archive/books/schelter/systems.bk

   1 \x06\x01\x19\x16\x05
   2 ((face (octave-eval 2398 2554) (default 1906 1942) (book-result 608 624 1302 1355 1542 1626) (maxima-eval-insert 532 584 1239 1293 1488 1533) (dfplot-eval 178 254 2104 2192)) (book-command-arg))\f
   3
   4
   5            Systems of differential equations
   6
   7 The system
   8                     [ 1  1 ]
   9               U' =  [      ]  .  U
  10                     [ 4  1 ]
  11
  12 can be entered as
  13
  14    ode{ D[x,t] = x  + y,
  15         D[y,t] = 4*x+  y
  16        };
  17   set xrange [-4,4]
  18
  19 When you click at a point say  [x,y] = [1,2] then you are finding
  20 the trajectory through that point.
  21 Note in the above plot the special directions corresponding to the
  22 eigenvectors of the matrix.
  23
  24
  25 We can calculate the eigenvalues by solving the characteristic equation:
  26
  27     solve(determinant(matrix([1,1],[4,1]) - r*ident(2))) returns
  28                [R = 3, R = - 1]
  29
  30
  31 Two useful functions in maxima are:
  32
  33 EIGENVALUES(mat) takes a MATRIX
  34      as its argument and returns a list of lists the first sublist of
  35      which is the list of eigenvalues of the matrix and the other
  36      sublist of which is the list of the multiplicities of the
  37      eigenvalues in the corresponding order.
  38
  39
  40  - Function: EIGENVECTORS (MAT)
  41      takes a MATRIX as its argument and returns a list of lists the
  42      first sublist of which is the output of the EIGENVALUES command
  43      and the other sublists of which are the eigenvectors of the matrix
  44      corresponding to those eigenvalues respectively.
  45
  46  (load("eigen.mc"),eigenvectors(matrix([1,1],[4,1])))
  47
  48 yields
  49
  50                     [[[3, - 1], [1, 1]], [1, 2], [1, - 2]]
  51
  52
  53 so the eigenvalues are [3,-1] with multiplicities 1 and 1 respectively, and the
  54 corresponding eigenvectors are [1,2] and [1,-2].
  55
  56 eigenvectors(matrix([2,1,2],[0,2,3],[0,0,4])) returns
  57                                                      6  4
  58                    [[[2, 4], [2, 1]], [1, 0, 0], [1, -, -]]
  59                                                      7  7
  60
  61
  62 Note in the plot that the direction [1,2] has longer direction arrows than
  63 the direction [1,-2] (since 3 is bigger than -1).   The arrows in the
  64 [1,2] direction go away from the origin since '3' is positive.
  65
  66
  67
  68       Comparing two methods of looking at the system
  69
  70             D[x,t]= y, D[y,t]= -sin(x) - 0.1* y
  71
  72 First we look at the trajectory through the point  (x,y) = (0,3).
  73 If you follow the trajectory it eventually seems to circle around
  74 the point (0,13).
  75
  76      ode{ D[x,t]= y, D[y,t]= -sin(x) - 0.1* y};set xrange [0,16];
  77         set yrange [-4,12]
  78
  79 If we look at the same equation with the same inital conditions
  80 (0,3) (in fortran notation!), then we see the 'line 1' (representing 'x')
  81 tending to 13 and the 'line 2' representing 'y' tending to 0.
  82
  83   function xdot = pend(x,t)
  84   xdot(1) = x(2); xdot(2) = -sin( x(1)) - 0.1*x(2); end
  85   sol=lsode( "pend",[0.0, 3.0], t = linspace(0,40, 200));
  86   plot( t, sol);
  87
  88