org/gowers2012.org

   1 #+TITLE:     Timothy Gowers - What is the 500th digit of $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2012}$?
   2 #+AUTHOR:    Joe Corneli
   3 #+DATE:      May 15, 2017
   4 #+DESCRIPTION: IATC transcription of a short informal talk
   5 #+KEYWORDS: mathematical argumentation
   6 #+LANGUAGE: en
   7 #+OPTIONS: H:3 num:t toc:t \n:nil @:t ::t |:t ^:nil -:t f:t *:t <:t
   8 #+OPTIONS: TeX:t LaTeX:nil skip:nil d:nil todo:t pri:nil tags:not-in-toc
   9 #+INFOJS_OPT: view:nil toc:nil ltoc:t mouse:underline buttons:0 path:http://orgmode.org/org-info.js
  10 #+EXPORT_SELECT_TAGS: export
  11 #+EXPORT_EXCLUDE_TAGS: noexport
  12 #+LINK_UP:
  13 #+LINK_HOME:
  14 #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://metameso.org/~joe/solarized-css/build/solarized-light.css" />
  15 #+STARTUP: showeverything
  16
  17 * What the 500th digit of $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2012}$?
  18
  19 What the 500th digit of $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2012}$?
  20
  21 #+BEGIN_SRC
  22 IATC> perf[assert](meta[goal](compute 500th digit of (sqrt(2)+sqrt(3))^2012))
  23 #+END_SRC
  24
  25 Even this, eventually, a computer will be able to solve.
  26
  27 #+BEGIN_SRC
  28 IATC> perf[assert](rel[exists](meta[strategy](strategy X)))
  29 IATC> perf[assert](rel[has_property](strategy X,HAL)
  30 #+END_SRC
  31
  32 For now, notice that total stuckness can make you do desperate things.
  33
  34 #+BEGIN_SRC
  35 IATC> perf[suggest](meta[strategy](simplify and compute))
  36 #+END_SRC
  37
  38 Furthermore, knowing the origin of the problem suggests good things to try.
  39 The fact that it is set as a problem is a huge clue.
  40
  41 #+BEGIN_SRC
  42 IATC> perf[suggest](meta[strategy](this should be straightforward once we find the trick))
  43 #+END_SRC
  44
  45 Can we do this for $x+y$? For $e$?  Rationals with small denominator?
  46
  47 #+BEGIN_SRC
  48 IATC> perf[assert](meta[analogy](compute 500th digit of (sqrt(2)+sqrt(3))^2012, compute 500th digit of (x+y)^2012))
  49 IATC> perf[assert](meta[analogy](compute 500th digit of (sqrt(2)+sqrt(3))^2012, compute 500th digit of (e)^2012))
  50 IATC> perf[assert](meta[analogy](compute 500th digit of (sqrt(2)+sqrt(3))^2012, compute 500th digit of (r1+r2)^2012 where r1 and r2 are small rationals))
  51 IATC> perf[assert](rel[has_property](compute 500th digit of (r1+r2)^2012 where r1 and r2 are small rationals,we can really compute this: e.g. 500th digit of (1/10)^2012 is 0)))
  52 #+END_SRC
  53
  54 How about small perturbations of these?  Maybe it is close to a rational?
  55
  56 #+BEGIN_SRC
  57 perf[suggest](meta[strategy](the trick might be: it is close to something we can compute))
  58 #+END_SRC
  59
  60 \(m\)th digit of $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^n$?
  61
  62 #+BEGIN_SRC
  63 perf[suggest](meta[auxiliary](generalise(general form of the problem: mth digit of (sqrt(2)+sqrt(3))^n)))
  64 #+END_SRC
  65
  66 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$
  67
  68 #+BEGIN_SRC
  69 perf[suggest](meta[auxiliary](specialise((sqrt(2)+sqrt(3))^2)))
  70 rel[instantiates]((sqrt(2)+sqrt(3))^2,general form of the problem)
  71 perf[assert](rel[has_property]((sqrt(2)+sqrt(3))^2,we can really compute this))
  72 #+END_SRC
  73
  74 $2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3$
  75
  76 #+BEGIN_SRC
  77 perf[assert](rel[expands](2+2sqrt{2}sqrt{3}+3,(sqrt(2)+sqrt(3))^2))
  78 #+END_SRC
  79
  80 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2}-\sqrt{3})^2 = 10$
  81
  82 #+BEGIN_SRC
  83 perf[suggest](meta[strategy](eliminate cross terms)
  84 perf[assert](rel[expands](2+2sqrt(2)sqrt(3)+2 + 2 - 2sqrt(2)sqrt(3)+3,(sqrt(2)+sqrt(3))^2 + (sqrt(2)-sqrt(3))^2))
  85 perf[assert](rel[sums](10,2+2sqrt(2)sqrt(3)+2 + 2 - 2sqrt(2)sqrt(3)+3))
  86 #+END_SRC
  87
  88 $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2012} + (\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2012}$ is an integer!
  89
  90 #+BEGIN_SRC
  91 perf[suggest](meta[strategy](binomial theorem))
  92 rel[generalises](binomial theorem, eliminate cross terms)
  93 #+END_SRC
  94
  95 And $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2012}$ is a very small number.
  96 Maybe the final answer is ``9''?
  97
  98 #+BEGIN_SRC
  99 perf[assert](rel[contains as summand]((sqrt(2)+sqrt(3))^2012 + (sqrt(2)-sqrt(3))^2012,(sqrt(3)-sqrt(2))^2012)
 100 perf[assert](rel[has_property]((sqrt(3)-sqrt(2))^2012,small))
 101 perf[assert](rel[implements](SOME SUBGRAPH,the trick might be))
 102 perf[suggest](meta[strategy](numbers that are very close to integers have 9 in many places of their decimal expansion)
 103 #+END_SRC
 104
 105 We need to check whether it's small enough.
 106 $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2012} < (1/2)^{2012}=((1/2)^4)^{503}=(1/16)^{503}<.1^{503}$, so we're in luck.
 107
 108 #+BEGIN_SRC
 109 perf[assert](sqrt(3)-sqrt(2) < 1/2)
 110 perf[assert](0<a<b<1 => a^N<b^N)
 111 perf[assert]((1/2)^2012=((1/2)^4))^503
 112 perf[assert]((1/2)^4=1/16)
 113 perf[assert](1/16<.1)
 114 perf[assert](.1^503 has 502 0s in its decimal expansion)
 115 perf[assert](an integer minus something with at least 502 0s in its decimal expansion has at least 503 9s in its decimal expansion)
 116 #+END_SRC
 117
 118 The answer is indeed 9
 119 #+BEGIN_SRC
 120 perf[assert](rel[implies](SOME SUBGRAPH,general conclusion:(sqrt(2)+sqrt(3))^2012=(sqrt(2)+sqrt(3))^2012+(sqrt(2)-sqrt(3))^2012-(sqrt(2)-sqrt(3))^2012 has at least 503 9s in its decimal expansion))
 121 perf[assert](in particular:(sqrt(2)+sqrt(3))^2012 has 500 9s in its decimal expansion)
 122 perf[assert](rel[specialisation](in particular,general conclusion))
 123 #+END_SRC