From 9e1ddee0c8cf638805b11fd8e88d4a4189c5072b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Caesar Date: Mon, 23 Nov 2009 22:54:24 +0400 Subject: [PATCH] Important solution fix --- Main.tex | 1 + Solve.tex | 105 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------------------- 2 files changed, 72 insertions(+), 34 deletions(-) diff --git a/Main.tex b/Main.tex index 64f2e7a..ccb0d1c 100644 --- a/Main.tex +++ b/Main.tex @@ -63,6 +63,7 @@ \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newenvironment{equationsset} {\left\{\begin{array}{rcl}} diff --git a/Solve.tex b/Solve.tex index f8cad7c..39d5266 100644 --- a/Solve.tex +++ b/Solve.tex @@ -164,7 +164,7 @@ Y(l_y) = A\sin{\nu l_y} = 0. \label{eq:cauchy} \left\{ \begin{array}{l} - \gamma''(t) + w^2_{m}\gamma(t) = \frac{2\pi c^2}{m}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt},\\ + \gamma''(t) + w^2_{m}\gamma(t) = \frac{2\pi c^2}{m}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt}, ~ 0 \le t \le T; \\ \begin{array}{rcl} \gamma(0) &=& 0,\\ \gamma'(0) &=& -\frac{2k}{\pi m}, @@ -176,50 +176,87 @@ Y(l_y) = A\sin{\nu l_y} = 0. Здесь $U$ представляется в виде обычного ряда Фурье, а не двойного, потому что все коэффициенты в \eqref{func:G} и \eqref{func:phi} равны нулю, если $n \neq 1$. -Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения -\[ +Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения +\begin{equation} +\label{eq:similar} \begin{array}{l} - \gamma''(t) + w^2_{m}\gamma(t) = 0,\\ - \gamma^{0}(t) = A\cos{w_m t} + B\sin{w_mt}. +\gamma''(t) + w^2_{m}\gamma(t) = 0. \end{array} -\] +\end{equation} + +Решение \eqref{eq:similar} не составляет труда: это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, характерное для линейных осцилляторов. Его решение + +\begin{equation} +\label{eq:similar_solution} +\gamma^{0}(t) = C_1 \cos{w_m t} + C_2 \sin{w_m t}, ~ C_1, C_2 \in \R. +\end{equation} + Рассмотрим теперь неоднородную задачу и найдем ее частное решение. Исходя из вида правой части, вид решения будет таким +\begin{equation} +\label{eq:part} +\tilde{\gamma}(t) = D_1 \cos{kt} + D_2 \sin{kt}. +\end{equation} + +Подставим функцию \eqref{eq:part} в уравнение задачи \eqref{eq:cauchy} и получим \[ -\tilde{\gamma}(t) = C\cos{kt} + D\sin{kt}. -\] -Подставим функцию такого вида в уравнение и получим -\[ --k^2C\cos{kt} - k^2 D\sin{kt} + w^2_m C\cos{kt} + w^2_{m} D\cos{kt} = \frac{2\pi c^2}{m}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt}. +-k^2 D_1 \cos{kt} - k^2 D_2 \sin{kt} + w^2_m D_1 \cos{kt} + w^2_{m} D_2 \cos{kt} = \frac{2\pi c^2}{m}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt}. \] + Приравняем коэффициенты при соответствующих функциях и получим систему -$\begin{equationsset} - (w_m^2 - k^2)C & = & 0, \\ - (w_m^2 - k^2)D & = & \frac{2\pi c^2}{m}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right). -\end{equationsset}$ - - -Отсюда $C = 0$, $D = \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)$.\\ -Общее решение выглядит как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного, то есть -\[ -\gamma(t) = A\cos{w_mt} + B\sin{w_mt} + \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt}. -\] -Используем начальные условия и получим систему -\[ +\begin{equation} +\label{eq:sys_temp} +\begin{equationsset} + (w_m^2 - k^2) D_1 & = & 0, \\ + (w_m^2 - k^2) D_2 & = & \frac{2\pi c^2}{m}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right). +\end{equationsset} +\end{equation} + +Отсюда $D_1 = 0$, $D_2 = \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)$. Получаем искомое частное решение. + +\begin{equation} +\label{eq:part_solution} +\tilde{\gamma}(t) = \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt}. +\end{equation} + +Общее решение \eqref{eq:caucy} выглядит как сумма общего решения \eqref{eq:similar_solution} соответствующего однородного уравнения и частного решения \eqref{eq:part_solution} его самого, то есть + +\begin{equation} +\label{eq:cauchy_general_solution} +\gamma(t) = C_1 \cos{w_mt} + C_2 \sin{w_mt} + \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt}. +\end{equation} + +Используем начальные условия и получим +\begin{equation} +\label{eq:sys} \left\{ \begin{array}{l} - A = 0,\\ - w_nB + kD = -\frac{2k}{\pi m} \Rightarrow B = -\frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D \right). + C_1 = 0,\\ + C_2 = -\frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D \right). \end{array} \right. -\] -Таким образом, -\begin{eqnarray*} - \gamma(t) &=& \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt},\\ - U(y, z, t) &=& \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right) \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{\pi m z}{l_z},\\ - E_x(y, z, t) &=& \displaystyle +\end{equation} + +Таким образом, учитывая \eqref{eq:sys} в \eqref{eq:cauchy_general_solution}, получим +\begin{equation} +\label{eq:cauchy_solution} + \gamma(t) = \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt}. +\end{equation} + +Тогда с учётом \eqref{eq:cauchy_solution} \eqref{eq:u-series} запишется так: +\begin{equation} +\label{eq:u_solution} + U(y, z, t) = \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right) \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{\pi m z}{l_z}. +\end{equation} + +Окончательно, выразив $E_x$ из \eqref{eq:changeling}, и подставив туда \eqref{eq:u_solution}, имеем +\begin{equation} +\label{eq:ultimate_solution} + E_x(y, z, t) = \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{2\pi c^2}{m(w_m^2 - k^2)}\left(\frac{4l_y^2 - \lambda^2}{l_y^2\lambda^2} \right)\sin{kt} - \frac{k}{w_m}\left(\frac{2}{\pi m} + D\right)\sin{w_mt} \right) \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{\pi m z}{l_z}\\ - &+& \frac{l_z - z}{l_z} \sin\frac{2\pi c}{\lambda}t \sin\frac{\pi y}{l_y} -\end{eqnarray*} + + \frac{l_z - z}{l_z} \sin\frac{2\pi c}{\lambda}t \sin\frac{\pi y}{l_y}. +\end{equation} + +Это и есть окончательное аналитическое решение исходной задачи \eqref{eq:problem} в виде ряда Фурье. \begin{figure}[!hbtp] \centering -- 2.11.4.GIT