sistemes-de-equacions.conTeXt.erb

   1 \environment entorn
   2
   3 <%
   4 # Funció per a implementar el signe dels nombres: +n o -n segons si n és positiu o negatiu
   5 # https://stackoverflow.com/a/63552871
   6 class Numeric
   7   def to_ss   # to signed string
   8     self.negative? ? self.to_s : "+#{self.to_s}"
   9   end
  10 end
  11 %>
  12
  13 \starttext
  14
  15 \startsubject[title={Sistemes d'equacions lineals $2\times 2$}]
  16
  17 \startsubsubject[title={Preguntes}]
  18
  19 <%
  20
  21 exercicis = Hash.new
  22
  23 %>
  24
  25 <%# Exercici 1 %>
  26 <%
  27 exercicis[1] = Array.new
  28
  29 for i in (1...3)
  30   parametres = Hash.new
  31
  32   # Les solucions
  33   parametres['x'] = rand(-10..10)
  34   parametres['y'] = rand(-10..10)
  35
  36   # Els paràmetres del sistema
  37   parametres['a'] = rand(-10..10)
  38   parametres['c'] = parametres['a'] + rand(1..10)
  39
  40   ## M'assegur que ni 'a' ni 'c' són 0
  41   if parametres['a'] == 0
  42      parametres['a'] = 2
  43   end
  44
  45   if parametres['c'] == 0
  46      parametres['c'] = 3
  47   end
  48
  49   # Calculam b i d en funció de tot l'anterior
  50   parametres['b'] = parametres['y'] - parametres['a']*parametres['x']
  51   parametres['d'] = parametres['y'] - parametres['c']*parametres['x']
  52
  53   exercicis[1].push(parametres)
  54 end
  55 %>
  56
  57 \startexercici[reference=exercici-1, title={aïllats}] Resoleu els sistemes següents:
  58 \startitemize[a,columns]
  59 <% exercicis[1].each do |par| %>
  60 \item \startformula \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
  61 \NC y \NC = <%=par['a']%> x  <%=par['b'].to_ss%> \NR
  62 \NC y \NC = <%=par['c']%> x  <%=par['d'].to_ss%> \NR
  63 \stopmatrix \stopformula
  64 <% end %>
  65 \stopitemize
  66 \stopexercici
  67
  68 <%# Exercici 2 %>
  69 <%
  70 exercicis[2] = Array.new
  71
  72 for i in (1...3)
  73   parametres = Hash.new
  74
  75   # Les solucions
  76   parametres['x'] = rand(-10..10)
  77   parametres['y'] = rand(-10..10)
  78
  79   # Els paràmetres del sistema
  80   delta = [1,-1]
  81
  82   parametres['a'] = rand(2..10)
  83   ## b i d són -1 o 1
  84   parametres['b'] = delta[rand(0..1)]
  85   parametres['d'] = rand(2..10)
  86   parametres['e'] = delta[rand(0..1)]
  87
  88   if parametres['a'] == parametres['d']
  89     parametres['d'] = parametres['a'] + 1
  90   end
  91
  92   # Calculam c i f en funció de tot l'anterior
  93   parametres['c'] = parametres['a']*parametres['x']+parametres['b']*parametres['y']
  94   parametres['f'] = parametres['d']*parametres['x']+parametres['e']*parametres['y']
  95
  96   exercicis[2].push(parametres)
  97 end
  98
  99 %>
 100
 101
 102 \startexercici[reference=exercici-2, title={tipus $\pm y$}] Resoleu els sistemes següents:
 103 \startitemize[a, columns]
 104 <% exercicis[2].each do |par| %>
 105 \item \startformula \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 106 \NC <%=par['a']%> x <%=par['b'].to_ss%>y \NC = <%=par['c']%> \NR
 107 \NC <%=par['d']%> x <%=par['e'].to_ss%>y \NC =  <%=par['f']%> \NR
 108 \stopmatrix \stopformula
 109 <% end %>
 110 \stopitemize
 111 \stopexercici
 112
 113
 114 <%# Exercici 3 %>
 115 <%
 116 exercicis[3] = Array.new
 117
 118 for i in (1...3)
 119   parametres = Hash.new
 120
 121   # Les solucions
 122   # M'assegur que les solucions són nombres sencers
 123   parametres['x'] = rand(-10..10)
 124   parametres['y'] = rand(-10..10)
 125
 126   # Els paràmetres del sistema
 127   parametres['a'] = rand(2..10)
 128   parametres['b'] = rand(2..10)
 129   parametres['d'] = rand(2..10)
 130   parametres['e'] = rand(2..10)
 131
 132   if parametres['a'] == parametres['d']
 133     parametres['d'] = parametres['a'] + 1
 134   end
 135
 136   # Calculam c i f en funció de tot l'anterior
 137   parametres['c'] = parametres['a']*parametres['x']+parametres['b']*parametres['y']
 138   parametres['f'] = parametres['d']*parametres['x']-parametres['e']*parametres['y']
 139
 140   exercicis[3].push(parametres)
 141 end
 142
 143 %>
 144
 145
 146 \startexercici[reference=exercici-3, title={estàndard}] Resoleu els sistemes següents:
 147 \startitemize[a, columns]
 148 <% exercicis[3].each do |par| %>
 149 \item \startformula \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 150 \NC <%=par['a']%> x + <%=par['b']%>y \NC = <%=par['c']%> \NR
 151 \NC <%=par['d']%> x - <%=par['e']%>y \NC =  <%=par['f']%> \NR
 152 \stopmatrix \stopformula
 153 <% end %>
 154 \stopitemize
 155 \stopexercici
 156
 157 \stopsubsubject
 158
 159 <%# ----------------------- Solucions ------------------------ %>
 160 \page[yes]
 161 \startsubsubject[title={Solucions}]
 162
 163 \startitemize
 164 \sym{\in[exercici-1]}
 165 \startitemize[a, text]
 166 <% exercicis[1].each do |par| %>
 167 \item $x = <%=par['x']%>$, $y = <%=par['y']%>$
 168 <% end %>
 169 \stopitemize
 170
 171 \sym{\in[exercici-2]}
 172 \startitemize[a, text]
 173 <% exercicis[2].each do |par| %>
 174 \item $x = <%=par['x']%>$, $y = <%=par['y']%>$
 175 <% end %>
 176 \stopitemize
 177
 178 \sym{\in[exercici-3]}
 179 \startitemize[a, text]
 180 <% exercicis[3].each do |par| %>
 181 \item $x = <%=par['x']%>$, $y = <%=par['y']%>$
 182 <% end %>
 183 \stopitemize
 184
 185
 186 \stopitemize
 187
 188
 189 \vfill
 190 Les solucions d'aquests exercicis s'han calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 191
 192 \stopsubsubject
 193
 194 <%# ----------------------- Resolució ------------------------ %>
 195 \page[yes]
 196 \startsubsubject[title={Resolució}]
 197
 198 \startitemize
 199 \sym{\in[exercici-1]}
 200 \startitemize[a, text]
 201 <% exercicis[1].each do |par| %>
 202 <% a = par['a']
 203    b = par['b']
 204    c = par['c']
 205    d = par['d']
 206    x = par['x']
 207    y = par['y']
 208 %>
 209
 210 \item Igualem les dues expressions de les $y$ i obtenim l'equació següent:
 211 \startformula
 212 <%=a%>x <%=b.to_ss%> = <%=c%>x  <%=d.to_ss%>,
 213 \stopformula
 214 que resolem:
 215 \startformula \startalign
 216  \NC <%=a%>x <% if c > 0%> <%=(-c).to_ss%> <% else%> <%=(+c).to_ss%> <%end %>x \NC = <%=d.to_ss%> <% if b > 0%> <%=(-b).to_ss%> <% else%> <%=(+b).to_ss%> <%end %> \NR
 217  \NC <%=a -c%>x \NC = <%=d - b%> \NR
 218  \NC x \NC = \frac{<%=d - b%>}{<%=a -c%>} \NR
 219  \NC x \NC = <%=x%> \NR
 220 \stopalign \stopformula
 221
 222 Ara procedim a substituir la $x$ en qualsevol de les dues expressions de les $y$. Ara bé, si ho feim en ambdues, llavors podem comprovar que tenim el sistema ben resolt quan els dos resultats coincideixen:
 223
 224 $y = <%=a%>\cdot (<%=x%>) + (<%=b%>) = <%= a*x %> + (<%=b%>) = <%=a * x + b%>$
 225
 226 $y = <%=c%>\cdot (<%=x%>) + (<%=d%>) = <%= c*x %> + (<%=d%>) = <%=c * x + d%>$
 227
 228 \medskip
 229 Per tant, les solucions del sistema són $x = <%=x%>$ i $y = <%=y%>$.
 230
 231 <% end %>
 232 \stopitemize
 233
 234 \sym{\in[exercici-2]}
 235 \startitemize[a, text]
 236 <% exercicis[2].each do |par| %>
 237
 238 \item En primer lloc, hem d'aïllar una de les incògnites, per exemple la $y$:
 239 \startformula \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 240 \NC <%=par['a']%> x <%=par['b'].to_ss%>y \NC = <%=par['c']%> \NR
 241 \NC <%=par['d']%> x <%=par['e'].to_ss%>y \NC =  <%=par['f']%> \NR
 242 \stopmatrix
 243 \Rightarrow
 244 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 245 \NC  <%=par['b']%>y \NC = <%=par['c']%> - <%=par['a']%> x \NR
 246 \NC  <%=par['e']%>y \NC =  <%=par['f']%> - <%=par['d']%> x \NR
 247 \stopmatrix
 248 \Rightarrow
 249 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 250 \NC  y \NC = <%=par['c']/par['b']%> <%=(-par['a']/par['b']).to_ss%> x  \NR
 251 \NC  y \NC =  <%=par['f']/par['e']%>  <%=(-par['d']/par['e']).to_ss%> x \NR
 252 \stopmatrix
 253 \stopformula
 254 Igualem les darreres expressions de les $y$, obtenint una equació:
 255 \startformula
 256 <%=par['c']/par['b']%> <%=(-par['a']/par['b']).to_ss%> x  = <%=par['f']/par['e']%>  <%=(-par['d']/par['e']).to_ss%> x
 257 \stopformula
 258 que resolem tot seguit: $<%=par['c']/par['b']%> <%=(-par['a']/par['b']).to_ss%> x  = <%=par['f']/par['e']%>  <%=(-par['d']/par['e']).to_ss%> x$ $\Rightarrow$ $<%=(-par['a']/par['b']).to_ss%> x   <%=(par['d']/par['e']).to_ss%> x= <%=par['f']/par['e']%> <%=(-par['c']/par['b']).to_ss%>$ $\Rightarrow$  $<%=(-par['a']/par['b']) + (par['d']/par['e'])%> x  = <%=par['f']/par['e'] - par['c']/par['b']%>$ $\Rightarrow$ $x = <%=par['x']%>$.
 259
 260 Ara substituïm el valor de la $x$ a les expressions de la $y$:
 261 \startformula
 262 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 263 \NC  y \NC = <%=par['c']/par['b']%> <%=(-par['a']/par['b']).to_ss%> \cdot (<%=par['x']%>)  \NR
 264 \NC  y \NC =  <%=par['f']/par['e']%>  <%=(-par['d']/par['e']).to_ss%> \cdot (<%=par['x']%>) \NR
 265 \stopmatrix
 266 \Rightarrow
 267 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 268 \NC  y \NC = <%=par['c']/par['b']%> <%=(-par['a']/par['b'] * par['x']).to_ss%>  \NR
 269 \NC  y \NC =  <%=par['f']/par['e']%>  <%=(-par['d']/par['e'] * par['x']).to_ss%> \NR
 270 \stopmatrix
 271 \Rightarrow
 272 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 273 \NC  y \NC = <%=par['y']%> \NR
 274 \NC  y \NC =  <%=par['y']%>\NR
 275 \stopmatrix
 276 \stopformula
 277 <% end %>
 278 \stopitemize
 279
 280 \sym{\in[exercici-3]}
 281 \startitemize[a, text]
 282 <% exercicis[3].each do |par| %>
 283 <%
 284 solucio_x = Rational((-par['f']*par['b']-par['c']*par['e']), (-par['a']*par['e'] - par['d']*par['b']))
 285 %>
 286
 287 \item En primer lloc, aïllem la $y$ a les dues equacions:
 288 \startformula
 289 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 290 \NC <%=par['a']%> x + <%=par['b']%>y \NC = <%=par['c']%> \NR
 291 \NC <%=par['d']%> x - <%=par['e']%>y \NC =  <%=par['f']%> \NR
 292 \stopmatrix
 293
 294 \Rightarrow
 295
 296 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 297 \NC  <%=par['b']%>y \NC = <%=par['c']%> - <%=par['a']%> x \NR
 298 \NC - <%=par['e']%>y \NC =  <%=par['f']%> - <%=par['d']%> x \NR
 299 \stopmatrix
 300
 301 \Rightarrow
 302
 303 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 304 \NC  y \NC = \frac{<%=par['c']%>}{<%=par['b']%>} - \frac{<%=par['a']%> x}{<%=par['b']%>} \NR
 305 \NC y \NC =  -\frac{<%=par['f']%>}{<%=par['e']%>} + \frac{<%=par['d']%> x}{<%=par['e']%>} \NR
 306 \stopmatrix
 307 \stopformula
 308 Per tant,
 309 $y = \frac{<%=par['c']%>}{<%=par['b']%>} - \frac{<%=par['a']%> x}{<%=par['b']%>}$ i  $y =  -\frac{<%=par['f']%>}{<%=par['e']%>} + \frac{<%=par['d']%> x}{<%=par['e']%>}$. Ara igualem les expressions i obtenim una equació:
 310 \startformula
 311 \frac{<%=par['c']%>}{<%=par['b']%>} - \frac{<%=par['a']%> x}{<%=par['b']%>} = -\frac{<%=par['f']%>}{<%=par['e']%>} + \frac{<%=par['d']%> x}{<%=par['e']%>}
 312 \stopformula
 313 Resolem aquesta equació:
 314 $\frac{<%=par['c']%>}{<%=par['b']%>} - \frac{<%=par['a']%> x}{<%=par['b']%>}  = -\frac{<%=par['f']%>}{<%=par['e']%>} + \frac{<%=par['d']%> x}{<%=par['e']%>}$ $\Rightarrow$ $<%=par['c']*par['e']%> <%=-(par['a']*par['e']).to_ss%> x  = <%=(-par['f']*par['b']).to_ss%>  <%=(par['d']*par['b']).to_ss%> x$ $\Rightarrow$ $<%=(-par['a']*par['e'] - par['d']*par['b'])%> x  = <%=(-par['f']*par['b']-par['c']*par['e'])%>$ $\Rightarrow$ $x  = \frac{<%=(-par['f']*par['b']-par['c']*par['e'])%>}{<%=(-par['a']*par['e'] - par['d']*par['b'])%>}$ $\Rightarrow$ $x  = \frac{<%=solucio_x.numerator%>}{<%=solucio_x.denominator%>} = <%=par['x']%>$.
 315
 316 Posteriorment substituïm la $x$ en les expressions de les $y$:
 317 \startformula
 318 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 319 \NC y \NC = \frac{<%=par['c']%>}{<%=par['b']%>} - \frac{<%=par['a']%> \cdot (<%=par['x']%>)}{<%=par['b']%>} \NR
 320 \NC y  \NC = -\frac{<%=par['f']%>}{<%=par['e']%>} + \frac{<%=par['d']%> \cdot (<%=par['x']%>)}{<%=par['e']%>} \NR
 321 \stopmatrix
 322 \Rightarrow
 323 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 324 \NC y \NC = \frac{<%=par['c']%>}{<%=par['b']%>} - \frac{<%=par['a'] * par['x']%>}{<%=par['b']%>} \NR
 325 \NC y  \NC = -\frac{<%=par['f']%>}{<%=par['e']%>} + \frac{<%=par['d'] * par['x']%>}{<%=par['e']%>} \NR
 326 \stopmatrix
 327 \Rightarrow
 328 \startmatrix[left={\left\{ \, }, right={\, \right. }, align={left}]
 329 \NC y \NC = \frac{<%=par['c'] - (par['a'] * par['x'])%>}{<%=par['b']%>} \NR
 330 \NC y  \NC = \frac{<%=-par['f'] + (par['d'] * par['x'])%>}{<%=par['e']%>} \NR
 331 \stopmatrix
 332 \stopformula
 333 Per tant, $y = <%=par['y']%>$.
 334 <% end %>
 335 \stopitemize
 336
 337
 338 \stopitemize
 339
 340 \vfill
 341 La resolució d'aquests exercicis s'ha calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 342
 343 \stopsubsubject
 344
 345 \stopsubject
 346
 347 \stoptext