tests/rtest_limit.mac

   1 /*
   2   A collection of tests to stress $limit and friends
   3 */
   4 (kill(all),0);
   5 0$
   6
   7 /*
   8   Tests to check how limit deals with weird combinations of
   9   infinitesimals and infinities. See bug 2563
  10 */
  11 limit(zeroa*inf);
  12 und$
  13 limit(zerob^zerob);
  14 und$
  15 limit(zerob^zeroa);
  16 und$
  17
  18 /* Tests from Bug 1036900 */
  19 /* These bugs were fixed in limit.lisp rev 1.7, 2004/10/04 */
  20 limit(7^n/8^n,n,inf);
  21 0$
  22 limit(7^(n^2)/8^n,n,inf);
  23 inf$
  24 limit((10^n+9^n+8^n)^(1/n),n,inf);
  25 10$
  26 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
  27 1$
  28
  29 /* Test from Bug 1052308 */
  30 /* Fixed in limit.lisp rev 1.11 */
  31 assume(equal(zz,0));
  32 [equal(zz,0)]$
  33 limit(erf(nn*zz), nn, inf);
  34 0$
  35 limit(tanh(nn*zz), nn, inf);
  36 0$
  37 limit(nn^zz, nn, 0);
  38 1$
  39
  40 /* Bug 1281737, fixed in limit.lisp rev 1.15 */
  41 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
  42 %e*%pi/2;
  43
  44 /* Bug 626697 */
  45 limit(atan2(y,x),y,minf);
  46 -%pi/2;
  47
  48 /* Bug 1548643 */
  49 limit(abs(sqrt(1-1/x)-1),x,0);
  50 inf;
  51
  52 /* Bug 671574 */
  53 limit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
  54 %pi/2;
  55 limit(x*atan(x)-log(x),x,inf);
  56 inf;
  57
  58 /* Bug 1152668 */
  59 numer:true;
  60 true;
  61 limit(sin(x)/x,x,0);
  62 1;
  63 limit(sin(x)/x,x,0,plus);
  64 1;
  65 limit(sin(x)/x,x,0,minus);
  66 1;
  67 numer:false;
  68 false;
  69
  70 /* #2504 wrong answer for simple limit, limit(sin(x)+1/x, x, inf)=0 */
  71 limit(1/x + sin(x), x, inf);
  72 ind;
  73
  74 /* Bug 593344 */
  75 limit(abs(infinity));
  76 inf;
  77
  78 /* Bug 1469411 */
  79 limit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
  80 0;
  81
  82 /*
  83  * From bug 535363, but this isn't really fixed.  The fix for 1469411
  84  * broke this test, so we're adding it to make sure we don't break it.
  85  *
  86 */
  87
  88 limit(exp(-1/x)/x^4,x,0,'plus);
  89 0;
  90
  91 /* Bug 1594330 */
  92 limit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
  93 -1;
  94
  95 limit((atan(x)-(%pi/2))/(sin(10/x)),x,inf);
  96 -1/10;
  97
  98 /* [ 1498047 ] limit(a/n,n,inf); */
  99 limit(a/n, n, inf);
 100 0;
 101
 102 /*
 103  * [ 1646761 ] limit atanh @ -1 / 1 all wrong...
 104  */
 105 /* Limit at 1 is (complex) infinity).  But one-sided limit can be inf (real infinity). */
 106 limit(atanh(x),x,1);
 107 infinity;
 108 limit(atanh(x),x,1,'minus);
 109 inf;
 110 limit(atanh(x),x,-1);
 111 infinity;
 112 limit(atanh(x),x,-1,'plus);
 113 minf;
 114
 115 /* There shouldn't be an error message printed out here.  Need to look at output to see. */
 116 limit(2*atanh(x),x,1);
 117 infinity;
 118 limit(2*atanh(x),x,1,'minus);
 119 inf;
 120
 121 limit(atanh(a-1)-log(a)/2,a,0,'plus),logarc:true;
 122 -log(2)/2;
 123
 124 /* [ 1606731 ] limit of algebraic when algebraic : true */
 125 limit(x*(sqrt(1+x^2)-x),x,inf), algebraic : true, gcd : subres;
 126 1/2;
 127
 128 /* [ 1097982 ] limit(x/(x^(log(x)))); returns wrong answer */
 129 limit(x/(x^log(x)), x, inf);
 130 0;
 131
 132 /* [ 1039965 ] limit(4^n/2^(2*n),n,inf) is wrong */
 133 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
 134 1;
 135
 136 /* [ 1731127 ] limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf) => 0 (not inf) */
 137 limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf);
 138 inf;
 139
 140 /* [ 1593083 ] tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf) gives error */
 141 tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
 142 0;
 143
 144 /* [ 1786774 ] tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf) => Error */
 145 tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf);
 146 5;
 147
 148 /* [ 1603900 ] taylor/tlimit (4^n+1)/2^(2*n) internal error */
 149 tlimit((4^n+1)/2^(2*n),n,inf);
 150 1;
 151
 152 /* [ 1281736 ] limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf) - wrong result */
 153 limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf);
 154 1;
 155
 156 /* [ 1036901 ] tlimit(7^(n^2)/8^n,n,inf); wrong result */
 157 tlimit(7^(n^2)/8^n, n, inf);
 158 inf;
 159
 160 /* [ 1665657 ] limit fails to find easy limit */
 161 limit(x/(x-1)-1/log(x),x,1,plus);
 162 1/2;
 163
 164 /* [ 611411 ] limit asks sign of IND */
 165 limit(abs(sin(x)),x,inf);
 166 ind;
 167
 168 /* [ 1629723 ] bug in limit, asks sign of IND, encountered in integrator */
 169 limit(abs(sin(x))/x, x, inf);
 170 0;
 171
 172 /* [ 782099 ] limit returns expression in IND */
 173 limit(sinh(exp(%i*x)),x,inf);
 174 ind;
 175
 176 /* #3866 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus) --> infinity */
 177 limit(log(sinh(x)),x,0,'plus);
 178 minf;
 179
 180 /* [ 1528607 ] limit(a^x,x,inf) can't solve for a : abs(a) < 1 */
 181 limit((-2/3)^x,x,inf);
 182 0;
 183
 184 limit(signum(x), x, 0, plus);
 185 1;
 186
 187 limit(signum(x), x, 0, minus);
 188 -1;
 189
 190 limit((-1/%pi)^x,x,inf);
 191 0;
 192
 193 tlimit(exp(%i*t), t, inf);
 194 ind;
 195
 196 tlimit(exp(-t+%i*t),t,inf);
 197 0;
 198
 199 /* [ 1811503 ] computing a wrong result */
 200 limit((((1+1/x)^(x^2))+1)^(1/x),x,inf);
 201 %e;
 202
 203 /* [ 1760232 ] limit(1/n * n!^(1/n), n, inf); */
 204 limit(1/n * n!^(1/n), n, inf);
 205 %e^-1;
 206
 207 /* #3681 limit(n^n/(n^n+(n-1)^n),n,inf) wrong */
 208 limit(n^n/(n^n+(n-1)^n), n, inf);
 209 %e/(%e+1);
 210
 211 /* #3682 limit(n^(n-1)/(n^n+(n-1)^n),n,inf) gives Lisp error */
 212 limit(n^(n-1)/(n^n+(n-1)^n),n,inf);
 213 0;
 214
 215 /* Apparently wrong limit with factorial - ID: 3198530 */
 216 limit(1/(2+1/factorial(n)),n,inf);
 217 1/2;
 218
 219 limit(t*(erf((t))-1),t,inf);
 220 0;
 221
 222 /* #3153 Limits of erfc */
 223 limit(erfc(x*(1 + %i)), x, inf);
 224 0;
 225
 226 limit(erfc(x*(1 + %i)), x, minf);
 227 2;
 228
 229 limit(exp(x)*(sin(1/x+exp(-x))-sin(1/x+exp(-x^2))), x, inf);
 230 1;
 231
 232 /* it would be nice to handle this someday
 233   limit(n - exp(psi[0](n)), n, inf);
 234   1/2;
 235 */
 236
 237 limit(x*gamma(x), x, 0);
 238 1;
 239
 240 /* [ 744679 ] limit overflows memory? */
 241 (assume(a>1), limit((a^(1/n)+1)^n/2^n, n, inf));
 242 'sqrt(a);
 243
 244 /* [ 702512 ] limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf) =&gt; UND */
 245 limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf);
 246 1;
 247
 248 /* [ 923407 ] limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0) wrong */
 249 limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0);
 250 1;
 251
 252 /* [ 1102908 ] limit/atan/exp returns complex expr with wrong principal val */
 253 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
 254 %e*%pi/2;
 255
 256 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, minus);
 257 3;
 258
 259 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, plus);
 260 5;
 261
 262 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0);
 263 ind;
 264
 265 /* [ 1852415 ] limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf) = 0 */
 266 limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf);
 267 1;
 268
 269 /* [ 1515712 ] tlimit (x*atan(x)/(x+1),x,inf) => 3 %pi/2, etc */
 270 tlimit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
 271 %pi/2;
 272
 273 tlimit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
 274 -1;
 275
 276 tlimit(atan(x^-1), x, 0, minus);
 277 -%pi/2;
 278
 279 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 280 (assume(c>0), limit(((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf));
 281 %e^(-1);
 282
 283 /* [ 1103515 ] limit(atan2(x,-1),x,0) wrong */
 284 limit(atan2(x,-1), x, 0, minus);
 285 -%pi;
 286
 287 limit(atan2(x,-1), x, 0, plus);
 288 %pi;
 289
 290 limit(atan2(x,-1), x, 0);
 291 ind;
 292
 293 /* limit of atan2 - ID: 3539699 */
 294 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), minus);
 295 -%pi;
 296
 297 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), plus);
 298 %pi;
 299
 300 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 301 atan(1/sqrt(2))-%pi;
 302
 303 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 304 atan(1/sqrt(2));
 305
 306 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 307 %pi-atan(1/sqrt(2));
 308
 309 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 310 -atan(1/sqrt(2));
 311
 312 /* #3864 limit of atan2 expression */
 313 limit(atan2(0,1-3^x),x,0);
 314 ind;
 315
 316 limit(floor(x), x, 5, minus);
 317 4;
 318
 319 limit(floor(x), x, 5, plus);
 320 5;
 321
 322 limit(ceiling(x), x, 5, minus);
 323 5;
 324
 325 limit(ceiling(x), x, 5, plus);
 326 6;
 327
 328 limit(round(x), x, 5/2, minus);
 329 2;
 330
 331 limit(round(x), x, 5/2, plus);
 332 3;
 333
 334 limit(floor(sin(x)), x, 0, minus);
 335 -1;
 336
 337 /* #3616 limit with floor problems */
 338 limit(floor(atan(x)),x,1);
 339 0;
 340
 341 limit(ceiling(cos(x)),x,0);
 342 1;
 343
 344 limit(floor(cos(x)),x,0);
 345 0;
 346
 347 limit(ceiling(cos(x)^2),x,0);
 348 1;
 349
 350 /* [ 2914296 ] Limit gets Maxima stuck */
 351 /* caused blow-up in behavior-by-diff with loop up to 5th derivative */
 352 limit( (log(1+x^2)-2+2*cos(x))/((sin(x))^2+2*sqrt(1-x^2)-2),x,0);
 353 5/7;
 354
 355 /* [ 1587235 ] limit(floor(x),x,1) wrong */
 356 limit(floor(x),x,0);
 357 ind;
 358
 359 /* [ 1885377 ] wrong limit evaluation in 5.14.0 */
 360 limit((3/4)^(5*n+1), n, inf);
 361 0;
 362
 363 limit(-%e^x/x, x, inf);
 364 minf;
 365
 366 /* [ 2083561 ] Limit of the Wallis product */
 367 limit((%pi*4^N*N!^2)/(2*2^(2*N)*gamma(N+1/2)*gamma(N+3/2)), N, inf);
 368 %pi/2$
 369
 370 /* wrong limit(log(gamma(x+1))/x,x,0) - ID: 2727078 */
 371 limit(log(gamma(x+1))/x, x, 0);
 372 -%gamma;
 373
 374 /* log has a branch cut on negative real axis */
 375 limit(log(-1+x*%i), x, 0, plus);
 376 %i*%pi;
 377
 378 limit(log(-1+x*%i), x, 0, minus);
 379 -%i*%pi;
 380
 381 limit((log(y+h)-log(y))/h,h,0,plus);
 382 1/y;
 383
 384 /* Bug 3587 */
 385 limit(log(3-sqrt(x)),x,9,minus);
 386 minf;
 387
 388 /* Bug 3589 */
 389 limit((sqrt(x)-2)*log(1-sqrt(x)/2),x,4,minus);
 390 0;
 391
 392 /* Bug 3831 */
 393 limit(log((sqrt(x^2+1))/2),x,1);
 394 -log(2)/2;
 395
 396 /* limit of incomplete gamma */
 397 /* function simplim%gamma_incomplete in gamma.lisp */
 398
 399 /* sin(x^2)/(x^2) improper integral incorrect? - ID: 3397562 */
 400 limit( gamma_incomplete(-1/2, -%i*x^2), x, inf);
 401 0;
 402
 403 /* should be complex infinity, but the bug limit(x*exp(%i*x),x,inf) = und
 404 prevents a correct value*/
 405 limit( gamma_incomplete(2, -%i*x), x, inf);
 406 infinity$
 407
 408 /* Error integrating exp(-x)*sinh(sqrt(x)) with domain: complex - ID: 3529144 */
 409 /* need taylor expansion of gamma_incomplete(1/2, x) at x=0 */
 410 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 411                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, minus),domain:complex;
 412 sqrt(%pi);
 413
 414 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 415                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, plus),domain:complex;
 416 -sqrt(%pi);
 417
 418 /* [ 635606 ] limit(abs(log(x))) internal error, UND */
 419 limit(abs(log(x)), x, 0);
 420 inf;
 421
 422 limit(exp(-x)*(x*sin(x)+cos(x)), x, inf);
 423 0;
 424
 425 /* tex(t[1]) shouldn't change t to true */
 426 tex (t[1], false);
 427 "$$t_{1}$$
 428 "; /* tex output contains embedded newline */
 429
 430 /* tex(x[1]^2) shouldn't get confused by debug info in expression CAR */
 431 (foo : x[1]^2, tex (foo, false));
 432 "$$x_{1}^2$$
 433 "; /* tex output contains embedded newline */
 434
 435 /* [ 2084910 ] limit bugs */
 436 limit((%pi*N^(2*N+1)*2^(2*N))/((2*N-1)^(2*N)*(2*%e*N+%e)), N, inf);
 437 %pi/2;
 438
 439 /* [ 1977992 ] no limit calculation */
 440 limit(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0);
 441 sqrt(2);
 442
 443 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 444 /* only works with taylor_logexpand:true */
 445 limit( ((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf);
 446 %e^-1;
 447
 448 /* limit(x*expintegral_ei(x),x,0) --> Error - ID: 2801821 */
 449 limit(x*expintegral_ei(x), x, 0);
 450 0;
 451
 452 /* #3865 crash from taking limit of factorial(x) + 1 */
 453 limit(factorial(x) + 1, x, 0);
 454 2;
 455
 456 limit(1/(1-factorial(x)), x, 0, minus);
 457 minf;
 458
 459 limit(1/(1-factorial(x)), x, 0, plus);
 460 inf;
 461
 462 /* Limit of the factorial function - 4 problems - ID: 2841504 */
 463 limit(factorial(x),x,-2,plus);
 464 minf;
 465
 466 /* Calculus mistake: wrong answer: limit - ID: 3534858 */
 467 limit((sin(x)-tan(x))/(x*(cos(x)-1)),x,0);
 468 1;
 469
 470 /* #2639 limit asks about internal variable */
 471 limit(tan(x)/sqrt(tan(x)^2+1),x,%pi/2,plus);
 472 -1;
 473
 474 limit(1/psi[1](x), x, inf);
 475 inf;
 476
 477 /* limit of psi[i] - ID: 2843705 */
 478 limit(psi[i](x),x,inf);
 479 'limit(psi[i](x),x,inf);
 480
 481 /* tests for gruntz limit algorithm */
 482 gruntz(exp(x), x, inf);
 483 inf;
 484
 485 gruntz(exp(-x), x, inf);
 486 0;
 487
 488 gruntz( (x + 2^x) / 3^x, x, inf);
 489 0;
 490
 491 gruntz( x^2/(x + 2*x^2), x, inf);
 492 1/2;
 493
 494 gruntz( x/x^log(x), x, inf);
 495 0;
 496
 497 gruntz( (2^x)/(x + exp(x)) , x, 0, plus);
 498 1;
 499
 500 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, minus);
 501 -2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 502
 503 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, plus);
 504 2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 505
 506 gruntz( x*(x^(1/x)-1)/log(x), x, inf);
 507 1;
 508
 509 gruntz( (x*x^(1/x)-x)/log(x), x, inf);
 510 1;
 511
 512 gruntz(exp(-1/x)/x^6,x,0,plus);
 513 0;
 514
 515 /* limit gives the wrong answer - ID: 3410704 */
 516 limit(sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2))
 517          /(sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)), t, inf);
 518 1;
 519
 520 /* Inaccurate Limit Evaluation - ID: 3276461 */
 521 radcan(limit((-4*x^2-10*x+24)/((4*x+8)^(1/3)+2), x, -4));
 522 66;
 523
 524 limit(-(3*n^2 + 1)*(-1)^n/sqrt(n^5 + 8*n^3 + 8),n,inf);
 525 0;
 526
 527 /*
 528  * Bug ID: 1315837 limit(?foo)
 529  * Bug ID: 1119228 limit(1/zeraoa)
 530  */
 531
 532 limit(?foo);
 533 ?foo;
 534 limit(true);
 535 true;
 536 limit(false);
 537 false;
 538 limit(1/zeroa);
 539 inf;
 540 limit(1/zerob);
 541 minf;
 542
 543 /*
 544  * Bug ID: 1797296 - Crazy results when doing limit of 'diff
 545  */
 546 limit('diff(x+1,x),x,2);
 547 1;
 548
 549 limit('integrate(x+1,x),x,2);
 550 'limit('integrate(x+1,x),x,2);
 551
 552 /* #3767 incorrect limit (radius of convergence) */
 553 limit(diff(exp(n * x), x,n)/n,n,inf);
 554 'limit(diff(exp(n * x), x,n)/n,n,inf);
 555
 556 limit(integrate(f(t),t,0,x),x,0,plus);
 557 0$
 558
 559 limit(integrate(t,t,0,x)/x,x,inf);
 560 inf;
 561
 562 (assume(a>2), limit(integrate(t/log(t),t,2,a)/a,a,inf));
 563 inf;
 564
 565 /* limit(1/inf-1/minf) => 0+0 - ID: 903074 */
 566 limit(1/inf-1/minf);
 567 0;
 568
 569 /* 1-arg limit: limit(a*inf-inf) => minf - ID: 1385306
 570 This is a long-standing bug--the kill(a) is needed. */
 571 block([L1,L2,L3,L4,L5,L6],
 572    kill(a),
 573    L1 :limit(a*inf-inf),
 574    L2 : limit((a-1)*inf),
 575    assume(a<1),
 576    L3 : limit(a*inf-inf),
 577    L4 : limit((a-1)*inf),
 578    forget(a < 1),
 579    assume(a > 1),
 580    L5 : limit(a*inf-inf),
 581    L6 : limit((a-1)*inf),
 582    [L1,L2,L3,L4,L5,L6]);
 583 [und, und, minf, minf,inf,inf]$
 584
 585 /* limit(1 - (-1/2)^inf) --> inf - ID: 2853506 */
 586 limit(1 - (-1/2)^inf);
 587 1$
 588
 589 /* definition of derivative in terms of limit */
 590 limit((sin(3*(x+h)) - sin(3*(x)))/h, h, 0, plus);
 591 3*cos(3*x);
 592
 593 /* limit incorrect for -x/sqrt(1-x^2) - ID: 2869955 */
 594 limit(-x/sqrt(1-x^2), x, 1, minus);
 595 minf;
 596
 597 /* limit(%i*log(a),a,0) nounform (%i*und problem) - ID: 816797 */
 598 limit(%i*log(x),x,0);
 599 infinity;
 600
 601 /* limit(sqrt(x),x,minf) not fully evaluated - ID: 2901855 */
 602 limit(sqrt(x), x, minf);
 603 infinity;
 604
 605 /* #2847 limits of powers of constants */
 606 limit((5+%i)^n,n,inf);
 607 infinity;
 608
 609 /* limit bug - ID: 3101075 */
 610 limit((2+cos(x))/(x^3*sin(x))-3/x^4,x,0,plus);
 611 1/60;
 612
 613 /* #2527 exponent too big in limit */
 614 limit ((cosh(sqrt(x+1))-cosh(sqrt(x)))^(1/sqrt(x)),x,inf );
 615 %e;
 616
 617 /* #2561 limit(log(x^2),x,-20) gives 2*log(-20) */
 618 limit(log(x^2),x,-20),logexpand:false;
 619 log(400);
 620
 621 /* #2412 Problems with integral (x/(exp(x)+1),x,0,inf) */
 622 limit(-x*log(%e^x+1)-li[2](-%e^x)+x^2/2, x, inf);
 623 %pi^2/6;
 624
 625
 626 /* #4109 Limits of polylogarithms */
 627 limit(li[3](x)/log(-x)^3,x,inf);
 628 -1/6;
 629
 630 /* The initial problem which triggers this bug */
 631 declare(n,integer);
 632 done;
 633 limit ((sin(n*x) - n*x*cos(n*x))/n^2, x, %pi);
 634 -%pi*(-1)^n/n;
 635
 636 /* #2503 Declaring x as an integer changes result of limit from 3 to inf */
 637 limit((2^n+3^n)^(1/n), n,inf);
 638 3;
 639
 640 /* #2624 Erroneous limit result */
 641 (assume(n>2), limit(x-x*(1-1/x)^n, x, inf));
 642 n;
 643
 644 (forget(n>2),0);
 645 0;
 646
 647 /* Bug ID: 593351 - limit/sin(inf)etc. should give 0, not IND
 648  */
 649 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x),x,inf);
 650 0;
 651 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x)+a,x,inf);
 652 a;
 653
 654 /* Bug ID: 1376392 - limit(x/(2+sin(1/x)), x, 0); wrong result
 655  */
 656 limit(x/(2+sin(1/x)),x,0);
 657 0;
 658
 659 /* #3680 limit(x/sin(1/x),x,0); wrong */
 660 limit(x/sin(1/x), x, 0, plus);
 661 und;
 662
 663 /* Bug ID: 1106912 - limit(x/sin(x)^2,x,inf)
 664    I think the limit is not defined because the func is not defined
 665    for all x > any constant.
 666  */
 667 limit(x/sin(x)^2,x,inf);
 668 und;
 669
 670 /* Bug ID: #3459 Wrong limit calculation */
 671 limit(x / (x+2^x+cos(x)),x,-inf);
 672 1;
 673
 674 /* #Bug ID: #3984 limit for und + something yields something instead of und */
 675 limit(x*sin(x) + erf(x), x, inf);
 676 und;
 677
 678 /* Bug ID: 811522 - redundant question in limit
 679  * b is assumed to be zero. Maxima now can deduce from the database
 680  * that b-2 is an even number.
 681  */
 682 (assume(equal(b,0),notequal(x,0)),0);
 683 0$
 684 limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 685 inf$
 686 (forget(equal(b,0)),notequal(x,0),0);
 687 0$
 688
 689 /* Bug ID: 221642 limit needs %piargs to be true
 690  * The implementation of simp-%atan and simpatan2 has been revised.
 691  * We get more limits independent of the value of %piargs.
 692  */
 693 %piargs:false;
 694 false;
 695 limit(atan2(0,y),y,0,plus);
 696 atan(0);
 697 limit(atan2(0,y),y,0,minus);
 698 %pi;
 699 limit(atan2(x,0),x,0,plus);
 700 %pi/2;
 701 limit(atan2(x,0),x,0,minus);
 702 -%pi/2;
 703 reset(%piargs);
 704 [%piargs];
 705
 706 /* Bug ID: 3002971 - limit fails where rat+subst works
 707  */
 708 limit(min(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 709 0;
 710 limit(max(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 711 2;
 712
 713 /* Bug ID: 1969790 - limits and subscripts
 714  */
 715 limit(mu[inf],x,inf);
 716 mu[inf];
 717
 718 /*
 719  * Bug 3509430: limit of tanh(x) at 0 makes no sense
 720  */
 721 limit(tanh(x), x, 0);
 722 0;
 723
 724 /* bug 2535: stack exhausted when computing limit(log(..)) */
 725
 726 limit(log(-1/3125*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) +
 727 1/2)^n)^9*sqrt(5))/log(-1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(8*n) - (1/2*sqrt(5) +
 728 1/2)^(8*n))*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) + 1/2)^n) -
 729 1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(9*n) - (1/2*sqrt(5) +
 730 1/2)^(9*n))*sqrt(5)),n,inf);
 731 1;
 732
 733 /* #2675 maxima will not do the simplest of definite integrals
 734    and will not factor otherwise */
 735 limit(x^2*exp(-%i*x - x), x, inf);
 736 0;
 737
 738 /* bug #2621 gamma limit error */
 739
 740 limit(gamma(x+1/2)/(sqrt(x)*gamma(x)), x, inf);
 741 1;
 742
 743 /* Triggered by #2849. This result isn't great, but it's better than
 744    an error. A more useful result would be und. */
 745 limit (ind * inf);
 746 ind * inf $
 747
 748 limit((a*exp(a*x)*sin(b*x))/(b^2+a^2)-(b*exp(a*x)*cos(b*x))/(b^2+a^2), x, 0, plus);
 749 -(b/(a^2 + b^2));
 750
 751 /* Bug #2898: limit of continuous --> und */
 752
 753 limit(log(x)^2+2*log(x)+q/2+1,x,1);
 754 q/2+1$
 755
 756 limit(log(x)^2+2*%gamma*log(x)-%pi^2/6+%gamma^2,x,1);
 757 %gamma^2-%pi^2/6$
 758
 759 /* #2972 Wrong limits involving logs */
 760 limit( 27^(log(n)/log(3))/n^3, n, inf);
 761 1;
 762
 763 limit( 27^(log(n)/log(3)+1)/n^3, n, inf);
 764 27;
 765
 766 limit( ((27^(log(n)/log(3)+1)-1)/26+n-log(n)/log(3)-1)/n^3,n,inf);
 767 27/26;
 768
 769 /* examples from mailing list 2014-10-10: "Re: bug in limit code" */
 770
 771 (newcontext (),
 772  kill (beta, hbar, omega, delta, n),
 773  assume (beta > 0, hbar > 0, omega > 0, delta > 0, 2*n - 1 > 0),
 774  0);
 775 0;
 776
 777 limit (%e^(beta*hbar*omega-beta*(hbar*(2*n+1)*omega+delta))
 778  /(1/(1-%e^-(beta*hbar*omega))^2
 779  +(%e^-(beta*delta)-1)/(1-%e^-(2*beta*hbar*omega))), beta, inf);
 780 0;
 781
 782 (kill (h, d, z),
 783  assume (h > 0, d > 0, z > 0, 2*h*z > d),
 784  0);
 785 0;
 786
 787 limit ((%e^-(b*d)-1)/(1-%e^-(2*b*h*z)), b, inf);
 788 -1;
 789
 790 (kill (a), assume (a < 0), 0);
 791 0;
 792
 793 limit (exp (b*a), b, inf);
 794 0;
 795
 796 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 797 -1;
 798
 799 (forget (a < 0), assume (a > 0), 0);
 800 0;
 801
 802 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 803 1;
 804
 805 (forget (a > 0), assume (equal (a, 0)), 0);
 806 0;
 807
 808 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 809 0;
 810
 811 (forget (equal (a, 0)), assume (a > 0), 0);
 812 0;
 813
 814 integrate(%e^(-a*r)*sin(k*r),r,0,inf);
 815 k/(k^2+a^2);
 816
 817 limit (a*x, x, inf);
 818 inf;
 819
 820 (forget (a > 0), assume (a < 0), limit (a*x, x, inf));
 821 minf;
 822
 823 (forget (a < 0), assume (equal (a, 0)), limit (a*x, x, inf));
 824 0;
 825
 826 killcontext (context);
 827 done;
 828
 829 /* SF bug #3104: "limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus), numer => stack overflow" */
 830
 831 limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus);
 832 infinity;
 833
 834 limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus), numer;
 835 infinity;
 836
 837 limit(log(1 + exp(x)), x, 0, plus);
 838 log(2);
 839
 840 limit(log(1 + exp(x)), x, 0, plus), numer;
 841 0.6931471805599453;
 842
 843 /* inspired by this example from #3103; for the present purpose,
 844  * it's not too important to get these specific results,
 845  * only that numer doesn't cause an error here.
 846  */
 847
 848 integrate(x^3/(exp(x)-1),x,0,inf);
 849 %pi^4/15$
 850
 851
 852 block([numer : true,ratprint : false], integrate(x^3/(exp(x)-1),x,0,inf));
 853  6.493939402266837$
 854
 855 /* #3142 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf) => inf */
 856 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf);
 857 0;
 858
 859 /* #3143 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) => inf */
 860 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 861 infinity$
 862
 863 /* SF bug #3185: "Error in sum with non-false modulus" */
 864
 865 block([modulus:7], sum(i^-2,i,1,inf));
 866 'sum(i^-2,i,1,inf);
 867
 868 block([modulus:7], limit(inf));
 869 inf;
 870
 871 /* SF bug #3235: "ECL lisp arithmetic error in definite integration with large limits"
 872  * the bug is actually in ECL (https://gitlab.com/embeddable-common-lisp/ecl/issues/299);
 873  * here we'll test a work around.
 874  */
 875
 876 block ([actual, expected],
 877   actual : limit(x*exp(x)*log(exp(x)+1),x,-1000,plus),
 878   expected : -1000*%e^-1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)),
 879   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 880 true;
 881
 882 /* accommodate different equivalent forms via 'equal' */
 883 block ([actual, expected],
 884   actual : integrate((x^2)*exp(x) / (1 + exp(x))^2,x,-1000,1000),
 885   expected : (-(2000*%e^1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)))/(%e^1000+1))
 886   -(2000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)))/(%e^1000+1)
 887    -((2000*%e^1000+2000)*log(%e^1000+1)
 888     +(2*%e^1000+2)*li[2](-%e^1000)-1000000*%e^1000)
 889      /(%e^1000+1)+(2*%e^1000*li[2](-%e^-1000))/(%e^1000+1)
 890      +(2*li[2](-%e^-1000))/(%e^1000+1)-1000000/(%e^1000+1),
 891   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 892 true;
 893
 894 /* SF bug #3244: "error trying to promote float infinity to bigfloat in sign comparison"
 895  * same as test under #3235 but ensure that bigfloat assume is present to trigger bug
 896  */
 897
 898 block ([actual, expected, ctxt:newcontext()],
 899   assume (xfoo > 200b0),
 900   actual : limit(xfoo*exp(xfoo)*log(exp(xfoo)+1),xfoo,-1000,plus),
 901   expected : -1000*%e^-1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)),
 902   killcontext (ctxt),
 903   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 904 true;
 905
 906 /* SF bug #3826: "limit returns temp variable expression" */
 907
 908 (kill (q, a, x),
 909  ctxt: newcontext (),
 910  assume (q > 0),
 911  limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf));
 912 'limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf);
 913
 914 tlimit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf);
 915 'limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf);
 916
 917 (assume (a > 0),
 918  declare (q, integer),
 919  limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf));
 920 1/a;
 921
 922 (remove (q, integer),
 923  declare (q, noninteger),
 924  limit(x^q/(a*x^q- 1),x,inf));
 925 1/a;
 926
 927 /*
 928  * limit(li[3](sin(x)), x, %pi/2) was returning a noun form.
 929  */
 930 makelist(subst(n=k, limit(li[n](sin(x)), x, %pi/2)), k, 2, 5);
 931 [zeta(2), zeta(3), zeta(4), zeta(5)];
 932
 933 limit(li[3](sin(x)+x-%pi/2), x, %pi/2);
 934 zeta(3);
 935
 936 (remove (q, noninteger),
 937  killcontext (ctxt));
 938 done;
 939
 940 /* Bug #3926: Various limits give UND where they should give IND */
 941
 942 limit(unit_step(x),x,0);
 943 ind;
 944
 945 limit(abs(x)/x,x,0);
 946 ind;
 947
 948 limit(x/abs(x),x,0);
 949 ind;
 950
 951 limit(exp(1/x),x,0);
 952 und;
 953
 954 limit(exp(1/x)*sin(1/x),x,0);
 955 und;
 956
 957 limit(exp(-1/x)*sin(1/x),x,0);
 958 und;
 959
 960 /* Bug #3071: limit of expressions with signum not very powerful */
 961
 962 limit(signum(x)^a,x,0); /* It would be better if this asked about a */
 963 ind;
 964
 965 limit(signum(x)*x/sin(x),x,0);
 966 ind;
 967
 968 /* #895 limit x->inf sin(100/x)*x very slow */
 969 block([start : absolute_real_time()],
 970   [limit(sin(100/x)*x,x,inf),
 971    limit(sin(10000/x)*x,x,inf),
 972    limit(sin(10000000/x)*x,x,inf),
 973    is(absolute_real_time()-start < 1)]);
 974  [100, 10000, 10000000, true]$
 975
 976 /* #4273 limit(integrate(f(x)*g(x), x), x, a) incorrect results */
 977  limit(integrate (abs(x) * cos(x), x), x, 1);
 978  'limit('integrate(cos(x)*abs(x),x),x,1);
 979
 980 limit(integrate (abs(x) * exp(x), x), x, 1);
 981 'limit(integrate (abs(x) * exp(x), x), x, 1);
 982
 983 limit(integrate (bessel_j(0, x) * exp(x), x), x, 1);
 984 'limit(integrate (bessel_j(0, x) * exp(x), x), x, 1);
 985
 986 limit(integrate (bessel_j(0, x) * unit_step(x), x), x, 1);
 987 'limit(integrate (bessel_j(0, x) * unit_step(x), x), x, 1);
 988
 989 (remvalue(foo), limit (integrate (bessel_j(0, x) * foo(x), x), x, 1));
 990 'limit (integrate (bessel_j(0, x) * foo(x), x), x, 1);
 991
 992  limit (integrate (baz(0, x) * unit_step(x), x), x, 1);
 993 'limit (integrate (baz(0, x) * unit_step(x), x), x, 1);
 994
 995 limit (integrate (baz(0, x) * foo(x), x), x, 1);
 996  'limit (integrate (baz(0, x) * foo(x), x), x, 1);
 997
 998  /* #4275 ldefint returns zero */
 999
1000  /* not wrong and not optimal*/
1001  ldefint(floor(x)*exp(x),x,2,3);
1002  'limit('integrate(%e^x*floor(x),x),x,3,minus)-'limit('integrate(%e^x*floor(x),x),x,2,plus);
1003
1004  (remvalue(foo, ctxt),0);
1005  0$
1006
1007  contexts;
1008  [initial,global]$
1009
1010 (kill(facts),0);
1011 0$