From a7b06b60f855daaf75bd8331c874c6e68c0e021b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Benedikt Sauer Date: Thu, 6 Nov 2008 18:52:10 +0100 Subject: [PATCH] Teil 2 fertig. --- Allgemein/skript.cls | 2 + Topologie 1/2.tex | 260 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 2 files changed, 260 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/Allgemein/skript.cls b/Allgemein/skript.cls index 2f09fcc..bf2c14d 100644 --- a/Allgemein/skript.cls +++ b/Allgemein/skript.cls @@ -14,6 +14,7 @@ \theoremstyle{definition} \newtheorem{dfn}{Definition}[section] \newtheorem{bsp}[dfn]{Beispiel} +\newtheorem{bsps}[dfn]{Beispiele} \theoremstyle{plain} \newtheorem{stz}[dfn]{Satz} @@ -28,6 +29,7 @@ \newcommand{\R}{\menge{R}} \newcommand{\C}{\menge{C}} \newcommand{\N}{\menge{N}} +\newcommand{\Q}{\menge{Q}} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\eps}{\epsilon} diff --git a/Topologie 1/2.tex b/Topologie 1/2.tex index 24f4506..82c607e 100644 --- a/Topologie 1/2.tex +++ b/Topologie 1/2.tex @@ -26,7 +26,6 @@ Notation: X eine Menge, $\mathcal{P}(X)$ die Potenzmenge von X. \end{itemize} \end{dfn} -\newtheorem{bsps}[dfn]{Beispiele} \begin{bsps} \begin{enumerate} \item $(X,d)$ metrischer Raum und sei $\tau_d$ die Menge der offenen @@ -244,4 +243,261 @@ definiert, ähnlich\begin{dfn} Man k"onnte topologische R"aume auch mit $\mdef[A\subset X]{A\text{ abgeschlossen}}$ mit den Punkten des Satzes als Axiomen definieren. \end{bem} -\end{stz} \ No newline at end of file +\end{stz} + +\begin{lem} + \begin{enumerate} + \item Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum, $(Y,\tau_Y)$ Teilraum, dann ist + $A\subset Y$ abgeschlossen bezüglich $\tau_Y$, wenn es $C\subset X$ + abgeschlossen gibt mit $A=C\cup Y$. + \item Ist $Y$ abgeschlossen in $X$, so ist $A\subset Y$ genau dann abgeschlossen + in $Y$, wenn $A$ in $X$ abgeschlossen ist. + \end{enumerate} +\end{lem} + +\begin{dfn} + Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum, $A\subset X$ + \begin{itemize} + \item Der Abschluss von $A$ in $X$ ist die Teilung + \[\overline{A} = \bigcap\mdef[B\subset X]{B \text{ abgeschlossen und } + A\subset B}\] + \item Dass Innere von $A$ in $X$ ist die Teilung + \[A^o = \bigcup\mdef[O\subset X]{O\text{ offen, } O\subset A}\] + \end{itemize} + \begin{bem} + \begin{itemize} + \item $\overline{A}$ abgeschlossen, $A$ abgeschlossen $\Equiv + \overline{A} = A$ + \item $A^o$ offen, $A$ offen $\Equiv A^o = A$ + \end{itemize} + \end{bem} +\end{dfn} + +\begin{stz} + Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $(Y,\tau_Y)$ ein Teilraum und $A\subset Y$ + eine Teilmenge. Dann gilt: + \begin{enumerate} + \item $\overline{A}^Y = \overline{A}^X \cap Y$ + \item $A^{o^X} \cap Y \subset A^{o^Y}$ und $\supset$ genau dann, wenn $Y$ offen. + \end{enumerate} + \begin{proof} + Klar. + \end{proof} +\end{stz} + +\begin{stz} + Den Abschluss $A\subset(X,\tau)$ kann man wie folgt charakterisieren: + \[x\in \overline{A} \Equiv \forall U\in \tau\text{ (oder einer Basis von $\tau$) + mit } x\in U \text{ gilt } U\cap A \neq \emptyset\] +\begin{proof} + \begin{align*} + & x\in\overline{A} \Equiv x\notin + \bigcap \mdef[B\subset X]{B \text{ abgeschlossen, } A\subset B} \\ + \Equiv & \exists B \text{ abgeschlossen, } A\subset B,\ x\in B \\ + \Equiv & \exists U \text{ offen (}U = X\setminus B\text{) mit } x\in U + \text{ und } U\cap A = \emptyset + \end{align*} +\end{proof} +\end{stz} + +\begin{dfn} + Sei $(X,\tau)$ topologischer Raum. $V\subset X$ ist eine Umgebung von $x\in X$, + falls $x\in V^o$ (muss nicht offen sein). + + \begin{bsp} + \begin{enumerate} + \item $(V,\norm{\cdot})$ normierter Raum, dann gilt: + \[\overline{B}_\eps(x) \text{ ist Umgebung von } x\] + \item $\Q\in \R$ eukl., dann gilt: $\overline{\Q}=\R$ + \item $X$ mit der groben Topologie, $A\subset X$ + \[\Rightarrow A^o = \emptyset,\ \overline{A} = X\] + \item $A=\mdef[\frac{1}{n}]{n = 1, \ldots}\subset\R$ eukl., dann gilt + $\overline{A} = \mdef{0} \cup A$ + \end{enumerate} + \end{bsp} +\end{dfn} + +\begin{dfn} + $(X,\tau)$ topologischer Raum, $A\subset X$. $x$ ist ein \emph{Berührungspunkt} + von $A$, falls für jede offene Umgebung $V$ von $x$ gilt: + \[V\setminus \mdef{x}\cap A\neq \emptyset\] + \begin{bsp} + \begin{enumerate} + \item $\overline{B_\eps(x)}$ ist die Menge der Berührungspunkte von + $B_\eps(x)$ im normierten Fall + \item Jedes $x\in\R$ ist Berührpunkt von $\Q$ + \item $X$ grob, dann ist jeder Punkt $x\in X$ ein Berührpunkt von + $\mdef{y}\subset X,\ x\neq y$ + \item $0$ ist der einzige Berührungspunkt von + $A=\mdef[\frac{1}{n}]{n=1,\ldots}$ + \end{enumerate} + \end{bsp} +\end{dfn} + +\begin{stz} + $(X,\tau)$ topologischer Raum, $A\subset X$. Sei $A' = \mdef[x\in X] + {x\text{ berührt } A}$. Dann gilt $\overline{A} = A\cup A'$. + + \begin{krl} + $A\subset (X,\tau)$ ist genau dann abgeschlossen, wenn es alle seine + Berührungspunkte enthält. + \end{krl} +\end{stz} + +\begin{dfn} + $(X,\tau)$, $(Y,\tau')$ topologische Räume, $f:X\to Y$ eine Abbildung. + \begin{itemize} + \item $f$ ist stetig am Punkt $x\in X$ wenn für jede Umgebung von $V$ von + $f(x)$ eine Umgebung $W$ von $x$ existiert mit $f(W)\subset V$ + \item $f$ ist stetig, falls $f^{-1}(U)$ offen für alle $U\subset Y$ offen. + \end{itemize} + \begin{bem} + Im metrischen Fall sind beide Punkte für alle $x\in X$ äquivalent. + \end{bem} + + \begin{bsps} + \begin{enumerate} + \item $(X,\tau)\overset{id}{\to}(X,\tau')$ ist genau dann stetig, wenn + $\tau$ feiner als $\tau'$ ist + \item[bla] Hat $X$ die grobe Topologie, dann ist jede Abbildung + $(Y,\tau')\to(X,\tau)$ stetig + \item Die Inklusion $(Y,\tau_Y)\hookrightarrow (X,\tau)$ von Teilräumen + ist stetig + \item Konstante Abbildungen $X\overset{f}\to Y,\ f(x) = y \forall x\in X$ + sind stetig + \item Sind $f:X\to Y$ und $g: Y\to Z$ stetig, dann ist auch $g\circ f$ + stetig + \item Aus 3. und 5. folgt: $(X,\tau_X)\subset(X,\tau)$ und $f:Y\to Z$ + stetig, dann ist $f\Vert_X$ stetig + \item $Y$ Teilraum von Z, ist $f:X\to Y$ stetig, so ist $f:X\to Z$ stetig + \item $X\overset{f}\to Z$ stetig mit $f(X)\subset Y\subset Z$, so ist + $h:X\to Y$ mit $h(x) = f(x)\ \forall x\in X$ auch stetig + \item Gilt $X = \bigcup_{\alpha\in I}U_\alpha$ mit $U_\alpha\subset X$ + offen, dann ist $f:X\to Y$ offen, genau dann stetig, wenn + $f\Vert_{U_\alpha}$ stetig $\forall\alpha\in I$ ist (\emph{offenes + Klebelemma}) + \end{enumerate} + \end{bsps} +\end{dfn} + +\begin{stz} + Für $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ sind äquivalent: + \begin{itemize} + \item $f$ ist stetig + \item für alle $A\subset X$ gilt $f(\overline{A}) = \overline{f(A)}$ + \item für alle $B\subset Y$ abgeschlossen ist $f^{-1}(B)$ abgeschlossen + \end{itemize} +\end{stz} + +\begin{lem}[abgeschlossenes Klebelemma] + Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $n\in\N$, $A_1,\ldots,A_n$ abgeschlossene + Teilräume von $X$ mit $X=\bigcup_{i=1}^n A_i$. Sei $f:A_i\to(Y,\tau)$ stetig + für $i = 1, \ldots, n$ so dass $f_i\Vert_{A_i\cap A_j}=f_j\Vert_{A_i\cap A_j}$ + für alle $1\leq i, j \leq n$. Dann ist die Abbildung $f : X \to Y$, $f(x) = f_i(x)$ + für $x\in A$ stetig. + \begin{proof} + $B\subset Y$ abgeschlossen. Es gilt: $f^{-1}(B) = \bigcup_{i=1}^n f^{-1}_i(B)$ + abgeschlossen. + \end{proof} + \begin{bem} + Das Lemma gilt nicht allgemein für $\mdef{A_i}_{i\in I}$ mit $I$ unendlich, + z.B. $f:\R\to\R$, $f(0) = 0$, $f(x) = \frac{1}{x}$ für $x\neq 0$. + $A_0 = \mdef{0}$, $A_n = (-\infty,-\frac 1n]\cup[\frac 1n, \infty)$ + abgeschlossen, $\R=\bigcup_{i=0}^\infty A_i$, $f\Vert_{A_i}$ stetig. + \end{bem} +\end{lem} + +\begin{dfn} + $(X,\tau)\in Top$, $\mdef{x_n}_{n\in\N}\subset X$ eine Folge in $X$ und $x\in X$. + Man sagt $x$ ist ein \emph{Limes} von $\mdef{x_n}_{n\in\N}$, falls für jede + Umgebung $V$ von $x$ ein $N\in\N$ existiert mit $n\geq N\Rightarrow x_n\in V$. +\end{dfn} + +\begin{lem} + $(X,\tau)$ ein topologischer Raum, $\mdef{x_n}_{n\in\N}\subset X$ und + $x\in\lim_{n\to\infty}x_n$ + \begin{enumerate} + \item Ist $f:X\to Y$ stetig, so gilt $f(x)\in \lim f(x_n)$ + \item Ist $A\subset X$ eine Teilmenge und $\mdef{x_n}_n \subset A$, dann gilt + $x\in\overline{A}$ + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Ist $V$ eine Umgebung von $f(x)$, dann existiert eine Umgebung + $U$ von $x$ mit $f(U)\subset V$. $\exists N$ mit $x_n\in U\ \forall + n > N$, also $f(x_n)\in f(U)\subset V$ + \item genauso + \end{enumerate} + \end{proof} + \begin{bem} + $(X,\tau)$ topologischer Raum, $\mdef{x_n}_n\subset X$ + \begin{itemize} + \item $\mdef{x_n}_n$ kann verschiedene Limites haben. Ist zum Beispiel + $\tau$ die grobe Topologie. Dann sind alle Punkte von $X$ ein $Limes$ + von $\mdef{x_n}$ + \item Die Umkehrungen des Lemmas gelten nicht.\\ + Ist $f(x) \in \lim f(x_n)$ für alle Folgen $x_n$ mit $x\in\lim x_n$, + dann sagt man $f$ ist \emph{folgenstetig} in $x$ $\nRightarrow$ + stetig in $x$.\\ + Ebenso gilt $x\in\overline{A}$, so ist $x$ nicht notwendigerweise ein + Limes einer Folge in $A\subset X$ + \end{itemize} + \end{bem} +\end{lem} + +\begin{stz} + Seien $(X,\tau)$ und $(Y,\tau')$ topologische Räume, $B'$ (bzw. $S'$) eine Basis + (bzw. Subbasis) von $\tau'$. Sei $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ eine Abbildung. + Dann sind äquivalent: + \begin{itemize} + \item $f$ stetig + \item $f^{-1}(U)$ offen $\forall U\in B'$ + \item $f^{-1}(V)$ offen $\forall V\in S'$ + \end{itemize} + \begin{proof} + Klar (bla ref) + \end{proof} +\end{stz} + +\begin{dfn} + $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ heißt \emph{Homöomorphismus} (oder eine + \emph{topologische Äquivalenz}), falls + \begin{itemize} + \item $f$ bijektiv + \item sowohl $f$ als auch $f^{-1}$ stetig + \end{itemize} +\end{dfn} + +\begin{dfn} + $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$ heißt + \begin{itemize} + \item \emph{offen}, falls $f(U)\in \tau'\ \forall U\in\tau$ + \item \emph{abgeschlossen}, falls $f(A)$ abgeschlossen für $A\subset X$ + abgeschlossen + \end{itemize} +\end{dfn} + +\begin{lem} + Sei $f:(X,\tau)\to(Y,\tau')$. Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item $f$ ist ein Homöomorphismus + \item $f$ ist bijektiv, stetig und offen + \item $f$ ist bijektiv, stetig und abgeschlossen + \end{enumerate} + \begin{bem} + Eine stetige offene Abbildung muss nicht abgeschlossen sein, umgekehrt auch + nicht. + \end{bem} + \begin{bsps} + \begin{enumerate} + \item Inverse und Verknüpfungen von Homöomorphismen sind wieder + Homöomorphismen + \item $a < b\in\R$, dann sind $(a,b)\subset\R$ und $\R$ homöomorph + (eukl.): + \begin{align} + f:(-1,1)\to\R,\ &f(x) = \frac{x}{1-\norm{x}} \\ + g:(0,1)\to(a,b),\ &g(x) = (b-a)x + a + \end{align} + \end{enumerate} + \end{bsps} +\end{lem} -- 2.11.4.GIT