2459
2460 @node Logistic Random Variable, Pareto Random Variable, Continuous Uniform Random Variable, Normal Random Variable
2461 @subsection Logistic Random Variable
2462 @node Introduction to Logistic Random Variable
2463 @subsubsection Introduction to Logistic Random Variable
2464 The @emph{logistic} distribution is a continuous distribution where
2465 it's cumulative distribution function is the logistic function.
2466
2467 @node Functions and Variables for Logistic Random Variable
2468 @subsubsection Functions and Variables for Logistic Random Variable
2469 @anchor{pdf_logistic}
2470 @deffn {Function} pdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
2471 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2472
2473 @math{a} is the location parameter and @math{b} is the scale
2474 parameter.
2475
2476 The pdf is
2477 m4_displaymath(
2478 <<<{e^{-(x-a)/b} \over b\left(1 + e^{-(x-a)/b}\right)^2}>>>,
2479 <<<@math{exp(-(x-a)/b)/(b*(1+exp(-(x-a)/b))^2)}>>>)
2480 @opencatbox{Categories:}
2481 @category{Package distrib}
2482 @closecatbox
2483
2484 @end deffn
2485
2486
2487 @anchor{cdf_logistic}
2488 @deffn {Function} cdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
2489 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2490
2491 The cdf is
2492 m4_displaymath(
2493 <<<1\over 1+e^{-(x-a)/b}>>>,
2494 <<<@math{1/(1+exp(-(x-a)/b))}>>>)
2495
2496 @opencatbox{Categories:}
2497 @category{Package distrib}
2498 @closecatbox
2499
2500 @end deffn
2501
2502
2503 @anchor{quantile_logistic}
2504 @deffn {Function} quantile_logistic (@var{q},@var{a},@var{b})
2505 Returns the @var{q}-quantile of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_logistic}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2506
2507 @opencatbox{Categories:}
2508 @category{Package distrib}
2509 @closecatbox
2510
2511 @end deffn
2512
2513
2514 @anchor{mean_logistic}
2515 @deffn {Function} mean_logistic (@var{a},@var{b})
2516 Returns the mean of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2517
2518 @opencatbox{Categories:}
2519 @category{Package distrib}
2520 @closecatbox
2521
2522 @end deffn
2523
2524
2525 @anchor{var_logistic}
2526 @deffn {Function} var_logistic (@var{a},@var{b})
2527 Returns the variance of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2528
2529 @opencatbox{Categories:}
2530 @category{Package distrib}
2531 @closecatbox
2532
2533 @end deffn
2534
2535
2536 @anchor{std_logistic}
2537 @deffn {Function} std_logistic (@var{a},@var{b})
2538 Returns the standard deviation of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2539
2540 @opencatbox{Categories:}
2541 @category{Package distrib}
2542 @closecatbox
2543
2544 @end deffn
2545
2546
2547 @anchor{skewness_logistic}
2548 @deffn {Function} skewness_logistic (@var{a},@var{b})
2549 Returns the skewness coefficient of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2550
2551 @opencatbox{Categories:}
2552 @category{Package distrib}
2553 @closecatbox
2554
2555 @end deffn
2556
2557
2558 @anchor{kurtosis_logistic}
2559 @deffn {Function} kurtosis_logistic (@var{a},@var{b})
2560 Returns the kurtosis coefficient of a m4_logisticRV(a,b) random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2561
2562 @opencatbox{Categories:}
2563 @category{Package distrib}
2564 @closecatbox
2565
2566 @end deffn
2567
2568
2569 @anchor{random_logistic}
2570 @deffn {Function} random_logistic (@var{a},@var{b}) @
2571 @fname{random_logistic} (@var{a},@var{b},@var{n})
2572
2573 Returns a m4_logisticRV(a,b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_logistic} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2574
2575 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2576
2577 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2578
2579 @opencatbox{Categories:}
2580 @category{Package distrib}
2581 @category{Random numbers}
2582 @closecatbox
2583
2584 @end deffn
2585
2586
2587 @node Pareto Random Variable, Weibull Random Variable, Logistic Random Variable, Normal Random Variable
2588 @subsection Pareto Random Variable
2589 @node Introduction to Pareto Random Variable
2590 @subsubsection Introduction to Pareto Random Variable
2591 @node Functions and Variables for Pareto Random Variable
2592 @subsubsection Functions and Variables for Pareto Random Variable
2593 @anchor{pdf_pareto}
2594 @deffn {Function} pdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
2595 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2596
2597 The pdf is
2598 m4_displaymath(
2599 <<<{\rm pdf\_pareto}(x,a,b) =
2600 \cases{
2601 \displaystyle{a b^a \over x^{a+1}} & for $x \ge b$ \cr
2602 \cr
2603 0 & for $x < b$
2604 }>>>,
2605 <<<>>>)
2606
2607 @opencatbox{Categories:}
2608 @category{Package distrib}
2609 @closecatbox
2610
2611 @end deffn
2612
2613
2614 @anchor{cdf_pareto}
2615 @deffn {Function} cdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
2616 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2617
2618 The cdf is
2619 m4_displaymath(
2620 <<<{\rm cdf\_pareto}(x,a,b) =
2621 \cases{
2622 1-\left(\displaystyle{b\over x}\right)^a & for $x \ge b$\cr
2623 0 & for $x < b$
2624 }>>>,
2625 <<<>>>)
2626 @opencatbox{Categories:}
2627 @category{Package distrib}
2628 @closecatbox
2629
2630 @end deffn
2631
2632
2633 @anchor{quantile_pareto}
2634 @deffn {Function} quantile_pareto (@var{q},@var{a},@var{b})
2635 Returns the @var{q}-quantile of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_pareto}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2636
2637 @opencatbox{Categories:}
2638 @category{Package distrib}
2639 @closecatbox
2640
2641 @end deffn
2642
2643
2644 @anchor{mean_pareto}
2645 @deffn {Function} mean_pareto (@var{a},@var{b})
2646 Returns the mean of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a>1,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2647
2648 @opencatbox{Categories:}
2649 @category{Package distrib}
2650 @closecatbox
2651
2652 @end deffn
2653
2654
2655 @anchor{var_pareto}
2656 @deffn {Function} var_pareto (@var{a},@var{b})
2657 Returns the variance of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2658
2659 @opencatbox{Categories:}
2660 @category{Package distrib}
2661 @closecatbox
2662
2663 @end deffn
2664
2665 @anchor{std_pareto}
2666 @deffn {Function} std_pareto (@var{a},@var{b})
2667 Returns the standard deviation of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2668
2669 @opencatbox{Categories:}
2670 @category{Package distrib}
2671 @closecatbox
2672
2673 @end deffn
2674
2675
2676
2677 @anchor{skewness_pareto}
2678 @deffn {Function} skewness_pareto (@var{a},@var{b})
2679 Returns the skewness coefficient of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a>3,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2680
2681 @opencatbox{Categories:}
2682 @category{Package distrib}
2683 @closecatbox
2684
2685 @end deffn
2686
2687
2688 @anchor{kurtosis_pareto}
2689 @deffn {Function} kurtosis_pareto (@var{a},@var{b})
2690 Returns the kurtosis coefficient of a m4_paretoRV(a,b) random variable, with @math{a>4,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2691
2692 @opencatbox{Categories:}
2693 @category{Package distrib}
2694 @closecatbox
2695
2696 @end deffn
2697
2698
2699 @anchor{random_pareto}
2700 @deffn {Function} random_pareto (@var{a},@var{b}) @
2701 @fname{random_pareto} (@var{a},@var{b},@var{n})
2702
2703 Returns a m4_paretoRV(a,b) random variate, with @math{a>0,b>0}. Calling @code{random_pareto} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2704
2705 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2706
2707 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2708
2709 @opencatbox{Categories:}
2710 @category{Package distrib}
2711 @category{Random numbers}
2712 @closecatbox
2713
2714 @end deffn
2715
2716
2717 @node Weibull Random Variable, Rayleigh Random Variable, Pareto Random Variable, Normal Random Variable
2718 @subsection Weibull Random Variable
2719 @node Introduction to Weibull Random Variable
2720 @subsubsection Introduction to Weibull Random Variable
2721 @node Functions and Variables for Weibull Random Variable
2722 @subsubsection Functions and Variables for Weibull Random Variable
2723 @anchor{pdf_weibull}
2724 @deffn {Function} pdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
2725 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2726
2727 The pdf is
2728 m4_displaymath(
2729 <<<{\rm pdf\_weibull}(x,a,b) =
2730 \cases{
2731 \displaystyle{1\over b} \left({x\over b}\right)^{a-1} e^{-(x/b)^a} &
2732 for $x \ge 0$ \cr
2733 \cr
2734 0 & for $x < 0$
2735 }>>>,
2736 <<<>>>)
2737 @opencatbox{Categories:}
2738 @category{Package distrib}
2739 @closecatbox
2740
2741 @end deffn
2742
2743
2744 @anchor{cdf_weibull}
2745 @deffn {Function} cdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
2746 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2747
2748 The cdf is
2749 m4_displaymath(
2750 <<<{\rm cdf\_weibull}(x,a,b) =
2751 \cases{
2752 1 - e^{-(x/b)^a} & for $x \ge 0$ \cr
2753 0 & for $x < 0$
2754 }>>>,
2755 <<<>>>)
2756 @opencatbox{Categories:}
2757 @category{Package distrib}
2758 @closecatbox
2759
2760 @end deffn
2761
2762
2763 @anchor{quantile_weibull}
2764 @deffn {Function} quantile_weibull (@var{q},@var{a},@var{b})
2765 Returns the @var{q}-quantile of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_weibull}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2766
2767 @opencatbox{Categories:}
2768 @category{Package distrib}
2769 @closecatbox
2770
2771 @end deffn
2772
2773
2774 @anchor{mean_weibull}
2775 @deffn {Function} mean_weibull (@var{a},@var{b})
2776 Returns the mean of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2777
2778 @opencatbox{Categories:}
2779 @category{Package distrib}
2780 @closecatbox
2781
2782 @end deffn
2783
2784
2785 @anchor{var_weibull}
2786 @deffn {Function} var_weibull (@var{a},@var{b})
2787 Returns the variance of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2788
2789 @opencatbox{Categories:}
2790 @category{Package distrib}
2791 @closecatbox
2792
2793 @end deffn
2794
2795 @anchor{std_weibull}
2796 @deffn {Function} std_weibull (@var{a},@var{b})
2797 Returns the standard deviation of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2798
2799 @opencatbox{Categories:}
2800 @category{Package distrib}
2801 @closecatbox
2802
2803 @end deffn
2804
2805
2806
2807 @anchor{skewness_weibull}
2808 @deffn {Function} skewness_weibull (@var{a},@var{b})
2809 Returns the skewness coefficient of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2810
2811 @opencatbox{Categories:}
2812 @category{Package distrib}
2813 @closecatbox
2814
2815 @end deffn
2816
2817
2818 @anchor{kurtosis_weibull}
2819 @deffn {Function} kurtosis_weibull (@var{a},@var{b})
2820 Returns the kurtosis coefficient of a m4_weibullRV(a,b) random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2821
2822 @opencatbox{Categories:}
2823 @category{Package distrib}
2824 @closecatbox
2825
2826 @end deffn
2827
2828
2829 @anchor{random_weibull}
2830 @deffn {Function} random_weibull (@var{a},@var{b}) @
2831 @fname{random_weibull} (@var{a},@var{b},@var{n})
2832
2833 Returns a m4_weibullRV(a,b) random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_weibull} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2834
2835 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2836
2837 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2838
2839 @opencatbox{Categories:}
2840 @category{Package distrib}
2841 @category{Random numbers}
2842 @closecatbox
2843
2844 @end deffn
2845
2846
2847
2848 @node Rayleigh Random Variable, Laplace Random Variable, Weibull Random Variable, Normal Random Variable
2849 @subsection Rayleigh Random Variable
2850 @node Introduction to Rayleigh Random Variable
2851 @subsubsection Introduction to Rayleigh Random Variable
2852 The @emph{Rayleigh} distribution coincides with the m4_math(\chi^2,
2853 chi-squared) distribution with two degrees of freedom.
2854
2855 @node Functions and Variables for Rayleigh Random Variable
2856 @subsubsection Functions and Variables for Rayleigh Random Variable
2857 @anchor{pdf_rayleigh}
2858 @deffn {Function} pdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
2859 Returns the value at @var{x} of the density function of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
2860
2861 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
2862
2863 The pdf is
2864 m4_displaymath(
2865 <<<{\rm pdf\_rayleigh}(x,b) =
2866 \cases{
2867 2b^2 x e^{-b^2 x^2} & for $x \ge 0$ \cr
2868 0 & for $x < 0$
2869 }>>>,
2870 <<<>>>)
2871 @c ===beg===
2872 @c load ("distrib")$
2873 @c pdf_rayleigh(x,b);
2874 @c ===end===
2875 @example
2876 (%i1) load ("distrib")$
2877 (%i2) pdf_rayleigh(x,b);
2878                                     2  2
2879                            2     - b  x
2880 (%o2)                   2 b  x %e
2881 @end example
2882
2883 @opencatbox{Categories:}
2884 @category{Package distrib}
2885 @closecatbox
2886
2887 @end deffn
2888
2889
2890 @anchor{cdf_rayleigh}
2891 @deffn {Function} cdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
2892 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
2893
2894 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
2895
2896 The cdf is
2897 m4_displaymath(
2898 <<<{\rm cdf\_rayleigh}(x,b) =
2899 \cases{
2900 1 - e^{-b^2 x^2} & for $x \ge 0$\cr
2901 0 & for $x < 0$
2902 }>>>,
2903 <<<>>>)
2904 @c ===beg===
2905 @c load ("distrib")$
2906 @c cdf_rayleigh(x,b);
2907 @c ===end===
2908 @example
2909 (%i1) load ("distrib")$
2910 (%i2) cdf_rayleigh(x,b);
2911                                    2  2
2912                                 - b  x
2913 (%o2)                     1 - %e
2914 @end example
2915
2916 @opencatbox{Categories:}
2917 @category{Package distrib}
2918 @closecatbox
2919
2920 @end deffn
2921
2922
2923 @anchor{quantile_rayleigh}
2924 @deffn {Function} quantile_rayleigh (@var{q},@var{b})
2925 Returns the @var{q}-quantile of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_rayleigh}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
2926
2927 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
2928
2929 @c ===beg===
2930 @c load ("distrib")$
2931 @c quantile_rayleigh(0.99,b);
2932 @c ===end===
2933 @example
2934 (%i1) load ("distrib")$
2935 (%i2) quantile_rayleigh(0.99,b);
2936                         2.145966026289347
2937 (%o2)                   -----------------
2938                                 b
2939 @end example
2940
2941 @opencatbox{Categories:}
2942 @category{Package distrib}
2943 @closecatbox
2944
2945 @end deffn
2946
2947
2948 @anchor{mean_rayleigh}
2949 @deffn {Function} mean_rayleigh (@var{b})
2950 Returns the mean of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
2951
2952 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
2953
2954 @c ===beg===
2955 @c load ("distrib")$
2956 @c mean_rayleigh(b);
2957 @c ===end===
2958 @example
2959 (%i1) load ("distrib")$
2960 (%i2) mean_rayleigh(b);
2961                             sqrt(%pi)
2962 (%o2)                       ---------
2963                                2 b
2964 @end example
2965
2966 @opencatbox{Categories:}
2967 @category{Package distrib}
2968 @closecatbox
2969
2970 @end deffn
2971
2972
2973 @anchor{var_rayleigh}
2974 @deffn {Function} var_rayleigh (@var{b})
2975 Returns the variance of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
2976
2977 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
2978
2979 @c ===beg===
2980 @c load ("distrib")$
2981 @c var_rayleigh(b);
2982 @c ===end===
2983 @example
2984 (%i1) load ("distrib")$
2985 (%i2) var_rayleigh(b);
2986                                  %pi
2987                              1 - ---
2988                                   4
2989 (%o2)                        -------
2990                                 2
2991                                b
2992 @end example
2993
2994 @opencatbox{Categories:}
2995 @category{Package distrib}
2996 @closecatbox
2997
2998 @end deffn
2999
3000
3001 @anchor{std_rayleigh}
3002 @deffn {Function} std_rayleigh (@var{b})
3003 Returns the standard deviation of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
3004
3005 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
3006
3007 @c ===beg===
3008 @c load ("distrib")$
3009 @c std_rayleigh(b);
3010 @c ===end===
3011 @example
3012 (%i1) load ("distrib")$
3013 (%i2) std_rayleigh(b);
3014                                    %pi
3015                           sqrt(1 - ---)
3016                                     4
3017 (%o2)                     -------------
3018                                 b
3019 @end example
3020
3021 @opencatbox{Categories:}
3022 @category{Package distrib}
3023 @closecatbox
3024
3025 @end deffn
3026
3027
3028 @anchor{skewness_rayleigh}
3029 @deffn {Function} skewness_rayleigh (@var{b})
3030 Returns the skewness coefficient of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
3031
3032 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
3033
3034 @c ===beg===
3035 @c load ("distrib")$
3036 @c skewness_rayleigh(b);
3037 @c ===end===
3038 @example
3039 (%i1) load ("distrib")$
3040 (%i2) skewness_rayleigh(b);
3041                          3/2
3042                       %pi      3 sqrt(%pi)
3043                       ------ - -----------
3044                         4           4
3045 (%o2)                 --------------------
3046                                %pi 3/2
3047                           (1 - ---)
3048                                 4
3049 @end example
3050
3051 @opencatbox{Categories:}
3052 @category{Package distrib}
3053 @closecatbox
3054
3055 @end deffn
3056
3057
3058 @anchor{kurtosis_rayleigh}
3059 @deffn {Function} kurtosis_rayleigh (@var{b})
3060 Returns the kurtosis coefficient of a m4_rayleighRV(b) random variable, with @math{b>0}.
3061
3062 The m4_rayleighRV(b) random variable is equivalent to the m4_weibullRV(2,1/b).
3063
3064 @c ===beg===
3065 @c load ("distrib")$
3066 @c kurtosis_rayleigh(b);
3067 @c ===end===
3068 @example
3069 (%i1) load ("distrib")$
3070 (%i2) kurtosis_rayleigh(b);
3071                                   2
3072                              3 %pi
3073                          2 - ------
3074                                16
3075 (%o2)                    ---------- - 3
3076                               %pi 2
3077                          (1 - ---)
3078                                4
3079 @end example
3080
3081 @opencatbox{Categories:}
3082 @category{Package distrib}
3083 @closecatbox
3084
3085 @end deffn
3086
3087
3088 @anchor{random_rayleigh}
3089 @deffn {Function} random_rayleigh (@var{b}) @
3090 @fname{random_rayleigh} (@var{b},@var{n})
3091
3092 Returns a m4_rayleighRV(b) random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_rayleigh} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3093
3094 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3095
3096 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3097
3098 @opencatbox{Categories:}
3099 @category{Package distrib}
3100 @category{Random numbers}
3101 @closecatbox
3102
3103 @end deffn
3104
3105
3106
3107 @node Laplace Random Variable, Cauchy Random Variable, Rayleigh Random Variable, Normal Random Variable
3108 @subsection Laplace Random Variable
3109 @node Introduction to Laplace Random Variable
3110 @subsubsection Introduction to Laplace Random Variable
3111 @node Functions and Variables for Laplace Random Variable
3112 @subsubsection Functions and Variables for Laplace Random Variable
3113 @anchor{pdf_laplace}
3114 @deffn {Function} pdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
3115 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3116
3117 @opencatbox{Categories:}
3118 @category{Package distrib}
3119 @closecatbox
3120
3121 @end deffn
3122
3123
3124 @anchor{cdf_laplace}
3125 @deffn {Function} cdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
3126 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3127
3128 @opencatbox{Categories:}
3129 @category{Package distrib}
3130 @closecatbox
3131
3132 @end deffn
3133
3134
3135 @anchor{quantile_laplace}
3136 @deffn {Function} quantile_laplace (@var{q},@var{a},@var{b})
3137 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_laplace}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3138
3139 @opencatbox{Categories:}
3140 @category{Package distrib}
3141 @closecatbox
3142
3143 @end deffn
3144
3145
3146 @anchor{mean_laplace}
3147 @deffn {Function} mean_laplace (@var{a},@var{b})
3148 Returns the mean of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3149
3150 @opencatbox{Categories:}
3151 @category{Package distrib}
3152 @closecatbox
3153
3154 @end deffn
3155
3156
3157 @anchor{var_laplace}
3158 @deffn {Function} var_laplace (@var{a},@var{b})
3159 Returns the variance of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3160
3161 @opencatbox{Categories:}
3162 @category{Package distrib}
3163 @closecatbox
3164
3165 @end deffn
3166
3167
3168 @anchor{std_laplace}
3169 @deffn {Function} std_laplace (@var{a},@var{b})
3170 Returns the standard deviation of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3171
3172 @opencatbox{Categories:}
3173 @category{Package distrib}
3174 @closecatbox
3175
3176 @end deffn
3177
3178
3179 @anchor{skewness_laplace}
3180 @deffn {Function} skewness_laplace (@var{a},@var{b})
3181 Returns the skewness coefficient of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3182
3183 @opencatbox{Categories:}
3184 @category{Package distrib}
3185 @closecatbox
3186
3187 @end deffn
3188
3189
3190 @anchor{kurtosis_laplace}
3191 @deffn {Function} kurtosis_laplace (@var{a},@var{b})
3192 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3193
3194 @opencatbox{Categories:}
3195 @category{Package distrib}
3196 @closecatbox
3197
3198 @end deffn
3199
3200
3201 @anchor{random_laplace}
3202 @deffn {Function} random_laplace (@var{a},@var{b}) @
3203 @fname{random_laplace} (@var{a},@var{b},@var{n})
3204
3205 Returns a @math{Laplace(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_laplace} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3206
3207 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3208
3209 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3210
3211 @opencatbox{Categories:}
3212 @category{Package distrib}
3213 @category{Random numbers}
3214 @closecatbox
3215
3216 @end deffn
3217
3218
3219
3220 @node Cauchy Random Variable, Gumbel Random Variable, Laplace Random Variable, Normal Random Variable
3221 @subsection Cauchy Random Variable
3222 @node Introduction to Cauchy Random Variable
3223 @subsubsection Introduction to Cauchy Random Variable
3224 @node Functions and Variables for Cauchy Random Variable
3225 @subsubsection Functions and Variables for Cauchy Random Variable
3226 @anchor{pdf_cauchy}
3227 @deffn {Function} pdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
3228 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Cauchy(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3229
3230 @opencatbox{Categories:}
3231 @category{Package distrib}
3232 @closecatbox
3233
3234 @end deffn
3235
3236
3237 @anchor{cdf_cauchy}
3238 @deffn {Function} cdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
3239 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Cauchy(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3240
3241 @opencatbox{Categories:}
3242 @category{Package distrib}
3243 @closecatbox
3244
3245 @end deffn
3246
3247
3248 @anchor{quantile_cauchy}
3249 @deffn {Function} quantile_cauchy (@var{q},@var{a},@var{b})
3250 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Cauchy(a,b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_cauchy}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3251
3252 @opencatbox{Categories:}
3253 @category{Package distrib}
3254 @closecatbox
3255
3256 @end deffn
3257
3258
3259 @anchor{random_cauchy}
3260 @deffn {Function} random_cauchy (@var{a},@var{b}) @
3261 @fname{random_cauchy} (@var{a},@var{b},@var{n})
3262
3263 Returns a @math{Cauchy(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_cauchy} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3264
3265 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3266
3267 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3268
3269 @opencatbox{Categories:}
3270 @category{Package distrib}
3271 @category{Random numbers}
3272 @closecatbox
3273
3274 @end deffn
3275
3276
3277
3278 @node Gumbel Random Variable,  , Cauchy Random Variable, Normal Random Variable
3279 @subsection Gumbel Random Variable
3280 @node Introduction to Gumbel Random Variable
3281 @subsubsection Introduction to Gumbel Random Variable
3282 @node Functions and Variables for Gumbel Random Variable
3283 @subsubsection Functions and Variables for Gumbel Random Variable
3284 @anchor{pdf_gumbel}
3285 @deffn {Function} pdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
3286 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3287
3288 @opencatbox{Categories:}
3289 @category{Package distrib}
3290 @closecatbox
3291
3292 @end deffn
3293
3294
3295 @anchor{cdf_gumbel}
3296 @deffn {Function} cdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
3297 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3298
3299 @opencatbox{Categories:}
3300 @category{Package distrib}
3301 @closecatbox
3302
3303 @end deffn
3304
3305
3306 @anchor{quantile_gumbel}
3307 @deffn {Function} quantile_gumbel (@var{q},@var{a},@var{b})
3308 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gumbel}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3309
3310 @opencatbox{Categories:}
3311 @category{Package distrib}
3312 @closecatbox
3313
3314 @end deffn
3315
3316
3317 @anchor{mean_gumbel}
3318 @deffn {Function} mean_gumbel (@var{a},@var{b})
3319 Returns the mean of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}.
3320
3321 @c ===beg===
3322 @c load ("distrib")$
3323 @c mean_gumbel(a,b);
3324 @c ===end===
3325 @example
3326 (%i1) load ("distrib")$
3327 (%i2) mean_gumbel(a,b);
3328 (%o2)                     %gamma b + a
3329 @end example
3330 where symbol @code{%gamma} stands for the Euler-Mascheroni constant. See also @mrefdot{%gamma}
3331
3332 @opencatbox{Categories:}
3333 @category{Package distrib}
3334 @closecatbox
3335
3336 @end deffn
3337
3338
3339 @anchor{var_gumbel}
3340 @deffn {Function} var_gumbel (@var{a},@var{b})
3341 Returns the variance of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3342
3343 @opencatbox{Categories:}
3344 @category{Package distrib}
3345 @closecatbox
3346
3347 @end deffn
3348
3349
3350 @anchor{std_gumbel}
3351 @deffn {Function} std_gumbel (@var{a},@var{b})
3352 Returns the standard deviation of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3353
3354 @opencatbox{Categories:}
3355 @category{Package distrib}
3356 @closecatbox
3357
3358 @end deffn
3359
3360
3361 @anchor{skewness_gumbel}
3362 @deffn {Function} skewness_gumbel (@var{a},@var{b})
3363 Returns the skewness coefficient of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}.
3364
3365 @c ===beg===
3366 @c load ("distrib")$
3367 @c skewness_gumbel(a,b);
3368 @c ===end===
3369 @example
3370 (%i1) load ("distrib")$
3371 (%i2) skewness_gumbel(a,b);
3372                                   3/2
3373                                2 6    zeta(3)
3374 (%o2)                          --------------
3375                                        3
3376                                     %pi
3377 @end example
3378 where @code{zeta} stands for the Riemann's zeta function.
3379
3380 @opencatbox{Categories:}
3381 @category{Package distrib}
3382 @closecatbox
3383
3384 @end deffn
3385
3386
3387 @anchor{kurtosis_gumbel}
3388 @deffn {Function} kurtosis_gumbel (@var{a},@var{b})
3389 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3390
3391 @opencatbox{Categories:}
3392 @category{Package distrib}
3393 @category{Package distrib}
3394 @closecatbox
3395
3396 @end deffn
3397
3398
3399 @anchor{random_gumbel}
3400 @deffn {Function} random_gumbel (@var{a},@var{b}) @
3401 @fname{random_gumbel} (@var{a},@var{b},@var{n})
3402
3403 Returns a @math{Gumbel(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_gumbel} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3404
3405 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
3406
3407 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3408
3409 @opencatbox{Categories:}
3410 @category{Package distrib}
3411 @category{Random numbers}
3412 @closecatbox
3413
3414 @end deffn
3415
3416
3417 @node Functions and Variables for discrete distributions,  , Normal Random Variable
3418 @section Functions and Variables for discrete distributions
3419
3420
3421 @anchor{pdf_general_finite_discrete}
3422 @deffn {Function} pdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
3423 Returns the value at @var{x} of the probability function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}, such that @code{Pr(X=i) = v_i}. Vector @math{v} can be a list of nonnegative expressions, whose components will be normalized to get a vector of probabilities. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3424
3425 @c ===beg===
3426 @c load ("distrib")$
3427 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3428 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3429 @c ===end===
3430 @example
3431 (%i1) load ("distrib")$
3432 (%i2) pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3433                                 4
3434 (%o2)                           -
3435                                 7
3436 (%i3) pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3437                                 4
3438 (%o3)                           -
3439                                 7
3440 @end example
3441
3442 @opencatbox{Categories:}
3443 @category{Package distrib}
3444 @closecatbox
3445
3446 @end deffn
3447
3448
3449 @anchor{cdf_general_finite_discrete}
3450 @deffn {Function} cdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
3451 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3452
3453 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3454
3455 @c ===beg===
3456 @c load ("distrib")$
3457 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3458 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3459 @c cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
3460 @c ===end===
3461 @example
3462 (%i1) load ("distrib")$
3463 (%i2) cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
3464                                 5
3465 (%o2)                           -
3466                                 7
3467 (%i3) cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
3468                                 5
3469 (%o3)                           -
3470                                 7
3471 (%i4) cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
3472                                 5
3473 (%o4)                           -
3474                                 7
3475 @end example
3476
3477 @opencatbox{Categories:}
3478 @category{Package distrib}
3479 @closecatbox
3480
3481 @end deffn
3482
3483
3484 @anchor{quantile_general_finite_discrete}
3485 @deffn {Function} quantile_general_finite_discrete (@var{q},@var{v})
3486 Returns the @var{q}-quantile of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3487
3488 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3489
3490 @opencatbox{Categories:}
3491 @category{Package distrib}
3492 @closecatbox
3493
3494 @end deffn
3495
3496
3497 @anchor{mean_general_finite_discrete}
3498 @deffn {Function} mean_general_finite_discrete (@var{v})
3499 Returns the mean of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3500
3501 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3502
3503 @opencatbox{Categories:}
3504 @category{Package distrib}
3505 @closecatbox
3506
3507 @end deffn
3508
3509
3510 @anchor{var_general_finite_discrete}
3511 @deffn {Function} var_general_finite_discrete (@var{v})
3512 Returns the variance of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3513
3514 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3515
3516 @opencatbox{Categories:}
3517 @category{Package distrib}
3518 @closecatbox
3519
3520 @end deffn
3521
3522
3523 @anchor{std_general_finite_discrete}
3524 @deffn {Function} std_general_finite_discrete (@var{v})
3525 Returns the standard deviation of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3526
3527 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3528
3529 @opencatbox{Categories:}
3530 @category{Package distrib}
3531 @closecatbox
3532
3533 @end deffn
3534
3535
3536 @anchor{skewness_general_finite_discrete}
3537 @deffn {Function} skewness_general_finite_discrete (@var{v})
3538 Returns the skewness coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3539
3540 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3541
3542 @opencatbox{Categories:}
3543 @category{Package distrib}
3544 @closecatbox
3545
3546 @end deffn
3547
3548
3549 @anchor{kurtosis_general_finite_discrete}
3550 @deffn {Function} kurtosis_general_finite_discrete (@var{v})
3551 Returns the kurtosis coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
3552
3553 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3554
3555 @opencatbox{Categories:}
3556 @category{Package distrib}
3557 @closecatbox
3558
3559 @end deffn
3560
3561
3562 @anchor{random_general_finite_discrete}
3563 @deffn {Function} random_general_finite_discrete (@var{v}) @
3564 @fname{random_general_finite_discrete} (@var{v},@var{m})
3565
3566 Returns a general finite discrete random variate, with vector probabilities @math{v}. Calling @code{random_general_finite_discrete} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3567
3568 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
3569
3570 @c ===beg===
3571 @c load ("distrib")$
3572 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
3573 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
3574 @c ===end===
3575 @example
3576 (%i1) load ("distrib")$
3577 (%i2) random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
3578 (%o2)                          4
3579 (%i3) random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
3580 (%o3)           [4, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 2]
3581 @end example
3582
3583 @opencatbox{Categories:}
3584 @category{Package distrib}
3585 @category{Random numbers}
3586 @closecatbox
3587
3588 @end deffn
3589
3590
3591 @anchor{pdf_binomial}
3592 @deffn {Function} pdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
3593 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3594
3595 @opencatbox{Categories:}
3596 @category{Package distrib}
3597 @closecatbox
3598
3599 @end deffn
3600
3601
3602 @anchor{cdf_binomial}
3603 @deffn {Function} cdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
3604 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer.
3605
3606 @c ===beg===
3607 @c load ("distrib")$
3608 @c cdf_binomial(5,7,1/6);
3609 @c float(%);
3610 @c ===end===
3611 @example
3612 (%i1) load ("distrib")$
3613 (%i2) cdf_binomial(5,7,1/6);
3614                             7775
3615 (%o2)                       ----
3616                             7776
3617 (%i3) float(%);
3618 (%o3)               .9998713991769548
3619 @end example
3620
3621 @opencatbox{Categories:}
3622 @category{Package distrib}
3623 @closecatbox
3624
3625 @end deffn
3626
3627
3628 @anchor{quantile_binomial}
3629 @deffn {Function} quantile_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
3630 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3631
3632 @opencatbox{Categories:}
3633 @category{Package distrib}
3634 @closecatbox
3635
3636 @end deffn
3637
3638
3639 @anchor{mean_binomial}
3640 @deffn {Function} mean_binomial (@var{n},@var{p})
3641 Returns the mean of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3642
3643 @opencatbox{Categories:}
3644 @category{Package distrib}
3645 @closecatbox
3646
3647 @end deffn
3648
3649
3650 @anchor{var_binomial}
3651 @deffn {Function} var_binomial (@var{n},@var{p})
3652 Returns the variance of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3653
3654 @opencatbox{Categories:}
3655 @category{Package distrib}
3656 @closecatbox
3657
3658 @end deffn
3659
3660
3661 @anchor{std_binomial}
3662 @deffn {Function} std_binomial (@var{n},@var{p})
3663 Returns the standard deviation of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3664
3665 @opencatbox{Categories:}
3666 @category{Package distrib}
3667 @closecatbox
3668
3669 @end deffn
3670
3671
3672 @anchor{skewness_binomial}
3673 @deffn {Function} skewness_binomial (@var{n},@var{p})
3674 Returns the skewness coefficient of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3675
3676 @opencatbox{Categories:}
3677 @category{Package distrib}
3678 @closecatbox
3679
3680 @end deffn
3681
3682
3683 @anchor{kurtosis_binomial}
3684 @deffn {Function} kurtosis_binomial (@var{n},@var{p})
3685 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3686
3687 @opencatbox{Categories:}
3688 @category{Package distrib}
3689 @closecatbox
3690
3691 @end deffn
3692
3693
3694 @anchor{random_binomial}
3695 @deffn {Function} random_binomial (@var{n},@var{p}) @
3696 @fname{random_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
3697
3698 Returns a @math{Binomial(n,p)} random variate, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. Calling @code{random_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3699
3700 The implemented algorithm is based on the one described in Kachitvichyanukul, V. and Schmeiser, B.W. (1988) @var{Binomial Random Variate Generation}. Communications of the ACM, 31, Feb., 216.
3701
3702 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3703
3704 @opencatbox{Categories:}
3705 @category{Package distrib}
3706 @category{Random numbers}
3707 @closecatbox
3708
3709 @end deffn
3710
3711
3712 @anchor{pdf_poisson}
3713 @deffn {Function} pdf_poisson (@var{x},@var{m})
3714 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3715
3716 @opencatbox{Categories:}
3717 @category{Package distrib}
3718 @closecatbox
3719
3720 @end deffn
3721
3722
3723 @anchor{cdf_poisson}
3724 @deffn {Function} cdf_poisson (@var{x},@var{m})
3725 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}.
3726
3727 @c ===beg===
3728 @c load ("distrib")$
3729 @c cdf_poisson(3,5);
3730 @c float(%);
3731 @c ===end===
3732 @example
3733 (%i1) load ("distrib")$
3734 (%i2) cdf_poisson(3,5);
3735 (%o2)       gamma_incomplete_regularized(4, 5)
3736 (%i3) float(%);
3737 (%o3)               .2650259152973623
3738 @end example
3739
3740 @opencatbox{Categories:}
3741 @category{Package distrib}
3742 @closecatbox
3743
3744 @end deffn
3745
3746
3747 @anchor{quantile_poisson}
3748 @deffn {Function} quantile_poisson (@var{q},@var{m})
3749 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_poisson}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3750
3751 @opencatbox{Categories:}
3752 @category{Package distrib}
3753 @closecatbox
3754
3755 @end deffn
3756
3757
3758 @anchor{mean_poisson}
3759 @deffn {Function} mean_poisson (@var{m})
3760 Returns the mean of a @math{Poisson(m)} random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3761
3762 @opencatbox{Categories:}
3763 @category{Package distrib}
3764 @closecatbox
3765
3766 @end deffn
3767
3768
3769 @anchor{var_poisson}
3770 @deffn {Function} var_poisson (@var{m})
3771 Returns the variance of a @math{Poisson(m)} random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3772
3773 @opencatbox{Categories:}
3774 @category{Package distrib}
3775 @closecatbox
3776
3777 @end deffn
3778
3779
3780 @anchor{std_poisson}
3781 @deffn {Function} std_poisson (@var{m})
3782 Returns the standard deviation of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3783
3784 @opencatbox{Categories:}
3785 @category{Package distrib}
3786 @closecatbox
3787
3788 @end deffn
3789
3790
3791 @anchor{skewness_poisson}
3792 @deffn {Function} skewness_poisson (@var{m})
3793 Returns the skewness coefficient of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3794
3795 @opencatbox{Categories:}
3796 @category{Package distrib}
3797 @closecatbox
3798
3799 @end deffn
3800
3801
3802 @anchor{kurtosis_poisson}
3803 @deffn {Function} kurtosis_poisson (@var{m})
3804 Returns the kurtosis coefficient of a Poisson random variable  @math{Poi(m)}, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3805
3806 @opencatbox{Categories:}
3807 @category{Package distrib}
3808 @closecatbox
3809
3810 @end deffn
3811
3812
3813 @anchor{random_poisson}
3814 @deffn {Function} random_poisson (@var{m}) @
3815 @fname{random_poisson} (@var{m},@var{n})
3816
3817 Returns a @math{Poisson(m)} random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_poisson} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3818
3819 The implemented algorithm is the one described in Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1982) @var{Computer Generation of Poisson Deviates From Modified Normal Distributions}. ACM Trans. Math. Software, 8, 2, June,163-179.
3820
3821 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3822
3823 @opencatbox{Categories:}
3824 @category{Package distrib}
3825 @category{Random numbers}
3826 @closecatbox
3827
3828 @end deffn
3829
3830
3831 @anchor{pdf_bernoulli}
3832 @deffn {Function} pdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
3833 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3834
3835 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3836
3837 @c ===beg===
3838 @c load ("distrib")$
3839 @c pdf_bernoulli(1,p);
3840 @c ===end===
3841 @example
3842 (%i1) load ("distrib")$
3843 (%i2) pdf_bernoulli(1,p);
3844 (%o2)                           p
3845 @end example
3846
3847 @opencatbox{Categories:}
3848 @category{Package distrib}
3849 @closecatbox
3850
3851 @end deffn
3852
3853
3854 @anchor{cdf_bernoulli}
3855 @deffn {Function} cdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
3856 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3857
3858 @opencatbox{Categories:}
3859 @category{Package distrib}
3860 @closecatbox
3861
3862 @end deffn
3863
3864
3865 @anchor{quantile_bernoulli}
3866 @deffn {Function} quantile_bernoulli (@var{q},@var{p})
3867 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_bernoulli}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3868
3869 @opencatbox{Categories:}
3870 @category{Package distrib}
3871 @closecatbox
3872
3873 @end deffn
3874
3875
3876 @anchor{mean_bernoulli}
3877 @deffn {Function} mean_bernoulli (@var{p})
3878 Returns the mean of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3879
3880 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3881
3882 @c ===beg===
3883 @c load ("distrib")$
3884 @c mean_bernoulli(p);
3885 @c ===end===
3886 @example
3887 (%i1) load ("distrib")$
3888 (%i2) mean_bernoulli(p);
3889 (%o2)                           p
3890 @end example
3891
3892 @opencatbox{Categories:}
3893 @category{Package distrib}
3894 @closecatbox
3895
3896 @end deffn
3897
3898
3899 @anchor{var_bernoulli}
3900 @deffn {Function} var_bernoulli (@var{p})
3901 Returns the variance of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3902
3903 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3904
3905 @c ===beg===
3906 @c load ("distrib")$
3907 @c var_bernoulli(p);
3908 @c ===end===
3909 @example
3910 (%i1) load ("distrib")$
3911 (%i2) var_bernoulli(p);
3912 (%o2)                       (1 - p) p
3913 @end example
3914
3915 @opencatbox{Categories:}
3916 @category{Package distrib}
3917 @closecatbox
3918
3919 @end deffn
3920
3921
3922 @anchor{std_bernoulli}
3923 @deffn {Function} std_bernoulli (@var{p})
3924 Returns the standard deviation of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3925
3926 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3927
3928 @c ===beg===
3929 @c load ("distrib")$
3930 @c std_bernoulli(p);
3931 @c ===end===
3932 @example
3933 (%i1) load ("distrib")$
3934 (%i2) std_bernoulli(p);
3935 (%o2)                           sqrt((1 - p) p)
3936 @end example
3937
3938 @opencatbox{Categories:}
3939 @category{Package distrib}
3940 @closecatbox
3941
3942 @end deffn
3943
3944
3945 @anchor{skewness_bernoulli}
3946 @deffn {Function} skewness_bernoulli (@var{p})
3947 Returns the skewness coefficient of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3948
3949 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3950
3951 @c ===beg===
3952 @c load ("distrib")$
3953 @c skewness_bernoulli(p);
3954 @c ===end===
3955 @example
3956 (%i1) load ("distrib")$
3957 (%i2) skewness_bernoulli(p);
3958                                     1 - 2 p
3959 (%o2)                           ---------------
3960                                 sqrt((1 - p) p)
3961 @end example
3962
3963 @opencatbox{Categories:}
3964 @category{Package distrib}
3965 @closecatbox
3966
3967 @end deffn
3968
3969
3970 @anchor{kurtosis_bernoulli}
3971 @deffn {Function} kurtosis_bernoulli (@var{p})
3972 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3973
3974 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3975
3976 @c ===beg===
3977 @c load ("distrib")$
3978 @c kurtosis_bernoulli(p);
3979 @c ===end===
3980 @example
3981 (%i1) load ("distrib")$
3982 (%i2) kurtosis_bernoulli(p);
3983                          1 - 6 (1 - p) p
3984 (%o2)                    ---------------
3985                             (1 - p) p
3986 @end example
3987
3988 @opencatbox{Categories:}
3989 @category{Package distrib}
3990 @closecatbox
3991
3992 @end deffn
3993
3994
3995 @anchor{random_bernoulli}
3996 @deffn {Function} random_bernoulli (@var{p}) @
3997 @fname{random_bernoulli} (@var{p},@var{n})
3998
3999 Returns a @math{Bernoulli(p)} random variate, with @math{0 \leq p \leq 1}. Calling @code{random_bernoulli} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
4000
4001 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
4002
4003 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4004
4005 @opencatbox{Categories:}
4006 @category{Package distrib}
4007 @category{Random numbers}
4008 @closecatbox
4009
4010 @end deffn
4011
4012 @anchor{pdf_geometric}
4013 @deffn {Function} pdf_geometric (@var{x},@var{p})
4014 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4015 @ifnottex
4016 @math{0 < p <= 1}.
4017 @end ifnottex
4018 @tex
4019 @math{0 < p \leq 1}.
4020 @end tex
4021
4022 The probability function is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4023 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4024
4025 @code{load("distrib")} loads this function.
4026
4027 @opencatbox{Categories:}
4028 @category{Package distrib}
4029 @closecatbox
4030
4031 @end deffn
4032
4033
4034 @anchor{cdf_geometric}
4035 @deffn {Function} cdf_geometric (@var{x},@var{p})
4036 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4037 @ifnottex
4038 @math{0 < p <= 1}.
4039 @end ifnottex
4040 @tex
4041 @math{0 < p \leq 1}.
4042 @end tex
4043
4044 The probability from which the distribution function is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4045 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4046
4047 @code{load("distrib")} loads this function.
4048
4049 @opencatbox{Categories:}
4050 @category{Package distrib}
4051 @closecatbox
4052
4053 @end deffn
4054
4055
4056 @anchor{quantile_geometric}
4057 @deffn {Function} quantile_geometric (@var{q},@var{p})
4058 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4059 @ifnottex
4060 @math{0 < p <= 1};
4061 @end ifnottex
4062 @tex
4063 @math{0 < p \leq 1};
4064 @end tex
4065 in other words, this is the inverse of @code{cdf_geometric}.
4066 Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
4067
4068 The probability from which the quantile is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4069 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4070
4071 @code{load("distrib")} loads this function.
4072
4073 @opencatbox{Categories:}
4074 @category{Package distrib}
4075 @closecatbox
4076
4077 @end deffn
4078
4079
4080 @anchor{mean_geometric}
4081 @deffn {Function} mean_geometric (@var{p})
4082 Returns the mean of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4083 @ifnottex
4084 @math{0 < p <= 1}.
4085 @end ifnottex
4086 @tex
4087 @math{0 < p \leq 1}.
4088 @end tex
4089
4090 The probability from which the mean is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4091 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4092
4093 @code{load("distrib")} loads this function.
4094
4095 @opencatbox{Categories:}
4096 @category{Package distrib}
4097 @closecatbox
4098
4099 @end deffn
4100
4101
4102 @anchor{var_geometric}
4103 @deffn {Function} var_geometric (@var{p})
4104 Returns the variance of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4105 @ifnottex
4106 @math{0 < p <= 1}.
4107 @end ifnottex
4108 @tex
4109 @math{0 < p \leq 1}.
4110 @end tex
4111
4112 The probability from which the variance is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4113 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4114
4115 @code{load("distrib")} loads this function.
4116
4117 @opencatbox{Categories:}
4118 @category{Package distrib}
4119 @closecatbox
4120
4121 @end deffn
4122
4123
4124 @anchor{std_geometric}
4125 @deffn {Function} std_geometric (@var{p})
4126 Returns the standard deviation of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4127 @ifnottex
4128 @math{0 < p <= 1}.
4129 @end ifnottex
4130 @tex
4131 @math{0 < p \leq 1}.
4132 @end tex
4133
4134 The probability from which the standard deviation is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4135 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4136
4137 @code{load("distrib")} loads this function.
4138
4139 @opencatbox{Categories:}
4140 @category{Package distrib}
4141 @closecatbox
4142
4143 @end deffn
4144
4145
4146 @anchor{skewness_geometric}
4147 @deffn {Function} skewness_geometric (@var{p})
4148 Returns the skewness coefficient of a @math{Geometric(p)} random variable, with
4149 @ifnottex
4150 @math{0 < p <= 1}.
4151 @end ifnottex
4152 @tex
4153 @math{0 < p \leq 1}.
4154 @end tex
4155
4156 The probability from which the skewness is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4157 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4158
4159 @code{load("distrib")} loads this function.
4160
4161 @opencatbox{Categories:}
4162 @category{Package distrib}
4163 @closecatbox
4164
4165 @end deffn
4166
4167
4168 @anchor{kurtosis_geometric}
4169 @deffn {Function} kurtosis_geometric (@var{p})
4170 Returns the kurtosis coefficient of a geometric random variable  @math{Geometric(p)}, with
4171 @ifnottex
4172 @math{0 < p <= 1}.
4173 @end ifnottex
4174 @tex
4175 @math{0 < p \leq 1}.
4176 @end tex
4177
4178 The probability from which the kurtosis is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4179 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4180
4181 @code{load("distrib")} loads this function.
4182
4183 @opencatbox{Categories:}
4184 @category{Package distrib}
4185 @closecatbox
4186
4187 @end deffn
4188
4189
4190 @anchor{random_geometric}
4191 @deffn {Function} random_geometric (@var{p}) @
4192 @fname{random_geometric} (@var{p},@var{n})
4193
4194 @code{random_geometric(@var{p})} returns one random sample from a @math{Geometric(p)} distribution, with
4195 @ifnottex
4196 @math{0 < p <= 1}.
4197 @end ifnottex
4198 @tex
4199 @math{0 < p \leq 1}.
4200 @end tex
4201
4202 @code{random_geometric(@var{p}, @var{n})} returns a list of @var{n} random samples.
4203
4204 The algorithm is based on simulation of Bernoulli trials.
4205
4206 The probability from which the random sample is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
4207 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
4208
4209 @code{load("distrib")} loads this function.
4210
4211
4212 @opencatbox{Categories:}
4213 @category{Package distrib}
4214 @category{Random numbers}
4215 @closecatbox
4216
4217 @end deffn
4218
4219
4220 @anchor{pdf_discrete_uniform}
4221 @deffn {Function} pdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
4222 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4223
4224 @opencatbox{Categories:}
4225 @category{Package distrib}
4226 @closecatbox
4227
4228 @end deffn
4229
4230
4231 @anchor{cdf_discrete_uniform}
4232 @deffn {Function} cdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
4233 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4234
4235 @opencatbox{Categories:}
4236 @category{Package distrib}
4237 @closecatbox
4238
4239 @end deffn
4240
4241
4242 @anchor{quantile_discrete_uniform}
4243 @deffn {Function} quantile_discrete_uniform (@var{q},@var{n})
4244 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_discrete_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4245
4246 @opencatbox{Categories:}
4247 @category{Package distrib}
4248 @closecatbox
4249
4250 @end deffn
4251
4252
4253 @anchor{mean_discrete_uniform}
4254 @deffn {Function} mean_discrete_uniform (@var{n})
4255 Returns the mean of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4256
4257 @opencatbox{Categories:}
4258 @category{Package distrib}
4259 @closecatbox
4260
4261 @end deffn
4262
4263
4264 @anchor{var_discrete_uniform}
4265 @deffn {Function} var_discrete_uniform (@var{n})
4266 Returns the variance of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4267
4268 @opencatbox{Categories:}
4269 @category{Package distrib}
4270 @closecatbox
4271
4272 @end deffn
4273
4274
4275 @anchor{std_discrete_uniform}
4276 @deffn {Function} std_discrete_uniform (@var{n})
4277 Returns the standard deviation of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4278
4279 @opencatbox{Categories:}
4280 @category{Package distrib}
4281 @closecatbox
4282
4283 @end deffn
4284
4285
4286 @anchor{skewness_discrete_uniform}
4287 @deffn {Function} skewness_discrete_uniform (@var{n})
4288 Returns the skewness coefficient of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4289
4290 @opencatbox{Categories:}
4291 @category{Package distrib}
4292 @closecatbox
4293
4294 @end deffn
4295
4296
4297 @anchor{kurtosis_discrete_uniform}
4298 @deffn {Function} kurtosis_discrete_uniform (@var{n})
4299 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4300
4301 @opencatbox{Categories:}
4302 @category{Package distrib}
4303 @closecatbox
4304
4305 @end deffn
4306
4307
4308 @anchor{random_discrete_uniform}
4309 @deffn {Function} random_discrete_uniform (@var{n}) @
4310 @fname{random_discrete_uniform} (@var{n},@var{m})
4311
4312 Returns a @math{Discrete Uniform(n)} random variate, with @math{n} a strictly positive integer. Calling @code{random_discrete_uniform} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4313
4314 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
4315
4316 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4317
4318 @opencatbox{Categories:}
4319 @category{Package distrib}
4320 @category{Random numbers}
4321 @closecatbox
4322
4323 @end deffn
4324
4325
4326 @anchor{pdf_hypergeometric}
4327 @deffn {Function} pdf_hypergeometric (@var{x},@var{n1},@var{n2},@var{n})
4328 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)}
4329 random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}.
4330 Being @var{n1} the number of objects of class A, @var{n2} the number of objects of class B, and
4331 @var{n} the size of the sample without replacement, this function returns the probability of
4332 event "exactly @var{x} objects are of class A".
4333
4334 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4335
4336 @opencatbox{Categories:}
4337 @category{Package distrib}
4338 @closecatbox
4339
4340 @end deffn
4341
4342
4343 @anchor{cdf_hypergeometric}
4344 @deffn {Function} cdf_hypergeometric (@var{x},@var{n1},@var{n2},@var{n})
4345 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)}
4346 random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}.
4347 See @code{pdf_hypergeometric} for a more complete description.
4348
4349 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4350
4351 @opencatbox{Categories:}
4352 @category{Package distrib}
4353 @closecatbox
4354
4355 @end deffn
4356
4357
4358 @anchor{quantile_hypergeometric}
4359 @deffn {Function} quantile_hypergeometric (@var{q},@var{n1},@var{n2},@var{n})
4360 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_hypergeometric}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4361
4362 @opencatbox{Categories:}
4363 @category{Package distrib}
4364 @closecatbox
4365
4366 @end deffn
4367
4368
4369 @anchor{mean_hypergeometric}
4370 @deffn {Function} mean_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4371 Returns the mean of a discrete uniform random variable @math{Hyp(n1,n2,n)}, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4372
4373 @opencatbox{Categories:}
4374 @category{Package distrib}
4375 @closecatbox
4376
4377 @end deffn
4378
4379
4380 @anchor{var_hypergeometric}
4381 @deffn {Function} var_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4382 Returns the variance of a hypergeometric  random variable @math{Hyp(n1,n2,n)}, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4383
4384 @opencatbox{Categories:}
4385 @category{Package distrib}
4386 @closecatbox
4387
4388 @end deffn
4389
4390
4391 @anchor{std_hypergeometric}
4392 @deffn {Function} std_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4393 Returns the standard deviation of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4394
4395 @opencatbox{Categories:}
4396 @category{Package distrib}
4397 @closecatbox
4398
4399 @end deffn
4400
4401
4402 @anchor{skewness_hypergeometric}
4403 @deffn {Function} skewness_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4404 Returns the skewness coefficient of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4405
4406 @opencatbox{Categories:}
4407 @category{Package distrib}
4408 @closecatbox
4409
4410 @end deffn
4411
4412
4413 @anchor{kurtosis_hypergeometric}
4414 @deffn {Function} kurtosis_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
4415 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4416
4417 @opencatbox{Categories:}
4418 @category{Package distrib}
4419 @closecatbox
4420
4421 @end deffn
4422
4423
4424 @anchor{random_hypergeometric}
4425 @deffn {Function} random_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n}) @
4426 @fname{random_hypergeometric} (@var{n1},@var{n2},@var{n},@var{m})
4427
4428 Returns a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variate, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. Calling @code{random_hypergeometric} with a fourth argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4429
4430 Algorithm described in Kachitvichyanukul, V., Schmeiser, B.W. (1985) @var{Computer generation of hypergeometric random variates.} Journal of Statistical Computation and Simulation 22, 127-145.
4431
4432 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4433
4434 @opencatbox{Categories:}
4435 @category{Package distrib}
4436 @category{Random numbers}
4437 @closecatbox
4438
4439 @end deffn
4440
4441
4442 @anchor{pdf_negative_binomial}
4443 @deffn {Function} pdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
4444 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4445
4446 @opencatbox{Categories:}
4447 @category{Package distrib}
4448 @closecatbox
4449
4450 @end deffn
4451
4452
4453 @anchor{cdf_negative_binomial}
4454 @deffn {Function} cdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
4455 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number.
4456
4457 @c ===beg===
4458 @c load ("distrib")$
4459 @c cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
4460 @c ===end===
4461 @example
4462 (%i1) load ("distrib")$
4463 (%i2) cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
4464                             3271
4465 (%o2)                      ------
4466                            524288
4467 @end example
4468
4469 @opencatbox{Categories:}
4470 @category{Package distrib}
4471 @closecatbox
4472
4473 @end deffn
4474
4475
4476 @anchor{quantile_negative_binomial}
4477 @deffn {Function} quantile_negative_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
4478 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number; in other words, this is the inverse of @code{cdf_negative_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4479
4480 @opencatbox{Categories:}
4481 @category{Package distrib}
4482 @closecatbox
4483
4484 @end deffn
4485
4486
4487 @anchor{mean_negative_binomial}
4488 @deffn {Function} mean_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4489 Returns the mean of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4490
4491 @opencatbox{Categories:}
4492 @category{Package distrib}
4493 @closecatbox
4494
4495 @end deffn
4496
4497
4498 @anchor{var_negative_binomial}
4499 @deffn {Function} var_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4500 Returns the variance of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4501
4502 @opencatbox{Categories:}
4503 @category{Package distrib}
4504 @closecatbox
4505
4506 @end deffn
4507
4508
4509 @anchor{std_negative_binomial}
4510 @deffn {Function} std_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4511 Returns the standard deviation of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4512
4513 @opencatbox{Categories:}
4514 @category{Package distrib}
4515 @closecatbox
4516
4517 @end deffn
4518
4519
4520 @anchor{skewness_negative_binomial}
4521 @deffn {Function} skewness_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4522 Returns the skewness coefficient of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4523
4524 @opencatbox{Categories:}
4525 @category{Package distrib}
4526 @closecatbox
4527
4528 @end deffn
4529
4530
4531 @anchor{kurtosis_negative_binomial}
4532 @deffn {Function} kurtosis_negative_binomial (@var{n},@var{p})
4533 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4534
4535 @opencatbox{Categories:}
4536 @category{Package distrib}
4537 @closecatbox
4538
4539 @end deffn
4540
4541
4542 @anchor{random_negative_binomial}
4543 @deffn {Function} random_negative_binomial (@var{n},@var{p}) @
4544 @fname{random_negative_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
4545
4546 Returns a @math{Negative Binomial(n,p)} random variate, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. Calling @code{random_negative_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
4547
4548 Algorithm described in Devroye, L. (1986) @var{Non-Uniform Random Variate Generation}. Springer Verlag, p. 480.
4549
4550 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
4551
4552 @opencatbox{Categories:}
4553 @category{Package distrib}
4554 @category{Random numbers}
4555 @closecatbox
4556
4557 @end deffn
4558 @c Undefine all the m4 macros we defined in this file.
4559 m4_undefine(<<<m4_NormalRV>>>)