archive/books/schelter/chaos.bk

   1 \x06\x01\x19\x16\x05
   2 ((face (maxima-eval-insert 3440 3441) (maxima-eval 372 860 1007 1166 1215 1508 1510 1598 1664 1804 2139 2305 2339 2564 2824 3440)) (book-command-arg))\f
   3                  Chaos
   4
   5 We look at the logistics growth equation
   6
   7           U[n+1] =  ro U[n] (1 - U[n])
   8
   9 An initial value of u[0] and a value for ro, determine the behavior.
  10 However as we shall see in some ranges of ro the growth goes to
  11 one level for large n, and in some 2 or more levels.  Finally for
  12 some values of ro the value of u[n] is really chaotic for large
  13
  14               "Click Here First";
  15
  16        iterate_eqn(un,form,initial,beg,m):= (
  17        kill(f,h),
  18        define(h(n),sublis([un=f[n]],form)),
  19        f[n]:=h(n-1),
  20        f[0]:initial, for i:0 thru beg do f[i],
  21        create_list([i,f[i]],i,beg,m));
  22         label(x,y):=cons(concat("\"",x),y);
  23        plot_points(un,form,initial,beg,m):=
  24           append(["NoLines: True","LargePixels: true","XUnitText: N",
  25                  "YUnitText: Un"],
  26              iterate_eqn(un,form,initial,beg,m));
  27
  28
  29
  30
  31 for ro=2.8 we have only one stable value, while for ro=3.3 there
  32 are 2 values for large N.  The population oscillates between these
  33 two values.
  34
  35    xgraph_curves([
  36        label("ro=2.8", plot_points(Un, 2.8*Un*(1-Un), .4,0,400)),
  37        label("ro=3.3", plot_points(Un, 3.3*Un*(1-Un), .4,0,400))
  38      ]);
  39
  40 Notice how the 3.65 equation becomes chaotic!!
  41
  42    xgraph_curves([
  43        label("ro=3.65", plot_points(Un, 3.65*Un*(1-Un), .5,0,400)),
  44        label("ro=2.8", plot_points(Un, 2.8*Un*(1-Un), .5,0,400)),
  45        label("ro=3.1", plot_points(Un, 3.1*Un*(1-Un), .5,0,400)),
  46        label("ro=3.3", plot_points(Un, 3.3*Un*(1-Un), .5,0,400))
  47      ]);
  48
  49
  50    xgraph_curves([
  51        label("ro=3.65", plot_points(Un, 3.58*Un*(1-Un), .5,0,400))]);
  52
  53
  54
  55 Let us graph several close to ro = 3.60 and see what happens
  56
  57     One_ro(ro):=label(concat("ro=",ro),plot_points(un,ro*un*(1-un),.5,0,400));
  58     for i:-4 thru 4  do xgraph_curves([one_ro(3.60+i*.02)]);
  59
  60 Below we plot including the lines joining the points, the equation
  61 with two different starting positions.  Notice how the following
  62 equations agree through about n = 15 and then disagree radically!  The
  63 first has initial value
  64                 u0 =.300
  65 and the second  u0 =.305
  66 Below we plot the initial values to see the instability
  67
  68    xgraph_curves([
  69         label("U0=.30",iterate_eqn(Un, 3.65*Un*(1-Un), .3, 0,20)),
  70         label("U0=.305",iterate_eqn(Un, 3.65*Un*(1-Un), .305, 0,20))
  71        ]);
  72
  73
  74 Here we vary the 'ro' factor.
  75
  76    xgraph_curves([
  77         label("ro=.8",iterate_eqn(Un, .8*Un*(1-Un), .3, 0,20)),
  78         label("ro=1.5",iterate_eqn(Un, 1.5*Un*(1-Un), .3,0, 20)),
  79         label("ro=2.5",iterate_eqn(Un, 2.5*Un*(1-Un), .3, 0,20))
  80        ]);
  81
  82
  83 Below we see at what values of 'ro' the the chaos begins by plotting
  84 'ro' on the x axis and plotting only the values between 30 and 80 on
  85 the y axis.   When you get the plot, you may zoom in on a particular
  86 portion to see a better separation of the dots.
  87
  88
  89
  90        iterate_eqn1(un,rovalue,form,initial,beg,m):=
  91         block([y:initial],
  92         kill(f,h),
  93         define(h(w),sublis([ro=rovalue,un=w],form)),
  94         for i:1 thru beg do y:h(y),
  95         create_list([rovalue,y:h(y)],i,beg,m)); ans:[];
  96        /* do the plot from ro = romin to romax using 100 steps. */
  97        (romin:2.4,romax:3.9)$
  98        for rovalue:romin thru romax step (romax-romin)/100 do
  99         (ans:append(iterate_eqn1(un,rovalue,ro*Un*(1-Un), .4,40,90),ans));
 100        xgraph_curves([append(["XUnitText: ro","YUnitText: Un",
 101                               "NoLines: True","LargePixels: true"],ans)]);
 102
 103
 104
 105 Exercises:
 106
 107 1) In the logistics equation where `Un' is plotted against `Ro', you see
 108 a large bifurcation and then two smaller ones.  Try zooming in on
 109 one of the smaller ones, using a rectangle to make it look like the
 110 large ones.   Can you see smaller ones coming out?   Replot with
 111 more points using a smaller range on the ro axis [change 2.4 and 3.9].
 112 Turn in the large plot and the smaller one.
 113
 114 2) Do you think the initial value alters the eventual picture, or
 115 whether there are bifurcations at a particular 'ro'?   If you find
 116 one plot it.   Where would be a likely place to look?
 117
 118
 119
 120
 121