equacions-primer-grau-problemes.conTeXt.erb

   1 \environment entorn
   2
   3 \starttext
   4
   5 \startsubject[title={Problemes d'equacions de primer grau}]
   6
   7 \startsubsubject[title={Preguntes}]
   8
   9 <%
  10
  11 exercicis = Hash.new
  12
  13 %>
  14
  15 <%# Exercici 1 %>
  16 <%
  17 exercicis[1] = Array.new
  18
  19   multiple = rand(4..10)
  20   # Assegur que b-d = multiple * (c-a). D'aquesta manera les hores són nombres sencers.
  21   parametres = Hash.new
  22   parametres['a'] = rand(2..10)
  23   parametres['c'] = rand(11..21)
  24
  25   parametres['d'] = rand(6..10)
  26   parametres['b'] = (parametres['c']-parametres['a'])*multiple + parametres['d']
  27
  28 exercicis[1].push(parametres)
  29 %>
  30
  31 \startexercici[reference=exercici-1] Un viatger vol llogar un camell al Marroc. Hi ha dues ofertes: en la primera lloga el camell a <%=parametres['a']%> dirhams per hora i <%=parametres['b']%> dirhams de comissió; en la segona el lloga a <%=parametres['c']%> dirhams per hora i <%=parametres['d']%> dirhams de comissió.
  32
  33 \bigskip
  34 Especifiqueu en quins casos triaríeu la primera oferta i en quins la segona
  35 \stopexercici
  36
  37
  38
  39 <%# Exercici 2 %>
  40 <%
  41 exercicis[2] = Array.new
  42
  43   parametres = Hash.new
  44
  45   parametres['a'] = rand(6..9)*100
  46   parametres['c'] = rand(10..21)*100
  47
  48   # diferència de la comissió per cotxe venut
  49   diferencia = rand(1..3)*25
  50
  51   parametres['d'] = rand(1..3)*100+75
  52   parametres['b'] = parametres['d']+diferencia
  53
  54   exercicis[2].push(parametres)
  55 %>
  56
  57 \startexercici[reference=exercici-2] Una persona rep dues ofertes per ser comercial de cotxes (vegeu Taula~\in[taula:ofertes-comercials]):
  58
  59 \startplacetable[location=force, reference=taula:ofertes-comercials, title={Ofertes disponibles de comercial de cotxes}]
  60 \bTABLE[setups={table5:header, table5:frame, table5:style}]
  61 \bTR
  62   \bTH Empresa $A$ \eTH
  63   \bTH Empresa $B$ \eTH
  64 \eTR
  65 \bTR
  66   \bTD
  67      <%=parametres['a']%> € fixos mensuals
  68
  69      <%=parametres['b']%> € de comissió per cotxe venut
  70   \eTD
  71   \bTD
  72     <%=parametres['c']%> € fixos mensuals
  73
  74     <%=parametres['d']%> € de comissió per cotxe venut
  75
  76   \eTD
  77 \eTR
  78 \eTABLE
  79 \stopplacetable
  80
  81
  82 A partir de quants cotxes venuts li interessa a aquesta persona triar l'oferta de l'empresa $A$?
  83 \stopexercici
  84
  85 \stopsubsubject
  86
  87 <%# ----------------------- Resolució ------------------------ %>
  88 \page[yes]
  89 \startsubsubject[title={Resolució}]
  90
  91 \startitemize
  92 \sym{\in[exercici-1]}
  93 <% exercicis[1].each do |par| %>
  94
  95 <%
  96 sol = Rational(par['b']-par['d'], par['c']-par['a']).to_i
  97 %>
  98 \startitemize[a]
  99 \item Si $x$ són les hores que lloguem el camell, tenim que el preu en la primera oferta és $<%=par['a']%>\cdot x + <%=par['b']%>$, i en la segona oferta és $<%=par['c']%>\cdot x + <%=par['d']%>$.
 100 \item Si igualam aquestes dues expressions, obtendrem una equació: $<%=par['a']%> x + <%=par['b']%> = <%=par['c']%> x + <%=par['d']%>$. Si la resolem, obtindrem que $x = <%=sol%>$.
 101 \item Això significa que per $<%=sol%>$ hores, les dues ofertes són igual de bones, és a dir, costarà en mateix el camell en ambdues.
 102 \item Per un nombre d'hores menor que $<%=sol%>$, la segona oferta és més barata (per exemple per 0 hores). I per un nombre d'hores superior a aquest nombre, la primera oferta és més barata (ho podeu comprovar amb un nombre qualsevol major que $<%=sol%>$).
 103 \stopitemize
 104 <% end %>
 105
 106
 107
 108 \sym{\in[exercici-2]}
 109 <% exercicis[2].each do |par| %>
 110 <%
 111   sol = Rational(par['c']-par['a'], par['b'] - par['d'])
 112   aprox = Rational(par['c']-par['a'], par['b'] - par['d']).to_f.round(3)
 113
 114 %>
 115
 116 \startitemize[a]
 117 \item Si diem $x$ al nombre de cotxes venuts, tenim que el sou de l'empresa $A$ és $<%=par['a']%> + <%=par['b']%> \cdot x$; i el sou de l'empresa $B$ és $<%=par['c']%> + <%=par['d']%> \cdot x$.
 118 \item Està clar que si no es venen quasi cotxes, l'empresa $B$ té un sou menor. Progressivament, però, el sou de l'empresa $A$ és cada vegada major, fins que sobrepassa el de l'empresa $B$. Volem saber en quin moment els sous de les dues empreses serien igual. Per això hem d'igualar les dues expressions dels sous, amb la qual cosa s'obté una equació:
 119 \startformula
 120 <%=par['a']%> + <%=par['b']%> x = <%=par['c']%> + <%=par['d']%> x
 121 \stopformula
 122 \item Aquesta equació té com a solució $<%=sol%> \simeq <%=aprox%>$.
 123 \item Per tant, a partir de $<%=sol.ceil%>$ cotxes venuts, la persona guanyaria més a l'empresa $A$.
 124 \stopitemize
 125 <% end %>
 126
 127 \stopitemize
 128
 129 \vfill
 130 La resolució d'aquests exercicis s'ha calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 131
 132 \stopsubsubject
 133
 134 \stoptext