examples/bianchi_identities.cnb

   1 % Cadabra notebook version 1.1
   2 \documentclass[11pt]{article}
   3 \usepackage[textwidth=460pt, textheight=660pt]{geometry}
   4 \usepackage[usenames]{color}
   5 \usepackage{amssymb}
   6 \usepackage[parfill]{parskip}
   7 \usepackage{breqn}
   8 \usepackage{tableaux}
   9 \def\specialcolon{\mathrel{\mathop{:}}\hspace{-.5em}}
  10 \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}}
  11 \begin{document}
  12 % Begin TeX cell closed
  13 {\large\bfseries Proof of the higher-derivative identity in appendix A of {\tt hep-th/0111128}}
  14 % End TeX cell
  15 % Begin TeX cell closed
  16 The declaration of the indices, Weyl tensor and covariant derivative:
  17 % End TeX cell
  18 {\color[named]{Blue}\begin{verbatim}
  19 {i,j,m,n,k,p,q,l,r,r#}::Indices(vector).
  20 C_{m n p q}::WeylTensor.
  21 \nabla{#}::Derivative.
  22 \nabla_{r}{ C_{m n p q} }::SatisfiesBianchi.
  23 \end{verbatim}}
  24 \begin{verbatim}
  25 Assigning list property Indices to i, j, m, n, k, p, q, l, r, r#.
  26 Assigning property WeylTensor to C.
  27 Assigning property Derivative to \nabla.
  28 Assigning property SatisfiesBianchi to \nabla.
  29 \end{verbatim}
  30 % Begin TeX cell closed
  31 The identity which we want to prove:
  32 % End TeX cell
  33 {\color[named]{Blue}\begin{verbatim}
  34 Eij:=- C_{i m k l} C_{j p k q} C_{l p m q} + 1/4 C_{i m k l} C_{j m p q} C_{k l p q}
  35      - 1/2 C_{i k j l} C_{k m p q} C_{l m p q}:
  36
  37 E:=  C_{j m n k} C_{m p q n} C_{p j k q} + 1/2 C_{j k m n} C_{p q m n} C_{j k p q}:
  38
  39 exp:= \nabla_{i}{\nabla_{j}{ @(Eij) }} - 1/6 \nabla_{i}{\nabla_{i}{ @(E) }};
  40 \end{verbatim}}
  41 % orig
  42 % \nabla_{i}{\nabla_{j}{( - C_{i m k l} C_{j p k q} C_{l p m q} + 1/4 C_{i m k l} C_{j m p q} C_{k l p q} - 1/2 C_{i k j l} C_{k m p q} C_{l m p q})}} - 1/6 \nabla_{i}{\nabla_{i}{(C_{j m n k} C_{m p q n} C_{p j k q} + 1/2 C_{j k m n} C_{p q m n} C_{j k p q})}};
  43 % end_orig
  44 \begin{dmath*}[compact, spread=2pt]
  45 exp\specialcolon{}= \nabla_{i}{\nabla_{j}{( - C_{i m k l} C_{j p k q} C_{l p m q} + \frac{1}{4}\, C_{i m k l} C_{j m p q} C_{k l p q} - \frac{1}{2}\, C_{i k j l} C_{k m p q} C_{l m p q})}} - \frac{1}{6}\, \nabla_{i}{\nabla_{i}{(C_{j m n k} C_{m p q n} C_{p j k q} + \frac{1}{2}\, C_{j k m n} C_{p q m n} C_{j k p q})}};
  46 \end{dmath*}
  47 % Begin TeX cell closed
  48 First apply the product rule to write out the derivatives,
  49 % End TeX cell
  50 {\color[named]{Blue}\begin{verbatim}
  51 @distribute!(%): @prodrule!(%):
  52 @distribute!(%): @prodrule!(%):
  53 @sumflatten!(%):
  54
  55 @prodsort!(%): @canonicalise!(%): @rename_dummies!(%):
  56 @collect_terms!(%);
  57 \end{verbatim}}
  58 % orig
  59 % C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{p}{C_{j q n k}} - 2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{p}{C_{j k n q}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i k m p}} \nabla_{q}{C_{j p n q}} + C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{j}{\nabla_{q}{C_{n k p q}}} - 2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k m p}} \nabla_{q}{C_{n k p q}} - C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{p}{C_{j q n k}}} - 1/4 C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{m}{C_{n q k p}}} + 1/4 C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{p}{C_{m n k q}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}} - 1/4 C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j k p}} \nabla_{q}{C_{m n p q}} - 1/4 C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{m}{\nabla_{q}{C_{n q k p}}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m n k p}} \nabla_{q}{C_{j q k p}} + 1/4 C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{k}{C_{m n p q}}} - 1/2 C_{i j m n} C_{i j m k} \nabla_{p}{\nabla_{q}{C_{n p k q}}} + C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j m p}} \nabla_{q}{C_{n q k p}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j m p}} \nabla_{q}{C_{n k p q}} + 1/2 C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} + 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{n}{C_{j k p q}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{m}{C_{n k p q}} + 1/2 C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{m}{C_{n k p q}}} + 1/2 C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{j k n p}}} + C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{k}{C_{j p n q}} - 1/4 C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{m n k p}}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}};
  60 % end_orig
  61 \begin{dmath*}[compact, spread=2pt]
  62 exp\specialcolon{}= C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{p}{C_{j q n k}} - 2\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{p}{C_{j k n q}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i k m p}} \nabla_{q}{C_{j p n q}} + C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{j}{\nabla_{q}{C_{n k p q}}} - 2\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k m p}} \nabla_{q}{C_{n k p q}} - C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{p}{C_{j q n k}}} - \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{m}{C_{n q k p}}} + \frac{1}{4}\, C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{p}{C_{m n k q}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}} - \frac{1}{4}\, C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j k p}} \nabla_{q}{C_{m n p q}} - \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{m}{\nabla_{q}{C_{n q k p}}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m n k p}} \nabla_{q}{C_{j q k p}} + \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{k}{C_{m n p q}}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i j m k} \nabla_{p}{\nabla_{q}{C_{n p k q}}} + C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j m p}} \nabla_{q}{C_{n q k p}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j m p}} \nabla_{q}{C_{n k p q}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{n}{C_{j k p q}}%
  63  - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{m}{C_{n k p q}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{m}{C_{n k p q}}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{j k n p}}} + C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{k}{C_{j p n q}} - \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{m n k p}}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}};
  64 \end{dmath*}
  65 % Begin TeX cell closed
  66 Because the identity which we intend to prove is only supposed to hold
  67 on Einstein spaces, we set the divergence of the Weyl tensor to zero,
  68 % End TeX cell
  69 {\color[named]{Blue}\begin{verbatim}
  70 @substitute!(%)( \nabla_{i}{C_{k i l m}} -> 0, \nabla_{i}{C_{k m l i}} -> 0 );
  71 \end{verbatim}}
  72 % orig
  73 % C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{p}{C_{j q n k}} - 2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{p}{C_{j k n q}} - C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{p}{C_{j q n k}}} - 1/4 C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{m}{C_{n q k p}}} + 1/4 C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{p}{C_{m n k q}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}} + 1/4 C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{k}{C_{m n p q}}} + 1/2 C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} + 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{n}{C_{j k p q}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{m}{C_{n k p q}} + 1/2 C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{m}{C_{n k p q}}} + 1/2 C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{j k n p}}} + C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{k}{C_{j p n q}} - 1/4 C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{m n k p}}} - 1/2 C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}};
  74 % end_orig
  75 \begin{dmath*}[compact, spread=2pt]
  76 exp\specialcolon{}= C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} - C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{p}{C_{j q n k}} - 2\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{p}{C_{j k n q}} - C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{p}{C_{j q n k}}} - \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{m}{C_{n q k p}}} + \frac{1}{4}\, C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{p}{C_{m n k q}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}} + \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{k}{C_{m n p q}}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{m}{\nabla_{j}{C_{n k p q}}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{m k p q}} \nabla_{n}{C_{j k p q}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{i}{C_{j k p q}} \nabla_{m}{C_{n k p q}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i k p q} \nabla_{j}{\nabla_{m}{C_{n k p q}}} + \frac{1}{2}\, C_{i j m n} C_{i k m p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{j k n p}}} + C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i p m q}} \nabla_{k}{C_{j p n q}} - \frac{1}{4}\, C_{i j m n} C_{i j k p} \nabla_{q}{\nabla_{q}{C_{m n k p}}} - \frac{1}{2}\, C_{i j m n} \nabla_{k}{C_{i j p q}} \nabla_{k}{C_{m n p q}};
  77 \end{dmath*}
  78 % Begin TeX cell closed
  79 This expression should vanish upon use of the Bianchi identity. By
  80 expanding all tensors using their Young projectors, this becomes manifest,
  81 % End TeX cell
  82 {\color[named]{Blue}\begin{verbatim}
  83 @young_project_tensor!3(%){ModuloMonoterm}:
  84 @distribute!(%):
  85 @prodsort!(%):
  86 @canonicalise!(%):
  87 @rename_dummies!(%):
  88 @collect_terms!(%);
  89 \end{verbatim}}
  90 % orig
  91 % 0;
  92 % end_orig
  93 \begin{dmath*}[compact, spread=2pt]
  94 exp\specialcolon{}= 0;
  95 \end{dmath*}
  96 % Begin TeX cell closed
  97 This proves the identity.
  98 % End TeX cell
  99 \end{document}