antics/material-apunts-ESPA-4-Probabilitat-appendix.tex

   1 \chapter{Resum de teoria}
   2
   3 \section{Experiments aleatoris}
   4
   5 \subsection{Espai mostral i successos}
   6
   7 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
   8 \startitemize[1,packed]
   9 \item \term{Experiment aleatori} $\longrightarrow$ un experiment del qual no podem predir-ne el resultat. Hi intervé la sort o l'atzar.
  10
  11 \item \term{Experiment determinista} $\longrightarrow$ quan el resultat de l'experiment es pot conèixer abans de dur-lo a terme. No hi intervé la sort.
  12
  13 \item \term{Espai mostral} $\longrightarrow$ és el conjunt de tots els possibles resultats
  14
  15 \item Un \term{esdeveniment} (o {\em succés}) $\longrightarrow$ és qualsevol subconjunt de l'espai mostral (o sigui, una part de l'espai mostral).
  16
  17 \startitemize
  18 \item \term{Esdeveniment elemental} $\longrightarrow$ és cadascun dels possibles resultats d'un experiment aleatori. És a dir, són els elements de l'espai mostral
  19
  20 \item \term{Esdeveniment compost} $\longrightarrow$ està format per dos o més esdeveniments simples. És a dir, és un conjunt de dos o més elements
  21
  22 \item Existeix un \term{esdeveniment segur}, que es verifica sempre, que és igual a l'espai mostral i un \term{esdeveniment impossible}, que mai pot ocorre, el qual és igual al conjunt buit (el conjunt que no té cap element), el qual simbolitzem per $\emptyset$.
  23 \stopitemize
  24 \stopitemize
  25 \stopframedtext
  26
  27 \startframedtext[width=fit,frame=on]
  28 \startexemple Si tirem un dau, l'espai mostral és $E = \{1,2,3,4,5,6\}$, els esdeveniments elementals són:
  29
  30 \medskip
  31 \startsimplecolumns[n=3]
  32 \startitemize[1,packed]
  33 \item \quotation{treure un 1} = $\{1\}$
  34 \item \quotation{treure un 2} = $\{2\}$
  35 \item \quotation{treure un 3} = $\{3\}$
  36 \item \quotation{treure un 4} = $\{4\}$
  37 \item \quotation{treure un 5} = $\{5\}$
  38 \item \quotation{treure un 6} = $\{6\}$
  39 \stopitemize
  40 \stopsimplecolumns
  41
  42 \smallskip
  43 I un esdeveniment compost és \quotation{treure 5 o 6} = $\{5, 6\}$. I un altre seria \quotation{treure parell} = $\{2,4,6\}$.
  44 \stopexemple
  45 \stopframedtext
  46
  47 \subsection{Operacions amb esdeveniments}
  48
  49 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
  50 \startitemize[1,packed]
  51 \item La \term{unió} de dos esdeveniments $A$ i $B$ $\longrightarrow$ és l'esdeveniment format per cada element que hi ha a $A$ o en $B$. S'escriu $A \cup B$. Que passi $A$ o $B$ es el mateix que passi $A \cup B$.
  52
  53 \item La \term{intersecció} de dos esdeveniments $A$ i $B$ $\longrightarrow$ és l'esdeveniment format per cada element que apareix simultàniament a $A$ i a $B$. S'escriu $A \cap B$. Que passi $A$ i $B$ a la vegada és el mateix que passi $A \cap B$.
  54
  55 \item La \term{diferència} entre $A$ i $B$, que s'escriu $A \setminus B$, és l'esdeveniment format pels elements que pertanyen a $A$ però que no pertanyen a $B$.
  56
  57 \item \term{L'esdeveniment contrari} (o {\em complementari}) d'un esdeveniment $A$  $\longrightarrow$ és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no estan a $A$. S'escriu $A^c$ o $\overbar{A}$.
  58 \stopitemize
  59 \stopframedtext
  60
  61 \startframedtext[width=fit,frame=on]
  62 \startexemple En l'experiment de llançar un dau i mirar el resultat, tenim que $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si agafam $A =$ \quotation{que surti parell} i $B =$ \quotation{que surti un nombre menor que 5}, tenim que:
  63 \startitemize[1,packed]
  64 \item $A \cup B$ = \quotation{que surti parell o menor que 5} = $\{2,4,6\} \cup \{1,2,3,4\}$ = $\{1,2,3,4,6\}$. Per tant, $A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$.
  65 \item $A \cap B$ = \quotation{que surti parell i menor que 5} = $\{2,4,6\} \cap \{1,2,3,4\}$ = $\{2,4\}$. Per tant, $A \cap B = \{2, 4\}$.
  66 \item $A \setminus B$ = $\{6\}$
  67 \item $B \setminus A$ = $\{1,2\}$
  68 \item $A^c$ = el contrari de què surti parell = $\{1,3,5\}$
  69 \item $B^c$ = el contrari de què surti un nombre menor que 5 = $\{6\}$
  70 \stopitemize
  71 \stopexemple
  72 \stopframedtext
  73
  74
  75 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
  76 Quan dos esdeveniments es poden donar simultàniament diem que són \term{compatibles}. En cas contrari, es diuen \term{incompatibles} (o {\em mútuament excloents}).
  77
  78 Dos esdeveniments $A$ i $B$ són compatibles quan $A \cap B \neq \emptyset$. Si $A \cap B = \emptyset$, aleshores $A$ i $B$ són incompatibles.
  79 \stopframedtext
  80
  81 \startframedtext[width=fit,frame=on]
  82 \startexemple En l'experiment de llançar un dau, si consideram els esdeveniments $A = \text{\quotation{Sortir parell}}$ i $B = \text{\quotation{Sortir múltiple de 3}}$ i $C = \text{\quotation{Sortir potència de 2}}$, tenim que
  83 \startitemize[1,packed]
  84 \item $A$ i $B$ són compatibles perquè 6 és parell i múltiple de 3 a la vegada
  85 \item $B$ i $C$ són incompatibles perquè no hi ha cap nombre múltiple de 3 que a la vegada sigui potència de 2 (cap nombre està a la vegada a $\{3,6\}$ i $\{2,4\}$).
  86 \stopitemize
  87 \stopexemple
  88 \stopframedtext
  89
  90 \section{Probabilitat d'un esdeveniment}
  91
  92 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
  93 \startitemize[1,packed]
  94 \item La {\bf probabilitat} d'un esdeveniment mesura la \term{facilitat} de què ocorri aquest esdeveniment. A cada esdeveniment se li assigna un nombre entre 0 i 1. Aquest nombre vendria a ser el tant per u de què pugui ocorre l'esdeveniment.
  95 \item La probabilitat de l'esdeveniment segur és sempre 1
  96 \item La probabilitat de l'esdeveniment impossible és sempre 0
  97 \stopitemize
  98 \stopframedtext
  99
 100 En general, el càlcul de probabilitats és complicat si no es suposa que tots els esdeveniments elementals siguin \term{equiprobables}. Penseu en calcular la probabilitat de treure parell en un dau enbiaxat cap al 2. És molt més senzill si suposam un dau on totes les cares tenen la mateixa probabilitat. Els experiments on els esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat es diuen \term{experiments regulars}.
 101
 102 \subsection{Regla de Laplace}
 103
 104 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
 105 Per a calcular la probabilitat d'un esdeveniment $A$ en un experiment regular, podem aplicar la regla següent:
 106 \startformula
 107 p(A) = \frac{\text{nombre de casos favorables a $A$}}{\text{nombre de casos possibles}}
 108 \stopformula
 109 \stopframedtext
 110
 111 \startframedtext[width=fit,frame=on]
 112 \startexemple En l'experiment de llançar un dau, la probabilitat de l'esdeveniment $A =$ \quotation{que surti un nombre primer} és
 113 \startformula
 114 p(A) = p(\{2,3,5\}) = 3/6 = 0,5
 115 \stopformula
 116 \stopexemple
 117 \stopframedtext
 118
 119 \subsection{Llei dels grans nombres}
 120
 121 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
 122 Si repetim un experiment aleatori un nombre molt gran de vegades, les \term{freqüències relatives} de cada esdeveniment \term{s'aproximen a la seva probabilitat}.
 123
 124 D'aquesta manera, si tirem un dau moltes vegades (cents, milers, milions), cada vegada més les freqüències relatives del seus resultats s'aproximen als valor reals de la probabilitat. Això vol dir, en aquest exemple, que si tirem un dau moltes vegades,
 125 \startformula
 126 \frac{\text{el nombre de vegades que ha sortit l'1}}{\text{nombre total de vegades que hem tirat el dau}}
 127 \stopformula
 128 s'aproximarà cada vegada més a $p(\text{\quotation{treure un 6}}) = \frac{1}{6}$.
 129
 130 El mateix passa amb els altres resultats: per exemple, el nombre de vegades que surt parell dividir entre el nombre total de vegades que hem tirat el dau s'atraca cada vegada més a 0,5.
 131
 132 Això serveix: \startitemize[a,text] \item Per a detectar si hi ha jocs trucats \item Per a estimar probabilitats que són molt difícils de calcular a la pràctica (per exemple, la probabilitat de què una peça sigui defectuosa, la probabilitat de què una persona tengui un accident de trànsit) \stopitemize
 133 \stopframedtext
 134
 135 \subsection{Propietats de la probabilitat}
 136
 137 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
 138 \startitemize[packed]
 139 \item La probabilitat de l'esdeveniment contrari és $p(A^c) = 1 - p(A)$
 140 \item La probabilitat de la unió de dos esdeveniments és $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$. En el cas de que els esdeveniments siguin incompatibles, aquesta probabilitat es transforma en $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
 141 \stopitemize
 142 \stopframedtext
 143
 144 \section{Probabilitat condicionada}
 145
 146 \startframedtext[width=fit,frame=off,background=screen]
 147 Donats dos esdeveniments $A$ i $B$, es defineix la \term{probabilitat de $B$ condicionat a $A$}, i es denota $p(B \mid A)$, com la probabilitat que ocorri $B$ quan sabem que ha passat $A$.
 148
 149 Per calcular-la s'empra les fórmules següents:
 150 \startformula
 151 p(B \mid A) = \frac{p (A \cap B)}{p(A)},
 152 \stopformula
 153
 154 \startformula
 155 p(A \cap B )  = p(A) \cdot p(B \mid A) = p(B) \cdot p(A \mid B).
 156 \stopformula
 157
 158 Dos esdeveniments $A$ i $B$ són \term{dependents} quan l'ocurrència d'un influeix en l'ocurrència de l'altre. Quan això no passa són \term{independents}.
 159 \startitemize[1,packed]
 160 \item Si $p(B \mid A ) = p(B) \Rightarrow$ $A$ i $B$ són independents.
 161 \item Si $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) \Rightarrow$ $A$ i $B$ són independents.
 162 \stopitemize
 163 \stopframedtext