doc/info/fractals.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to fractals::
   3 * Definitions for IFS fractals::
   4 * Definitions for complex fractals::
   5 * Definitions for Koch snowflakes::
   6 * Definitions for Peano maps::
   7 @end menu
   8
   9 @node Introduction to fractals, Definitions for IFS fractals, Package fractals, Package fractals
  10 @section Introduction to fractals
  11
  12
  13 This package defines some well known fractals:
  14
  15 - with random IFS (Iterated Function System): the Sierpinsky triangle, a
  16 Tree and a Fern
  17
  18 - Complex Fractals: the  Mandelbrot and Julia Sets
  19
  20 - the Koch snowflake sets
  21
  22 - Peano maps: the Sierpinski and Hilbert maps
  23
  24 Author: Jos@'e Ram@'{@dotless{i}}rez Labrador.
  25
  26 For questions, suggestions and  bugs, please feel free
  27 to contact me at
  28
  29 pepe DOT ramirez AAATTT uca DOT es
  30
  31 @node Definitions for IFS fractals, Definitions for complex fractals, Introduction to fractals, Package fractals
  32 @section Definitions for IFS fractals
  33
  34 Some fractals can be generated by iterative applications
  35 of contractive affine transformations in a random way; see
  36
  37 Hoggar S. G., "Mathematics for computer graphics", Cambridge University
  38 Press 1994.
  39
  40 We define a list with several contractive affine transformations,
  41 and  we randomly select the transformation in a recursive way.
  42 The probability of the choice of a transformation must be related
  43 with the contraction ratio.
  44
  45 You can change the transformations and find another fractal
  46
  47 @anchor{sierpinskiale}
  48 @deffn {Function} sierpinskiale (@var{n})
  49
  50 Sierpinski Triangle: 3 contractive maps; .5 contraction constant and translations;
  51 all maps have the same contraction ratio. Argument @var{n} must be great enough, 10000 or greater.
  52
  53 Example:
  54
  55 @example
  56 (%i1) load("fractals")$
  57 (%i2) n: 10000$
  58 (%i3) plot2d([discrete,sierpinskiale(n)], [style,dots])$
  59 @end example
  60
  61 @opencatbox{Categories:}
  62 @category{Package fractals}
  63 @closecatbox
  64
  65 @end deffn
  66
  67 @anchor{treefale}
  68 @deffn {Function} treefale (@var{n})
  69
  70 3 contractive maps all with the same contraction ratio.
  71 Argument @var{n} must be great enough, 10000 or greater.
  72
  73 Example:
  74
  75 @example
  76 (%i1) load("fractals")$
  77 (%i2) n: 10000$
  78 (%i3) plot2d([discrete,treefale(n)], [style,dots])$
  79 @end example
  80
  81 @opencatbox{Categories:}
  82 @category{Package fractals}
  83 @closecatbox
  84
  85 @end deffn
  86
  87 @anchor{fernfale}
  88 @deffn {Function} fernfale (@var{n})
  89
  90 4 contractive maps, the probability to choice a transformation must be related
  91 with the contraction ratio. Argument @var{n} must be great enough, 10000 or greater.
  92
  93 Example:
  94
  95 @example
  96 (%i1) load("fractals")$
  97 (%i2) n: 10000$
  98 (%i3) plot2d([discrete,fernfale(n)], [style,dots])$
  99 @end example
 100
 101 @opencatbox{Categories:}
 102 @category{Package fractals}
 103 @closecatbox
 104
 105 @end deffn
 106
 107 @node Definitions for complex fractals, Definitions for Koch snowflakes, Definitions for IFS fractals, Top
 108 @section Definitions for complex fractals
 109
 110 @anchor{mandelbrot_set}
 111 @deffn {Function} mandelbrot_set (@var{x}, @var{y})
 112
 113 Mandelbrot set.
 114
 115 Example:
 116
 117 This program is time consuming because it must make a lot of operations;
 118 the computing time is also related with the number of grid points.
 119
 120 @example
 121 (%i1) load("fractals")$
 122 (%i2) plot3d (mandelbrot_set, [x, -2.5, 1], [y, -1.5, 1.5],
 123                 [gnuplot_preamble, "set view map"],
 124                 [gnuplot_pm3d, true],
 125                 [grid, 150, 150])$
 126 @end example
 127
 128 @opencatbox{Categories:}
 129 @category{Package fractals}
 130 @closecatbox
 131
 132 @end deffn
 133
 134
 135
 136 @anchor{julia_set}
 137 @deffn {Function} julia_set (@var{x}, @var{y})
 138
 139 Julia sets.
 140
 141 This program is time consuming because it must make a lot of operations;
 142 the computing time is also related with the number of grid points.
 143
 144 Example:
 145
 146 @example
 147 (%i1) load("fractals")$
 148 (%i2) plot3d (julia_set, [x, -2, 1], [y, -1.5, 1.5],
 149                 [gnuplot_preamble, "set view map"],
 150                 [gnuplot_pm3d, true],
 151                 [grid, 150, 150])$
 152 @end example
 153
 154 See also @mref{julia_parameter}.
 155
 156 @opencatbox{Categories:}
 157 @category{Package fractals}
 158 @closecatbox
 159
 160 @end deffn
 161
 162
 163
 164 @anchor{julia_parameter}
 165 @defvr {Optional variable} julia_parameter
 166 Default value: @mref{%i}
 167
 168 Complex parameter for Julia fractals.
 169 Its default value is @mref{%i}; we  suggest the  values @code{-.745+%i*.113002},
 170 @code{-.39054-%i*.58679}, @code{-.15652+%i*1.03225}, @code{-.194+%i*.6557} and
 171 @code{.011031-%i*.67037}.
 172
 173 @opencatbox{Categories:}
 174 @category{Package fractals}
 175 @closecatbox
 176
 177 @end defvr
 178
 179
 180
 181
 182 @anchor{julia_sin}
 183 @deffn {Function} julia_sin (@var{x}, @var{y})
 184
 185 While function @code{julia_set} implements the transformation @code{julia_parameter+z^2},
 186 function @code{julia_sin} implements @code{julia_parameter*sin(z)}. See source code
 187 for more details.
 188
 189 This program runs slowly  because it calculates a lot of sines.
 190
 191 Example:
 192
 193 This program is time consuming because it must make a lot of operations;
 194 the computing time is also related with the number of grid points.
 195
 196 @example
 197 (%i1) load("fractals")$
 198 (%i2) julia_parameter:1+.1*%i$
 199 (%i3) plot3d (julia_sin, [x, -2, 2], [y, -3, 3],
 200                 [gnuplot_preamble, "set view map"],
 201                 [gnuplot_pm3d, true],
 202                 [grid, 150, 150])$
 203 @end example
 204
 205 See also @mref{julia_parameter}.
 206
 207 @opencatbox{Categories:}
 208 @category{Package fractals}
 209 @closecatbox
 210
 211 @end deffn
 212
 213 @node Definitions for Koch snowflakes, Definitions for Peano maps, Definitions for complex fractals, Top
 214 @section Definitions for Koch snowflakes
 215
 216
 217
 218 @anchor{snowmap}
 219 @deffn {Function} snowmap (@var{ent}, @var{nn})
 220
 221 Koch snowflake sets. Function @code{snowmap} plots the snow Koch map
 222 over the vertex of an initial closed polygonal, in the complex plane. Here
 223 the orientation of the polygon is important. Argument @var{nn} is the number of
 224 recursive applications of Koch transformation; @var{nn} must be small (5 or 6).
 225
 226 Examples:
 227
 228 @example
 229 (%i1) load("fractals")$
 230 (%i2) plot2d([discrete,
 231               snowmap([1,exp(%i*%pi*2/3),exp(-%i*%pi*2/3),1],4)])$
 232 (%i3) plot2d([discrete,
 233               snowmap([1,exp(-%i*%pi*2/3),exp(%i*%pi*2/3),1],4)])$
 234 (%i4) plot2d([discrete, snowmap([0,1,1+%i,%i,0],4)])$
 235 (%i5) plot2d([discrete, snowmap([0,%i,1+%i,1,0],4)])$
 236 @end example
 237
 238 @opencatbox{Categories:}
 239 @category{Package fractals}
 240 @closecatbox
 241
 242 @end deffn
 243
 244 @node Definitions for Peano maps,  , Definitions for Koch snowflakes, Package fractals
 245 @section Definitions for Peano maps
 246
 247 Continuous curves that cover an area. Warning:
 248 the number of points exponentially grows with @var{n}.
 249
 250 @anchor{hilbertmap}
 251 @deffn {Function} hilbertmap (@var{nn})
 252
 253 Hilbert map. Argument @var{nn} must be small (5, for example).
 254 Maxima can crash if @var{nn} is 7 or greater.
 255
 256 Example:
 257
 258 @example
 259 (%i1) load("fractals")$
 260 (%i2) plot2d([discrete,hilbertmap(6)])$
 261 @end example
 262
 263 @opencatbox{Categories:}
 264 @category{Package fractals}
 265 @closecatbox
 266
 267 @end deffn
 268
 269 @anchor{sierpinskimap}
 270 @deffn {Function} sierpinskimap (@var{nn})
 271
 272 Sierpinski map. Argument @var{nn} must be small (5, for example).
 273 Maxima can crash if @var{nn} is 7 or greater.
 274
 275 Example:
 276
 277 @example
 278 (%i1) load("fractals")$
 279 (%i2) plot2d([discrete,sierpinskimap(6)])$
 280 @end example
 281
 282 @opencatbox{Categories:}
 283 @category{Package fractals}
 284 @closecatbox
 285
 286 @end deffn
 287