extra/project-euler/190/190.factor

   1 ! Copyright (c) 2008 Eric Mertens.
   2 ! See http://factorcode.org/license.txt for BSD license.
   3 USING: kernel sequences math math.functions math.ranges locals ;
   4 IN: project-euler.190
   5
   6 ! http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=190
   7
   8 ! DESCRIPTION
   9 ! -----------
  10
  11 ! Let Sm = (x1, x2, ... , xm) be the m-tuple of positive real numbers
  12 ! with x1 + x2 + ... + xm = m for which Pm = x1 * x22 * ... * xmm is
  13 ! maximised.
  14
  15 ! For example, it can be verified that [P10] = 4112 ([ ] is the integer
  16 ! part function).
  17
  18 ! Find Σ[Pm] for 2 ≤ m ≤ 15.
  19
  20
  21 ! SOLUTION
  22 ! --------
  23
  24 ! Pm = x1 * x2^2 * x3^3 * ... * xm^m
  25 ! fm = x1 + x2 + x3 + ... + xm - m = 0
  26 ! Gm === Pm - L * fm
  27 ! dG/dx_i = 0 = i * Pm / xi - L
  28 ! xi = i * Pm / L
  29
  30 ! Sum(i=1 to m) xi = m
  31 ! Sum(i=1 to m) i * Pm / L = m
  32 ! Pm / L * Sum(i=1 to m) i = m
  33 ! Pm / L * m*(m+1)/2 = m
  34 ! Pm / L = 2 / (m+1)
  35
  36 ! xi = i * (2 / (m+1)) = 2*i/(m+1)
  37
  38 <PRIVATE
  39
  40 : PI ( seq quot -- n )
  41     [ * ] compose 1 swap reduce ; inline
  42
  43 PRIVATE>
  44
  45 :: P_m ( m -- P_m )
  46     m [1,b] [| i | 2 i * m 1+ / i ^ ] PI ;
  47
  48 : euler190 ( -- answer )
  49     2 15 [a,b] [ P_m truncate ] sigma ;
  50
  51 ! [ euler150 ] 100 ave-time
  52 ! 5 ms ave run time - 1.01 SD (100 trials)
  53
  54 MAIN: euler190