latex2e-20160201/base/testfiles/tlb0077.lvt

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  79
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  84
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 159 \tracingpages1
 160
 161 \chapter[Me"sgr"o"sen und physikalische Interpretation]
 162 {Definition der Me"sgr"o"sen und \\ physikalische Interpretation \\
 163 der Wellenmechanik}
 164 \label{sec:messungen}
 165
 166 Wir k"onnen bisher die Wellenmechanik physikalisch im
 167 quasiklassischen Grenzfall interpretieren: Die Mittelwerte
 168 von Operatoren, die physikalische Gr"o"sen repr"asentieren,
 169 stimmen in ihm mit den entsprechenden Gr"o"sen der
 170 klassischen Mechanik "uberein.
 171
 172 F"ur den Quantenbereich kennen wir bislang nur ganz wenige
 173 Aussagen physikalischer Natur. Eine besteht darin, da"s das
 174 aus der Wellenfunktion~$\psi$ gebildete Amplitudenquadrat
 175 \index{Wahrscheinlichkeitsinterpretation}
 176 \index{Aufenthaltswahrscheinlichkeit}
 177 die Wahrscheinlichkeit daf"ur angibt, ein Teilchen an einem
 178 bestimmten Punkt des Ortsraumes bzw.\ ein System von Teilchen
 179 an einem bestimmten Punkt des Konfigurationsraumes anzutreffen.
 180 Eine weitere Aussage bestand darin, da"s diese
 181 Wahrscheinlichkeitsverteilung dann und nur dann station"ar
 182 ist, wenn~$\op{H}$ zeit"-unabh"angig ist und sich das System
 183 in einem Eigenzustand von~$\op{H}$ befindet.
 184
 185 F"ur Mittelwert und Streuung von Operatoren haben wir
 186 verschiedene mathematische Relationen abgeleitet.
 187 Die physikalische Bedeutung dieser Gr"o"sen und der Beziehungen
 188 zwischen ihnen ist bis hierher jedoch weitgehend offen geblieben.
 189 Mit Hilfe der zuletzt betrachteten ``Spektralzerlegung''
 190 der Wellenfunktion in Eigenfunktionen ist es jetzt m"oglich,
 191 diese L"ucke zu f"ullen.
 192
 193
 194 \section{Klassische Messungen}
 195 \label{sec:klass-mess}
 196
 197 \index{Klassische Messungen|(}
 198 \index{Klassisches Teilchen|(}\index{Teilchen, klassisches|(}
 199 Die physikalische Bedeutung einer Gr"o"se ist sehr eng verbunden
 200 mit den M"oglichkeiten ihrer Messung. Zur Orientierung betrachten
 201 wir zun"achst einige Me"smethoden der klassischen Mechanik.
 202 Dabei beschr"anken wir die Betrachtung der Einfachheit halber
 203 auf ein einzelnes Teilchen.
 204
 205 \figinclude(140,40){qm301.ps}{[Klassische Ortsmessungen
 206 von Teilchen]{\label{pic:orts-mess}
 207 Klassische Ortsmessungen von Teilchen:
 208 (a)~durch Einfang, (b)~durch eine Lichtschranke,
 209 (c)~durch eine als Filter wirkende Blende.}}
 210
 211 In der klassischen Mechanik ist der Bewegungszustand eines
 212 Teilchens durch die gleichzeitige Angabe von Ort und
 213 Geschwindigkeit vollst"andig bestimmt.
 214
 215 \index{Ortsmessung|(}
 216 Die Ortsmessung des Teilchens ist i.\,allg.\ eine direkte
 217 Messung, bei der die Anwesenheit des Teilchens in einem
 218 bestimmten Teilvolumen des Raumes im Sinne einer Ja/Nein-Aussage
 219 eindeutig entschieden wird. Bei Punktteilchen mu"s dieses
 220 Teilvolumen sehr klein sein, damit die Ortsmessung genau
 221 wird. Wir besprechen zur Illustration einige Beispiele:
 222
 223 In Abb.~\ref{pic:orts-mess}~a) wird das Teilchen in einem kleinen
 224 Teilvolumen des Raumes eingefangen. Seine Anwesenheit wird durch
 225 die Wechselwirkung mit den W"anden festgestellt. (Von dieser
 226 Art ist im Prinzip auch die Schw"arzung einer Photoplatte beim
 227 Auftreffen kleiner Teilchen.) Hier wird durch die Ortsmessung
 228 der Bewegungszustand des Teilchens stark gest"ort.
 229
 230 In Abb.~\ref{pic:orts-mess}~b) registriert eine Photozelle die
 231 Unterbrechung eines Lichtstrahls beim Durchgang des Teilchens.
 232 Die St"orung der Teilchenbahn durch die Messung (Lichtdruck
 233 auf das Teilchen) ist in der klassischen Mechanik
 234 vernachl"assigbar. Gemessen wird nur eine Ortskoordinate.
 235
 236 In Abb.~\ref{pic:orts-mess}~c) kann man aus der Anwesenheit des
 237 Teilchens rechts von der Blende schlie"sen, da"s es beim
 238 Durchgang am Ort der Blende gewesen sein mu"s.
 239 \index{Ortsmessung|)}
 240
 241 \stern
 242
 243 \index{Geschwindigkeitsmessung|(}
 244 Die Geschwindigkeitsmessung ist immer indirekt und besteht
 245 aus Folgerungen, die sich aus der Messung einer oder mehreren
 246 Ortskoordinaten ergeben. Das Wesentliche ergibt sich aus der
 247 Besprechung mehrerer Beispiele.
 248
 249 \figinclude(140,45){qm302.ps}{[Klassische Geschwindigkeitsmessung
 250 von Teilchen]{\label{pic:geschw-mess}
 251 Klassische Geschwindigkeitsmessung von Teilchen:
 252 (a)~durch Impuls"-"uber"-tragung beim Einfang,
 253 (b)~durch hintereinandergeschaltete Lichtschranken,
 254 (c)~durch hintereinandergeschaltete Blenden,
 255 (d)~durch Ablenkung im Magnetfeld auf eine Kreisbahn.}}
 256
 257 In Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~a) "ubertr"agt das Teilchen seinen
 258 Impuls auf eine im Schwerefeld drehbar aufgeh"angte Masse,
 259 deren Auslenkung um so gr"o"ser ist, je gr"o"ser der "ubertragene
 260 Impuls ist. Aus dem durch eine Ortsmessung festgestellten
 261 maximalen Zeigerausschlag kann der "ubertragene Impuls und
 262 daraus die Teilchengeschwindigkeit berechnet werden. Durch
 263 die Messung entsteht wieder ein starker Eingriff auf den
 264 Teilchenzustand.
 265
 266 In der Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~b) werden hintereinander zwei
 267 Ortsmessungen von der Art der Abb.~\ref{pic:orts-mess}~b)
 268 durchgef"uhrt. Zus"atzlich wird bei jedem Durchgang die Zeit
 269 gemessen. Die Geschwindigkeit~$v$ ergibt sich indirekt aus
 270 $v=\Delta x/\Delta t$. Die Beeinflussung der Teilchenbahn
 271 durch die Messung ist (klassisch) wieder vernachl"assigbar.
 272
 273 In Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~c) l"auft das Teilchen durch zwei
 274 Lochblenden, die zu verschiedenen Zeiten~$t_{1}$ und~$t_{2}$
 275 ganz kurz ($\Delta t \ll t_{2}-t_{1}$) ge"offnet werden.
 276 Rechts von der zweiten Blende werden nur solche Teilchen
 277 angetroffen, deren Geschwindigkeit gerade
 278 $v=\Delta x/(t_{2}-t_{1})$ betr"agt. (Hier werden die Orts-
 279 und Zeitmessungen schon vor dem Durchgang des Teilchens bei
 280 der Konstruktion der Me"sapparatur durchgef"uhrt.)
 281
 282 In Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~d) wird ein geladenes Teilchen
 283 durch ein Magnetfeld auf eine Kreisbahn umgelenkt. Aus
 284 einer Ortsmessung (Radius der Kreisbahn) ergibt sich die
 285 Geschwindigkeit $v=eBr/m$.
 286 \index{Geschwindigkeitsmessung|)}
 287
 288 \stern
 289
 290 Bei all diesen Messungen ergibt sich in der praktischen
 291 Durchf"uhrung eine gewisse Ungenauigkeit aus den
 292 verschiedensten Ursachen,
 293 wie zu gro"ses Auffangvolumen (\ref{pic:orts-mess}~a)),
 294 zu breites Lichtb"undel (\ref{pic:orts-mess}~b)),
 295 zu gro"se Blenden"offnung (\ref{pic:orts-mess}~c)), usw.
 296 Gute Qualit"at einer Me"sapparatur besteht darin, da"s der
 297 relative Me"sfehler hinreichend klein ist. Die Meinung der
 298 klassischen Theorien ist, da"s der Fehler prinzipiell
 299 beliebig klein gemacht werden kann.
 300
 301 Die betrachteten klassischen Apparaturen dienen der Messung
 302 von~$\vec{r}$ und~$\vec{v}$. Andere physikalische Gr"o"sen
 303 k"onnen nach Kenntnis des Teilchenzustands $\{\vec{r},\vec{v}\}$
 304 immer berechnet werden. Man kann aber auch Me"sger"ate
 305 konstruieren, auf denen solche Gr"o"sen mit Hilfe einer
 306 Ortsmessung direkt abgelesen werden k"onnen:
 307 In vielen Experimenten besteht n"amlich ein eindeutiger
 308 Zusammenhang zwischen gewissen physikalischen Gr"o"sen und
 309 den Orten, an die das Teilchen gelangen kann, so da"s schon
 310 aus dem Ort des Teilchens auf den Wert der physikalischen
 311 Gr"o"se geschlossen werden kann.
 312 Beispiel: Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~d).
 313 \filbreak
 314
 315 Messungen, bei denen der Teilchenzustand wesentlich
 316 ver"andert wird (Abb.~\ref{pic:orts-mess}~a),
 317 Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~a), Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~d)),
 318 hei"sen {\em Messungen zweiter Art}, solche, bei denen
 319 er nicht ver"andert wird, {\em Messungen erster Art}.
 320 \index{Messungen erster Art}\index{Messungen zweiter Art}
 321 Me"sanordnungen wie in Abb.~\ref{pic:orts-mess}~c) und
 322 Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~c) hei"sen {\em Filter},
 323 da durch sie nur Teilchen hindurchgelassen werden,
 324 bei denen gewisse physikalische Gr"o"sen im Moment
 325 des Durchgangs einen genau definierten Wert haben.
 326 \index{Klassisches Teilchen|)}\index{Teilchen, klassisches|)}
 327
 328 \figinclude(140,25){qm303.ps}{{\label{pic:prisma}
 329 Spektralapparat mit Prisma.}}
 330
 331 Filter sind besonders wichtig f"ur optische Messungen.
 332 Bekannt sind Polarisationsfilter oder Spektralfilter, die
 333 nur Licht einer wohldefinierten Wellenl"ange hindurchlassen
 334 (genauer: nur einen kleinen Wellenl"angenbereich, wodurch
 335 ein gewisser Me"sfehler ensteht). Spektralapparate mit
 336 Prismen arbeiten nach dem gleichen Prinzip wie die
 337 mechanische Me"sapparatur in Abb.~\ref{pic:geschw-mess}~d).
 338 Durch die Wechselwirkung des Lichts mit Molek"ulen des
 339 Prismas ensteht eine Ablenkung des Lichtstrahls, die von
 340 der Wellenl"ange des Lichts abh"angt. Der R"uckschlu"s
 341 auf die Wellenl"ange~$\lambda$ ergibt sich hier wieder
 342 indirekt aus einer Ortsmessung.
 343 \index{Klassische Messungen|)}
 344
 345 \end{document}