share/calculus/optvar.usg

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   2 This file describes how to use a MACSYMA variational optimization
   3 package to analytically solve problems from the calculus of variations
   4 and the maximum principle, including optimal control.
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   6 Programmed by David R. Stoutemyer, (login name:STOUTE), Electrical
   7 Engineering Department, University of Hawaii, August 1974.
   8 Suggestions, questions, and interesting successful
   9 or unsuccessful examples are welcome.
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  11                         OTHER RELEVANT FILES:
  12 OPTVAR >  is a MACSYMA batch file containing the functions and
  13    option settings for variational optimization.
  14 OPTVAR LISP  is a LISP translation of OPTVAR >.
  15 OPTVAR DEMO  is a MACSYMA batch file demonstrating various ways of
  16    using the optimization functions.
  17 OPTVAR OUTPUT  is a text file containing  OPTVAR DEMO together with
  18    the output that it produces when executed.
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  20                            USAGE:
  21 In MACSYMA,  first type
  22              BATCH(OPTVAR, >, DSK, SHARE2);
  23 or
  24              LOADFILE(OPTVAR, LISP, DSK, SHARE2);
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  27 Next, if interested in executing the demonstration, type
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  29              LOADFILE(ODE2, FASL, DSK, SHARE);
  30              LOADFILE(DESOLN, LISP, DSK, SHARE);
  31 then either
  32              BATCH(OPTVAR, DEMO, DSK, SHARE2);
  33 or
  34              DEMO(OPTVAR, DEMO, DSK, SHARE2);
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  36 The latter alternative permits opportunities for interaction.
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  38 To derive the Euler-Lagrange equations for a calculus-of-variations
  39 problem, type
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  41              EL(F, YLIST, TLIST);
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  43 F  is an expression or the label of an expression for the integrand
  44    of the stationary functional, augmented by Lagrange multipliers
  45    times the integrands of any isoperimetric constraints and/or
  46    differential expressions constrained to equal zero.  The multipliers
  47    should be written as functions of the independent variables in the
  48    latter case.
  49 YLIST  is a list of the dependent variables, or the label thereof.
  50 TLIST  is a list of the independent variables, or the label thereof.
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  52 For convenience, square brackets may be omitted from 1-element lists.
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  54 EL displays one or more E-labeled equations, then returns a list
  55 of the E-labels.  These equations are the Euler-Lagrange equations,
  56 perhaps together with first integrals corresponding to conservation
  57 of energy and/or conservation of momentum.  The former will contain a
  58 constant of integration K[0], whereas the latter will contain constants
  59 of integration K[I], with positive I.  The latter will immediately
  60 follow the corresponding Euler-Lagrange equation.
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  62 OPTVAR DEMO or OPTVAR OUTPUT illustrates some ways that the
  63 resulting differential equations may be solved analytically.
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  66 To derive the Hamiltonian and auxiliary differential equations for
  67 an optimal control problem, type
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  69              HAM(ODES);
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  71 ODES  is a list of the first-order differential equations that
  72    govern the state variables.  Each differential equation must be
  73    of the form
  74              'D(Y,T) = EXPRESSION
  75 where  Y  is one of the dependent variables,  T is the independent
  76 variable, and EXPRESSION  depends upon the independent, dependent, and
  77 control variables.
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  79 HAM displays two or more E-labeled expressions, then returns a list
  80 of the E-labels.  The first expression is the Hamiltonian, and the
  81 other expressiona are the auxiliary diferential equations,
  82 together with their general solutions,  AUX[I] = K[I], whenever the
  83 Ith differential equation is of the trivial form  'D(AUX[I],T) = 0.
  84 The K[I] are undetermined constants of integration.
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  86 HAM is directly suitable for the autonomous time-optimal problem.
  87 Other problems may be converted to this form by introducing extra state
  88 variables, as described in most optimal-control texts or in the report
  89 referenced in  OPTVAR OUTPUT  and OPTVAR DEMO.
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  91 In simple enough cases, the routines in the SHARE files ODE2 FASL
  92 and/or DESOLN LISP  may be used to determine an analytical
  93 closed-form or series solution to the differential equations.  The
  94 latter requires the dependencies to be explicitly exhibited, for
  95 example:  'D(Y(T),T),; so  OPTVAR >  and  OPTVAR LISP  include a
  96 function to perform this conversion.  To use it type*
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  98              CONVERT(ODES, YLIST, T);
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 100 ODES  is a list of ordinary differential equations to be converted,
 101    or a list of labels thereof.
 102 YLIST  is a list of the dependent variables.
 103 T  is the independent variable.
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 105 For convenience, square brackets may be omitted from one-element lists.