antics/material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix.tex

   1 % Appendix de seccions còniques
   2 \chapter{Seccions còniques}
   3
   4 \section{El con}
   5
   6 El con és un cos geomètric que s'obté unint un punt $V$, el vèrtex del con, amb la vora d'un cercle, que forma la seva base (figura \in[fig:con]). L'aresta del con s'anomena {\em generatriu}.
   7
   8 \placefigure[here]
   9 [fig:con]
  10 {Un con de vèrtex $V$}
  11 {% fitxer original: material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-con.fig
  12 \externalfigure[material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-con.eps][scale=900]}
  13
  14 Es poden unir dos cons vèrtex contra vèrtex i allargar-los indefinidament, amb el que s'obté un con doble, de superfície infinita (figura \in[fig:con2]):
  15
  16 \placefigure[here]
  17 [fig:con2]
  18 {Un con doble (infinit)}
  19 {% fitxer original: material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-con-doble.fig
  20 \externalfigure[material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-con-doble.eps][orientation=90,scale=700]}
  21
  22
  23 El con doble es pot veure com un cos de revolució que es produeix al girar la recta de la generatriu sobre l'eix del con (figura \in[fig:con-revolucio]):
  24
  25 % http://www.texample.net/tikz/examples/truncated-cone/
  26 \placefigure[here]
  27 [fig:con-revolucio]
  28 {Un con com a cos de revolució}
  29 {
  30 \framed[frame=off]{
  31 \starttikzpicture
  32 % Primer con
  33   \draw[semithick] (0,3) -- (6,3/2);% top line
  34   \draw[semithick] (0,0) -- (6,3/2);% bottom line
  35
  36   \draw[semithick, postaction={decoration={markings,mark=at position 0.75 with {\arrow[black, line width=1mm]{>}}}, decorate}] (0,0) arc (270:90:0.5 and 1.5);% left half of the left ellipse
  37   \draw[dashed,color=gray,postaction={decoration={markings,mark=at position 0.25 with {\arrow[dashed,gray, line width=1mm]{<}}}, decorate}] (0,0) arc (-90:90:0.5 and 1.5);% right half of the left ellipse
  38   \shadedraw[semithick,left color=gray, right color=gray!50] (4,1.5) ellipse (0.166 and 0.5);% right ellipse
  39   \draw (-1.5,1.5) node[anchor=north] {$\text{eix}$};
  40
  41 % Segon con
  42   \draw[semithick] (6,3/2) -- (12,3);% top line
  43   \draw[semithick] (6,3/2) -- (12,0);% bottom line
  44   \draw[semithick, postaction={decoration={markings,mark=at position 0.75 with {\arrow[black, line width=1mm]{>}}}, decorate}] (12,0) arc (270:90:0.5 and 1.5);% left half of the left ellipse
  45   \draw[color=gray,postaction={decoration={markings,mark=at position 0.25 with {\arrow[dashed,gray, line width=1mm]{<}}}, decorate}] (12,0) arc (-90:90:0.5 and 1.5);% right half of the left ellipse
  46   \shadedraw[semithick,left color=gray, right color=gray!50] (8,1.5) ellipse (0.166 and 0.5);% right ellipse
  47
  48 % Eix
  49
  50   \draw (-2,1.5) -- (-0.5,1.5);
  51   \draw[loosely dashed] (0,1.5) -- (11.5, 1.5);
  52   \draw (12, 1.5) -- (13,1.5);
  53
  54 \stoptikzpicture
  55 }
  56 }
  57
  58
  59 \section{La circumferència, l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola}
  60
  61 Les {\em seccions còniques} o simplement {\em còniques} són corbes que s'obtenen de tallar un con doble amb un pla. Segons com sigui la inclinació del pla, aquest tall variarà de forma i donarà lloc a corbes diferents.
  62
  63 \placefigure[here]
  64 [fig:coniques]
  65 {Possibles talls d'un con amb un pla}
  66 {% fitxer original: material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-wikipedia-conic-sections-with-plane.svg
  67 \externalfigure[material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-wikipedia-conic-sections-with-plane.pdf][width=\textwidth]}
  68
  69 \startitemize
  70 \item Si el con es talla perpendicular al seu eix, aleshores obtenim una {\em circumferència} (figura \in[fig:coniques]-2)
  71 \item Obtenim una {\em el·lipse} si es talla el con amb un angle menor que 90 graus però major que l'angle de la generatriu del con (figura \in[fig:coniques]-2)
  72 \item La {\em paràbola} s'obté quan la inclinació del pla és exactament la mateixa que la generatriu del con (figura \in[fig:coniques]-1)
  73 \item Finalment, quan la inclinació és menor que l'angle de la recta generatriu, llavors s'obté una {\em hipèrbola} (figura \in[fig:coniques]-3)
  74 \stopitemize
  75
  76 \subsection{Referències externes}
  77
  78 \startitemize[n,packed]
  79 \item \goto{Visualització de les seccions còniques 1}[url(https://www.youtube.com/watch?v=GDHNoQHQmtQ)]: \hyphenatedurl{https://www.youtube.com/watch?v=GDHNoQHQmtQ}
  80
  81 \item \goto{Visualització de les seccions còniques 2}[url(https://www.youtube.com/watch?v=bFOnicn4bbg)]: \hyphenatedurl{https://www.youtube.com/watch?v=bFOnicn4bbg}
  82
  83 \item \goto{Visualització de les seccions còniques 3. Simulació amb SketckUp}[url(https://www.youtube.com/watch?v=heB2s6p0Tms)] (anglès): \hyphenatedurl{https://www.youtube.com/watch?v=heB2s6p0Tms}
  84
  85 \item \goto{Visualització de les seccions còniques com a la llum d'una llinterna}[url(https://www.youtube.com/watch?v=yuJ3kydUUfM)]: \hyphenatedurl{https://www.youtube.com/watch?v=yuJ3kydUUfM}
  86
  87 \item \goto{Visualització de les seccions còniques com a les ombres d'una pilota 2}[url(http://www.youtube.com/watch?v=xeKYNbVGEpw)]: \hyphenatedurl{http://www.youtube.com/watch?v=xeKYNbVGEpw}
  88 \stopitemize
  89
  90
  91 \section{Les equacions de les seccions còniques}
  92
  93 Les seccions còniques corresponen a corbes algebraiques de grau 2, que tenen la forma general
  94 \placeformula[eq:formula-general]
  95 \startformula
  96 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f=0,
  97 \stopformula
  98 encara que hi ha formes simplicades o {\em canòniques}, que s'empren usualment:
  99
 100 \startitemize[a]
 101 \item La circumferència la defineix l'equació: $x^2 + y^2 = r^2$, on $r$ és el radi
 102 \item L'el·lipse la defineix l'equació $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
 103 \item La paràbola la defineix l'equació $y=ax^2 + b^2 + c$
 104 \item La hipèrbola la defineix l'equació $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
 105 \stopitemize
 106
 107 Es poden classificar les seccions còniques segons el {\em discriminant} $D=b^2 -4ac$ de l'equació~(\in[eq:formula-general]):
 108 \startitemize
 109 \item Si $D < 0$, llavors l'equació \in[eq:formula-general] representa una el·lipse. El cas especial de la circumferència s'obté quan $a=c$ i $b=0$.
 110 \item Si $D = 0$, llavors l'equació representa una paràbola
 111 \item Si $D > 0$, llavors l'equació representa una hipèrbola
 112 \stopitemize
 113
 114 \section{Construcció geomètrica de les còniques}
 115
 116 Cadascuna de les còniques es pot definir de manera alternativa de la forma següent (figura \in[fig:coniques-geom]):
 117 \startitemize[a]
 118 \item Donat un punt $O$, anomenat {\em centre}, i un nombre real $r > 0$, que s'anomena {\em radi}, la {\em circumferència de radi $r$ i centre $O$} és el conjunt de punts que es troben a distància $r$ del punt $O$.
 119 \item Donats dos punts $F_1$ i $F_2$, anomenats {\em focus}, i un nombre real $k > 0$, l'{\em el·lipse} és el conjunt de punts tals que la suma de les distàncies a $F_1$ i a $F_2$ és igual a $k$, és a dir,
 120 \startformula
 121 d(P, F_1) + d(P, F_2) = k,
 122 \stopformula
 123 per a qualsevol punt de l'el·lipse.
 124 \item Donats dos punts $F_1$ i $F_2$, anomentats {\em focus}, i un nombre real $k > 0$, la {\em hipèrbola} és el conjunt de punts tals que la diferència de les distàncies a $F_1$ i a $F_2$ és igual a $k$, és a dir,
 125 \startformula
 126 d(P, F_1) - d(P, F_2) = k,
 127 \stopformula
 128 per a qualsevol punt de la hipèrbola.
 129 \item Donats un punt $F$, anomenat {\em focus}, i una recta $r$, anomenada {\em directriu}, la {\em paràbola} és el conjunt de punts tals que equidisten a $F$ i a $r$, és a dir,
 130 \startformula
 131 d(P, F) = d(P, r),
 132 \stopformula
 133 per a qualsevol punt $P$ de la paràbola.
 134 \stopitemize
 135
 136 \placefigure
 137 [here] % placement
 138 [fig:coniques-geom] % reference
 139 {Definició geomètrica de les còniques} % caption for whole group
 140 {
 141 \startcombination[2*2] % 3 columns, 2 rows
 142 {
 143
 144 \framed[frame=off]{
 145 \starttikzpicture
 146 \draw (0,0) circle (2);
 147 \draw (0,0) node[anchor=south] {$O$};
 148 \filldraw[color=blue] (0,0) circle (2pt);
 149 \draw (0,0) -- (2,0);
 150 \draw (1,0) node[anchor=north] {$r$};
 151 \stoptikzpicture}
 152
 153
 154 } {Circumferència} {
 155
 156 % x^2/9 + y^2/4 = 1
 157 \framed[frame=off]{
 158 \starttikzpicture[scale=0.9]
 159 \coordinate (F1) at (2.23606797749978969641,0);
 160 \coordinate (F2) at (-2.23606797749978969641,0);
 161 \draw (0,0) ellipse (3 and 2);
 162 \filldraw[color=blue] (F1) circle (2pt);
 163 \filldraw[color=blue] (F2) circle (2pt);
 164 \draw[color=gray, semithick, loosely dashed] (F1) -- (1,1.88561808316412673174)--(F2);
 165 \draw[color=gray, semithick, loosely dashed] (F1) -- (0,2)--(F2);
 166 \draw[color=gray, semithick, loosely dashed] (F1) -- (-2,1.49071198499985979761)--(F2);
 167 \filldraw[color=gray] (1,1.88561808316412673174) circle (2pt);
 168 \filldraw[color=gray] (0,2) circle (2pt);
 169 \filldraw[color=gray] (-2,1.49071198499985979761) circle (2pt);
 170 \draw (1,1.88561808316412673174) node[anchor=south] {$P$};
 171 \draw (0,2) node[anchor=south] {$P$};
 172 \draw (-2,1.49071198499985979761) node[anchor=south] {$P$};
 173
 174 \draw (F1) node[anchor=north] {$F_1$};
 175 \draw (F2) node[anchor=north] {$F_2$};
 176 \stoptikzpicture}
 177
 178
 179 } {El·lipse}
 180 {
 181
 182 \framed[frame=off]{
 183 \starttikzpicture
 184 % hipèrbola y = 1/x
 185 \coordinate (F1) at (-1.4142135623730950488,-1.4142135623730950488);
 186 \coordinate (F2) at (1.4142135623730950488,1.4142135623730950488);
 187 \draw[semithick] plot[domain=-2:-0.5] (\x,{divide(1,\x)});
 188 \draw[semithick] plot[domain=0.2:3] (\x,{divide(1,\x)});
 189 \foreach \x in {-0.75, 0.25, 0.75}
 190 {
 191    \draw[color=gray, semithick, loosely dashed] (F1) -- (\x,{divide(1, \x)}) --(F2);
 192    \draw (\x,{divide(1, \x)}) node[anchor=north] {$P$};
 193    \filldraw[color=gray] (\x,{divide(1, \x)}) circle (2pt);
 194 }
 195 \filldraw[color=blue] (F1) circle (2pt);
 196 \filldraw[color=blue] (F2) circle (2pt);
 197 \draw (F1) node[anchor=east] {$F_1$};
 198 \draw (F2) node[anchor=west] {$F_2$};
 199
 200 \stoptikzpicture}
 201
 202
 203 } {Hipèrbola} {
 204
 205 \framed[frame=off]{
 206 \starttikzpicture[domain=(-1):1, scale=3, smooth]
 207 \coordinate (F) at (0,0.25);
 208 \draw[very thick] (-1.2,-0.25) -- (1.2,-0.25);
 209 \draw[very thick] plot (\x,{(\x)^2});
 210
 211 \foreach \x in {1,0.5,0.75}
 212 {
 213    \draw[very thick,color=gray, loosely dashed] (\x, -0.25) -- (\x , {(\x)^2});
 214    \draw[very thick,color=gray, loosely dashed] (\x , {(\x)^2}) -- (F);
 215 }
 216 \filldraw[color=blue] (F) circle (0.5pt);
 217 \draw (F) node[anchor=north] {$F$};
 218 \stoptikzpicture}
 219
 220
 221 } {Paràbola}
 222 \stopcombination
 223 } % whole combination in braces of placefigure
 224
 225 \subsection{Focus, directriu i excentricitat}
 226
 227 Donats una recta, anomenada {\em directriu}, i un punt $F$, anomenat {\em focus}, que no pertanyi a la recta i un nombre real positiu $e$, anomenat {\em excentricitat}, podem trobar el conjunt de punts $P$ tals que
 228 \placeformula[eq:excentricitat]
 229 \startformula
 230 e = \frac{d(P, F)}{d(P, r)}.
 231 \stopformula
 232
 233 Hi ha una correspondència entre aquests conjunts de punts i les seccions còniques. A més, segons l'excentricitat $e$, s'obtenen diferents còniques (figura \in[fig:excentricitat]):
 234 \startitemize
 235 \item Si $0 < e < 1$, aleshores s'obté una el·lipse
 236 \item Si $e = 1$, s'obté una paràbola
 237 \item Si $e > 1$, s'obté una hipèrbola
 238 \stopitemize
 239
 240 El cas de la circumferència correspon al cas en què $e=0$ en què podem imaginar que la directriu està infinitament enfora del centre de la circumferència (seria el cas límit de l'equació~(\in[eq:excentricitat]) quan $d(P, r)$ tendeix a l'infinit).
 241
 242 \placefigure[force]
 243 [fig:excentricitat]
 244 {Excentricitat de diverses còniques}
 245 {% fitxer original: material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-wikipedia-Eccentricity.svg
 246 \externalfigure[material-apunts-ESPA-4-Funcio-quadratica-appendix-figs-wikipedia-Eccentricity.pdf][scale=800]}
 247
 248
 249 \subsection{Referències externes}
 250
 251 \startitemize[n,packed]
 252 \item \goto{La generació de les seccions còniques depenent de l'excentricitat}[url(http://www.youtube.com/watch?v=fRAeGvjiM1A)] (anglès):
 253
 254 \hyphenatedurl{http://www.youtube.com/watch?v=fRAeGvjiM1A}
 255 \stopitemize
 256
 257 \page[yes]
 258 \chapter{Recordatori d'àrees i volums}
 259
 260 \section[definicions-geometriques]{Definicions geomètriques}
 261
 262 \startitemize[n]
 263 %\startlines
 264 \item Un {\em polígon} és una figura plana composta per un nombre finit de segments rectes que s'uneixen format una figura tancada. Els seus punts s'anomenen {\em vèrtexos} i els segments {\em costats}.
 265 \item El {\em perímetre} d'un polígon és la suma de les longituds dels seus costats
 266 \item Un {\em triangle} és un polígon que té tres costats.
 267 \item Un {\em rectangle} és un polígon que té quatre costats que formen angles de 90º. Quan en un rectangle, tots els costats són iguals, aquests formen un {\em quadrat}
 268 \item En general, un polígon de quatre costats s'anomena {\em quadrilàter}. Casos especials dels quadrilàter són el rectangle, el quadrat, el rombe, el romboide i el trapezi.
 269 \item El {\em trapezi} és un quadrilàter que té un parell de costats paral·lels.
 270 \item Un quadrilàter amb dos parells de costats paral·lels s'anomena {\em paral·lelogram}. Casos especials d'un paral·lelogram són el rombe, el romboide, el rectangle i el quadrat.
 271 \item Un {\em rombe} és un paral·lelogram que té tots els costats iguals
 272 \item Un {\em romboide} és un paral·lelogram tal que els costats oposats són paral·lels i els costats adjacents no són iguals i els angles no són rectes
 273 \item Un rectangle és un paral·lelogram que té tots els angles rectes. El quadrat és el cas particular amb tots els costats iguals.
 274 \item Quan tots els costats d'un polígon són iguals, aquest s'anomena {\em polígon regular}.
 275 \item Segons el nombre de costats, el polígon pot ser un {\em pentàgon} (de cinc costats), un {\em hexagon} (de sis costats), un {\em heptàgon} (de set costats), etc.
 276 \item L'{\em apotema} d'un polígon regular és el segment que va des del centre del polígon a la meitat d'un costat
 277 \item Un {\em cercle} és la porció de pla dels punts que estan a distància menor o igual que un nombre fixat, que s'anomena {\em radi}. La {\em circumferència} és la vora del cercle
 278 \item Un {\em políedre} és un cos geomètric delimitat per un nombre finit de cares poligonals. Les {\em arestes} són els costats dels polígons que el limiten. Els {\em vèrtexs} són els punts comuns a dues o més cares.
 279 \item Un {\em prisma} és un políedre que té dues cares iguals i paral·leles (les {\em bases}) i cert nombre de cares laterals que són paral·lelograms (les {\em cares laterals}). Si les cares laterals no formen un angle de 90º amb les bases es parla de {\em prismes oblics}. Si les cares laterals són rectangles s'anomena {\em prisma rectangular}.
 280 \item Una {\em piràmide} és un políedre que té per base un polígon i les seves cares laterals són triangles que tenen un vèrtex comú, el qual s'anomena {\em vèrtex} de la piràmide.
 281 \item Un {\em cilindre} és un cos de revolució que s'obté en girar un rectangle al voltant d'un dels seus costats.
 282 \item Un {\em con} és un cos de revolució que s'obté en girar un triangle rectangle al voltant d'un dels seus catets. El {\em costat} que va del seu vèrtex a la base (un cercle) s'anomena {\em generatriu}.
 283 \item Una {\em esfera} és un cos de revolució que s'obté en girar un semicercle al voltant del seu diàmetre. Equivalentment són els punts de l'espai que estan a distància menor o igual que el radi d'aquest semicercle.
 284 \stopitemize
 285
 286
 287 \page[yes]
 288 % Annex d'àrees
 289 \section[arees-figures-planes]{Àrees de les figures planes més usuals}
 290
 291 \placetable[split,force]
 292 [taula:area-figures-planes]
 293 {Àrees de les figures planes més usuals}
 294 {\bTABLE[frame=off,align=middle,width=broad,split=yes]
 295   \setupTABLE[c][each][align={middle,lohi}]
 296    \bTR
 297      \bTD \starttikzpicture
 298 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (3,0) -- (3,2) -- (0,2) -- cycle;
 299 \draw (0,0) -- (3,0) -- (3,2) -- (0,2) -- cycle;
 300 \draw (0,1) node[anchor=east] {$h$};
 301 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$b$};
 302 \stoptikzpicture
 303
 304 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 305 1. Rectangle
 306
 307 \startformula
 308 A=b \cdot h
 309 \stopformula
 310 \stopframedtext
 311
 312 \eTD
 313      \bTD \starttikzpicture
 314 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
 315 \draw (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
 316 \draw (0,1) node[anchor=east] {$c$};
 317 \draw (1,0) node[anchor=north] {$c$};
 318 \stoptikzpicture
 319
 320 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 321 2. Quadrat
 322
 323 \startformula
 324 A=c \cdot c = c^2
 325 \stopformula
 326 \stopframedtext
 327 \eTD
 328      \bTD \starttikzpicture
 329 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (4,0) -- (1,2) -- cycle;
 330 \draw (0,0) -- (4,0) -- (1,2) -- cycle;
 331 \draw[help lines] (1,2) -- (1,0);
 332 \draw (1,1) node[anchor=west] {$h$};
 333 \draw (2,0) node[anchor=north] {$b$};
 334 \stoptikzpicture
 335
 336 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 337 3. Triangle
 338
 339 \startformula
 340 A=\frac{b \cdot h}{2}
 341 \stopformula
 342 \stopframedtext
 343
 344 \eTD
 345    \eTR
 346    \bTR
 347      \bTD \starttikzpicture
 348 \filldraw[color=blue!30] (0,-3) -- (1.5,0) -- (0,3) -- (-1.5,0)-- cycle;
 349 \draw (0,-3) -- (1.5,0) -- (0,3) -- (-1.5,0)-- cycle;
 350 \draw[help lines] (-1.5,0) -- (1.5,0);
 351 \draw[help lines] (0,3) -- (0,-3);
 352 \draw (-0.75,0) node[anchor=north] {$d$};
 353 \draw (0,0.75) node[anchor=west] {$D$};
 354 \stoptikzpicture
 355
 356 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 357 4. Rombe
 358
 359 \startformula
 360 A = \frac{D \cdot d}{2}
 361 \stopformula
 362 \stopframedtext
 363 \eTD
 364      \bTD \starttikzpicture
 365 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (3,0) -- (4,2) -- (1,2) -- cycle;
 366 \draw (0,0) -- (3,0) -- (4,2) -- (1,2) -- cycle;
 367 \draw[help lines] (1,0) -- (1,2);
 368 \draw (1,1) node[anchor=east] {$h$};
 369 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$b$};
 370 \stoptikzpicture
 371
 372 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 373 5. Romboide
 374
 375 \startformula
 376 A = b \cdot h
 377 \stopformula
 378 \stopframedtext
 379 \eTD
 380      \bTD \starttikzpicture
 381 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (3,0) -- (2.5,2) -- (1,2) -- cycle;
 382 \draw (0,0) -- (3,0) -- (2.5,2) -- (1,2) -- cycle;
 383 \draw[help lines] (1,0) -- (1,2);
 384 \draw (1,1) node[anchor=east] {$h$};
 385 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$B$};
 386 \draw (1.75,2) node[anchor=south] {$b$};
 387 \stoptikzpicture
 388
 389 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 390 6. Trapezi
 391
 392 \startformula
 393 A = \frac{(B+b) \cdot h}{2}
 394 \stopformula
 395 \stopframedtext
 396 \eTD
 397    \eTR
 398    \bTR
 399      \bTD \starttikzpicture
 400 \filldraw[color=blue!30] (0,0) circle (2);
 401 \draw (0,0) circle (2);
 402 \draw[help lines] (0,0) -- (2,0);
 403 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$r$};
 404 \stoptikzpicture
 405
 406 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 407 7. Cercle
 408
 409 \startformula
 410 \startalign
 411 \NC A \NC = \pi \cdot r^2 \NR
 412 \NC L \NC = 2 \cdot \pi \cdot r
 413 \stopalign
 414 \stopformula
 415 \stopframedtext
 416
 417 \eTD
 418      \bTD \space \eTD
 419      \bTD \starttikzpicture
 420 \node[regular polygon, regular polygon sides=5, minimum size=4cm, draw, fill=blue!30] at (0,0) {};
 421 % amb trigonometria, té longitud 2 cos 36º
 422 \draw[help lines] (0,0) -- (0,-1.61803cm);
 423 \stoptikzpicture
 424
 425 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 426 8. Polígon regular
 427
 428 \startformula
 429 A = \frac{\text{P} \cdot \text{a}}{2}
 430 \stopformula
 431 \stopframedtext
 432 \eTD
 433    \eTR
 434  \eTABLE}
 435
 436
 437 \page[yes]
 438 % Annex de volums
 439 \section[sec:volums-principals]{Volums i àrees dels cossos geomètrics més usuals}
 440
 441 \placetable[split,force]
 442 [taula:volums-principals]
 443 {Volums (i algunes àrees) dels cossos geomètrics més usuals}
 444 {\bTABLE[frame=off,align=middle,width=broad,split=yes]
 445   \setupTABLE[c][each][align={middle,lohi}]
 446    \bTR
 447      \bTD
 448      \starttikzpicture[line join=bevel,z=-5.5,scale=2]
 449 \coordinate (A1) at (0,0,-1);
 450 \coordinate (A2) at (-1,0,0);
 451 \coordinate (A3) at (0,0,1);
 452 \coordinate (A4) at (1,0,0);
 453 \coordinate (B1) at (0,1,0);
 454 \coordinate (C1) at (0,-1,0);
 455
 456 \draw (A1) -- (A2) -- (B1) -- cycle;
 457 \draw (A4) -- (A1) -- (B1) -- cycle;
 458 \draw (A1) -- (A2) -- (C1) -- cycle;
 459 \draw (A4) -- (A1) -- (C1) -- cycle;
 460 \draw [fill opacity=0.7,fill=green!80!blue] (A2) -- (A3) -- (B1) -- cycle;
 461 \draw [fill opacity=0.7,fill=orange!80!black] (A3) -- (A4) -- (B1) -- cycle;
 462 \draw [fill opacity=0.7,fill=green!30!black] (A2) -- (A3) -- (C1) -- cycle;
 463 \draw [fill opacity=0.7,fill=purple!70!black] (A3) -- (A4) -- (C1) -- cycle;
 464 \stoptikzpicture
 465
 466 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 467 1. Políedre
 468
 469 El volum depèn del tipus de políedre
 470 \stopframedtext
 471      \eTD
 472      \bTD \starttikzpicture
 473 % http://www.texample.net/tikz/examples/cuboid/ CC-BY 3.0
 474 %%% Edit the following coordinate to change the shape of your
 475         %%% orthoedre
 476
 477         %% Vanishing points for perspective handling
 478         \coordinate (P1) at (-7cm,1.5cm); % left vanishing point (To pick)
 479         \coordinate (P2) at (8cm,1.5cm); % right vanishing point (To pick)
 480
 481         %% (A1) and (A2) defines the 2 central points of the cuboid
 482         \coordinate (A1) at (0em,0cm); % central top point (To pick)
 483         \coordinate (A2) at (0em,-2cm); % central bottom point (To pick)
 484
 485         %% (A3) to (A8) are computed given a unique parameter (or 2) .8
 486         % You can vary .8 from 0 to 1 to change perspective on left side
 487         \coordinate (A3) at ($(P1)!.8!(A2)$); % To pick for perspective
 488         \coordinate (A4) at ($(P1)!.8!(A1)$);
 489
 490         % You can vary .8 from 0 to 1 to change perspective on right side
 491         \coordinate (A7) at ($(P2)!.7!(A2)$);
 492         \coordinate (A8) at ($(P2)!.7!(A1)$);
 493
 494         %% Automatically compute the last 2 points with intersections
 495         \coordinate (A5) at
 496           (intersection cs: first line={(A8) -- (P1)},
 497                             second line={(A4) -- (P2)});
 498         \coordinate (A6) at
 499           (intersection cs: first line={(A7) -- (P1)},
 500                             second line={(A3) -- (P2)});
 501
 502         %%% Depending of what you want to display, you can comment/edit
 503         %%% the following lines
 504
 505         %% Possibly draw back faces
 506
 507         \fill[blue!90] (A2) -- (A3) -- (A6) -- (A7) -- cycle; % face 6
 508
 509         \fill[blue!50] (A3) -- (A4) -- (A5) -- (A6) -- cycle; % face 3
 510
 511         \fill[blue!30] (A5) -- (A6) -- (A7) -- (A8) -- cycle; % face 4
 512
 513         \draw[dashed] (A5) -- (A6);
 514         \draw[dashed] (A3) -- (A6);
 515         \draw[dashed] (A7) -- (A6);
 516
 517         %% Possibly draw front faces
 518         \fill[blue!50,opacity=0.2] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle; % f2
 519         \fill[blue!90,opacity=0.2] (A1) -- (A4) -- (A5) -- (A8) -- cycle; % f5
 520
 521         %% Possibly draw front lines
 522         \draw (A1) -- (A2);
 523         \draw (A3) -- (A4);
 524         \draw (A7) -- (A8);
 525         \draw (A1) -- (A4);
 526         \draw (A1) -- (A8);
 527         \draw (A2) -- (A3);
 528         \draw (A2) -- (A7);
 529         \draw (A4) -- (A5);
 530         \draw (A8) -- (A5);
 531
 532         % Possibly draw points
 533         % (it can help you understand the cuboid structure)
 534 %       \foreach \i in {1,2,...,8}
 535 %       {
 536 %         \draw[fill=black] (A\i) circle (0.15em)
 537 %           node[above right] {\small \i};
 538 %       }
 539
 540 \stoptikzpicture
 541
 542 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 543 2. Ortoedre
 544 \startformula
 545 \startalign
 546 \NC A \NC = A_L + 2\cdot A_B\NR
 547 \NC V \NC = A_B \cdot h
 548 \stopalign
 549 \stopformula
 550 \stopframedtext
 551      \eTD
 552      \bTD \starttikzpicture[line join=bevel,z=-5.5,scale=1.7]
 553 \coordinate (A1) at (0.44,0,3.44);
 554 \coordinate (A2) at (2,0,3.16);
 555 \coordinate (A3) at (2.75,0,4.56);
 556 \coordinate (A4) at (1.65,0,5.7);
 557 \coordinate (A5) at (0.22,0,5.01);
 558 \coordinate (B1) at (0.44,-1,3.44);
 559 \coordinate (B2) at (2,-1,3.16);
 560 \coordinate (B3) at (2.75,-1,4.56);
 561 \coordinate (B4) at (1.65,-1,5.7);
 562 \coordinate (B5) at (0.22,-1,5.01);
 563
 564 \draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- (A5) -- cycle;
 565 \draw (B1) -- (B2) -- (B3) -- (B4) -- (B5) -- cycle;
 566 \draw (A1) -- (B1);
 567 \draw (A2) -- (B2);
 568 \draw (A3) -- (B3);
 569 \draw (A4) -- (B4);
 570 \draw (A5) -- (B5);
 571 \draw [fill opacity=0.7,fill=green!20] (A1) -- (A2) -- (B2) -- (B1)-- cycle;
 572 \draw [fill opacity=0.7,fill=orange!20] (A2) -- (A3) -- (B3) -- (B2)-- cycle;
 573 \draw [fill opacity=0.7,fill=purple!20] (A3) -- (A4) -- (B4) -- (B3)-- cycle;
 574 \draw [fill opacity=0.7,fill=red!20] (A4) -- (A5) -- (B5) -- (B4)-- cycle;
 575 \draw [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (A5) -- (A1) -- (B1) -- (B5)-- cycle;
 576 \stoptikzpicture
 577
 578 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 579 3. Prisme
 580 \startformula
 581 \startalign
 582 \NC A \NC = A_L + 2\cdot A_B\NR
 583 \NC V \NC = A_B \cdot h
 584 \stopalign
 585 \stopformula
 586 \stopframedtext
 587      \eTD
 588    \eTR
 589    \bTR
 590      \bTD \starttikzpicture[scale=.75, z={(.707,.3)}]
 591     \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2)
 592       -- (4,0,0);
 593     \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4)
 594       -- (0,0,0);
 595     \draw[color=gray, style=dashed] (0,0,4) -- (4,0,4);
 596     \draw (4.6,-.2,2) node{ };
 597     \draw[|-|] (5.5,3,2) -- node[right] {$h$} (5.5,0,2);
 598
 599     % spacer
 600     \draw (0,-1,0) node {};
 601
 602 \stoptikzpicture
 603
 604 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 605 4. Piràmide
 606 \startformula
 607 \startalign
 608 \NC A \NC = A_B + A_L\NR
 609 \NC V \NC = \frac{A_B \cdot h}{3}
 610 \stopalign
 611 \stopformula
 612 % http://www.nilesjohnson.net/tikz-demo.html
 613 \stopframedtext
 614      \eTD
 615      \bTD \starttikzpicture[scale=0.70]
 616 \fill[top color=blue!50!black,bottom color=blue!10,middle color=gray,shading=axis,opacity=0.25] (0,0) circle (2cm and 0.5cm);
 617 \fill[left color=blue!50!black,right color=blue!50!black,middle color=gray!50,shading=axis,opacity=0.25] (2,0) -- (2,6) arc (360:180:2cm and 0.5cm) -- (-2,0) arc (180:360:2cm and 0.5cm);
 618 \fill[top color=blue!90!,bottom color=blue!2,middle color=blue!30,shading=axis,opacity=0.25] (0,6) circle (2cm and 0.5cm);
 619 \draw (-2,6) -- (-2,0) arc (180:360:2cm and 0.5cm) -- (2,6) ++ (-2,0) circle (2cm and 0.5cm);
 620 \draw[loosely dashed] (-2,0) arc (180:0:2cm and 0.5cm);
 621 \draw (0,0) -- (2cm,0);
 622 \draw (1cm,0) node[anchor=north] {$r$};
 623 \draw (2cm,3cm) node[anchor=west] {$h$};
 624 \stoptikzpicture
 625
 626 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 627 5. Cilindre
 628 \startformula
 629 \startalign
 630 \NC A \NC = A_L + 2\cdot A_B \NR
 631 \NC   \NC = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2\NR
 632 \NC V \NC = A_B \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot h
 633 \stopalign
 634 \stopformula
 635 % http://tex.stackexchange.com/questions/42812/3d-bodies-in-tikz
 636 % http://www.texample.net/tikz/examples/dandelin-spheres/
 637 \stopframedtext
 638      \eTD
 639      \bTD
 640      \starttikzpicture[scale=0.8]
 641 \fill[top color=blue!50!black,bottom color=blue!10,middle color=gray,shading=axis,opacity=0.25] (0,0) circle (2cm and 0.5cm);
 642 \fill[left color=blue!50!black,right color=blue!50!black,middle color=gray!50,shading=axis,opacity=0.25] (2,0) -- (0,6) -- (-2,0) arc (180:360:2cm and 0.5cm);
 643 \draw (-2,0) arc (180:360:2cm and 0.5cm) -- (0,6) -- cycle;
 644 \draw[loosely dashed] (-2,0) arc (180:0:2cm and 0.5cm);
 645 \draw (0,0) -- (2cm,0);
 646 \draw (1cm,0) node[anchor=north] {$r$};
 647 \draw (1cm,3) node[anchor=west] {$g$};
 648 \stoptikzpicture
 649 % http://tex.stackexchange.com/questions/42812/3d-bodies-in-tikz
 650
 651 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 652 6. Con
 653 \startformula
 654 \startalign
 655 \NC A \NC = A_L + A_B \NR
 656 \NC \NC = \pi \cdot g \cdot r + \pi \cdot r^2 \NR
 657 \NC V \NC = \frac{A_B \cdot h}{3} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}
 658 \stopalign
 659 \stopformula
 660 \stopframedtext
 661      \eTD
 662    \eTR
 663    \bTR
 664      \bTD[nr=3]
 665      \starttikzpicture[scale=2]
 666 %\filldraw[ball color=white] (0,0) circle (3);
 667    \draw (-1,0) arc (180:360:1cm and 0.5cm);
 668     \draw[loosely dashed] (-1,0) arc (180:0:1cm and 0.5cm);
 669     \draw (0,1) arc (90:270:0.5cm and 1cm);
 670     \draw[loosely dashed] (0,1) arc (90:-90:0.5cm and 1cm);
 671     \draw (0,0) circle (1cm);
 672     \shade[ball color=blue!20!white,opacity=0.30] (0,0) circle (1cm);
 673    \draw (0,0) -- (1cm,0);
 674    \draw (0.7cm,0) node[anchor=north] {$r$};
 675 \stoptikzpicture
 676 % http://www.texample.net/tikz/examples/map-projections/
 677
 678 \startframedtext[width=broad,align=middle,frame=off]
 679 7. Esfera
 680
 681 \startformula
 682 A = 4 \cdot \pi \cdot r^2
 683 \stopformula
 684
 685 \startformula
 686 V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3
 687 \stopformula
 688 \stopframedtext
 689      \eTD
 690    \eTR
 691  \eTABLE}
 692
 693 Nota: si desenvolupem el con, $A_L$ és l'àrea d'un sector circular de longitud $2\pi r$ i radi $g$.
 694
 695