tests/rtestsum.mac

   1 kill (all);
   2 done;
   3
   4 (assume_pos_save: assume_pos, assume_pos: true);
   5 true;
   6
   7 /* Known failure: concat (q, k) => gensym
   8  */
   9 sum (concat (q, k), k, a, b);
  10 (b - a + 1) * qk;
  11
  12 /* Known failure: concat (q, k) => gensym
  13  */
  14 product (concat (q, k), k, a, b);
  15 qk ^ (b - a + 1);
  16
  17 /* Known failure: causes asksign to ask an unanswerable question about index variable;
  18  * this is a bug in integrate and/or asksign.
  19 (assume (b > 0, a > 0, b > a), sum (integrate (1/x^k, x, a, b), k, 1, n));
  20 integrate (1/x, x, a, b) + sum (integrate (1/x^k, x, a, b), k, 2, n);
  21  */
  22
  23 /* Known failure: causes asksign to ask an unanswerable question about index variable;
  24  * this is a bug in integrate and/or asksign.
  25 product (integrate (1/x^k, x, a, b), k, 1, n);
  26 integrate (1/x, x, a, b) * product (integrate (1/x^k, x, a, b), k, 2, n);
  27  */
  28
  29 block ([prederror: false], sum(if k < 1 then a else b,k,0,n));
  30 '( 'sum(if k < 1 then a else b,k,0,n));
  31
  32 /* see SF bug report # 625278 */
  33
  34 'sum(binomial(2,2-k)-binomial(2,1-k),k,1,2),simpsum;
  35 2;
  36
  37 'sum(binomial(2,2-k)-binomial(2,1-k),k,1,2),sum;
  38 2;
  39
  40 'sum(binomial(x,2-k)-binomial(x,1-k),k,1,2),simpsum;
  41 x;
  42
  43 'sum(binomial(x,2-k)-binomial(x,1-k),k,1,2),sum;
  44 x;
  45
  46 sum (f(k) + 1, k, 1, n), simpsum;
  47 n + 'sum (f(k), k, 1, n);
  48
  49 /* further examples in the same vein: part of summand depends on index, part doesn't. */
  50
  51 sum (sin(g(j)) - %pi^j + cos(h(k)) - %e^l, j, 1, m), simpsum;
  52 m*cos(h(k)) - m*%e^l + sum (sin(g(j)), j, 1, m) - ((%pi^(m + 1) - %pi)/(%pi - 1));
  53
  54 sum (sum (f(j) + g(k), j, 1, m), k, 1, n), simpsum;
  55 m * 'sum (g(k), k, 1, n) + n * 'sum (f(j), j, 1, m);
  56
  57 sum (sum (f(j) + g(k) - %pi^l + 2, j, 1, m), k, 1, n), simpsum;
  58 m * 'sum (g(k), k, 1, n) + n * 'sum (f(j), j, 1, m) - m*n*%pi^l + 2*m*n;
  59
  60 sum (sum (sum (%pi + %phi - 1, i, 1, n_i), j, 1, n_j), k, 1, n_k);
  61 n_i * n_j * n_k * (%pi + %phi - 1);
  62
  63 sum (sum (sum (f(%pi, i) + g(%phi, j) - h(k), i, 1, n_i), j, 1, n_j), k, 1, n_k);
  64 'sum ('sum ('sum (f(%pi, i) + g(%phi, j) - h(k), i, 1, n_i), j, 1, n_j), k, 1, n_k);
  65
  66 /* see SF bug report # 649428 */
  67
  68 (factsum3 (mt, ej) := sum ((-1)^(k + 1)/(k*mt^k)*sum((1 - l)^k - l^k, l, 1, ej),k,1,inf), t% : taylor (factsum3 (mt, ej), [mt, 0, 3, asymp]));
  69 'sum(1-2*l,l,1,ej)/mt-('sum(1-2*l,l,1,ej)/(2*mt^2))+'sum(-2*l^3+3*l^2-3*l+1,l,1,ej)/(3*mt^3);
  70
  71 %, simpsum, ratsimp;
  72 -((6*ej^2*mt^2-3*ej^2*mt+ej^4+ej^2)/(6*mt^3));
  73
  74 /* Known failure: interaction of taylor and simpsum
  75  */
  76 taylor (factsum3 (mt, ej), [mt, 0, 3, asymp]), simpsum;
  77 -(6*ej^2*mt^2-3*ej^2*mt+ej^4+ej^2)/(6*mt^3);
  78
  79 /* see SF bug report # 740134 */
  80
  81 (foo: i^2, [sum ('foo, i, 0, 2), sum (foo, i, 0, 2), sum (foo, i, 0, n)]);
  82 [3*foo, 5, 'sum (i^2, i, 0, n)];
  83
  84 /* summand is a function which has a side effect --
  85  * outcome here differs from recommendation by Stavros in 740134
  86  */
  87 block ([L:[]], f(i) := (L: append (L, [i]), i), S: sum (f (i), i, 1, 3), [S, L]);
  88 [6, [1, 2, 3]];
  89
  90 sum (integrate (x^i ,x), i, 0, 2);
  91 x^3/3 + x^2/2 + x;
  92
  93 sum (integrate (1/(x^i + 1), x), i, 0, 1);
  94 log(x+1) + x/2;
  95
  96 (f[i](x) := x^i, g[i](x) := x^i, h[i](x) := x^i, 0);
  97 0;
  98
  99 (f[i], g[i](t), 0);
 100 0;
 101
 102 sum (f[i](x), i, 0, n);
 103 'sum (x^i, i, 0, n);
 104
 105 sum (g[i](x), i, 0, n);
 106 'sum (x^i, i, 0, n);
 107
 108 sum (h[i](x), i, 0, n);
 109 'sum (x^i, i, 0, n);
 110
 111 /* see SF bug report # 817521 */
 112
 113 (kill (foo), foo (n):= block([aaa,m], modedeclare([m,n], fixnum), m:n, [ aaa[1], aaa[n], aaa[m], aaa[1]+aaa[2], sum(aaa[i],i,1,m) ] ), foo (2));
 114 [aaa[1],aaa[2],aaa[2],aaa[2]+aaa[1], aaa[2]+aaa[1]];
 115
 116 (translate(foo), 0);
 117 0;
 118
 119 foo (2);
 120 [aaa[1],aaa[2],aaa[2],aaa[2]+aaa[1], aaa[2]+aaa[1]];
 121
 122 /* see SF bug report # 851765 */
 123
 124 (apply (forget, facts ()), assume (i >= a), sum (i, i, a, b), facts ());
 125 [i >= a];
 126
 127 is (i >= a);
 128 true;
 129
 130 (assume (i < 0), sum (abs (i), i, 1, a));
 131 'sum (i, i, 1, a);
 132
 133 (apply (forget, facts ()), 0);
 134 0;
 135
 136 /* see SF bug report # 1007094 */
 137
 138 (u: 'sum((-1/(8*i+6)-1/(8*i+5)-2/(8*i+4)+4/ (8*i+1))/16^i,i,1,a), 0);
 139 0;
 140
 141 u, a=2, simpsum;
 142 1618091/196035840;
 143
 144 %, numer;
 145 0.0082540570132481894$
 146
 147 u, a=2, simpsum, numer;
 148 0.0082540570132481911$
 149
 150 u, a=2, simpsum, bfloat;
 151 8.25405701324819B-3;
 152
 153 /* see SF bug report # 1192935 */
 154
 155 (f(x) := x^2, b: 1/10, Ak: b*f(k*b), sum (Ak, k, 0, 9));
 156 57/200;
 157
 158 /* When A(k) is defined as A(k) := b*f(k*b) instead of define(A(k), b*f(k*b)),
 159  * A(k) evaluates to k^2/n^3 even if n is bound to something;
 160  * this is a consequence of Maxima's evaluation policies:
 161  * rhs of := is not evaluated, and variables (b in this case)
 162  * are evaluated just once.
 163  */
 164 (b:1/n, define (A(k), b*f(k*b)), A(k));
 165 k^2/n^3;
 166
 167 sum (A(k), k, 0, n-1);
 168 ('sum (k^2, k, 0, n-1))/n^3;
 169
 170 sum (A(k), k, 0, n-1), simpsum;
 171 (n+2*(n-1)^3+3*(n-1)^2-1)/(6*n^3);
 172
 173 [''%, sum (A(k), k, 0, n-1)], n=10;
 174 [57/200, 57/200];
 175
 176 (B(k) := k*f(k*b), B(k));
 177 k^3/n^2;
 178
 179 sum (B(k), k, 0, n-1), simpsum;
 180 ((n-1)^4 + 2*(n-1)^3 + (n-1)^2) / (4*n^2);
 181
 182 /* see SF bug report # 1363411 */
 183
 184 (kill (f), 'sum(1+f(k),k,1,2)), simpsum;
 185 2 + f(1) + f(2);
 186
 187 is(equal(block([gcd:subres], ratsimp((-x^3+1)/(2*x^5+2) + (-sqrt(5)+5)/(20*x^2+(-10*sqrt(5)-10)*x+20))),
 188          block([gcd:spmod],  ratsimp((-x^3+1)/(2*x^5+2) + (-sqrt(5)+5)/(20*x^2+(-10*sqrt(5)-10)*x+20)))));
 189 true;
 190
 191 /* General tests from here on */
 192
 193 sum (x, x, p, p + 2);
 194 p + (p + 1) + (p + 2);
 195
 196 product (x, x, p, p + 2);
 197 p * (p + 1) * (p + 2);
 198
 199 sum (x, x, %i, %i + 2);
 200 %i + (%i + 1) + (%i + 2);
 201
 202 product (x, x, %i, %i + 2);
 203 %i * (%i + 1) * (%i + 2);
 204
 205 sum (imagpart (1 + %i*k), k, 1, n), simpsum;
 206 (n^2 + n)/2;
 207
 208 product (imagpart (1 + %i*k), k, 1, n), simpproduct;
 209 n!;
 210
 211 (g(x) := q(x^2), sum (g(k), k, 1, n));
 212 'sum (q (k^2), k, 1, n);
 213
 214 (g(x) := q(x^2), product (g(k), k, 1, n));
 215 'product (q (k^2), k, 1, n);
 216
 217 sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
 218 'sum (1/(k + 1), k, 1, n);
 219
 220 product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
 221 'product (1/(k + 1), k, 1, n);
 222
 223 (kill(b), sum ('concat (q, k), k, a, b));
 224 'sum ('concat (q, k), k, a, b);
 225
 226 sum ('concat (q, k), k, a, b), nouns, a=1, b=5;
 227 q5 + q4 + q3 + q2 + q1;
 228
 229 product ('concat (q, k), k, a, b);
 230 'product ('concat (q, k), k, a, b);
 231
 232 product ('concat (q, k), k, a, b), nouns, a=1, b=5;
 233 q5 * q4 * q3 * q2 * q1;
 234
 235 (assume (n>= 1), sum (if k <= n then a else b, k, 1, n));
 236 a * n$
 237
 238 product (if k <= n then a else b, k, 1, n);
 239 a ^ n$
 240
 241 sum (sin (%pi * k), k, 0, nn);
 242 0$
 243
 244 product (cos (2 * %pi * k), k, 0, nn);
 245 1$
 246
 247 sum (lambda ([x], x^i), i, 1, 3);
 248 lambda ([x], x) + lambda ([x], x^2) + lambda ([x], x^3);
 249
 250 sum (k: k^2, k, 1, 3);
 251 14;
 252
 253 sum (a, k, inf, minf);
 254 0;
 255
 256 (assume (i < 0, j < 0, n > 0), sum(sum(abs(i) + abs(j),i,1,j),j,1,n));
 257 'sum ('sum (i + j, i, 1, j), j, 1, n);
 258
 259 sum (sum (sqrt (i + j), i, 1, j), j, 1, n), simpsum;
 260 'sum ('sum (sqrt (i + j), i, 1, j), j, 1, n);
 261
 262 sum (1/k, k, rat(1), rat(n));
 263 'sum (1/k, k, 1, n);
 264
 265 sum (taylor (x^i, x, 0, 5), i, 0, 5);
 266 ''(taylor (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1,x,0,5));
 267
 268 (i: 888, sum (lambda ([i], i^2), i, 1, 3));
 269 3 * lambda ([i], i^2);
 270
 271 sum (lambda ([i], i^2), i, 1, n);
 272 n * lambda ([i], i^2);
 273
 274 (f(x) := sum (x, i, 1, 3), f(-x));
 275 -3*x;
 276
 277 (ak : k^2,  g(a,n) := sum(a,k,1,n), g(ak, 5));
 278 55;
 279
 280 (translate (g), g(ak,5));
 281 55;
 282
 283 sum (integrate (x^i, x), i, 0, n);
 284 'sum (x^(i+1) / (i+1), i, 0, n);
 285
 286 (assume (k < 0), assume (0 < n, m > n), sum (sqrt (k^2), k, n, m));
 287 'sum (k, k, n, m);
 288
 289 (assume (i >= n_1, i <= n_2), sum (z(i), i, n_1, n_2));
 290 'sum (z(i), i, n_1, n_2);
 291
 292 block ([prederror: false], [is (i >= n_1), is (i <= n_2)]);
 293 [true, true];
 294
 295 /* some examples adapted from describe("sum") */
 296
 297 (old_facts: facts (), foo: 42, bar: 12 + exp(7), baz: 1/quux, 0);
 298 0;
 299
 300 sum (foo^2, foo, 1, 7);
 301 140;
 302
 303 sum (aa[bar], bar, 1, 7);
 304 aa[7] + aa[6] + aa[5] + aa[4] + aa[3] + aa[2] + aa[1];
 305
 306 sum (aa(baz), baz, 1, 7);
 307 aa(7) + aa(6) + aa(5) + aa(4) + aa(3) + aa(2) + aa(1);
 308
 309 sum (aa(foo), foo, 1, n);
 310 'sum (aa(foo), foo, 1, n);
 311
 312 sum (2^bar + bar^2, bar, 0, n), simpsum;
 313 2^(n + 1) + (2*n^3 + 3*n^2 + n)/6 - 1;
 314
 315 sum (1/3^baz, baz, 1, inf), simpsum;
 316 1/2;
 317
 318 sum (foo^2, foo, 1, 4) * sum (1/foo^2, foo, 1, inf), simpsum;
 319 5*%pi^2;
 320
 321 (gg(bar) := 1/bar^2, sum (gg(bar)^2, bar, 1, inf));
 322 sum (1/bar^4, bar, 1, inf);
 323
 324 sum (gg(baz)^2, baz, 1, inf), simpsum;
 325 %pi^4/90;
 326
 327 [is (foo = 42), is (bar = 12 + exp(7)), is (baz = 1/quux)];
 328 [true, true, true];
 329
 330 (new_facts: facts(), is (sort (old_facts) = sort (new_facts)));
 331 true;
 332
 333 /* redo all of the tests, this time with product */
 334
 335 product (lambda ([x], x^i), i, 1, 3);
 336 lambda ([x], x) * lambda ([x], x^2) * lambda ([x], x^3);
 337
 338 product (k: k^2, k, 1, 3);
 339 36;
 340
 341 product (a, k, inf, minf);
 342 1;
 343
 344 (assume (i < 0, j < 0, n > 0), product(product(abs(i) + abs(j),i,1,j),j,1,n));
 345 'product ('product (i + j, i, 1, j), j, 1, n);
 346
 347 product (1/k, k, rat(1), rat(n));
 348 'product (1/k, k, 1, n);
 349
 350 product (taylor (x^i, x, 0, 5), i, 0, 5);
 351 ''(taylor (x^15,x,0,15));
 352
 353 (i: 888, product (lambda ([i], i^2), i, 1, 3));
 354 (lambda ([i], i^2))^3;
 355
 356 product (lambda ([i], i^2), i, 1, n);
 357 lambda([i],i^2)^n;
 358
 359 (f(x) := product (x, i, 1, 3), f(-x));
 360 -x^3;
 361
 362 (f(x) := x^2, b: 1/10, Ak: b*f(k*b), product (Ak, k, 1, 9));
 363 (9!)^2/1000^9;
 364
 365 (A(k) := k*f(k*b), b:1/n, A(k));
 366 k^3/n^2;
 367
 368 product (A(k), k, 0, n-1);
 369 ('product (k^3/n^2, k, 0, n-1));
 370
 371 (assume (n > 0, m > n), ev (product (k, k, n, m), simpproduct));
 372 m!/(n - 1)!;
 373
 374 (ak : k^2,  g(a,n) := product(a,k,1,n), g(ak, 5));
 375 (5!)^2;
 376
 377 (translate (g), g(ak,5));
 378 (5!)^2;
 379
 380 /* multiplicand is a function which has a side effect */
 381
 382 block ([L:[]], f(i) := (L: append (L, [i]), i), S: product (f (i), i, 1, 3), [S, L]);
 383 [6, [1, 2, 3]];
 384
 385 product (integrate (x^i ,x), i, 0, 2);
 386 x^3/3 * x^2/2 * x;
 387
 388 product (integrate (1/(x^i + 1), x), i, 0, 1);
 389 log(x+1) * x/2;
 390
 391 (f[i](x) := x^i, g[i](x) := x^i, h[i](x) := x^i, 0);
 392 0;
 393
 394 /* reference f[i] and g[i] -- see 740134 for the effect this has on previous defn of sum */
 395
 396 (f[i], g[i](t), 0);
 397 0;
 398
 399 product (f[i](x), i, 0, n);
 400 'product (x^i, i, 0, n);
 401
 402 product (g[i](x), i, 0, n);
 403 'product (x^i, i, 0, n);
 404
 405 product (h[i](x), i, 0, n);
 406 'product (x^i, i, 0, n);
 407
 408 product (integrate (x^i, x), i, 0, n);
 409 'product (x^(i+1) / (i+1), i, 0, n);
 410
 411 (assume (k < 0), assume (0 < n, m > n), ev (product (sqrt (k^2), k, n, m), simpproduct));
 412 m!/(n - 1)!;
 413
 414 (assume (i >= n_1, i <= n_2), product (z(i), i, n_1, n_2));
 415 'product (z(i), i, n_1, n_2);
 416
 417 block ([prederror: false], [is (i >= n_1), is (i <= n_2)]);
 418 [true, true];
 419
 420 /* some examples adapted from describe("sum") */
 421
 422 (old_facts: facts (), foo: 42, bar: 12 + exp(7), baz: 1/quux, 0);
 423 0;
 424
 425 product (foo^2, foo, 1, 7);
 426 (7!)^2;
 427
 428 product (aa[bar], bar, 1, 7);
 429 aa[7] * aa[6] * aa[5] * aa[4] * aa[3] * aa[2] * aa[1];
 430
 431 product (aa(baz), baz, 1, 7);
 432 aa(7) * aa(6) * aa(5) * aa(4) * aa(3) * aa(2) * aa(1);
 433
 434 product (aa(foo), foo, 1, n);
 435 product (aa(foo), foo, 1, n);
 436
 437 product (2^bar + bar^2, bar, 0, n), simpsum;
 438 product (2^bar + bar^2, bar, 0, n);
 439
 440 product (1/3^baz, baz, 1, inf), simpsum;
 441 product (1/3^baz, baz, 1, inf);
 442
 443 product (foo^2, foo, 1, 4) * product (1/foo^2, foo, 1, inf), simpsum;
 444 (4!)^2 * 'product (1/'foo^2, 'foo, 1, inf);
 445
 446 (gg(bar) := 1/bar^2, product (gg(bar)^2, bar, 1, inf));
 447 'product (1/'bar^4, 'bar, 1, inf);
 448
 449 product (gg(baz)^2, baz, 1, inf), simpsum;
 450 'product (1/'baz^4, 'baz, 1, inf);
 451
 452 [is (foo = 42), is (bar = 12 + exp(7)), is (baz = 1/quux)];
 453 [true, true, true];
 454
 455 (new_facts: facts(), is (sort (old_facts) = sort (new_facts)));
 456 true;
 457
 458 /*---- new tests from bw ------*/
 459
 460 sum(0,i,a,b);
 461 0$
 462
 463 sum(0,i,minf,inf);
 464 0$
 465
 466 sum(0,i,42,inf);
 467 0$
 468
 469 sum(sqrt(3),i,0,inf);
 470 inf$
 471
 472 sum(sqrt(3),i,-1932,inf);
 473 inf$
 474
 475 sum(5,i,minf, inf);
 476 inf$
 477
 478 sum(-sqrt(3),i,0,inf);
 479 minf$
 480
 481 sum(sqrt(3),i,1,3);
 482 3 * sqrt(3)$
 483
 484 sum(sqrt(3),i,-1,1);
 485 3 * sqrt(3)$
 486
 487 sum(p(i + 1) - p(i),i,1,5);
 488 p(6) - p(1)$
 489
 490 product(1,i,a,b);
 491 1$
 492
 493 product(1,i,minf,inf);
 494 1$
 495
 496 product(1,i,-42,inf);
 497 1$
 498
 499 product(%pi,i,1,3);
 500 %pi^3$
 501
 502 product(%pi,i,-1,1);
 503 %pi^3$
 504
 505 product(%pi,i,0,inf);
 506 inf$
 507
 508 product(%pi - 3,i,0,inf);
 509 0$
 510
 511 product(%pi - 3,i,minf,inf);
 512 0$
 513
 514 product(-%pi,i,0,inf);
 515 infinity$
 516
 517 product(0,i,0,n);
 518 0$
 519
 520 product(-%pi,i,minf,inf);
 521 infinity$
 522
 523 product((1 + %i)/sqrt(2),k,1,inf);
 524 und$
 525
 526 product(-1,k,1,inf);
 527 und$
 528
 529 product(a,i,0,inf);
 530 'product(a,i,0,inf);
 531
 532 product(p(i + 1) / p(i),i,1,5);
 533 p(6) / p(1)$
 534
 535 sum(lambda([x],x^i),i,1,3);
 536 lambda([x],x) + lambda([x],x^2) + lambda([x],x^3);
 537
 538 product(lambda([x],x^i),i,1,3);
 539 lambda([x],x) * lambda([x],x^2) * lambda([x],x^3);
 540
 541 sum([1,k],k,1,5);
 542 [5,15];
 543
 544 sum([1,k],k,1,n),simpsum;
 545 [n, (n^2 + n)/2];
 546
 547 (old_facts : facts(),0);
 548 0$
 549
 550 errcatch(sum(1/k,k,-1,1));
 551 [];
 552
 553 (new_facts: facts(), is (sort (old_facts) = sort (new_facts)));
 554 true;
 555
 556 (old_facts : facts(),0);
 557 0$
 558
 559 errcatch(product(1/k,k,-1,1));
 560 [];
 561
 562 (new_facts: facts(), is (sort (old_facts) = sort (new_facts)));
 563 true;
 564
 565 sum(diff(log(x),x,k),k,1,2);
 566 1/x - 1/x^2$
 567
 568 product(diff(log(x),x,k),k,1,2);
 569 -1/x^3;
 570
 571 sum(x^k * at(diff(sin(x),x,k)/k!,x=0),k,0,5) - taylor(sin(x),x,0,5);
 572 ''(taylor(0,x,0,5));
 573
 574 product(%i-x,k,1,inf);
 575 'product(%i-x,k,1,inf);
 576
 577 sum(%i,k,0,-1);
 578 0$
 579
 580 sum(%i,k,inf,minf);
 581 0$
 582
 583 sum(%i,k, 0, minf);
 584 0$
 585
 586 product(%i,k,0,-1);
 587 1$
 588
 589 product(%i,k,inf,minf);
 590 1$
 591
 592 product(%i,k, 0, minf);
 593 1$
 594
 595 sum(p,p,p,p);
 596 p$
 597
 598 product(p,p,p,p);
 599 p$
 600
 601 sum(k,k,p,p+1);
 602 2*p+1$
 603
 604 sum(k,k,p,p-1);
 605 0$
 606
 607 sum(k,k,%i,%i+1);
 608 2*%i + 1$
 609
 610 product(k,k,%i,%i+1);
 611 %i * (%i + 1)$
 612
 613 product(k,k,p,p+1);
 614 p*(p+1)$
 615
 616 product(k,k,p,p-1);
 617 1$
 618
 619 sum(k,k,1,entier(4/3));
 620 1$
 621
 622 sum(k,k,entier(4/3),1);
 623 1$
 624
 625 sum(a,k,entier(4/3),entier(5/2));
 626 2*a$
 627
 628 product(k,k,1,entier(4/3));
 629 1$
 630
 631 product(k,k,entier(4/3),1);
 632 1$
 633
 634 product(a,k,entier(4/3),entier(5/2));
 635 a^2$
 636
 637 sum(q(k),k,n^2 + 1,-n^2 - 1); /* It's an empty sum */
 638 0$
 639
 640 product(q(k),k,n^2 + 1,-n^2 - 1);
 641 1$
 642
 643 sum(concat(q,k),k,1,3);
 644 q1 + q2 + q3$
 645
 646 (s : sum('concat(q,k),k,1,n),0);
 647 0$
 648
 649 (s : subst(n=3,s), ev(s,nouns));
 650 q1 + q2 + q3$
 651
 652 sum(product(concat(q,i),i,1,j),j,1,3);
 653 q1 + q1 * q2 + q1 * q2 * q3$
 654
 655 product(concat(q,k),k,1,3);
 656 q1 * q2 * q3$
 657
 658 (s : product('concat(q,k),k,1,n),0);
 659 0$
 660
 661 (s : subst(n=3,s), ev(s,nouns));
 662 q1 * q2 * q3$
 663
 664 (a : k^2,0);
 665 0$
 666
 667 sum(realpart(a + %i * k),k,1,3);
 668 14$
 669
 670 (assume(k < 0),0);
 671 0$
 672
 673 sum(sum(abs(k),k,1,n),n,1,m);
 674 sum(sum(k,k,1,n),n,1,m)$
 675
 676 sum(sum(k,k,1,i),i,1,n),simpsum,ratsimp;
 677 ''(ratsimp(n^3/6+n^2/2+n/3))$
 678
 679 sum(sum(abs(k),k,1,n) + sum(abs(k),k,1,n),n,1,m);
 680 2 * sum(sum(k,k,1,n),n,1,m)$
 681
 682 (forget(k < 0),0);
 683 0$
 684
 685 (remvalue(a,b),0);
 686 0$
 687
 688 sum(if k < 1 then a else b,k,0,2);
 689 a + 2*b$
 690
 691 block ([prederror : true], sum(if k < 1 then a else b,k,0,2));
 692 a + 2*b$
 693
 694 sum(1/3^k,k,1,inf),simpsum;
 695 1/2$
 696
 697 sum(3^-i,i,1,inf),simpsum;
 698 1/2$
 699
 700 (kill(x), assume(abs(x)-1 < 0));
 701 [abs(x) < 1];
 702
 703 sum(x^k,k,0,inf),simpsum;
 704 1/(1-x)$
 705
 706 (forget(abs(x) - 1 < 0),0);
 707 0$
 708
 709 /*--- A few challenging sums ----*/
 710
 711 (assume (n >= 1), sum (if k <= n then a else b, k, 1, n));
 712 a * n$
 713
 714 (declare(nn,integer), sum(sin(%pi * k),k,0,nn));
 715 0$
 716
 717 sum(sin(x),x,1/2,1/2 + nn);
 718 'sum(sin(x),x,1/2,1/2 + nn);
 719
 720 remove (nn, integer);
 721 done;
 722
 723 (assume_pos: assume_pos_save, apply (forget, facts ()), 0);
 724 0;
 725
 726 nusum ((n - 1)*(n - 1)!, n, 1, n);
 727 n! - 1;
 728
 729 nusum (n!, n, 1, n);
 730 'sum (n!, n, 1, n);
 731
 732 nusum ((2*m)!/(m!*(m + 1)!), m, 0, n);
 733 'sum ((2*m)!/(m!*(m + 1)!), m, 0, n);
 734
 735
 736 /*--- A test for sumcontract ---*/
 737
 738 sumcontract(sum(k,k,1,n) + sum(k^2, k, 1, n));
 739 sum(k^2+k,k,1,n);
 740
 741 /* Bug ID: 2770575 - rtestsum test 226
 742  * This test simplifies correctly after revision 1.12 of sumcon.lisp.
 743  */
 744 sumcontract(sum(k, k, 1, n) + sum(k, k, 1, n+1));
 745 n+2*sum(k,k,1,n)+1;
 746
 747 /* Tests for bug report [ 1497706 ] sum(1/k^2,k,2,inf), simpsum; */
 748
 749 /* sum (1/k^2, ...) not simplified unless specifically requested */
 750 (sum (1/k^2, k, 1, inf), [op (%%), args (%%)]);
 751 [''(nounify (sum)), [1/k^2, k, 1, inf]];
 752
 753 sum (1/k^2, k, 1, inf), simpsum;
 754 %pi^2/6;
 755
 756 /* this is the case cited in the bug report */
 757 sum (1/k^2, k, 2, inf), simpsum;
 758 %pi^2/6 - 1;
 759
 760 sum (1/k^2, k, 1, 9);
 761 9778141/6350400;
 762
 763 sum (1/k^2, k, 10, inf), simpsum;
 764 %pi^2/6 - 9778141/6350400;
 765
 766 sum (1/k^4, k, 1, 5);
 767 14001361/12960000;
 768
 769 sum (1/k^4, k, 6, inf), simpsum;
 770 %pi^4/90 - 14001361/12960000;
 771
 772 sum (1/k^7, k, 1, inf), simpsum;
 773 zeta (7);
 774
 775 sum (1/k^7, k, 1, 3);
 776 282251/279936;
 777
 778 sum (1/k^7, k, 4, inf), simpsum;
 779 zeta (7) - 282251/279936;
 780
 781 /* Tests for bug report [ 1550985 ] niceindices
 782  * Test the cases mentioned in the bug report & some others for good measure
 783  */
 784
 785 (reset (niceindicespref), 0);
 786 0;
 787
 788 niceindices (sum (1/kk, kk, 1, n) - sum (1/ii, ii, 1, n));
 789 0;
 790
 791 niceindices (sum (1/k, k, 1, n) - sum(1/i, i, 1, n));
 792 0;
 793
 794 niceindices (sum (F(foo), foo, 1, inf));
 795 'sum (F(i), i, 1, inf);
 796
 797 (niceindicespref : '[foo, bar, baz, quux], 0);
 798 0;
 799
 800 niceindices (sum (1/kk, kk, 1, n) - sum (1/ii, ii, 1, n));
 801 0;
 802
 803 niceindices (sum (1/k, k, 1, n) - sum(1/i, i, 1, n));
 804 0;
 805
 806 niceindices (sum (F(foo), foo, 1, inf));
 807 'sum (F(foo), foo, 1, inf);
 808
 809 niceindices (product (sum (product (sum (product (m*F(i) + cos(G(j))^k/sin(l), m, 1, n5), l, 1, n4), k, 1, n3), j, 1, n2), i, 1, n1));
 810 'product ('sum ('product ('sum ('product (foo*F(foo0) + cos(G(quux))^baz/sin(bar), foo, 1, n5), bar, 1, n4), baz, 1, n3), quux, 1, n2), foo0, 1, n1);
 811
 812 niceindices (sum (sum (foo/foo0, foo, 1, n), foo0, 1, m));
 813 ('sum (1/foo, foo, 1, m)) * 'sum (foo, foo, 1, n);
 814
 815 niceindices (sum (sum (1/(foo + foo0), foo, 1, n), foo0, 1, m));
 816 'sum ('sum (1/(foo + bar), foo, 1, n), bar, 1, m);
 817
 818 (reset (niceindicespref), 0);
 819 0;
 820
 821 /* Tests for bashindices, which used to not transform all indices in nested
 822  * sums and products (only the outermost)
 823  */
 824
 825 (reset (gensumnum), 0);
 826 0;
 827
 828 bashindices (sum (product (sum (F (l, m, n), l, 0, m), m, 0, n), n, 0, N));
 829 'sum ('product ('sum (F (j1, j2, j3), j1, 0, j2), j2, 0, j3), j3, 0, N);
 830
 831 (reset (gensumnum), 0);
 832 0;
 833
 834 /* Test for bug report [ 1552710 ] product(sum(f(i),i,1,inf),j,1,inf) => inf (wrong) */
 835
 836 /* Since sum(f(i), i, 1, inf) is free of j, another result
 837  * such as limit(sum(f(i), i, 1, inf)^n, n, inf) would be OK, too.
 838  * In any event, inf (observed in the bug report) is not OK.
 839  */
 840 (kill(f), block ([x : product (sum (f(i), i, 1, inf), j, 1, inf)], block ([simp : false], is (x = 'product ('sum (f(i), i, 1, inf), j, 1, inf)))));
 841
 842 true;
 843
 844 /* Test for bug reported by Amit Aronovitch to mailing list 2006/01/06
 845  */
 846
 847 (kill(f), f(x) := sum (x^n/n!, n, 0, inf), f(2*x));
 848 'sum (2^n*x^n/n!, n, 0, inf);
 849
 850
 851 /* Test for intosum */
 852
 853 intosum(2*sum(k,k,1,inf));
 854 sum(2*k,k,1,inf);
 855
 856 /* correct a bug in SUBST-IF-NOT-FREEOF (src/asum.lisp):
 857  * array flag in CAR was lost before, but it's OK now
 858  */
 859 (kill (a, i), x : a[i], sum (x, i, 1, 3));
 860 a[1] + a[2] + a[3];
 861
 862 /* Restore treatment of definite summations as it was before summation
 863  * revisions of December 2005: simplify definite summation to explicit
 864  * sum only if simpsum is true.
 865  */
 866
 867 (kill (f), sum (f(i), i, 1, 3));
 868 f(1) + f(2) + f(3);
 869
 870 'sum (f(i), i, 1, 3);
 871 'sum (f(i), i, 1, 3);
 872
 873 'sum (f(i), i, 1, 3), simpsum;
 874 f(1) + f(2) + f(3);
 875
 876 /* (analogous tests for product) */
 877
 878 product (f(i), i, 1, 3);
 879 f(1)*f(2)*f(3);
 880
 881 'product (f(i), i, 1, 3);
 882 'product (f(i), i, 1, 3);
 883
 884 'product (f(i), i, 1, 3), simpproduct;
 885 f(1)*f(2)*f(3);
 886
 887 /* Differentiate wrt a subscripted symbol in a summation.
 888  * Should work the same as for an ordinary symbol.
 889  */
 890 (kill (x, a, a1), 0);
 891 0;
 892
 893 diff ('sum (sin (a1 * x[i]), i, 1, n), a1);
 894 'sum (x[i] * cos (a1 * x[i]), i, 1, n);
 895
 896 diff ('sum (x[i]^a1, i, 1, n), a1);
 897 'sum (x[i]^a1 * log(x[i]), i, 1, n);
 898
 899 diff ('sum (sin (a[1] * x[i]), i, 1, n), a[1]);
 900 'sum (x[i] * cos (a[1] * x[i]), i, 1, n);
 901
 902 diff ('sum (x[i]^a[1], i, 1, n), a[1]);
 903 'sum (x[i]^a[1] * log(x[i]), i, 1, n);
 904
 905 /* Feature request 1848704: no way to convert log(product(...)) to sum(log(...)...)
 906  */
 907
 908 (kill (u, a, x, T), 0);
 909 0;
 910
 911 log (product (u[k], k, 1, n));
 912 log (product (u[k], k, 1, n));
 913
 914 log (product (u[k], k, 1, n)), logexpand=true;
 915 log (product (u[k], k, 1, n));
 916
 917 log (product (u[k], k, 1, n)), logexpand=all;sum (log (u[k]), k, 1, n);
 918
 919 log (product (u[k], k, 1, n)), logexpand=super;
 920 sum (log (u[k]), k, 1, n);
 921
 922 log (product (a*%e^x(i), i, 1, T));
 923 log (product (a*%e^x(i), i, 1, T));
 924
 925 log (product (a*%e^x(i), i, 1, T)), logexpand=all;
 926 /* Yields sum(const + ...) instead of const*T + sum(...)
 927  * since sum is not known to be linear by default.
 928  * Change this result if default ever changes.
 929  */
 930 sum (log(a) + x(i), i, 1, T);
 931
 932 /* bug reported to mailing list 2008-04-17:
 933  * simpsum causes two evaluations of summand, should be only one
 934  */
 935 (bar (x, y) := sum (F (i, x, y), i, 1, n),
 936  ev (bar (y, x), simpsum=false));
 937 'sum (F (i, y, x), i, 1, n);
 938
 939 ev (bar (y, x), simpsum=true);
 940 'sum (F (i, y, x), i, 1, n);
 941
 942 /* original problem */
 943
 944 (kill (all),
 945  geom(x,m,n):= (x^m-x^(n+1))/(1-x),
 946  B(s,sp):=-phi[1](s)*phi[1](s+sp)*phi[0](s+sp)/(1-phi[1](s+sp)*phi[0](s +sp))
 947  +(1-phi[1](s))*sum((phi[1](s)*phi[0](s))^n*(
 948      geom( (phi[0](s+sp)*phi[1](s+sp))/(phi[0](s)*phi[1](s)), 1, n-1 )
 949      -phi[1](s+sp)/phi[1](s)
 950      *geom((phi[0](s+sp)*phi[1](s+sp))/(phi[0](s)*phi[1](s)), 0, n-1))
 951    , n , 1, inf ),
 952  A(s):=phi[1](s)*(1+phi[0](s))/(1-phi[1](s)*phi[0](s)),
 953  C(s,sp):=A(s+sp)+B(s,sp)+B(sp,s),
 954  0);
 955 0;
 956
 957 (expr_1 : ev (C (s, sp), simpsum=false),
 958  expr_2 : ev (C (s, sp), simpsum=true),
 959  is (expr_1 = expr_2));
 960 true;
 961
 962 (expr_1 : ev (C (sp, s), simpsum=false),
 963  expr_2 : ev (C (sp, s), simpsum=true),
 964  is (expr_1 = expr_2));
 965 true;
 966
 967 is (sublis ([s=sp, sp=s], C (s, sp)) = C (s, sp)), simpsum;
 968 true;
 969
 970 is (sublis ([s=sp, sp=s], C (sp, s)) = C (sp, s)), simpsum;
 971 true;
 972
 973 is (C (sp, s) = C (s, sp)), simpsum;
 974 true;
 975
 976 /* Tests for fbino in combin.lisp */
 977 sum(binomial(2*n-k,k), k, 0, n), simpsum;
 978 fib(2*n+1);
 979
 980 sum(binomial(n-k,k), k, 1, n), simpsum;
 981 fib(n+1)-1;
 982
 983 (assume(n>1), 0);
 984 0;
 985
 986 sum(binomial(n-k,k+1), k, 1, n-1), simpsum;
 987 fib(n+2)-n-1;
 988
 989 sum(binomial(2*n,2*k), k, 0, n), simpsum;
 990 2^(2*n-1);
 991
 992 sum(binomial(n,2*k+1), k, 0, n), simpsum;
 993 2^(n-1);
 994
 995 sum(binomial(n,2*k), k, 0, n), simpsum;
 996 2^(n-1);
 997
 998 sum(binomial(n,2*k), k, 1, n), simpsum;
 999 2^(n-1)-1;
1000
1001 sum(binomial(n+1,k), k, 1, n), simpsum;
1002 2^(n+1)-2;
1003
1004 sum(binomial(n,k), k, -1, n+1), simpsum;
1005 2^n;
1006
1007 sum(binomial(t+i,t),i,0,k), simpsum;
1008 binomial(t+k+1,t+1);
1009
1010 /* Because of revision 1.43 of csimp2.lisp binomial(x,x) no longer simplifies
1011  * automatically to 1. The sign must be known not be negative.
1012  * Therefore, we add a fact about the sign of t.
1013  */
1014 (assume(t>0),done);
1015 done;
1016 sum(binomial(t+i,t),i,1,k), simpsum;
1017 binomial(t+k+1,t+1)-1;
1018 (forget(t>0),done);
1019 done;
1020
1021 sum(binomial(t+i,i),i,0,k), simpsum;
1022 binomial(t+k+1,t+1);
1023
1024 (forget(n>1), 0);
1025 0;
1026
1027 /* bug in assume database causes trouble for conditional in summation
1028  * see mailing list 2009-07-29 "Fourier Series using fourie.mac"
1029  */
1030
1031 /* If ever the assume stuff is revised, this next test can go away.
1032  * It's here to ensure the underlying problem is fixed.
1033  */
1034 ?dcomp (1, 1.0);
1035 zero;
1036
1037 (kill (all), assume (xx >= 1), 0);
1038 0;
1039
1040 is (xx > 1);
1041 unknown;
1042
1043 if xx > 1 then aa else bb;
1044 if xx > 1 then aa else bb;
1045
1046 sum (if xx > 1 then aa else bb, xx, 1, 3);
1047 2*aa + bb;
1048
1049 foo : 'sum (if xx > 1 then aa else bb, xx, 1, 3);
1050 'sum (if xx > 1 then aa else bb, xx, 1, 3);
1051
1052 ev (foo, nouns);
1053 2*aa + bb;
1054
1055 foo : sum (if equal (xx, 1) then aa else bb, xx, 1, nn);
1056 'sum (if equal (xx, 1) then aa else bb, xx, 1, nn);
1057
1058 ev (foo, nouns, nn=3);
1059 aa + 2*bb;
1060
1061 (reset(assume_pos),1);
1062 1;