estadistica-descriptiva-unidimensional-parametres-de-centralitzacio.conTeXt.erb

   1 \environment entorn
   2
   3 <%
   4 require_relative 'biblioteca'
   5
   6 %>
   7
   8 \starttext
   9
  10 \startsubject[title={Paràmetres de centralització}]
  11
  12 \startsubsubject[title={Preguntes}]
  13
  14 <%
  15
  16 exercicis = Hash.new
  17 enunciats = Hash.new
  18
  19 %>
  20
  21
  22 <%# Exercici 1 %>
  23 <%
  24 exercicis[1] = Array.new
  25
  26 # Ha de ser múltiple de 15: 1..16 o 1..31 o ....
  27 for i in (0...30)
  28   exercicis[1].push(rand(0..6))
  29 end
  30 %>
  31
  32 \startexercici[reference=exercici-1] En un centre d'adults s'enregistren el nombre d'assignatures aprovades per part de l'alumnat. Es pren una mostra aleatòria de <%= exercicis[1].length %> persones. Els resultats són els següents (vegeu taula~\in[taula:exercicis-automatics-estadistica-1]).
  33
  34 \startplacetable[location=force, reference=taula:exercicis-automatics-estadistica-1, title={Nombre d'assignatures aprovades d'un total de sis possibles.}]
  35 \bTABLE[frame=off,align={flushleft,lohi},width=fit, offset=2mm]
  36  <% exercicis[1].each_with_index do |p, i| %>
  37    <% if (i % 15) == 0%>
  38    \bTR
  39    <% end %>
  40
  41    \bTD <%=p%>,\eTD
  42
  43    <% if (i % 15) == 0%>
  44    \eTR
  45    <% end %>
  46  <% end %>
  47 \eTABLE
  48 \stopplacetable
  49
  50 Amb aquestes dades:
  51 \startitemize[a]
  52 \item Feis la taula de freqüències
  53 \item Calculeu la mitjana aritmètica, la mediana i la moda
  54 \item Interpreteu els paràmetres anteriors.
  55 \item Si el centre té 300 persones matriculades, quantes persones és d'esperar que aprovin totes les assignatures?
  56 \stopitemize
  57
  58 \stopexercici
  59
  60
  61
  62 <%# Exercici 2 %>
  63 <%
  64 exercicis[2] = Array.new
  65 talla = ["XS", "S", "M", "L", "XL"]
  66
  67 for i in (0...60)
  68   exercicis[2].push(talla[rand(0..4)])
  69 end
  70
  71 %>
  72
  73
  74 \startexercici[reference=exercici-2] Durant l'inventari d'una tenda de roba, s'enregistren les talles de les camisetes (vegeu taula~\in[taula:exercicis-automatics-estadistica-2]):
  75
  76 \startplacetable[location=force, reference=taula:exercicis-automatics-estadistica-2, title={Talles de camisetes}]
  77 \startalignment[center]
  78 <%= exercicis[2].join(", ") %>.
  79 \stopalignment
  80 \stopplacetable
  81
  82 \startitemize[a]
  83 \item Quina talla de camiseta és la més abundant?
  84 \item Calculeu el percentatge que representa cada talla respecte del total
  85 \item Podeu calcular la mitjana, la mediana i la moda de les dades anteriors? Per què?
  86 \item Sabem que el cost de tintada de cada camiseta és $XS \mapsto \text{2 €}$, $S \mapsto \text{2,20 €}$, $M \mapsto \text{2,50 €}$, $L \mapsto \text{2,80 €}$ i $XL \mapsto \text{3,50 €}$. Trobeu el cost mitjà de tintada d'una camiseta triada a l'atzar.
  87 \stopitemize
  88 \stopexercici
  89
  90 <%# Exercici 3 %>
  91 <%
  92 exercicis[3] = Array.new
  93 for i in (0...60)
  94   exercicis[3].push(rand(0..4))
  95 end
  96
  97 parents = ["germans", "cosins", "oncles", "nets"]
  98 enunciats[3] = Array.new
  99
 100 enunciats[3].push(parents[rand(0..3)])
 101
 102
 103 %>
 104
 105
 106 \startexercici[reference=exercici-3] Es fa una enquesta i s’enregistra el nombre de <%=enunciats[3][0]%> de <%=exercicis[3].size%> persones (vegeu taula~\in[taula:exercicis-automatics-estadistica-3]):
 107
 108 \startplacetable[location=force, reference=taula:exercicis-automatics-estadistica-3, title={Nombre de <%=enunciats[3][0]%>}]
 109 \bTABLE[frame=off,align={flushleft,lohi},width=fit, offset=2mm]
 110  <% exercicis[3].each_with_index do |p, i| %>
 111    <% if (i % 15) == 0%>
 112    \bTR
 113    <% end %>
 114
 115    \bTD <%=p%>,\eTD
 116
 117    <% if (i % 15) == 0%>
 118    \eTR
 119    <% end %>
 120  <% end %>
 121 \eTABLE
 122 \stopplacetable
 123
 124 \startitemize[a]
 125 \item Feis una taula de freqüències
 126 \item Calculeu la mitjana aritmètica i interpreteu-la
 127 \stopitemize
 128 \stopexercici
 129
 130
 131
 132 <%# Exercici 4 %>
 133 <%
 134 # Cercam una dimensió del nombre de dades múltiple de 15
 135 dimensio = 15*rand(1..5)
 136
 137 # Prenem unes dades aleatòries
 138 exercicis[4] = Array.new
 139 for i in (0...dimensio)
 140   exercicis[4].push(rand(0..4))
 141 end
 142 %>
 143
 144
 145 \startexercici[reference=exercici-4] El nombre d’hores setmanals d’exercici de <%=exercicis[4].size%> persones, arrodonides a les unitats, són les següents (taula~\in[taula:exercicis-automatics-estadistica-4]):
 146
 147 \startplacetable[location=force, reference=taula:exercicis-automatics-estadistica-4, title={Nombre de <%=enunciats[3][0]%>}]
 148 \bTABLE[frame=off,align={flushleft,lohi},width=fit, offset=2mm]
 149  <% exercicis[4].each_with_index do |p, i| %>
 150    <% if (i % 15) == 0%>
 151    \bTR
 152    <% end %>
 153
 154    \bTD <%=p%>,\eTD
 155
 156    <% if (i % 15) == 0%>
 157    \eTR
 158    <% end %>
 159  <% end %>
 160 \eTABLE
 161 \stopplacetable
 162
 163 \startitemize[a]
 164 \item Calculeu la moda i la mediana
 165 \item Interpreteu els resultats
 166 \stopitemize
 167 \stopexercici
 168
 169 \stopsubsubject
 170
 171 <%# ----------------------- Solucions ------------------------ %>
 172 \page[yes]
 173 \startsubsubject[title={Solucions}]
 174
 175 \startitemize
 176 \sym{\in[exercici-1]}
 177 \startitemize[a]
 178 \item
 179 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici1-solucions, title={Taula de freqüències absolutes}]
 180 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 181  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 182    \bTH Assignatures aprovades \eTH
 183    \bTH Freqüència \eTH
 184  \eTR
 185  <% Estadistica.taula_frequencies(exercicis[1]).each do |valor, freq| %>
 186  \bTR
 187    \bTD <%= valor %> \eTD
 188    \bTD <%= freq %> \eTD
 189  \eTR
 190  <% end %>
 191  \eTABLE
 192 \stopplacetable
 193
 194 \item $\overline{x} = \frac{<%=exercicis[1].sum%>}{<%=exercicis[1].length%>} \simeq <%= (exercicis[1].sum/(exercicis[1].length.to_f)).round(3) %>$; $Me = <%=Estadistica.mediana(exercicis[1])%>$; $Mo = <%= Estadistica.moda(exercicis[1]) %>$.
 195
 196 \item Si totes les persones haguessin aprovat el mateix nombre d'assignatures, aquest seria $<%= (exercicis[1].sum/(exercicis[1].length.to_f)).round(3) %>$; El més freqüent és aprovar <%=Estadistica.moda(exercicis[1], cadenaformat=" o ")%> assignatures; El 50\% de les persones aprova $<%=Estadistica.mediana(exercicis[1])%>$ o menys.
 197
 198 \item Hi hauria $<%= Estadistica.taula_frequencies(exercicis[1])[6].to_f/exercicis[1].length * 300 %>$ persones amb totes les assignatures aprovades.
 199 \stopitemize
 200
 201 \sym{\in[exercici-2]}
 202 \startitemize[a]
 203 \item La talla de camisetes més abundant és $Mo = <%= Estadistica.moda(exercicis[2]) %>$.
 204 \item Els percentatges que representa cada talla, arrodonits a les dècimes, són:
 205
 206 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici2-solucions, title={Taula de percentatges}]
 207 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 208  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 209    \bTH Talla \eTH
 210    \bTH Percentatge \eTH
 211  \eTR
 212  <% Estadistica.taula_frequencies_relatives(exercicis[2]).each do |valor, freq| %>
 213  \bTR
 214    \bTD <%= valor %> \eTD
 215    \bTD <%= (freq*100).round(1) %> \eTD
 216  \eTR
 217  <% end %>
 218  \eTABLE
 219 \stopplacetable
 220
 221 \item No podem calcular ni la mitjana ni la mediana però sí la moda. Perquè la variable no és numèrica.
 222
 223 \item
 224
 225 <% taulafreq = Estadistica.taula_frequencies(exercicis[2]) %>
 226 <%
 227
 228 preumitja = 0
 229
 230 taulafreq.each do |valor, freq|
 231    if valor == 'XS'
 232       preumitja = preumitja + 2*freq
 233    elsif valor == 'S'
 234       preumitja = preumitja + 2.20*freq
 235    elsif valor == 'M'
 236       preumitja = preumitja + 2.50*freq
 237    elsif valor == 'L'
 238       preumitja = preumitja + 2.80*freq
 239    elsif valor == 'XL'
 240       preumitja = preumitja + 3.50*freq
 241    end
 242 end
 243
 244 preumitja = (preumitja/exercicis[2].length).round(2)
 245 %>
 246
 247 El preu mitjà és <%=preumitja%>€.
 248
 249
 250 \stopitemize
 251
 252 \sym{\in[exercici-3]}
 253 \startitemize[a]
 254 \item La taula de freqüències és
 255
 256 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici3-solucions, title={Taula de freqüències}]
 257 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 258  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 259    \bTH Talla \eTH
 260    \bTH Freqüència \eTH
 261  \eTR
 262  <% Estadistica.taula_frequencies(exercicis[3]).each do |valor, freq| %>
 263  \bTR
 264    \bTD <%= valor %> \eTD
 265    \bTD <%= freq %> \eTD
 266  \eTR
 267  <% end %>
 268  \eTABLE
 269 \stopplacetable
 270
 271
 272 \item
 273
 274 \stopitemize La mitjana és <%=Estadistica.mitjana(exercicis[3])%>. Això vol dir que, si totes les persones enquestades tenguessin el mateix nombre de cosins, llavors tendrien <%=Estadistica.mitjana(exercicis[3])%> cosins cadascú.
 275
 276 \sym{\in[exercici-4]}
 277 \startitemize[a]
 278 \item La moda és $Mo = <%=Estadistica.moda(exercicis[4])%>$ i la mediana $Me = <%=Estadistica.mediana(exercicis[4])%>$.
 279 \item El més freqüent és fer <%=Estadistica.moda(exercicis[4])%> hores d'exercici. El 50\% de les persones fa <%=Estadistica.mediana(exercicis[4])%> hores d'exercici o menys.
 280 \stopitemize
 281
 282
 283 \stopitemize
 284
 285 \vfill
 286 Les solucions d'aquests exercicis s'han calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 287
 288 \stopsubsubject
 289
 290 <%# ----------------------- Resolució ------------------------ %>
 291 \page[yes]
 292 \startsubsubject[title={Resolució}]
 293
 294 \startitemize
 295 \sym{\in[exercici-1]}\startitemize[a]
 296 \item Per fer la taula de freqüències (absolutes), hem de recomptar les dades, és a dir, hem de fer una taula amb dues columnes: en la primera hi haurà el nombre d'assignatures que es poden aprovar, és a dir, un nombre entre 0 i 6. En la segona columna hi haurà el nombre de persones que han aprovat cada nombre d'assignatures concret.
 297
 298 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici1-solucions, title={Taula de freqüències absolutes}]
 299 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 300  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 301    \bTH Assignatures aprovades \eTH
 302    \bTH Freqüència \eTH
 303  \eTR
 304  <% Estadistica.taula_frequencies(exercicis[1]).each do |valor, freq| %>
 305  \bTR
 306    \bTD <%= valor %> \eTD
 307    \bTD <%= freq %> \eTD
 308  \eTR
 309  <% end %>
 310  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 311    \bTD Total \eTD
 312    \bTD <%= exercicis[1].length %> \eTD
 313  \eTR
 314  \eTABLE
 315 \stopplacetable
 316
 317 \item
 318 \startitemize[A]
 319 \item Per a calcular la mitjana aritmètica, hem de sumar totes les dades i dividir pel total de dades. En el nostre cas, $\overline{x} = \frac{<%=exercicis[1].sum%>}{<%=exercicis[1].length%>} \simeq <%= (exercicis[1].sum/(exercicis[1].length.to_f)).round(3) %>$.
 320
 321 \item La mediana és el valor d'enmig de la mostra. Sabem que hi ha $<%=exercicis[1].length%>$ valors: <% if exercicis[1].length.odd? %> és senar. Per tant, hem de prendre el valor <%=exercicis[1].length/2 + 1%>è, és a dir, <%=exercicis[1].sort[exercicis[1].length/2]%><% else %> és parell. Per tant, hem de prendre els valors <%=exercicis[1].length/2%>è i <%=exercicis[1].length/2+1%>è, és a dir, <%=exercicis[1].sort[exercicis[1].length/2-1]%> i <%=exercicis[1].sort[exercicis[1].length/2]%>, i fer la seva mitjana aritmètica<% end %>.
 322
 323 Amb tot, $Me = <%=Estadistica.mediana(exercicis[1])%>$.
 324
 325 \item La moda és el valor més freqüent.
 326 En el nostre cas, $Mo = <%= Estadistica.moda(exercicis[1]) %>$.
 327 \stopitemize
 328
 329 \item Si totes les persones haguessin aprovat el mateix nombre d'assignatures, aquest seria $<%= (exercicis[1].sum/(exercicis[1].length.to_f)).round(3) %>$; El més freqüent és aprovar <%=Estadistica.moda(exercicis[1], cadenaformat=" o ")%> assignatures; El 50\% de les persones aprova $<%=Estadistica.mediana(exercicis[1])%>$ o menys.
 330
 331 \item Si hi hagués 300 persones matriculades, podríem extrapolar el nombre de persones que aprovarien sis assignatures usant proporcionalitat numèrica, és a dir, una regla de tres directa:
 332
 333 \startitemize[packed]
 334 \item Si en <%=exercicis[1].length%> persones, n'hi ha <%=Estadistica.taula_frequencies(exercicis[1])[6] %> que han aprovat sis assignatures
 335 \item Quantes persones aprovarien sis assignatures amb un total de 300 persones?
 336 \stopitemize
 337
 338 <%
 339 aprovats = Estadistica.taula_frequencies(exercicis[1])[6]
 340 %>
 341
 342 La resposta seria $\frac{<%=aprovats%>}{<%=exercicis[1].length%>} \cdot 300 = <%= aprovats.to_f/exercicis[1].length * 300 %>$
 343 \stopitemize
 344
 345
 346 \sym{\in[exercici-2]}
 347
 348 \startitemize[a]
 349 \item La talla de camisetes més abundant realment és la moda de les talles de les camisetes. $Mo = <%= Estadistica.moda(exercicis[2]) %>$
 350 \item La taula de freqüències de les talles és:
 351
 352 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici2-solucions-a, title={Taula de freqüències}]
 353 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 354  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 355    \bTH Talla \eTH
 356    \bTH Freqüències \eTH
 357  \eTR
 358  <% Estadistica.taula_frequencies(exercicis[2]).each do |valor, freq| %>
 359  \bTR
 360    \bTD <%= valor %> \eTD
 361    \bTD <%= freq %> \eTD
 362  \eTR
 363  <% end %>
 364  \eTABLE
 365 \stopplacetable
 366
 367 Per tant, fent una regla de tres, podem saber els percentatges que representa cada talla (el 100\% són <%=exercicis[2].size%> dades). Els percentatges estan arrodonits a les dècimes:
 368
 369 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici2-solucions, title={Taula de percentatges}]
 370 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 371  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 372    \bTH Talla \eTH
 373    \bTH Percentatge \eTH
 374  \eTR
 375  <% Estadistica.taula_frequencies_relatives(exercicis[2]).each do |valor, freq| %>
 376  \bTR
 377    \bTD <%= valor %> \eTD
 378    \bTD <%= (freq*100).round(1) %> \eTD
 379  \eTR
 380  <% end %>
 381  \eTABLE
 382 \stopplacetable
 383
 384
 385 \item No podem calcular ni la mitjana ni la mediana, ja que la variable de les talles de les camisetes és qualitativa i no quantitativa. És a dir, les talles de les camisetes no són nombres, sinó paraules. Per tant, no les podem ordenar per a calcular la mediana\footnote{Encara que admetem que podem ordenar paraules, per exemple amb l'ordre lexicogràfic, recordeu que en el cas parell, hem de prendre la mitjana aritmètica dels valors centrals, cosa que no podem fer.} ni molt menys sumar i dividir. Sí que podem trobar la moda, ja que només hem de calcular la taula de freqüències absolutes, cosa que podem fer independentment de com sigui la variable.
 386
 387 \item Realment, el que hauríem de fer és una mitjana aritmètica d'una sèrie de dades en les que cada talla és substituïda pel seu preu.
 388
 389 <% taulafreq = Estadistica.taula_frequencies(exercicis[2]) %>
 390 <%
 391
 392 preumitja = 0
 393
 394 taulafreq.each do |valor, freq|
 395    if valor == 'XS'
 396       preumitja = preumitja + 2*freq
 397    elsif valor == 'S'
 398       preumitja = preumitja + 2.20*freq
 399    elsif valor == 'M'
 400       preumitja = preumitja + 2.50*freq
 401    elsif valor == 'L'
 402       preumitja = preumitja + 2.80*freq
 403    elsif valor == 'XL'
 404       preumitja = preumitja + 3.50*freq
 405    end
 406 end
 407
 408 preumitja = (preumitja/exercicis[2].length).round(2)
 409 %>
 410
 411 D'aquesta manera, obtenim un preu mitjà arrodonit de <%=preumitja%>€.
 412
 413
 414 \stopitemize
 415
 416 \sym{\in[exercici-3]}
 417 \startitemize[a]
 418 \item La taula de freqüències és
 419
 420 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici3-solucions, title={Taula de freqüències}]
 421 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 422  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 423    \bTH Talla \eTH
 424    \bTH Freqüència \eTH
 425  \eTR
 426  <% Estadistica.taula_frequencies(exercicis[3]).each do |valor, freq| %>
 427  \bTR
 428    \bTD <%= valor %> \eTD
 429    \bTD <%= freq %> \eTD
 430  \eTR
 431  <% end %>
 432  \eTABLE
 433 \stopplacetable
 434
 435
 436 \item La mitjana és <%=Estadistica.mitjana(exercicis[3])%>. Això vol dir que, si totes les persones enquestades tenguessin el mateix nombre de cosins, llavors tendrien <%=Estadistica.mitjana(exercicis[3])%> cosins cadascú.
 437
 438 \stopitemize
 439
 440 \sym{\in[exercici-4]}
 441 \startitemize[a]
 442 \item La taula de freqüències és
 443
 444 \startplacetable[location={force,none}, reference=taula:exercicis-automatics-exercici4-solucions, title={Taula de freqüències}]
 445 \bTABLE[frame=on,align={middle,lohi},width=fit, offset=2mm]
 446  \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
 447    \bTH Talla \eTH
 448    \bTH Freqüència \eTH
 449  \eTR
 450  <% Estadistica.taula_frequencies(exercicis[4]).each do |valor, freq| %>
 451  \bTR
 452    \bTD <%= valor %> \eTD
 453    \bTD <%= freq %> \eTD
 454  \eTR
 455  <% end %>
 456  \eTABLE
 457 \stopplacetable
 458
 459 Per tant, la moda és $Mo = <%=Estadistica.moda(exercicis[4])%>$.
 460
 461 Per calcular la moda hem de notar que el nombre total de dades, $<%= exercicis[4].size %>$, <% if exercicis[4].size.odd? %>és senar<% else %>és parell <% end %>. Per tant, <% if exercicis[4].size.odd? %>hem de prendre la dada <%=exercicis[4].size/2%>a<%else%>hem de calcular la mitjana aritmètica de la dada <%= exercicis[4].length/2-1 %>a i <%=exercicis[4].length/2%>a, que és $\frac{<%=exercicis[4].sort[exercicis[4].length/2-1]%>+<%=exercicis[4].sort[exercicis[4].length/2]%>}{2}$ <% end %>. Per tant, la mediana $Me = <%=Estadistica.mediana(exercicis[4])%>$.
 462 \item El més freqüent és fer <%=Estadistica.moda(exercicis[4])%> hores d'exercici.
 463
 464 El 50\% de les persones fa <%=Estadistica.mediana(exercicis[4])%> hores d'exercici o menys. O sigui, en el nostre cas, ja que només comptam hores senceres, el 50\% de les persones fa <%= (0..(Estadistica.mediana(exercicis[4])-1)).to_a.join(", ") %> o <%=Estadistica.mediana(exercicis[4])%> hores d'exercici.
 465 \stopitemize
 466
 467 \stopitemize
 468
 469 \vfill
 470 La resolució d'aquests exercicis s'ha calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 471
 472 \stopsubsubject
 473
 474 \stopsubject
 475
 476 \stoptext