correcció d'errors en 'tasques.md' (es duplicaven continguts); aprofit per dir que...

[apunts-acces-uib-majors-25-anys-matematiques.git] / 11-examens.tex

% SPDX-FileCopyrightText: 2023 Xavier Bordoy
%
% SPDX-License-Identifier: CC-BY-4.0

\chapter{Exercicis dels exàmens oficials}

Exercicis dels \href{https://estudis.uib.cat/grau/acces/mes_grans25/models_examen/}{exàmens oficials}\footnote{https://estudis.uib.cat/grau/acces/mes\_grans25/models\_examen/} des de l'any 2010 classificats per blocs.

\section{Àlgebra lineal}

\begin{exercise}[2010.a] Donada una matriu quadrada $A$, com es diu una matriu quadrada $B$ tal que $A\cdot B = B \cdot A = I$, on $I$ és la matriu identitat? Quina condició ha de satisfer la matriu quadrada $A$ perquè existeixi l'anterior matriu $B$?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2010.b] Donat el següent sistema d'equacions
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{l}
x+3y-z=-2 \\ 
2x + \lambda y =0 \\ 
x - 2y + z =3%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Discutir el seu caràcter per a tots els valors de $\lambda \in \mathbb{R}$
\item Resoldre'l en els casos en què sigui possible.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2011.a] Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d’ordre $2\cdot2$, tals que $A B=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 
0 & 3%
\end{pmatrix}$. Si el determinant de la matriu $A$ val 4, $\text{det}(A) = 4$, quant val $\text{det}(B)$ el determinant de la matriu $B$?

\medskip
Donada la matriu $C= \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\ 
2 & 3 & 4%
\end{pmatrix}$ escriu la seva matriu transposada $C^t$.

\medskip
Escriu una matriu $X$, que no sigui la identitat, de tal manera que $X^t = X$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2011.b] Una nació importa 21.000 vehicles mensuals de les marques $X$, $Y$, $Z$, al preu de 1,2; 1,5 i 2 milions d'euros respectivament. Si el total de la importació ascendeix a 33.200 milions, i de la marca $X$ s'importa el 40\% de la suma de les altres dues marques, quants vehicles de cada marca entren en el país?
\end{exercise}


\begin{exercise}[2012.a, 2023.a] Determinau els valors de $k$ per als quals la matriu $A = \begin{pmatrix}
k & 1 & 0\\
k & k & k\\
0 & 1 & k
\end{pmatrix}$ admet inversa
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012.b, 2023.b]Determinau les solucions del sistema d'equacions
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
2 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013.a] Determinau els valors de $t$ per als quals la matriu $A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & t & 3\\
4 & 1 & -t
\end{pmatrix}$ admet inversa.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013.b]Determinau les solucions del sistema d'equacions indicant si el sistema és o no compatible determinat
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 2 & 3\\
4 & 1 & -2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2014.a]Determinau els valors de $a$ i $b$ de manera que la matriu $A = \begin{pmatrix}
2 & a\\
-1 & b
\end{pmatrix}$ verifiqui que $A^2 = A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2014.b]Calculau les arrels del polinomi $p(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x -6$. Expressau la descomposició factorial del polinomi anterior.
\end{exercise}


\begin{exercise}[2015.a]Determinau els valors de $a$ per als quals la matriu $A= \begin{pmatrix}
a & 1 & 1\\
1 & a & 1\\
1 & 1 & a%
\end{pmatrix}$ no admet inversa.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2015.b]Determinau si el sistema $\begin{pmatrix}
a & 1 & 1\\
1 & a & 1\\
1 & 1 & a%
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z%
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1%
\end{pmatrix}$
és o no compatible (determinat o no) quan $a=1$ i $a=-2$.
\end{exercise}


\begin{exercise}[2016.a]Els sous del pare, la mare i un fill sumats donen 16.250 euros. La mare guanya el doble que el fill. El pare guanya $2/3$ del que guanya la mare. Utilitzant un sistema d'equacions que s'ajusti al problema i resolent-ho, determinau quant guanya cadascun d'ells.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016.b]Determinau el conjunt de valors de $x$ per als quals la matriu següent
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x-1 & -1 & -1\\
0 & x+2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
no admet inversa. Per a quins valors de $x$ la matriu té rang 3?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017.a] Donades les matrius $A= \begin{pmatrix}
2 & 4\\
0 & 3
\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix}$; calculau $(A+B)^t$ i $(A \cdot B)^{-1}$. Nota $A^t$ vol dir la transposada de la matriu $A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017.b]Resoleu el següent sistema d'equacions:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y+z=2+x \\ 
2x -y -3z = 4x-2 \\
-2x + y = 6 -z.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2018] Donades les matrius $A= \begin{pmatrix}
2 & 4\\
-1 & 7%
\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
2 & -3%
\end{pmatrix}$, es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Calculau $A \cdot B$
\item Calculau $A^{-1}$ i $B^{-1}$
\item Calculau $(A \cdot B)^{-1}$
\item Calculau $A^{-1} \cdot B^{-1}$
\item Quina relació hi ha entre $(A \cdot B)^{-1}$ i $B^{-1} \cdot A^{-1}$?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019.a]Determinau les matrius $A= \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d%
\end{pmatrix}$ que satisfan l'equació matricial
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019.b]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Donat el següent sistema d'equacions $\left\{
\begin{array}{ll}
x+3y-z & =0 \\ 
2x +ay  & = 0 \\
x - 2y + z & = 3,%
\end{array}%
\right.$
discutiu el seu caràcter en funció del paràmetre real $a$. \item Resoleu-lo quan $a=2$.\end{enumerate*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2020.a] Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d'ordre $2\cdot2$, tals que $A \cdot B = \begin{pmatrix}
3 & 4\\
0 & 4
\end{pmatrix}$. Si $det(A) = 4$, quan val $det(B)$?. Donada la matriu $C=\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0\\
2 & 3 & -4
\end{pmatrix}$, escriu la seva matriu transposada $C^t$. Escriu una matriu $X$, que no sigui la identitat, de tal manera que $X^t = X$.

Nota: $det(A)$ indica el determinant de la matriu $A$ i $X^t$ indica la matriu transposada de la matriu $X$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2020.b] Un agricultor té repartides 10 hectàrees de terreny en guaret, cultiu d'ordi i cultiu de blat. La superfície dedicada a l'ordi ocupa 2 hectàrees més que la dedicada a l'ordi ocupa 2 hectàrees més que la dedicada al blat, mentre que en guaret té 6 hectàrees menys que la superfície total dedicada al cultiu de l'ordi i del blat. Quantes hectàrees té dedicades a cadascun dels cultius i quantes estan dedicades al guaret?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2021.a] Siguin $A$ i $B$ dues matrius, inverses l'una de l'altra. Si $det(A) = 10$, què val $det(B)$? Per a quins valors de $a$ la matriu $\begin{pmatrix}
a^2 & a\\
a & a^2
\end{pmatrix}$ no té inversa?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2021.b] Demostrau que el sistema d'equacions següent:
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{ll}
x-y+2z & =2 \\ 
2x +y +3z & = 2 \\
5x + y + az & = 6%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
té solució única si $a \neq 8$. Calculau les solucions quan $a=8$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2022.a] Els sous del pare, la mare i un fill sumats donen 3.250 euros. La mare
guanya el doble que el fill. El pare guanya 2/3 del que guanya la mare. Quant guanya cadascun?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2022.b]Resoleu el sistema d'equacions:
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{rr}
2 & 7 \\ 
-1 & -3%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{l}
x\\ 
y%
\end{array}%
\right) = \left(
\begin{array}{l}
0\\ 
0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2024.a]Un client d'un supermercat ha pagat un total de 156 € per 24 litres
de llet, 6 kg de pernil salat i 12 litres d'oli d'oliva. Calculau el preu de cada article, sabent que 1 litre d'oli costa el triple que 1 litre de llet i que 1 kg de pernil salat costa igual que 4 litres d'oli més 4 litres de llet. 
\end{exercise}

\begin{exercise}[2024.b]Se sap que el determinant de la matriu $\left(
\begin{array}{rr}
3 & a \\ 
5 & 2%
\end{array}%
\right)$ val $-4$. Quin és el valor de $a$?
\end{exercise}

\section{Geometria}

\begin{exercise}[2010, 2023] Una recta $r$ passa pel punt $(3,4,7)$ i és para\lgem{ela} a la recta $s$ d'equació
\begin{equation*}
s \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-4}{2}
\end{equation*}
Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Determinar les equacions contínues i paramètriques de la recta $r$
\item Determinar l'equació d'un pla $\pi$ que és perpendicular a $r$ i passa pel punt $(1,1,1)$ 
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2011] Calculau l'equació implícita del pla que passa pel punt $P=(2,3,5)$ i és para\lgem{el} als vectors $\vec{u} = (-1,-2,-3)$ i $\vec{v} = (1,3,5)$. Calculau $n$ perquè el punt $A=(1,n,6)$ pertanyi al pla trobat

\medskip
Determinau l'equació contínua de la recta que té per vector director el vector normal del pla trobat i que passa pel punt $P=(2,3,5)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012.a]Calculau el valor del pendent de la recta $y=mx+3$ sabent que passa pel punt d'intersecció de les rectes $y=2x+1$ i $y=x+5$
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012.b]Determinau l'equació del pla que passa pels punts $A=(2,3,4)$, $B=(7,2,5)$ i $C=(2,3,1)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013]Els punts $A=(0,0)$, $B=(2,1)$ i $C=(3,3)$ són vèrtexs consecutius d'un para\lgem{elogram} de vèrtexs $ABCD$. Trobeu les coordenades del vèrtex que falta, les equacions de les rectes que passen per les diagonals i les mesures d'aquestes diagonals.
\end{exercise}


\begin{exercise}[2014.a]Determinau el pla $\pi$ que és perpendicular al vector $\vec{v} = (4, -2, 2)$ i que passa pel punt $A=(1,2,4)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2014.b]Donat el punt $D=(1,1,3)$ calculau el vector $\vec{AD}$, on $A=(1,2,4)$. Està el vector $\vec{AD}$ dins el pla $\pi$, determinat a l'apartat anterior?
\end{exercise}


\begin{exercise}[2015.a]Determinau el punt d'intersecció de la recta $\left\{
\begin{array}{l}
x = 3 - 2 \lambda \\ 
y = 1 - \lambda \\ 
z = 4 + 6 \lambda%
\end{array}%
\right.$ amb el pla $x - 3y + 5z + 11 = 0$
\end{exercise}

\begin{exercise}[2015.b]Calculau $b$ en el punt $(5, -3, b)$ perquè sigui un punt del pla $x - 3y +5z +11=0$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Determinau la intersecció de la recta $r \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+2}{3}$ i el pla $\pi \equiv x - y + z = 7$. \item Determinau l'equació del pla que és para\lgem{el} al pla $\pi$ i passa pel punt d'intersecció obtingut a l'apartat anterior \end{enumerate*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]\item Donat el pla $\pi \equiv x + y +z =4$, determinau la recta $r$ que passa pel punt $P=(1,2,4)$ i és perpendicular a $\pi$. \item Calculau el punt d'intersecció de $r$ amb $\pi$.\end{enumerate*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2018.a]Calculau unes equacions paramètriques del pla d'equació implícita $\pi \equiv x + y + z = 3$, i indicau un dels seus punts i dos vectors directors independents.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2018.b]Donada la recta d'equacions paramètriques
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 4 + \lambda \\ 
y = 1 + 2\lambda \\ 
z = -2 - 3 \lambda%
\end{array}%
\right.
\end{equation*} 
Està la recta continguda en el pla d'equació $x + y + z = 3$?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019]Se sap que un pla $\pi$ és perpendicular al vector $\vec{v} = (2,3,-1)$ i que passa pel punt $(2,-1,3)$. Aleshores:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Determinau l'equació del pla $\pi$
\item Determinau l'equació de la recta que és perpendicular al pla $\pi$ i passa pel punt $P=(3,0,-2)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2020.a] Calculeu l'equació implícita del pla que passa pel punt $P=(2,3,5)$ i és para\lgem{el} als vectors $\vec{u}=(1,2,3)$ i $\vec{v}=(-1,-3,-5)$. Calculeu $n$ per a què el punt $A=(n,3,6)$ pertanyi al pla trobat.

Determinau l'equació contínua de la recta que té per vector director el vector normal del pla trobat i que passa pel punt $P=(2,3,5)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2021] Donat el punt $P=(2,-1,3)$, calculau les equacions dels plans següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Para\lgem{el} al pla que té per equació $2x+3y-z +4 =0$ i conté $P$
\item Perpendicular a la recta $\frac{x-3}{2} = y = \frac{z+2}{-1}$ i conté $P$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2022.a] Calculau l'equació del pla perpendicular al vector que uneix els punts $P = (2,-1,3)$ i $Q = (-4,2,2)$ i que passa pel seu punt mitjà.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2022.b] Determinau les equacions implícites de la recta que és para\lgem{ela} al vector que uneix els punts $P = (2,-1,3)$ i $Q = (-4,2,2)$ i que passa pel punt $R = (-1,1,1)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2024.a]Se sap que el punt mitjà de dos punts, $P$ i $Q$, és el punt $(-1,1,3)$. Si $P = (2,-1,3)$, determinau el punt $Q$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2024.b]Determinau l'equació del pla generat pels punts $A = (3,2,1)$, $B = (-4,-1,1)$ i $C = (-5,-3,-1)$.
\end{exercise}

\section{Probabilitat}

\begin{exercise}[2010, 2023] Una enquesta ha revelat que el 23\% dels habitants de Barcelona llegeix {\em La Vanguardia}, el 14\% llegeix {\em El País} i el 6\% llegeix ambdós diaris.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Identificau els successos adequats i expressau les dades donades com a probabilitats relacionades amb aquests successos [2023]
\item Quina probabilitat hi ha que un individu, triat a l'atzar i que duu {\em El País} sota l'aixella, sigui lector de {\em La Vanguardia}? [2010, 2023]
\item I, si duu {\em La Vanguardia}, quina és la probabilitat que llegeixi {\em El País}? [2010, 2023]
\item Expressau  i   interpretau  els   resultats  obtinguts  als   apartats  anteriors  en percentatge de lectors. [2010]
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2011]En una determinada fàbrica d'automòbils, el 6\% dels cotxes tenen defectes en el motor, el 8\% tenen defectes en la carrosseria i el 2\% té defectes en ambdós [components]. Sigui $A$ el succés "el cotxe té defecte en el motor" i $B$ el succés "el cotxe té defecte en la carrosseria". Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Expressar les dades proporcionades a l'enunciat com a probabilitats relacionades amb els successos $A$ i $B$.
\item Quina és la probabilitat que un cotxe tingui almenys un defecte?
\item I la probabilitat que un cotxe no sigui defectuós?
\item Expressau i interpretau els resultats obtinguts als apartats $b)$ i $c)$ en percentatge de cotxes
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012]Donats dos successos $A$ i $B$, se sap que $p(A) = 0,5$, $p(B) = 0,3$ i $p(A \cap B) = 0,1$.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Calculau $p(A \mid B)$ i $p(A \mid A \cap B)$
\item Calculau $p(A \cap B \mid A \cup B)$ i $p(A \mid A \cup B)$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013]Donades tres urnes, $U1$, $U2$ i $U3$, amb la següent composició de bolles blanques i negres:

U1: 3 blanques i 2 negres; U2: 4 blanques i 2 negres; U3: 1 blanca i 3 negres,

[Es tria de forma aleatòria una urna i se n'extreu una bolla]

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Calculeu la probabilitat d'extreure una bolla negra
\item Determinau la probabilitat que una  bolla negra que s'ha extret procedeixi de la segona urna
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2014]Una caixa conté 15 boles negres i 10 boles blanques. Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si en triam una a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui negra? I que sigui blanca?
\item Si extraiem dues boles, sense reemplaçament, quina és la probabilitat que ambdues siguin blanques?
\item Si extraiem dues boles, sense reemplaçament, calculau la probabilitat que la primera sigui blanca i la segona negra
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2015]Dels successos $A$ i $B$ se sap que $p(A) = 0,4$, $p(B) = 0,5$ i $p(A \cup B) = 0,7$. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Calculau $p(A \cap B)$ i $p(A^c \cap B^c)$. \item Són els successos $A$ i $B$ independents?\end{enumerate*}. Nota: per $A^c$ denotam el succés complementari de $A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016.a] En una aula de dibuix hi ha 40 cadires, 30 amb respatller i 10 sense. Entre les cadires sense respatller n'hi ha 3 de noves, i entre les cadires amb respatller n'hi ha 7 de noves. Triada a l'atzar una cadira, quina és la probabilitat que sigui nova?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016.b]En un experiment se sap que $p(B) = 0,3$ i $p(A \mid B) = 0,1$. Determinau $p(A \cap B)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017]Un CEO d'una empresa balear té una reunió a Madrid i ha de triar de forma equiprobable entre dues companyies aèries. La probabilitat d'arribar amb retard amb la companyia $A$ és de $0,25$ i amb la companyia $B$ és de $0,10$.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Triada a l'atzar una companyia, quina és la probabilitat que el CEO arribi amb retard a la reunió?
\item Si el CEO ha arribat tard a la reunió, quina és la probabilitat que hagi utilitzat la companyia $A$?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2018]D'una baralla espanyola\footnote{Una baralla espanyola de 48 cartes està formada per quatre colls de 12 cartes cada coll: oros, bastos, espases i copes. Les cartes dins de cada coll van numerades de l'1 al 12. Una figura és una carta marcada amb un 10, 11 o un 12. Un as és una carta marcada amb un 1.} de 48 cartes es considera l'experiment aleatori ``extreure una carta''. Calculau la probabilitat dels successos següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Treure una carta que sigui un nombre primer
\item Que la carta que extraiem no sigui un as
\item Que sigui una figura d'espases
\item Treure una carta de copes
\item Treure una carta que sigui una figura i que no sigui de copes
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019]El 70\% dels clients d'una companyia d'assegurances d'automòbils té més de 25 anys. Un 5\% dels clients d'aquest grup té algun accident al llarg de l'any. En el cas de clients més joves de 25 anys, aquest percentatge és del 20\%.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si s'escull un assegurat a l'atzar, calculau la probabilitat que tingui un accident aquest any
\item Si una persona va tenir un accident, calculau la probabilitat que sigui més jove de 25 anys.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2020] En una determinada fàbrica d'automòbils, el 6\% dels cotxes tenen defectes al motor, el 8\% tenen defectes a la carrosseria i el 2\% tenen defectes en ambdós. Sigui $A$ el succés `el cotxe té defecte al motor' i $B$ el succés `el cotxe té defecte a la carrosseria'. Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Expressau les dades proporcionades a l'enunciat com a probabilitats relacionades amb els successos $A$ i $B$
\item Quina és la probabilitat que un cotxe tengui almenys un defecte?
\item I la probabilitat que un cotxe no sigui defectuós?
\item Expressau i interpretau els resultats obtinguts als apartats $b)$ i $c)$ en percentatge de cotxes.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2021] En una cada hi ha tres clauers, $A$, $B$ i $C$. El primer té 5 claus; el segon, 7, i, el tercer, 8, de les quals només una de cada un obri la porta del rebost. Es tria a l'atzar un clauer i, d'aquest, una clau per intentar obrir el rebost. Feu un diagrama en arbre que representi les dades i probabilitats del problema
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Quina serà la probabilitat que s'encerti la clau?
\item Quina serà la probabilitat que no s'encerti la clau?
\item Quina serà la probabilitat que el clauer triat sigui el tercer i la clau no obri?
\item I si la clau triada és la correcta, quina serà la probabilitat que pertanyi al primer clauer, $A$?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2022] Es disposa d'una moneda amb cara i creu, completament equilibrada i que
no presenta cap problema. Tres amics, Pep, Tomeu i Cristòfol, es disposen a llançar la moneda per aquest ordre. Quan un treu cara, s'interromp el joc.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Quina és la probabilitat que Cristòfol llanci la moneda i tregui cara?
\item Calculau les probabilitats que Pep i Tomeu en llançar la moneda treguin cara.
\item Quina és la probabilitat que Tomeu llanci la moneda i tregui creu?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2024]En cert curs d'un centre d'ensenyament, el 62,5\% dels alumnes varen
aprovar Matemàtiques. D'altra banda, entre els que varen aprovar Matemàtiques, el 80\% va aprovar també Física. Se sap igualment que només el 33,3\% dels que no varen aprovar Matemàtiques varen aprovar Física.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Identificau els successos adequats i expressau les dades donades com a probabilitats relacionades amb aquests successos.
\item Quin percentatge va aconseguir aprovar ambdues assignatures a la vegada?
\item Quin va ser el percentatge d'aprovats en l'assignatura de Física?
\end{enumerate}
\end{exercise}