correcció d'errors en 'tasques.md' (es duplicaven continguts); aprofit per dir que...

[apunts-acces-uib-majors-25-anys-matematiques.git] / 08-apendix.tex

% SPDX-FileCopyrightText: 2023 Xisco Sebastià, Xavier Bordoy
%
% SPDX-License-Identifier: CC-BY-4.0

\chapter{Recordatori de matemàtica elemental}\label{apendix}

Aquí es fa un recordatori d'alguns continguts de Matemàtiques necessaris per llegir de forma fluida els apunts. Es tracta de continguts corresponents a un nivell de secundària obligatòria (ESO).

\section{Operacions amb nombres}

\subsection{Sumes i restes}

Si en una expressió només hi apareixen sumes i restes de nombres sencers, el valor final d'aquesta expressió es calcula de la manera següent:

\begin{enumerate}
\item Se sumen per separat el nombres positius i els nombres negatius.

\item Es resten els resultats de l'apartat anterior i es posa el signe del
que tengui major valor absolut.
\end{enumerate}

\begin{example}
\begin{equation*}
-2+8-15-3+7=15-20=-5
\end{equation*}
\end{example}

\subsection{Producte i quocient de dos nombres}

Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els dos nombres tenen el mateix signe, el resultat del producte o de la divisió és positiu, i si els dos nombres tenen signes diferents, el resultat és negatiu.

\begin{example}
\begin{equation*}
-2\cdot \left( -3\right) =6
\end{equation*}%
\begin{equation*}
20:\left( -4\right) =-5
\end{equation*}
\end{example}

\subsection{Jerarquia d'operacions}

Per a calcular expressions aritmètiques que tenen diverses operacions, s'aplica un ordre en la que certes operacions es calculen abans que unes altres. S'anomena \term{jerarquia d'operacions}\index{jerarquia!d'operacions} a l'ordre en el que s'efectuen les operacions. Aquesta és:

\begin{enumerate}
\item Parèntesis
\item Potències
\item Productes i divisions
\item Sumes i rectes
\end{enumerate}

\begin{example}Calculeu
\begin{equation*}
3 + 4 \cdot 5
\end{equation*}

\bigskip
Per a calcular aquesta expressió, hem de calcular en primer lloc el producte, encara que l'operació no sigui la primera en aparèixer. En posterioritat, calcularíem la suma. Per tant,

\begin{equation*}
\begin{split}
3+4 \cdot 5 & = 3 + 20\\
                    & = 23
\end{split}
\end{equation*}


\end{example}

\begin{example}Calculeu
\begin{equation*}
\left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2
\end{equation*}

En primer lloc, calcularem els parèntesis. S'ha de dir que com que el resultat d'un no influeix al resultat de l'altre, llavors es poden calcular de forma simultània. En general, podem fer això sempre que les subexpressions siguin sumands d'una expressió més general (tècnicament es diuen \term{termes}\index{termes}). Així, calcularíem l'expressió numèrica de la forma:

\begin{equation*}
\begin{split}
\left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2 & = 7 \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(9-10\right) + 4\\
   & = 35 + \frac{1}{2} - (-1) + 4\\
   & = 35 + \frac{1}{2} + 1 +4 \\
   & = 40 + \frac{1}{2} \\
   & = \frac{81}{2}
\end{split}
\end{equation*}

\end{example}


\subsection{Càlcul del mínim comú múltiple}

\begin{definition}[múltiple d'un nombre] Donat dos nombres $a$, $b$, direm que $b$ és un \term{múltiple}\index{múltiple} de $a$ si, i només si, existeix un altre nombre $r$ tal que $a \cdot r = b$ o dit d'altra manera si quan dividim $b$ entre $a$ el reste és 0.
\end{definition}

\begin{example}60 és múltiple de 2 perquè $2 \cdot 30 = 60$.  També és múltiple de 3, 5, 10, 20, 30 i 60. Però $60$ no és múltiple de $40$ perquè $60$ entre $40$ no dóna reste 0.
\end{example}

Es pot fer una llista de {\em tots} els múltiples d'un nombre multiplicant aquest nombre consecutivament per $1$, $2$, etc. Per exemple, els múltiples de $60$ són: $60 \cdot 1 = 60$, $60 \cdot 2 = 120$, $60 \cdot 3 = 180$, etc.

\begin{definition}[mínim comú múltiple] Donats els nombres $a_1, a_2, \ldots, a_r$ el seu \term{mínim comú múltiple}\index{mínim comú múltiple} és el menor de tots els seus múltiples comuns. El mínim comú múltiple s'abreuja mcm.
\end{definition}

\begin{example}\label{exemple-llista-mcm} Els nombres 10 i 12 tenen com a mínim comú múltiple. La raó és que:
\begin{itemize}
\item Els múltiples de 10 són: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, \ldots
\item Els múltiples de 12 són: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \ldots
\end{itemize}
Per tant, els múltiples comuns són $60$, $120$, etc. Llavors $60$ és el menor d'aquests múltiples i, per tant, és el mcm.
\end{example}

Existeixen diversos procediments per a calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:

\begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la llista de múltiples] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
\begin{enumerate}
\item Es llisten els múltiples de cada nombre.
\item Es selecciona el múltiple més petit.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

L'exemple anterior (\autoref{exemple-llista-mcm}) exemplifica aquest procediment.

S'ha de dir que aquest procediment és molt lent, sobretot per nombres grans.

\begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la factorització de nombres] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
\begin{enumerate}
\item Es factoritzen els nombres en factors primers\footnote{La llista de primers és infinita, però els sis primers primers són: 2, 3, 5, 7, 11, 13.}.
\item El mínim comú múltiple s'obté prenent tots els factors elevats al màxim exponent.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

Aquest és el procediment {\em estàndard} per al càlcul del mínim comú múltiple.

\begin{example} Calculeu el mcm de 20, 12 i 100:
\begin{enumerate}
\item Factoritzem els nombres.
\item Per tant, $20 = 2^2 \cdot 5$, $12 = 2^2 \cdot 3$ i $100 = 2^2 \cdot 5^2$.
\item Llavors el mcm és igual a $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{algorithm}[càlcul del mcm de forma ràpida per nombres petits] Aquest algorisme és ràpid sobretot per nombres petits. Si $a$, $b$, $c$ i $d$ són els nombres dels quals volem trobar el mínim comú múltiple, aleshores:
\begin{enumerate}
\item Es selecciona el nombre més gran. Suposem que és $a$.
\item Es generen els seus múltiples.
\item Per a cada múltiple es comprova si aquest és múltiple dels altres nombres, és a dir, si la seva divisió dóna exacte.
\item Si és així, llavors aquest és el mínim comú múltiple. En cas contrari, es genera el múltiple següent de $a$.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

El més usual és que necessitem el mínim comú múltiple per resoldre equacions de primer grau que tenguin fraccions. En aquest cas però no és necessari calcular el mínim comú múltiple. Bastaria calcular un múltiple (vegeu \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}).

\begin{exercise} Calculeu el mínim comú múltiple per als conjunts de nombres següents:

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $20$ i $8$
\item $12$ i $42$
\item $8$ i $12$
\item $12$ i $21$
\item $30$ i $65$
\item $10$ i $12$
\item $20$ i $36$
\item $15$, $20$ i $30$
\item $6$, $8$ i $12$
\item $30$, $45$ i $60$
\item $12$, $18$, $20$ i $32$
\item $17$, $68$ i $34$
\item $10$, $105$ i $22$
\item $25$, $75$ i $200$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 40, \item 84, \item 24, \item 84, \item 390, \item 60, \item 180, \item 60, \item 24, \item 180, \item 1440, \item 68, \item 2310, \item 600 \end{enumerate*} \end{solution*}

\section{Equacions de primer grau}\label{repas-equacions-de-primer-grau}

Per resoldre una \term{equació de primer grau}\index{equació!de primer grau} es segueixen les passes de
l'exemple següent:

\begin{example}
Resol l'equació%
\begin{equation*}
5x-\frac{3x+1}{8}=x+\frac{5x-3}{4}-\frac{3}{2}
\end{equation*}

Resolució:
\begin{enumerate}
\item Primer:
$$\dfrac{5x}{1}-\dfrac{3x+1}{8}=\dfrac{x}{1}+\dfrac{5x-3}{4}-\dfrac{3}{2}$$

\item Segon (càlcul del mcm): $mcm\left( 8,4,2\right) =8$

\item Tercer (reducció a comú denominador):
$$\dfrac{40x}{8}- \dfrac{ 3x+1}{8} =\dfrac{8x}{8}+\dfrac{2\cdot \left(5x-3\right)}{8} -\dfrac{12}{8}$$ 

\item Quart (eliminem els denominadors):
$$40x-\left( 3x+1\right) =8x+2\cdot \left(5x-3\right) -12$$

\item Cinquè (eliminem els parèntesis):
$$40x-3x-1=8x+10x-6-12$$

\item Sisè (transposició de termes):
$$40x-3x-8x-10x=-6-12+1$$ 

\item Setè (operar):
$$19x=-17$$

\item Vuitè (aïllar la incògnita):
$$x=\dfrac{-17}{19}$$
\end{enumerate}

\end{example}

\begin{remark}Normalment es passa del segon al cinquè pas quan es té suficient soltesa.
\end{remark}

\begin{remark}D'altra banda, es pot no calcular el mínim comú múltiple dels denominadors i només calcular-ne {\em un} múltiple. Per exemple es podria calcular el múltiple sorgit de la multiplicació dels denominadors, o sigui, $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$. I realitzar tots els càlculs amb 64 en comptes de 8. L'equació resultant tendria les mateixes solucions, encara que els nombres sorgits (dels passos tercer al vuitè) serien majors.
\end{remark}

\begin{exercise}[equacions senzilles]Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $6x -20 = 60$
\item $10x -4 = 26$
\item $2x +1 = 7 -x$
\item $3x +10 = 22 +x$
\item $8x +4 = 20+4x$
\item $10x -4 = 26 + 6x$
\item $6x + 3 = 15$
\item $6x - 2 + 4x = 7x - 8 + 2x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\frac{4}{3}$, \item 3, \item 2, \item 6, \item 4, \item $\frac{15}{2}$, \item 2, \item $-6$ \end{enumerate*} \end{solution*}

\begin{exercise}[equacions amb parèntesis]Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $-(6x + 20) = 2 - (42 + 2x)$
\item $4(x+2) = 48 - 4x$
\item $10(x-2) = 15(1-x) - 35$
\item $1-(3x+10) = 1 - (14-x)$
\item $6-4(x-2) = -10 - 6(1-x)$
\item $(x+2) - (x+3) = 2 - 3(1-x)$
\item $2x+1 + (2x-3) = 2 + 3(1-x)$
\item $3x+3 + 3(3-x) = -9 (1-2x) -15$
\item $2(x+2) - (x+3) = 1 -3x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 0, \item 1, \item 3, \item 0, \item 1, \item 2, \item 0 \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}[equacions amb denominadors]Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = x+1$
\item $\frac{3x}{2} - \frac{18-3x}{4} = 3x+3$
\item $\frac{10x}{3} + \frac{5x}{2} + \frac{5x}{3} + \frac{5x}{4} = 3500$
\item $\frac{4(x-3)}{9} + \frac{10(x-2)}{3} = \frac{2}{3}$
\item $\frac{1-x}{6} - \frac{x-1}{24} = \frac{3x-1}{8}$
\item $\frac{2x}{3} + \frac{8}{15} - 2x = \frac{1}{3} - \frac{7x}{5}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $6$, \item $-10$, \item $400$, \item $39/17$, \item $4/7$, \item $-3$ \end{enumerate*} \end{solution*}

\section{Extracció de factor comú}\label{annex:factor-comu}

El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues coses:

\begin{example}
\begin{eqnarray*}
-8+12-6+2 &=&2\cdot \left( -4+6-3+1\right) \\
&& \\
-x^{5}+4x^{3}-x^{2} &=&x^{2}\cdot \left( -x^{3}+4x-1\right) \\
&& \\
5x^{6}-10x^{4}-15x^{3} &=&5x^{3}\cdot \left( x^{3}-2x-3\right)
\end{eqnarray*}
\end{example}




\section{Equacions de segon grau}\label{annex:equacions-segon-grau}

Les \term{equacions de segon grau}\index{equacions!de segon grau} són aquelles que involucren una $x^2$. Formalment es formen igualant un polinomi de segon grau a zero (vegeu \autoref{annex:polinomis}).

Les equacions de segon grau són de la forma%
\begin{equation}\label{eq:formula-eq-segon-grau}
ax^{2}+bx+c=0, \text{ amb }a\neq 0
\end{equation}%
La solució d'aquestes equacions es calcula amb la fórmula següent:%
\begin{equation}\label{eq:formula-de-segon-grau}
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
\end{equation}

\begin{example}La solució de l'equació $x^{2}-5x+6=0$ és%
\begin{eqnarray*}
x &=&\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot 6}%
}{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \\
&& \\
&=&\frac{5\pm 1}{2}=\left\{ 
\begin{array}{c}
\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \\ 
\\ 
\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2%
\end{array}%
\right.
\end{eqnarray*}
\end{example}

Les \term{equacions incompletes}\index{equacions!incompletes de segon grau} de segon grau, és a dir, aquelles en les quals $b=0$ o $c=0$ (o tots dos valen zero) es poden resoldre d'una altra manera, encara que també es poden resoldre amb la fórmula de segon grau. Aquí en donem dos exemples (les equacions de segon grau que tenen tots els termes diferents de zero, s'anomenen \term{equacions completes}\index{equacions!completes de segon grau}).

\begin{example}
\begin{equation*}
-3x^{2}+12=0;\text{ }-3x^{2}=-12;\text{ }x^{2}=\frac{-12}{-3}=4;\text{ }%
x=\pm \sqrt{4}=\pm 2
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
\begin{equation*}
2x^{2}-5x=0;\text{ }x\left( 2x-5\right) =0\text{ }\left\{ 
\begin{array}{l}
x=0 \\ 
\\ 
2x-5=0;\text{ }x=\frac{5}{2}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{example}

En general, les equacions de segon grau poden no ser de la forma \eqref{eq:formula-eq-segon-grau}, encara que sempre es poden reduir a aquesta forma.

\begin{example}Resoleu l'equació $-3x^2 -2x + 15 = -15 +2x +2x^2 +x$.

Aquesta equació és equivalent a $-3x^2 -2x + 15 +15 -2x -2x^2 -x = 0$. Sumant els termes semblants, tenim que això és equivalent a $-5x^2 -5x +30 = 0$. Aplicant la fórmula de segon grau \eqref{eq:formula-de-segon-grau}, obtenim que les solucions són $2$ i $-3$.
\end{example}


\begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-2}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $4x^2 + 2x - 4 = -2x +4$
\item $9x^2 - 63 x + 90 = 0$
\item $-x^2 - 3x + 10 = x^2+3x-10$
\item $-2x^2 + 4x -3 = -2x + x^2$
\item $2x^2 + 4x +1 = -1$
\item $2x + 1 = -2 -x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item  $-2$ i $1$, \item $2$ i $5$, \item $-5$ i $2$, \item $1$, \item $-1$, \item no té solució \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-1}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $3x^2 + 2x = 5x -2$
\item $10x - 8x = x^2 -5$
\item $9x - 8 = 7 -x^2$
\item $8x^2 - 2 = 10x^2 -5x$
\item $(x-2)^2 -5 = 10$
\item $3(x+4)^2 = 10$
\item $(x-2)^2 - 8 = 20x$
\item $5(x-1)^2 = 2$
\item $(x-1)^2 = -4$
\item $(x-5)^2 = 5x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item no té solucions, \item  no té solucions, \item $-\frac{9}{2} \pm\frac{\sqrt{141}}{2}$, \item $2$ i $\frac{1}{2}$, \item $2\pm\sqrt{15}$, \item $-4 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$, \item $6 \pm 2\sqrt{37}$, \item $1 \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$, \item no té solució, \item $-\frac{5}{4} \pm 5 \frac{\sqrt{5}}{4}$ \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{remark}Recordeu que $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Això és una \term{identitat notable}\index{identitat notable}, que s'anomena el \term{quadrat d'una suma}\index{quadrat!d'una suma}\footnote{Existeixen altres identitats notables: el \term{quadrat d'una diferència}\index{quadrat!d'una diferència} $(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$ i \term{suma per diferència}\index{suma per diferència} $(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2$ ("suma per diferència, diferència de quadrats").}. De forma pràctica podeu memoritzar la identitat o bé simplement obtenir-la multiplicant $a+b$ per $a+b$, com hem indicat abans.
\end{remark}

\section{Arrels de polinomis}\label{annex:polinomis}

\begin{definition}[monomi]Un \term{monomi}\index{monomi} és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre real i una o diverses lletres. Al nombre se l'anomena \term{coeficient}\index{coeficient!d'un monomi} del monomi; a la part que conté les lletres de l'anomena \term{part literal}\index{part literal d'un monomi}. Les diverses lletres s'anomenen \term{variables}\index{variables}.
\end{definition}

\begin{example}Les expressions següents són monomis:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $5x^3$
\item $2x^2y^5$
\item $-4xy$
\item $\frac{-6}{5}x^4$
\item $6x$
\item $8$
\end{enumerate}
\end{multicols}
En canvi aquestes expressions no són monomis:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\frac{5}{x}$
\item $5x^3\sqrt{y}$
\item $3x^{-2}$
\item $e^x$
\item $\sin x$
\item $\log x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{example}

\begin{definition}[polinomi]Un \term{polinomi}\index{polinomi} és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis. Els monomis que formen part del polinomi s'anomenen \term{termes}\index{termes!d'un polinomi}. Els \term{coeficients}\index{coeficients!d'un polinomi} del polinomi són els coeficients de cada monomi que el formen.
\end{definition} 


Aquí només veurem polinomis d'una variable, usualment $x$, com per exemple $4x^2 - 5x + 2$ o $5x^4 + 2x^2$.

\begin{definition}[grau d'un polinomi]El \term{grau}\index{grau!d'un polinomi} d'un polinomi d'un variable és el major exponent de la variable de cadascun dels seus termes
\end{definition}

\begin{example}El grau del polinomi $4x^5 - 2^3 - 5x + 8$ és 5 i el grau de $x^{10} - 2x^2 - 5x$ és 10.
\end{example}

\begin{definition}[terme independent d'un polinomi]El \term{terme independent} d'un polinomi\index{terme independent!d'un polinomi} és el monomi de grau 0 del polinomi. Pot no tenir-ne.
\end{definition}

\begin{example}El terme independent del polinomi $4x^3- 2x^2 + 5x - 7$ és $-7$; en canvi el polinomi $4x^3 - 2x^2 - 5x$ no en té.
\end{example}

\begin{notation}Els polinomis en una variable $x$, es denoten per $p(x)$, $q(x)$, etc. que es llegeix ``$p$ de $x$'', ``$q$ de $x$'', etc. Així per exemple si $p(x) = 5x^2 - 2x$ i $q(x) = x^2-2x$, tenim que la seva suma és $p(x) + q(x) = 6x^2 - 4x$.
\end{notation}

Les \term{operacions amb polinomis}\index{operacions!de polinomis} bàsiques són:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Suma. Per sumar dos polinomis, es sumen els termes del mateix grau. Així per exemple si $p(x) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7$ i $q(x) = -7x^5 + 3x^4 +6x^3 -x^2 -4x-15$, la seva suma és $p(x) + q(x) = -6x^5 +3x^4 +7x^2 -14x -8$. Aquesta suma es pot fer verticalment:

\begin{equation*}
\begin{tabular}{rrrrrr}
$x^{5}$ &  & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
$-7x^{5}$ & $+3x^{4}$ & $+6x^{3}$ & $-x^{2}$ & $-4x$ & $-15$ \\ \hline
$-6x^{5}$ & $+3x^{4}$ &  & $+7x^{2}$ & $-14x$ & $-8$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item Resta. La resta $p(x) - q(x)$ es calcula sumant el polinomi $p(x)$ amb el polinomi $q(x)$ amb tots els coeficients canviats, és a dir, $p(x) + (-q(x))$. Si $p(x) =x^5-6x^3+8x^2-10x+7$ i $q(x) = x^5-7x^4+9x^3+x^2-6x$, llavors $p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7 - x^5 +7x^4 -9x^3 -x^2 +6x = 7x^4-15x^3+7x^2-4x+7$.

També es pot fer verticalment:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{rrrrrr}
$x^{5}$ &  & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\ 
&  &  &  &  &  \\ 
$-x^{5}$ & $+7x^{4}$ & $-9x^{3}$ & $-x^{2}$ & $+6x$ &  \\ \hline
& $+7x^{4}$ & $-15x^{3}$ & $+7x^{2}$ & $-4x$ & $+7$%
\end{tabular}%
\end{equation*}
\item Producte de polinomis. Es calcula multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del segon: si $p(x) = 7x^2 -4x +7$ i $q(x) = 2x^4 -5x^3 +x^2$, llavors $p(x) \cdot q(x)$ és igual a:

\begin{multline*}
\left(7x^2-4x+7)\cdot (2x^4-5x^3+x^2\right)= \\
\\
14x^6-35x^5+7x^4-8x^5+20x^4-4x^3+14x^4-35x^3+7x^2= \\
\\
14x^6-43x^5+41x^4-39x^3+7x^2
\end{multline*}

\item No tractarem la divisió de polinomis en general. Només tractarem el  \term{mètode de Ruffini}\index{mètode! de Ruffini}, que permet dividir un polinomi qualsevol $p(x)$ per un polinomi de la forma $x-a$, amb $a$ un nombre enter positiu. Veurem un exemple: volem dividir el polinomi $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$:

\begin{enumerate}
\item En primer lloc, escrivim els coeficients del polinomi $p(x)$ de major
a menor grau a una taula, posant-hi zeros allà on el polinomi no tengui termes:%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\ 
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\ 
$1$ &  & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
& $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%

\item El primer coeficient del polinomi $p(x)$ baixa sempre directament, tal com indica la fletxa,

\item A continuació, el divisor (l'$1$), que l'hem escrit a l'esquerre
de la línia vertical, multiplica el primer coeficient ($1\cdot 1=1$) i
el resultat es co\lgem{loca} davall del segon coeficient del polinomi,

\item Llavors es suma el resultat d'aquesta multiplicació amb el segon
coeficient del polinomi ($1+1=2$)

\item Ara, el divisor multiplica aquesta suma i el resultat es
co\lgem{loca} davall del tercer coeficient del polinomi $p(x)$

\item Es repeteix aquest procés fins que no quedin coeficients.

\item El darrer nombre és el reste de la divisió (en aquest cas $-6$); el quocient de la divisió l'hem d'extreure dels nombres del final de la taula $1 \; 0 \; -4 \rightarrow x^2 + 0x -4$. El grau del polinomi quocient és sempre un menys que el grau de $p(x)$ (en aquest cas $3-1 = 2$).

\item Per tant, la divisió de $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$ dóna com a quocient $x^2 -4$ i reste $-6$; en altres paraules $(x^2 -4)(x-1) + (-6) = x^3 - x^2 -4x -4$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

El mètode de Ruffini serveix per a factoritzar un polinomi en polinomis irreductibles i per a trobar les seves arrels enteres.

\begin{definition}[arrel d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, un nombre $a$ és una \term{arrel}\index{arrel d'un polinomi} seva si substituint la $x$ pel valor de $a$, dóna 0.
\end{definition}

\begin{theorem}[teorema fonamental de l'Àlgebra]\label{thm:fonamental-algebra}Donat un polinomi, el nombre d'arrels reals d'aquest polinomi és com a màxim el seu grau
\end{theorem}

\begin{example}Són arrels de $p(x) = 2 x^2 - 7 x + 6$ són $2$ i $\frac{3}{2}$, ja que l'equació de segon grau $2 x^2 - 7 x + 6 = 0$ té com a solucions aquests nombres (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}); en altres paraules $p(\frac{3}{2}) = 0$ i $p(2) = 0$.
\end{example}

En general trobar les arrels d'un polinomi és un problema irresoluble, però existeix una manera de trobar les seves arrels enteres.

\begin{algorithm}[procediment per trobar les arrels enteres d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, les arrels

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si té terme independent, calculam els seus divisors enters
\item Per a cada divisor $d$ del terme independent, dividim $p(x)$ per $x-d$. Si el reste de la divisió és 0, llavors $d$ és una arrel de $p(x)$. Si el reste de la divisió no és 0, llavors $d$ no és una arrel de $p(x)$.
\item En cas de no tenir terme independent, llavors $0$ és una arrel i podem factoritzar $p(x)$ com un polinomi $q(x)$ multiplicat per $x^r$, per qualque $r > 0$. En aquest cas, apliquem l'anterior a $q(x)$: totes les arrels de $q(x)$ ho seran de $p(x)$.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}\label{example:trobar-arrels-senceres}Trobeu les arrels del polinomi $p(x) = x^3 +x^2 -4x -4$.

\begin{solution*}\ 

\begin{enumerate}
\item Els divisors enters de $-4$ són $1$, $-1$, $2$, $-2$, $4$, $-4$.
\item Provam de fer Ruffini amb $p(x)$ i $x-1$:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\ 
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\ 
$\mathbf{1}$ &  & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
& $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Com que el reste és $-6$ vol dir que 1 no és arrel de $p(x)$
\item Ara provem amb $-1$:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\ 
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\ 
$\mathbf{-1}$ &  & $-1$ & $0$ & $4$ \\ \hline
& $1$ & $0$ & $-4$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Ara sí que hem obtingut un 0 al final. Per tant, $-1$ és arrel de $p(x)$.
\item Ara provem de fer Ruffini amb 2:
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\ 
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\ 
$\mathbf{2}$ &  & $2$ & $6$ & $4$ \\ \hline
& $1$ & $3$ & $2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Per tant, $2$ és arrel de $p(x)$.
\item Igualment, si aplicam el mètode de Ruffini amb $-2$ també tendrem reste 0, pel que $-2$ també és una arrel.
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\ 
& $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\ 
$\mathbf{-2}$ &  & $-2$ & $2$ & $4$ \\ \hline
& $1$ & $-1$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\item Com que ja tenim 3 arrels, ja no hem de intentar trobar-ne més (\autoref{thm:fonamental-algebra}).
\end{enumerate}
\end{solution*}
\end{example}

\begin{remark}En general, l'ordre en el que provem si els divisors sencers són o no arrels enteres és indistint.
\end{remark}

\begin{remark}Pot ser que un polinomi no tengui arrels enteres però sí arrels reals: per exemple $x^2 -2$ no té arrels enteres (proveu de fer Ruffini per als divisors de $-2$) però sí té arrels reals ($\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$).

També pot ser que no tengui arrels reals: per exemple $x^2 + 2$ no té arrels reals (es veu aplicant la fórmula de segon grau). 
\end{remark}

\begin{exercise}Trobeu les arrels dels polinomis següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^4 + 3x^3 - 40x^2$
\item $2x^3 - x^2 -118 x -315$
\item $x^5 - 2 x^4 - 3 x^2 + 6 x$
\item $x^4 + x^3 - 8 x^2 - 2 x + 12$
\item $3 x^4 - 12 x^3 - 33 x^2 + 90 x$
\item $x^4 + 28 x^3 - 60 x^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $-5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $0$, $2$ i $\sqrt[3]{3}$, \item $\pm \sqrt{2}$, $2$ i $-3$, \item $2$, $-3$, $0$ i $5$, \item $0$ (doble), $2$ i $-30$ \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $-2x^5 + 6x^3 - 4x^2  = 0$
\item $-x^4 + 10x^3 - 35x^2 + 50x = 24$
\item $x^3 - \frac{5x^2}{2} + x = 0$
\item $12x^4 -39x^2 + 27 = 0 $
\item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$
\item $x^4 + x^3 - 19x^2 + 11x + 30 = 0$
\item $x^3 - 8x^2 + 18x - 11 = 0$
\item $x^3 - 2x^2 -9x + 18 = 0$
\item $2x^3 - 6x^2 +x -3 =0$
\item $x^3 + x^2 - 6x = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0$ (doble), $1$ (doble) i $-2$ \item $1$, $2$, $3$ i $4$ \item $0$, $\frac{1}{2}$ i $2$, \item $\pm\frac{3}{2}$, $\pm 1$, \item $1$, $-2$ i $3$, \item $-1$, $2$, $3$ i $5$, \item $1$, $(7 \pm \sqrt{5})/2$, \item $0$, $-3$, $3$, \item $3$, \item $0$, $-3$, $2$ \end{enumerate*} \end{solution*}

\begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^4 + 2x^3 - 6x^2 -6x +9 = 0$
\item $3x^3 - 15x^2 + 9x +27 = 0$
\item $-5x^5 + 15x^3 + 10x^2 = 0$
\item $x^4 -3x^2 -2 = 2$
\item $x^3 - 2x^2 -5x + 6 = 0$
\item $x^4 + x^3 - 17x^2 + 10x + 15 = 2x^2 -15-x$
\item $x^3 - 8x^2 + 18x - 11 =0$
\item $x^3 -2x^2 -9x + 18 = 0$
\item $x^4 + 4x^2 = 0$
\item $x^3 + x^2 -6x = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1$, $-3 \pm \sqrt{3}$ \item $-1$, $3$ \item $-1, 0, 2$, \item $\pm 2$, \item $1, -2, 3$, \item $-1, 2, 3, -5$, \item $0, (7 \pm \sqrt{5})/2$, \item $2, \pm 3$, \item $0$, \item $-3, 0, 2$.
\end{enumerate*} \end{solution*}

\section{Factorització de polinomis}\label{annex:factoritzacio-de-polinomis}

\begin{definition}[polinomi irreductible]Un polinomi és \term{irreductible}\index{polinomi!irreductible} si no es pot escriure com a producte de polinomis de menor grau. En altre cas, s'anomena \term{reductible}\index{polinomi!reductible}.

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Els polinomis de primer grau són irreductibles. És a dir, tots els polinomis de l'estil $ax+b$ són irreductibles. Per exemple $2x-4$ i $x+4$ són irreductible.
\item Els polinomis de segon grau són irreductibles si, i només si, no tenen cap arrel real. És a dir $p(x) = ax^2 + bx + c$ és irreductible si, i només si, l'equació $ax^2 +bx+c = 0$ no té solució (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}). Per exemple, $x^2 + 9$ és irreductible, però $x^2 -9$ i $x^2 -2x +1$ són reductibles.
\item Els polinomis de grau major o igual que 3 mai són irreductibles.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[factorització de polinomis]\term{Factoritzar}\index{factoritzar!un polinomi} un polinomi $p(x)$ és descompondre $p(x)$ com a producte de polinomis irreductibles.
\end{definition}

No existeix cap procediment per a factoritzar polinomis, ja que és equivalent a trobar arrels reals de polinomis de qualsevol grau. Encara que existeix un algorisme per factoritzar polinomis trobant arrels enteres.

\begin{algorithm}[procediment per factoritzar els polinomis]Donat un polinomi $p(x)$, s'han de seguir les passes següents
\begin{enumerate}
\item Treure factor comú, si és possible (vegeu \autoref{annex:factor-comu})
\item Trobarem els divisors del terme independent
\item Per a cada divisor $d$ del terme independent, provarem si $d$ és arrel del polinomi $p(x)$
\item Si $d$ és arrel del polinomi, llavors $p(x)$ es pot expressar com a producte de $(x-d)$ i un polinomi $q(x)$ de grau $d-1$. En aquest cas, repetirem aquest algorisme des del primer pas amb el polinomi $q(x)$..

Si $d$ no és arrel, seguirem provant amb els altres divisors. 
\item Si cap divisor del terme independent és arrel, llavors no podem factoritzar $p(x)$.
\item Al final, haurem de d'ajustar el coeficient de major grau per a què quedi el coeficient del terme de major grau de $p(x)$.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}Factoritzeu el polinomi $30x^{4}+35x^{3}-45x^{2}+10x$.

\begin{solution*}\ 

\begin{enumerate}
\item Podem treure factor comú perquè tots el termes són múltiples de $5$ i de $x$:%
\begin{equation*}
5x(6x^3+7x^2-9x+2)
\end{equation*}

\item Aplicam el mètode de Ruffini al polinomi que queda dins el parèntesi (després de provar els divisors, l'únic que va bé és el $-2$):%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{r|rrrr}
& $6$ & $7$ & $-9$ & $2$ \\ 
&  &  &  &  \\ 
$\mathbf{-2}$ &  & $-12$ & $10$ & $-2$ \\ \hline
& $6$ & $-5$ & $1$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
Cap dels divisors permet factoritzar per Ruffini el polinomi $6x^2-5x+1$.
Així, en aquest punt, la factorització és%
\begin{equation*}
5x(x+2)(6x^2-5x+1)
\end{equation*}

\item Com que el polinomi $6x^2 -5x +1$ és de segon grau, resoldrem l'equació corresponent (sempre farem això amb els polinomis de segon grau):%
\begin{equation*}
6x^2-5x+1=0
\end{equation*}%
Les solucions d'aquesta equació són:%
\begin{equation*}
x=\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{%
2\cdot 6}=\frac{5\pm 1}{12}=\left\{ 
\begin{array}{c}
\frac{5+1}{12}=\frac{1}{2} \\ 
\\ 
\frac{5-1}{12}=\frac{1}{3}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item Per tant, la factorització final obtinguda és
\begin{equation*}
5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2).
\end{equation*}
Ara bé, volem tenir $30$ com a coeficient de major grau (30 és el coeficient de major grau del polinomi original) i no 5 (observa que $5x\cdot x\cdot x\cdot x=5x^{4}$ és el terme de major grau).

Llavors, hem de multiplicar per 6. D'aquesta manera, la factorització final és $6\cdot 5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2)$, és a dir,%
\begin{equation*}
30x\left( x-\tfrac{1}{2}\right) \left( x-\tfrac{1}{3}\right) (x+2).
\end{equation*}%
\end{enumerate}
\end{solution*}
\end{example}


\begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
\item $2x^3 - 4x^2 - 10x + 12$
\item $x^3 - x^2 + 9x -9$
\item $15x^3 + 25x^2 - 10x$
\item $3x^3-3x^2-6x$
\item $2 x^4 + 4 x^3 - 10 x^2 - 8 x + 12$
\item $-x^3 + x^2 + 4 x - 4$
\item $5x^4 - 30x^2 + 40$
\item $-5x^4 + 20x^2 - 20$
\item $3x^4 - 6x^3 - 27x^2 + 54x$
\item $4x^3 - x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item  $2(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item $(x - 1) (x^2 + 9)$, \item $15 x (x - \frac{1}{3}) (x + 2)$, \item $3x(x-2)(x+1)$, \item $2(x-1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x+3)$, \item $-(x-1)(x+2)(x-2)$, \item $5(x-2)(x+2)(x^2 -2)$ \item $-5 (x- \sqrt{2})^2 (x+\sqrt{2})^2$ (resoleu l'equació biquadrada $-5t^2 + 20t -20 =0$), \item $3 (x - 2) x (x - 3) (x + 3)$, \item $4x(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})$  \end{enumerate*} \end{solution*}


\begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $x^2 - 25$
\item $3x^4 + 9x^2$
\item $x^3 + x^2 + x$
\item $3x^3 - 20x^2 + 27x -10$
\item $x^3 - 4x^2 + 5x - 2$
\item $x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 7x + 2$
\item $x^4 -6x^3 + 13x^2 - 12x + 4$
\item $x^3 + 3x^2 - 4x -12$
\item $x^3 - 3x -2$
\item $3x^3 + 5x^2 - 2x$
\item $x^4-3x^3 -12x^2 + 52x-48$
\item $x^4 -5x^3 + 5x^2 -x -12$
\item $x^3 - x^2 - 14x + 24$
\item $x^3 -13x^2 + 55x - 75$
\item $x^3 + 2x + 3$
\item $x^3 - 2x^2 - x + 2$
\item $3x^4 - 2x^3 + 2x-3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x-5)(x+5)$, \item $3x^2 (x^2+3)$, \item $x(x^2 + x + 1)$, \item $3(x-1)(x-5)(x-\frac{2}{3})$, \item $(x-1)^2 (x-2)$, \item $(x-1)^3 (x-2)$, \item $(x-1)^2 (x-2)^2$, \item $(x+3)(x+2)(x-2)$, \item $(x-1)^2 (x-2)$, \item $x(x+2)(x-\frac{1}{3})$, \item $(x-2)^2 (x-3)(x+4)$, \item $(x+1)(x-4)(x^2 -2x + 3)$, \item $(x-2)(x-3)(x+4)$, \item $(x-5)^2 (x-3)$, \item $(x+1)(x^2 -x + 3)$, \item $(x+1)(x-1)(x-2)$, \item $(x+1)(x-1)(3x^2 -2x+3)$.  \end{enumerate*} \end{solution*}


\section{Equacions biquadrades}\label{annex:equacions-biquadrades}

Existeix un tipus d'equacions de quart grau que es poden resoldre fàcilment. Es tracte de les \term{equacions biquadrades}\index{equacions!biquadrades}, del tipus
\begin{equation*}
ax^4 + b^2 + c = 0,
\end{equation*}
on $a$, $b$, $c$ són nombres reals qualssevol.

Per resoldre aquestes equacions, feim el canvi $t = x^2$, resolem l'equació de segon grau corresponent i desfem el canvi. Ho veurem amb un exemple.

\begin{example}\label{exemple:equacions-biquadrades}Resoleu l'equació
\begin{equation}\label{equacio:equacio-biquadrada-1}
2x^4 - 10x^2 + 8 = 0.
\end{equation}

\begin{solution*}Procedim a resoldre-la:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Feim el canvi de variable $t = x^2$. Per tant, l'equació \ref{equacio:equacio-biquadrada-1} es transforma en
\begin{equation}
2t^2 - 10t^2 + 8 = 0.
\end{equation}
\item Si resolem aquesta equació usant la fórmula de segon grau (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}), tenim que les seves solucions són $t = 1$ i $t = 4$.
\item Ara {\em desdeim el canvi}: si $t = x^2$, llavors $x = \pm \sqrt{t}$. Per tant, les solucions de l'equació \ref{equacio:equacio-biquadrada-1} són $x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$ i $x = \pm \sqrt{1} = \pm 1$.
\end{enumerate}
\end{solution*}
\end{example}

\begin{exercise}Resoleu les equacions biquadrades següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $2x^4 - 26x^2 + 72 = 0$
\item $x^4 - 12x^2 -64 = 0$
\item $x^4 + 13x^2 +36 = 0$
\item $-5x^4 + 25x^2 - 30 = 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $x=\pm 2, \pm 3$,  \item $x=\pm 4$, \item no té solució, \item $x=\pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}$ \end{enumerate*} \end{solution*}


\section{Sistemes d'equacions lineals amb dues equacions i dues incògnites}\label{apendix:seccio:metodes-de-resolucio-sistemes}

\begin{definition}[sistema d'equacions lineal de dues incògnites i dues equacions]Un \term{sistema d'equacions lineal de dues equacions i dues incògnites}\index{sistema d'equacions lineal!de dues equacions i dues incògnites} és un conjunt de dues equacions en les que apareixen dues incògnites diferents, i les quals s'han de verificar simultàniament.
\end{definition}

\begin{example}\label{exemple:sistema-equacions-2-per-2}Les equacions següents
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
x + 2y  & = 5 \\ 
4x - 3y & = -2%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
% x=1 i y = 2
formen un sistema d'equacions de dues equacions i dues incògnites. Noteu que les incògnites són $x$ i $y$.
\end{example}

\begin{claim}Per diferenciar un sistema d'equacions d'una juxtaposició d'equacions soltes o de la resolució d'una equació, posarem una clau en els sistemes d'equacions. Podeu situar la clau al principi o al final del sistema d'equacions; és una qüestió estètica. Nosaltres emprarem indistintament les dues alternatives.
\end{claim}

\begin{definition}[solució d'un sistema]Donat un sistema d'equacions lineals de dues equacions i dues incògnites, una \term{solució}\index{solució d'un sistema} són valors numèrics de les incògnites per als quals es satisfan les dues equacions, és a dir, si es substitueixen les incògnites pels valors numèrics indicats en la solució, les equacions es verifiquen.
\end{definition}

\begin{example}Una solució del sistema de l'\autoref{exemple:sistema-equacions-2-per-2} és $x=1$ i $y=2$.
\end{example}

En aquesta secció mostrarem tres mètodes estàndard per trobar les solucions dels sistemes d'equacions lineals amb dues equacions i dues incògnites. Donat un sistema, podem aplicar qualsevol mètode per trobar les solucions del sistema.

\begin{claim}Les solucions dels sistemes d'equacions lineals amb dues equacions i dues incògnites, d'existir, són úniques. És a dir, només hi ha màxim una solució.
\end{claim}

\subsection{Mètode de substitució}

\begin{algorithm}[mètode de substitució]El \term{mètode de substitució}\index{mètode!de substitució} consisteix en les passes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item aïllar una incògnita de qualsevol de les dues equacions.
\item substituir la incògnita a l'altra equació.
\item resoldre l'equació corresponent amb una variable.
\item substituir el valor resultant a l'expressió resultant de l'aïllament.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}\label{exemple:metode-de-substitucio}Apliquem el mètode de substitució a l'\autoref{exemple:sistema-equacions-2-per-2}.
\begin{itemize}
\item En primer lloc hem de triar la incògnita a aïllar. Si vos fixeu, la més bona d'aïllar és la $x$ en la primera equació, ja que l'expressió resultant no tendrà cap fracció (ja que el coeficient de la variable $x$ és 1).

Per tant,
\begin{equation*}
x = 5 - 2y.
\end{equation*}

\item Si substituïm aquesta expressió per a cada ocurrència de $x$ en la segona equació, obtenim l'equació:
\begin{equation*}
4\left( 5 - 2y \right) - 3y = -2,
\end{equation*}
la qual té solució $y=2$ (vegeu \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}):
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rl}
20 - 8y - 3y = & -2 \\ 
-11 y =  & -22 \\
y & = 2.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item Substituint aquest valor:
\begin{equation*}
\begin{split}
x & = 5 - 2 \cdot 2\\
  & = 5 - 4\\
  & = 1.
\end{split}
\end{equation*}
\item Per tant, la solució del sistema és: $x=1$ i $y = 2$.
\end{itemize}
\end{example}

\begin{claim}Per comprovar si heu calculat correctament la solució del sistema, en principi, hauríem de substituir els valors de $x$ i $y$ en les equacions originals. Ara bé, existeix un mètode alternatiu i un poc més ràpid: substituir el valor de la primera variable coneguda a les dues equacions.

En el nostre exemple (\autoref{exemple:metode-de-substitucio}), després de saber que $y=2$, substituiríem aquest valor a les dues equacions. De fet, com que $x = 5-2y$ prové de la primera equació i és poc probable que ens haguem equivocat en l'aïllament de la $x$, podem usar aquesta expressió:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{l}
x = 5 - 2y  \Rightarrow x = 5 - 2 \cdot 2 \Rightarrow x = 5 - 4 = 1\\ 
4x -3 \cdot 2  = -2 \Rightarrow x = \frac{-2 +6}{4} = 1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
\end{claim}

\subsection{Mètode d'igualació}

\begin{algorithm}[mètode d'igualació] El \term{mètode d'igualació}\index{mètode!d'igualació} consisteix en les passes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item triar una incògnita i aïllar-la d'ambdues equacions.
\item igualar les expressions resultats.
\item resoldre l'equació corresponent amb una variable.
\item substituir el valor resultant a qualsevol de les expressions resultants de l'aïllament.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}\label{exemple:metode-de-igualacio}Apliquem el mètode d'igualació a l'\autoref{exemple:sistema-equacions-2-per-2}.
\begin{itemize}
\item En primer lloc hem de triar la incògnita a aïllar. Triem $x$. Per tant,
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{ll}
x & = 5 - 2y \\ 
x & = \frac{-2 + 3y}{4}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

\item Igualem les dues expressions resultants i resolem l'equació corresponent:
\begin{equation*}
5 - 2y = \frac{-2 + 3y}{4},
\end{equation*}
la qual té solució $y=2$ (vegeu \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}):
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rl}
5 - 2y = & \frac{-2 + 3y}{4}, \\ 
20 - 8y =  & -2 + 3y \\
-8y -3y & = -2 -20\\
-11 y & = -22\\
y & = 2.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item Substituint aquest valor:
\begin{itemize}
\item A la primera expressió:

\begin{equation*}
\begin{split}
x & = 5 - 2 \cdot 2\\
  & = 5 - 4\\
  & = 1.
\end{split}
\end{equation*}
\item A la segona expressió:
\begin{equation*}
\begin{split}
x & = \frac{-2 + 3 \cdot 2}{4}\\
  & = \frac{4}{4}\\
  & = 1.
\end{split}
\end{equation*}
\end{itemize}

Notem que el principi bastaria substituir a una expressió, però per la poca feina que suposa de més podem estar més segurs que no hem comès cap error.
\item Per tant, la solució del sistema és: $x=1$ i $y = 2$.
\end{itemize}
\end{example}

\subsection{Mètode de reducció}

\begin{algorithm}[mètode de reducció] El \term{mètode de reducció}\index{mètode!de reducció} consisteix en les passes següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item obtenir sistemes equivalents a l'original: multiplicant les equacions per nombre qualssevol diferents de zero; un sistema és \term{equivalent}\index{sistema!equivalent} a un altre si té les mateixes solucions.
\item aconseguir que hi hagi una variable amb coeficients oposats.
\item sumar les equacions i resoldre l'equació corresponent amb una variable.
\item substituir el valor resultant a qualsevol de les equacions originals.
\end{enumerate}
\end{algorithm}

\begin{example}\label{exemple:metode-de-reducció}Apliquem el mètode de reducció a l'\autoref{exemple:sistema-equacions-2-per-2}.
\begin{itemize}
\item En primer lloc hem de triar la incògnita a "eliminar": per exemple la $x$. En aquest cas, podem multiplicar per $-4$ la primera equació,
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
-4x - 8y  & = -20 \\ 
4x - 3y & = -2%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item Ja tenim els coeficient de la $x$ oposats. Per tant, simplement sumem les equacions:
\begin{equation*}
- 11y = -22,
\end{equation*}
per la qual cosa, $y=2$.

\item Ara substituïm aquest valor a qualsevol equació. Posats a triar, millor la primera, ja que el coeficient de la $x$ és 1:
\begin{equation*}
x + 2 \cdot 2  = 5,%
\end{equation*}%
pel que $x=1$.
\item Per tant, la solució del sistema és: $x=1$ i $y = 2$.
\end{itemize}

L'elecció de la variable és arbitrària. En el cas d'haver triar la $y$, podríem haver multiplicat per $3$ la primera equació i per $2$ la segona.
\end{example}


\subsection{Algunes reflexions de l'aplicació dels mètodes}

Encara que tots els mètodes per resoldre sistemes d'equacions són {\em igual de bons}, no tots són igual de ràpids per resoldre determinants sistemes:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si en el sistema existeix una variable amb un coeficient igual a $\pm 1$, podeu aplicar el mètode de substitució d'una manera mitjanament ràpida. Per exemple, en el sistema
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
4x - 2y  & = 10 \\ 
6x - y & = 17%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
podríem aplicar el mètode de substitució aïllant la variable $y$ de la segona equació. Si aïllàssim la $x$ o bé la $y$ en l'altra equació, l'equació resultant tendria denominadors; la qual cosa faria el càlcul farragós.
\item Si hi ha una variable que tengui coeficients $\pm 1$ en les dues equacions, llavors aplicar el mètode d'igualació és mitjanament ràpid. En cas contrari, ens trobaríem en el mateix cas desfavorable comentat anteriorment: resoldre equacions amb denominadors.
\item El mètode de reducció és suficientment ràpid en tots els casos.
\end{enumerate}

\begin{exercise}Resoleu els sistemes d'equacions següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
3x - y  & = 8 \\ 
x + y & = 0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
5x - y  & = 5 \\ 
2x - y & = 2%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
2x + 3y  & = 5 \\ 
-3x + 4y & = 1%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
4x + 2y  & = 8 \\ 
8x + 5y & = 22%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
2x + y  & = 5 \\ 
\frac{x}{2} + y & = 2%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%

\item 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{rr}
x - 2(y-1) & = 0 \\ 
x + y & = 7%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
\item $x=2, y=-2$, \item $x=1, y=0$, \item $x=1, y=1$, \item $x=-1, y=6$, \item $x=2, y=1$, \item $x=4, y=3$.
\end{enumerate*}
\end{solution*}
\end{exercise}

\section{Valors de les raons trigonomètriques dels angles més usuals}\label{apendix:valors-raons-trigonometriques}


Per calcular els productes escalars o l'angle que formen plans i rectes, convé tenir present la taula següent (\autoref{tab:taula-valors-sinus-cosinus-tangents}).

\begin{table}[ht!]
        \centering
        \begin{tabular}{r|c|c|c|c|c|c|c|}
        \cline{2-8}
        & $0$ \si{\radian} & $\pi/6$ \si{\radian} & $\pi/4$ \si{\radian} & $\pi/3$ \si{\radian} & $\pi/2$ \si{\radian} & $\pi$ \si{\radian} & $3\pi/2$ \si{\radian} \\
        \cline{2-8}
        & $0\degree$ & $30\degree$ & $45\degree$ & $60\degree$ & $90\degree$ & $180\degree$ & $270\degree$\\
        \hline
        \multicolumn{1}{|r|}{$\sin \alpha$} & $0$ & $1/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $\sqrt{3}/2$ & $1$ & $0$ & $-1$ \\
        \hline
        \multicolumn{1}{|r|}{$\cos \alpha$} & $1$ & $\sqrt{3}/2$ & $\sqrt{2}/2$ & $1/2$ & $0$ & $-1$ & $0$\\
        \hline
        \multicolumn{1}{|r|}{$\tan \alpha$} & $0$ & $\sqrt{3}/3$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & $\not \exists$ & $0$ & $\not \exists$ \\
        \hline
        \end{tabular}%
        \caption{Valors dels sinus, cosinus i tangent pels angles més usuals}
        \label{tab:taula-valors-sinus-cosinus-tangents}
\end{table}

Encara que qualsevol d'aquests valors es pot calcular amb una calculadora científica.


\chapter{Exàmens proposats}

En aquest {\em capítol} trobareu un seguit d'exàmens de prova a forma de recopilació.

\section*{Examen 1}

\begin{enumerate}
\item Discutiu aquest sistema d'equacions:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ll}
2x + my + z & = 3\\
-x + y -mz & = 0 \\
mx - y + z & = -1 
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}

\item Una tenda ven tres classes de patinets. El primer patinet té un preu de 40 \euro, el segon de 50 \euro\  i el darrer de 80 \euro. En un mes s'han venut 1.000 patinets en total, amb una recaptació de 52.000 \euro. També sabem que la suma de la quantitat venuda de patinets del primer i tercer tipus és una quarta part de la quantitat venuda del segon tipus de patinet. Determineu la quantitat de cada tipus de patinet que s'han venut en la tenda esmentada.
\end{enumerate}

\section*{Examen 2}

\begin{enumerate}
\item Trobau les arrels del polinomi $6x^4 - 12x^3 -6x^2 +24x-12$

\item Calculeu $(A+B)^t$ i $(A \cdot B)^{-1}$ on $A = \left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
-2 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 1 
\end{array}%
\right)$ i $B = \left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
-1 & 0 & -1 
\end{array}%
\right)$

\end{enumerate}

\section*{Examen 3}

\begin{enumerate}
\item Trobeu per a quins valors de $m$ la matriu $A$ és regular, on
\begin{equation*}
A = \left( 
\begin{array}{rrr}
m & 2 & 1 \\
0 & m & 1 \\
-m & 2 & 1 
\end{array}%
\right)
\end{equation*}


\item Trobau les matrius $M$ de la forma $\left( 
\begin{array}{lll}
1 & m & 1 \\
0 & m & 2 \\
0 & 1 & 1 
\end{array}%
\right)$ de manera que $M^2 + 2M = T$, on $T = \left( 
\begin{array}{lll}
3 & 5 & 6 \\
0 & 5 & 8 \\
0 & 4 & 5 
\end{array}%
\right)$

\item Tenim dues matrius $A$ i $B$ tals que $A^{-1} = \left( 
\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 2 
\end{array}%
\right)$ i $B^{-1} = \left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & 3 \\
-1 & 0 & 2 
\end{array}%
\right)$. Calculeu la inversa de $A \cdot B$.

\end{enumerate}

\section*{Examen 4}

\begin{enumerate}

\item Determineu $a$ i $b$ de manera que es verifiqui que $A^2 = A^t$:
\begin{equation*}
A = \left( 
\begin{array}{cc}
2 & -1 \\
a & b %
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\item És cert que el producte de dues matrius és commutatiu? Justifiqueu la resposta

\item Esbrineu per a quins valors de $t$ la matriu $B$ admet inversa:
\begin{equation*}
A = \left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & t \\
t & 0 & 6 \\
-2 & -3 & 6%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\item Donat el sistema d'equacions següent:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ll}
x - 2y + 2z & = 1\\
2x + \lambda y -z & = 2 \\
4x - y + 6z & = 7 % 
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Classifiqueu el sistema per a tots els valors de $\lambda$
\item Resoleu-lo en els casos en què sigui possible
\end{enumerate}

\item Un pagès vol comprar tres tipus d'arbres: ametllers a 7 € cadascun, garrofers a 9 € cadascun i oliveres a 12 € cadascuna. Es sap que en total compra 28 arbres, que el cost total de la compra és de 287 € i que el nombre d'oliveres que compra és el triple del d'ametllers. Calculeu quants d'arbres de cada tipus ha de comprar el pagès.

\end{enumerate}