doc/info/distrib.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to distrib::
   3 * Functions and Variables for continuous distributions::
   4 * Functions and Variables for discrete distributions::
   5 @end menu
   6
   7 @node Introduction to distrib, Functions and Variables for continuous distributions, distrib-pkg, distrib-pkg
   8 @section Introduction to distrib
   9
  10
  11 Package @code{distrib} contains a set of functions for making probability computations on both discrete and continuous univariate models.
  12
  13 What follows is a short reminder of basic probabilistic related definitions.
  14
  15 Let @math{f(x)} be the @var{density function} of an absolute continuous random variable @math{X}. The @var{distribution function} is defined as
  16 @ifnottex
  17 @example
  18                        x
  19                       /
  20                       [
  21                F(x) = I     f(u) du
  22                       ]
  23                       /
  24                        minf
  25 @end example
  26 @end ifnottex
  27 @tex
  28 $$F\left(x\right)=\int_{ -\infty }^{x}{f\left(u\right)\;du}$$
  29 @end tex
  30 which equals the probability @code{Pr(X <= x)}.
  31
  32 The @var{mean} value is a localization parameter and is defined as
  33 @ifnottex
  34 @example
  35                      inf
  36                     /
  37                     [
  38            E[X]  =  I   x f(x) dx
  39                     ]
  40                     /
  41                      minf
  42 @end example
  43 @end ifnottex
  44 @tex
  45 $$E\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{x\,f\left(x\right)\;dx}$$
  46 @end tex
  47
  48 The @var{variance} is a measure of variation,
  49 @ifnottex
  50 @example
  51                  inf
  52                 /
  53                 [                    2
  54          V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
  55                 ]
  56                 /
  57                  minf
  58 @end example
  59 @end ifnottex
  60 @tex
  61 $$V\left[X\right]=\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,\left(x
  62  -E\left[X\right]\right)^2\;dx}$$
  63 @end tex
  64 which is a positive real number. The square root of the variance is the @var{standard deviation}, @math{D[X]=sqrt(V[X])}, and it is another measure of variation.
  65
  66 The @var{skewness coefficient} is a measure of non-symmetry,
  67 @ifnottex
  68 @example
  69                  inf
  70                 /
  71             1   [                    3
  72   SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
  73               3 ]
  74           D[X]  /
  75                  minf
  76 @end example
  77 @end ifnottex
  78 @tex
  79 $$SK\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
  80  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}$$
  81 @end tex
  82
  83 And the @var{kurtosis coefficient} measures the peakedness of the distribution,
  84 @ifnottex
  85 @example
  86                  inf
  87                 /
  88             1   [                    4
  89   KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
  90               4 ]
  91           D[X]  /
  92                  minf
  93 @end example
  94 @end ifnottex
  95 @tex
  96 $$KU\left[X\right]={{\int_{ -\infty }^{\infty }{f\left(x\right)\,
  97  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3$$
  98 @end tex
  99 If @math{X} is gaussian, @math{KU[X]=0}. In fact, both skewness and kurtosis are shape parameters used to measure the non--gaussianity of a distribution.
 100
 101 If the random variable @math{X} is discrete, the density, or @var{probability}, function @math{f(x)} takes positive values within certain countable set of numbers @math{x_i}, and zero elsewhere. In this case, the distribution function is
 102 @ifnottex
 103 @example
 104                        ====
 105                        \
 106                 F(x) =  >    f(x )
 107                        /        i
 108                        ====
 109                       x <= x
 110                        i
 111 @end example
 112 @end ifnottex
 113 @tex
 114 $$F\left(x\right)=\sum_{x_{i}\leq x}{f\left(x_{i}\right)}$$
 115 @end tex
 116
 117 The mean, variance, standard deviation, skewness coefficient and kurtosis coefficient take the form
 118 @ifnottex
 119 @example
 120                        ====
 121                        \
 122                 E[X] =  >  x  f(x ) ,
 123                        /    i    i
 124                        ====
 125                         x
 126                          i
 127 @end example
 128 @end ifnottex
 129 @tex
 130 $$E\left[X\right]=\sum_{x_{i}}{x_{i}f\left(x_{i}\right)},$$
 131 @end tex
 132
 133 @ifnottex
 134 @example
 135                 ====
 136                 \                     2
 137         V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
 138                 /        i    i
 139                 ====
 140                  x
 141                   i
 142 @end example
 143 @end ifnottex
 144 @tex
 145 $$V\left[X\right]=\sum_{x_{i}}{f\left(x_{i}\right)\left(x_{i}-E\left[X\right]\right)^2},$$
 146 @end tex
 147
 148 @ifnottex
 149 @example
 150                D[X] = sqrt(V[X]),
 151 @end example
 152 @end ifnottex
 153 @tex
 154 $$D\left[X\right]=\sqrt{V\left[X\right]},$$
 155 @end tex
 156
 157 @ifnottex
 158 @example
 159                      ====
 160               1      \                     3
 161   SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])
 162            D[X]^3    /        i    i
 163                      ====
 164                       x
 165                        i
 166 @end example
 167 @end ifnottex
 168 @tex
 169 $$SK\left[X\right]={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 170  \left(x-E\left[X\right]\right)^3\;dx}}\over{D\left[X\right]^3}}$$
 171 @end tex
 172 and
 173 @ifnottex
 174 @example
 175                      ====
 176               1      \                     4
 177   KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
 178            D[X]^4    /        i    i
 179                      ====
 180                       x
 181                        i
 182 @end example
 183 @end ifnottex
 184 @tex
 185 $$KU\left[X\right]={{\sum_{x_{i}}{f\left(x\right)\,
 186  \left(x-E\left[X\right]\right)^4\;dx}}\over{D\left[X\right]^4}}-3,$$
 187 @end tex
 188 respectively.
 189
 190 There is a naming convention in package @code{distrib}. Every function name has two parts, the first one makes reference to the function or parameter we want to calculate,
 191 @example
 192 Functions:
 193    Density function            (pdf_*)
 194    Distribution function       (cdf_*)
 195    Quantile                    (quantile_*)
 196    Mean                        (mean_*)
 197    Variance                    (var_*)
 198    Standard deviation          (std_*)
 199    Skewness coefficient        (skewness_*)
 200    Kurtosis coefficient        (kurtosis_*)
 201    Random variate              (random_*)
 202 @end example
 203
 204 The second part is an explicit reference to the probabilistic model,
 205 @example
 206 Continuous distributions:
 207    Normal              (*normal)
 208    Student             (*student_t)
 209    Chi^2               (*chi2)
 210    Noncentral Chi^2    (*noncentral_chi2)
 211    F                   (*f)
 212    Exponential         (*exp)
 213    Lognormal           (*lognormal)
 214    Gamma               (*gamma)
 215    Beta                (*beta)
 216    Continuous uniform  (*continuous_uniform)
 217    Logistic            (*logistic)
 218    Pareto              (*pareto)
 219    Weibull             (*weibull)
 220    Rayleigh            (*rayleigh)
 221    Laplace             (*laplace)
 222    Cauchy              (*cauchy)
 223    Gumbel              (*gumbel)
 224
 225 Discrete distributions:
 226    Binomial             (*binomial)
 227    Poisson              (*poisson)
 228    Bernoulli            (*bernoulli)
 229    Geometric            (*geometric)
 230    Discrete uniform     (*discrete_uniform)
 231    hypergeometric       (*hypergeometric)
 232    Negative binomial    (*negative_binomial)
 233    Finite discrete      (*general_finite_discrete)
 234 @end example
 235
 236 For example, @code{pdf_student_t(x,n)} is the density function of the Student distribution with @var{n} degrees of freedom, @code{std_pareto(a,b)} is the standard deviation of the Pareto distribution with parameters @var{a} and @var{b} and @code{kurtosis_poisson(m)} is the kurtosis coefficient of the Poisson distribution with mean @var{m}.
 237
 238
 239 In order to make use of package @code{distrib} you need first to load it by typing
 240 @example
 241 (%i1) load("distrib")$
 242 @end example
 243
 244 For comments, bugs or suggestions, please contact the author at @var{'riotorto AT yahoo DOT com'}.
 245
 246 @opencatbox{Categories:}
 247 @category{Statistical functions}
 248 @category{Share packages}
 249 @category{Package distrib}
 250 @closecatbox
 251
 252
 253
 254
 255 @node Functions and Variables for continuous distributions, Functions and Variables for discrete distributions, Introduction to distrib, distrib-pkg
 256 @section Functions and Variables for continuous distributions
 257
 258
 259 @anchor{pdf_normal}
 260 @deffn {Function} pdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 261 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 262
 263 @opencatbox{Categories:}
 264 @category{Package distrib}
 265 @closecatbox
 266
 267 @end deffn
 268
 269
 270 @anchor{cdf_normal}
 271 @deffn {Function} cdf_normal (@var{x},@var{m},@var{s})
 272 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
 273
 274 @c ===beg===
 275 @c load ("distrib")$
 276 @c cdf_normal(x,m,s);
 277 @c ===end===
 278 @example
 279 (%i1) load ("distrib")$
 280 (%i2) cdf_normal(x,m,s);
 281                                     x - m
 282                               erf(---------)
 283                                   sqrt(2) s    1
 284 (%o2)                         -------------- + -
 285                                     2          2
 286 @end example
 287
 288 See also @mrefdot{erf}
 289
 290 @opencatbox{Categories:}
 291 @category{Package distrib}
 292 @closecatbox
 293
 294 @end deffn
 295
 296
 297 @anchor{quantile_normal}
 298 @deffn {Function} quantile_normal (@var{q},@var{m},@var{s})
 299 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @mrefdot{cdf_normal} Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 300
 301 @c ===beg===
 302 @c load ("distrib")$
 303 @c quantile_normal(95/100,0,1);
 304 @c float(%);
 305 @c ===end===
 306 @example
 307 (%i1) load ("distrib")$
 308 (%i2) quantile_normal(95/100,0,1);
 309                                       9
 310 (%o2)             sqrt(2) inverse_erf(--)
 311                                       10
 312 (%i3) float(%);
 313 (%o3)               1.644853626951472
 314 @end example
 315
 316 @opencatbox{Categories:}
 317 @category{Package distrib}
 318 @closecatbox
 319
 320 @end deffn
 321
 322
 323 @anchor{mean_normal}
 324 @deffn {Function} mean_normal (@var{m},@var{s})
 325 Returns the mean of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}, namely @var{m}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 326
 327 @opencatbox{Categories:}
 328 @category{Package distrib}
 329 @closecatbox
 330
 331 @end deffn
 332
 333
 334 @anchor{var_normal}
 335 @deffn {Function} var_normal (@var{m},@var{s})
 336 Returns the variance of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}, namely @var{s^2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 337
 338 @opencatbox{Categories:}
 339 @category{Package distrib}
 340 @closecatbox
 341
 342 @end deffn
 343
 344 @anchor{std_normal}
 345 @deffn {Function} std_normal (@var{m},@var{s})
 346 Returns the standard deviation of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}, namely @var{s}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 347
 348 @opencatbox{Categories:}
 349 @category{Package distrib}
 350 @closecatbox
 351
 352 @end deffn
 353
 354
 355 @anchor{skewness_normal}
 356 @deffn {Function} skewness_normal (@var{m},@var{s})
 357 Returns the skewness coefficient of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 358
 359 @opencatbox{Categories:}
 360 @category{Package distrib}
 361 @closecatbox
 362
 363 @end deffn
 364
 365
 366 @anchor{kurtosis_normal}
 367 @deffn {Function} kurtosis_normal (@var{m},@var{s})
 368 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Normal(m,s)} random variable, with @math{s>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 369
 370 @opencatbox{Categories:}
 371 @category{Package distrib}
 372 @closecatbox
 373
 374 @end deffn
 375
 376
 377 @anchor{random_normal}
 378 @deffn {Function} random_normal (@var{m},@var{s}) @
 379 @fname{random_normal} (@var{m},@var{s},@var{n})
 380
 381 Returns a @math{Normal(m,s)} random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_normal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
 382
 383 This is an implementation of the Box-Mueller algorithm, as described in Knuth, D.E. (1981) @var{Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming.} Addison-Wesley.
 384
 385 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 386
 387 @opencatbox{Categories:}
 388 @category{Package distrib}
 389 @category{Random numbers}
 390 @closecatbox
 391
 392 @end deffn
 393
 394
 395 @anchor{pdf_student_t}
 396 @deffn {Function} pdf_student_t (@var{x},@var{n})
 397 Returns the value at @var{x} of the density function of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>0} degrees of freedom. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 398
 399 @opencatbox{Categories:}
 400 @category{Package distrib}
 401 @closecatbox
 402
 403 @end deffn
 404
 405
 406 @anchor{cdf_student_t}
 407 @deffn {Function} cdf_student_t (@var{x},@var{n})
 408 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>0} degrees of freedom.
 409
 410 @c ===beg===
 411 @c load ("distrib")$
 412 @c cdf_student_t(1/2, 7/3);
 413 @c float(%);
 414 @c ===end===
 415 @example
 416 (%i1) load ("distrib")$
 417 (%i2) cdf_student_t(1/2, 7/3);
 418                                          7  1  28
 419              beta_incomplete_regularized(-, -, --)
 420                                          6  2  31
 421 (%o2)    1 - -------------------------------------
 422                                2
 423 (%i3) float(%);
 424 (%o3)                .6698450596140415
 425 @end example
 426
 427 @opencatbox{Categories:}
 428 @category{Package distrib}
 429 @closecatbox
 430
 431 @end deffn
 432
 433
 434 @anchor{quantile_student_t}
 435 @deffn {Function} quantile_student_t (@var{q},@var{n})
 436 Returns the @var{q}-quantile of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 437
 438 @opencatbox{Categories:}
 439 @category{Package distrib}
 440 @closecatbox
 441
 442 @end deffn
 443
 444
 445 @anchor{mean_student_t}
 446 @deffn {Function} mean_student_t (@var{n})
 447 Returns the mean of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>0}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 448
 449 @opencatbox{Categories:}
 450 @category{Package distrib}
 451 @closecatbox
 452
 453 @end deffn
 454
 455
 456 @anchor{var_student_t}
 457 @deffn {Function} var_student_t (@var{n})
 458 Returns the variance of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>2}.
 459
 460 @c ===beg===
 461 @c load ("distrib")$
 462 @c var_student_t(n);
 463 @c ===end===
 464 @example
 465 (%i1) load ("distrib")$
 466 (%i2) var_student_t(n);
 467                                 n
 468 (%o2)                         -----
 469                               n - 2
 470 @end example
 471
 472 @opencatbox{Categories:}
 473 @category{Package distrib}
 474 @closecatbox
 475
 476 @end deffn
 477
 478
 479 @anchor{std_student_t}
 480 @deffn {Function} std_student_t (@var{n})
 481 Returns the standard deviation of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 482
 483 @opencatbox{Categories:}
 484 @category{Package distrib}
 485 @closecatbox
 486
 487 @end deffn
 488
 489
 490 @anchor{skewness_student_t}
 491 @deffn {Function} skewness_student_t (@var{n})
 492 Returns the skewness coefficient of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>3}, which is always equal to 0. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 493
 494 @opencatbox{Categories:}
 495 @category{Package distrib}
 496 @closecatbox
 497
 498 @end deffn
 499
 500
 501 @anchor{kurtosis_student_t}
 502 @deffn {Function} kurtosis_student_t (@var{n})
 503 Returns the kurtosis coefficient of a Student random variable @math{t(n)}, with @math{n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 504
 505 @opencatbox{Categories:}
 506 @category{Package distrib}
 507 @closecatbox
 508
 509 @end deffn
 510
 511
 512 @anchor{random_student_t}
 513 @deffn {Function} random_student_t (@var{n}) @
 514 @fname{random_student_t} (@var{n},@var{m})
 515
 516 Returns a Student random variate @math{t(n)}, with @math{n>0}. Calling @code{random_student_t} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 517
 518 The implemented algorithm is based on the fact that if @var{Z} is a normal random variable @math{N(0,1)} and @math{S^2} is a chi square random variable with @var{n} degrees of freedom, @math{Chi^2(n)}, then
 519 @ifnottex
 520 @example
 521                            Z
 522                  X = -------------
 523                      /   2  \ 1/2
 524                      |  S   |
 525                      | ---  |
 526                      \  n   /
 527 @end example
 528 @end ifnottex
 529 @tex
 530 $$X={{Z}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}$$
 531 @end tex
 532 is a Student random variable with @var{n} degrees of freedom, @math{t(n)}.
 533
 534 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 535
 536 @opencatbox{Categories:}
 537 @category{Package distrib}
 538 @category{Random numbers}
 539 @closecatbox
 540
 541 @end deffn
 542
 543
 544 @anchor{pdf_noncentral_student_t}
 545 @deffn {Function} pdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 546 Returns the value at @var{x} of the density function of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 547
 548 Sometimes an extra work is necessary to get the final result.
 549
 550 @c ===beg===
 551 @c load ("distrib")$
 552 @c expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 553 @c float(%);
 554 @c ===end===
 555 @example
 556 (%i1) load ("distrib")$
 557 (%i2) expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
 558 @group
 559                            7/2                         7/2
 560       0.04296414417400905 5      1.323650307289301e-6 5
 561 (%o2) ------------------------ + -------------------------
 562          3/2   5/2                       sqrt(%pi)
 563         2    14    sqrt(%pi)
 564                                                         7/2
 565                                    1.94793720435093e-4 5
 566                                  + ------------------------
 567                                              %pi
 568 @end group
 569 (%i3) float(%);
 570 (%o3)          .02080593159405669
 571 @end example
 572
 573 @opencatbox{Categories:}
 574 @category{Package distrib}
 575 @closecatbox
 576
 577 @end deffn
 578
 579
 580 @anchor{cdf_noncentral_student_t}
 581 @deffn {Function} cdf_noncentral_student_t (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 582 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. This function has no closed form and it is numerically computed.
 583
 584 @c ===beg===
 585 @c load ("distrib")$
 586 @c cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 587 @c ===end===
 588 @example
 589 (%i1) load ("distrib")$
 590 (%i2) cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
 591 (%o2)          .9952030093319743
 592 @end example
 593
 594 @opencatbox{Categories:}
 595 @category{Package distrib}
 596 @closecatbox
 597
 598 @end deffn
 599
 600
 601 @anchor{quantile_noncentral_student_t}
 602 @deffn {Function} quantile_noncentral_student_t (@var{q},@var{n},@var{ncp})
 603 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>0} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_student_t}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 604
 605 @opencatbox{Categories:}
 606 @category{Package distrib}
 607 @closecatbox
 608
 609 @end deffn
 610
 611
 612 @anchor{mean_noncentral_student_t}
 613 @deffn {Function} mean_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 614 Returns the mean of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>1} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 615
 616 @c ===beg===
 617 @c load ("distrib")$
 618 @c mean_noncentral_student_t(df,k);
 619 @c ===end===
 620 @example
 621 (%i1) load ("distrib")$
 622 (%i2) mean_noncentral_student_t(df,k);
 623                    df - 1
 624              gamma(------) sqrt(df) k
 625                      2
 626 (%o2)        ------------------------
 627                               df
 628                 sqrt(2) gamma(--)
 629                               2
 630 @end example
 631
 632 @opencatbox{Categories:}
 633 @category{Package distrib}
 634 @closecatbox
 635
 636 @end deffn
 637
 638
 639 @anchor{var_noncentral_student_t}
 640 @deffn {Function} var_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 641 Returns the variance of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 642
 643 @opencatbox{Categories:}
 644 @category{Package distrib}
 645 @closecatbox
 646
 647 @end deffn
 648
 649
 650 @anchor{std_noncentral_student_t}
 651 @deffn {Function} std_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 652 Returns the standard deviation of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>2} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 653
 654 @opencatbox{Categories:}
 655 @category{Package distrib}
 656 @closecatbox
 657
 658 @end deffn
 659
 660
 661 @anchor{skewness_noncentral_student_t}
 662 @deffn {Function} skewness_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 663 Returns the skewness coefficient of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>3} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 664
 665 @opencatbox{Categories:}
 666 @category{Package distrib}
 667 @closecatbox
 668
 669 @end deffn
 670
 671
 672 @anchor{kurtosis_noncentral_student_t}
 673 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp})
 674 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Student random variable @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>4} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 675
 676 @opencatbox{Categories:}
 677 @category{Package distrib}
 678 @closecatbox
 679
 680 @end deffn
 681
 682
 683 @anchor{random_noncentral_student_t}
 684 @deffn {Function} random_noncentral_student_t (@var{n},@var{ncp}) @
 685 @fname{random_noncentral_student_t} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
 686
 687 Returns a noncentral Student random variate @math{nc_t(n,ncp)}, with @math{n>0}. Calling @code{random_noncentral_student_t} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 688
 689 The implemented algorithm is based on the fact that if @var{X} is a normal random variable @math{N(ncp,1)} and @math{S^2} is a chi square random variable with @var{n} degrees of freedom, @math{Chi^2(n)}, then
 690 @ifnottex
 691 @example
 692                            X
 693                  U = -------------
 694                      /   2  \ 1/2
 695                      |  S   |
 696                      | ---  |
 697                      \  n   /
 698 @end example
 699 @end ifnottex
 700 @tex
 701 $$U={{X}\over{\sqrt{{S^2}\over{n}}}}$$
 702 @end tex
 703 is a noncentral Student random variable with @var{n} degrees of freedom and noncentrality parameter @math{ncp}, @math{nc_t(n,ncp)}.
 704
 705 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 706
 707 @opencatbox{Categories:}
 708 @category{Package distrib}
 709 @category{Random numbers}
 710 @closecatbox
 711
 712 @end deffn
 713
 714
 715 @anchor{pdf_chi2}
 716 @deffn {Function} pdf_chi2 (@var{x},@var{n})
 717 Returns the value at @var{x} of the density function of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 718 The @math{Chi^2(n)} random variable is equivalent to the @math{Gamma(n/2,2)}.
 719
 720 @c ===beg===
 721 @c load ("distrib")$
 722 @c pdf_chi2(x,n);
 723 @c ===end===
 724 @example
 725 (%i1) load ("distrib")$
 726 (%i2) pdf_chi2(x,n);
 727                          n/2 - 1   - x/2
 728                         x        %e
 729 (%o2)                   ----------------
 730                           n/2       n
 731                          2    gamma(-)
 732                                     2
 733 @end example
 734
 735 @opencatbox{Categories:}
 736 @category{Package distrib}
 737 @closecatbox
 738
 739 @end deffn
 740
 741
 742 @anchor{cdf_chi2}
 743 @deffn {Function} cdf_chi2 (@var{x},@var{n})
 744 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 745
 746 @c ===beg===
 747 @c load ("distrib")$
 748 @c cdf_chi2(3,4);
 749 @c float(%);
 750 @c ===end===
 751 @example
 752 (%i1) load ("distrib")$
 753 (%i2) cdf_chi2(3,4);
 754                                                3
 755 (%o2)      1 - gamma_incomplete_regularized(2, -)
 756                                                2
 757 (%i3) float(%);
 758 (%o3)               .4421745996289256
 759 @end example
 760
 761 @opencatbox{Categories:}
 762 @category{Package distrib}
 763 @closecatbox
 764
 765 @end deffn
 766
 767
 768 @anchor{quantile_chi2}
 769 @deffn {Function} quantile_chi2 (@var{q},@var{n})
 770 Returns the @var{q}-quantile of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
 771
 772 This function has no closed form and it is numerically computed.
 773
 774 @c ===beg===
 775 @c load ("distrib")$
 776 @c quantile_chi2(0.99,9);
 777 @c ===end===
 778 @example
 779 (%i1) load ("distrib")$
 780 (%i2) quantile_chi2(0.99,9);
 781 (%o2)                   21.66599433346194
 782 @end example
 783
 784 @opencatbox{Categories:}
 785 @category{Package distrib}
 786 @closecatbox
 787
 788 @end deffn
 789
 790
 791 @anchor{mean_chi2}
 792 @deffn {Function} mean_chi2 (@var{n})
 793 Returns the mean of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 794
 795 The @math{Chi^2(n)} random variable is equivalent to the @math{Gamma(n/2,2)}.
 796
 797 @c ===beg===
 798 @c load ("distrib")$
 799 @c mean_chi2(n);
 800 @c ===end===
 801 @example
 802 (%i1) load ("distrib")$
 803 (%i2) mean_chi2(n);
 804 (%o2)                           n
 805 @end example
 806
 807 @opencatbox{Categories:}
 808 @category{Package distrib}
 809 @closecatbox
 810
 811 @end deffn
 812
 813
 814 @anchor{var_chi2}
 815 @deffn {Function} var_chi2 (@var{n})
 816 Returns the variance of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 817
 818 The @math{Chi^2(n)} random variable is equivalent to the @math{Gamma(n/2,2)}.
 819
 820 @c ===beg===
 821 @c load ("distrib")$
 822 @c var_chi2(n);
 823 @c ===end===
 824 @example
 825 (%i1) load ("distrib")$
 826 (%i2) var_chi2(n);
 827 (%o2)                          2 n
 828 @end example
 829
 830 @opencatbox{Categories:}
 831 @category{Package distrib}
 832 @closecatbox
 833
 834 @end deffn
 835
 836
 837 @anchor{std_chi2}
 838 @deffn {Function} std_chi2 (@var{n})
 839 Returns the standard deviation of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 840
 841 The @math{Chi^2(n)} random variable is equivalent to the @math{Gamma(n/2,2)}.
 842
 843 @c ===beg===
 844 @c load ("distrib")$
 845 @c std_chi2(n);
 846 @c ===end===
 847 @example
 848 (%i1) load ("distrib")$
 849 (%i2) std_chi2(n);
 850 (%o2)                    sqrt(2) sqrt(n)
 851 @end example
 852
 853 @opencatbox{Categories:}
 854 @category{Package distrib}
 855 @closecatbox
 856
 857 @end deffn
 858
 859
 860 @anchor{skewness_chi2}
 861 @deffn {Function} skewness_chi2 (@var{n})
 862 Returns the skewness coefficient of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 863
 864 The @math{Chi^2(n)} random variable is equivalent to the @math{Gamma(n/2,2)}.
 865
 866 @c ===beg===
 867 @c load ("distrib")$
 868 @c skewness_chi2(n);
 869 @c ===end===
 870 @example
 871 (%i1) load ("distrib")$
 872 (%i2) skewness_chi2(n);
 873                                      3/2
 874                                     2
 875 (%o2)                              -------
 876                                    sqrt(n)
 877 @end example
 878
 879 @opencatbox{Categories:}
 880 @category{Package distrib}
 881 @closecatbox
 882
 883 @end deffn
 884
 885
 886 @anchor{kurtosis_chi2}
 887 @deffn {Function} kurtosis_chi2 (@var{n})
 888 Returns the kurtosis coefficient of a Chi-square random variable @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}.
 889
 890 The @math{Chi^2(n)} random variable is equivalent to the @math{Gamma(n/2,2)}.
 891
 892 @c ===beg===
 893 @c load ("distrib")$
 894 @c kurtosis_chi2(n);
 895 @c ===end===
 896 @example
 897 (%i1) load ("distrib")$
 898 (%i2) kurtosis_chi2(n);
 899                                12
 900 (%o2)                          --
 901                                n
 902 @end example
 903
 904 @opencatbox{Categories:}
 905 @category{Package distrib}
 906 @closecatbox
 907
 908 @end deffn
 909
 910
 911 @anchor{random_chi2}
 912 @deffn {Function} random_chi2 (@var{n}) @
 913 @fname{random_chi2} (@var{n},@var{m})
 914
 915 Returns a Chi-square random variate @math{Chi^2(n)}, with @math{n>0}. Calling @code{random_chi2} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
 916
 917 The simulation is based on the Ahrens-Cheng algorithm. See @code{random_gamma} for details.
 918
 919 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 920
 921 @opencatbox{Categories:}
 922 @category{Package distrib}
 923 @category{Random numbers}
 924 @closecatbox
 925
 926 @end deffn
 927
 928
 929 @anchor{pdf_noncentral_chi2}
 930 @deffn {Function} pdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 931 Returns the value at @var{x} of the density function of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 932
 933 @opencatbox{Categories:}
 934 @category{Package distrib}
 935 @closecatbox
 936
 937 @end deffn
 938
 939
 940 @anchor{cdf_noncentral_chi2}
 941 @deffn {Function} cdf_noncentral_chi2 (@var{x},@var{n},@var{ncp})
 942 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
 943
 944 @opencatbox{Categories:}
 945 @category{Package distrib}
 946 @closecatbox
 947
 948 @end deffn
 949
 950
 951 @anchor{quantile_noncentral_chi2}
 952 @deffn {Function} quantile_noncentral_chi2 (@var{q},@var{n},@var{ncp})
 953 Returns the @var{q}-quantile of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_noncentral_chi2}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
 954
 955 This function has no closed form and it is numerically computed.
 956
 957 @opencatbox{Categories:}
 958 @category{Package distrib}
 959 @closecatbox
 960
 961 @end deffn
 962
 963
 964 @anchor{mean_noncentral_chi2}
 965 @deffn {Function} mean_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
 966 Returns the mean of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
 967
 968 @opencatbox{Categories:}
 969 @category{Package distrib}
 970 @closecatbox
 971
 972 @end deffn
 973
 974
 975 @anchor{var_noncentral_chi2}
 976 @deffn {Function} var_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
 977 Returns the variance of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
 978
 979 @opencatbox{Categories:}
 980 @category{Package distrib}
 981 @closecatbox
 982
 983 @end deffn
 984
 985
 986 @anchor{std_noncentral_chi2}
 987 @deffn {Function} std_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
 988 Returns the standard deviation of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
 989
 990 @opencatbox{Categories:}
 991 @category{Package distrib}
 992 @closecatbox
 993
 994 @end deffn
 995
 996
 997 @anchor{skewness_noncentral_chi2}
 998 @deffn {Function} skewness_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
 999 Returns the skewness coefficient of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1000
1001 @opencatbox{Categories:}
1002 @category{Package distrib}
1003 @closecatbox
1004
1005 @end deffn
1006
1007
1008 @anchor{kurtosis_noncentral_chi2}
1009 @deffn {Function} kurtosis_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp})
1010 Returns the kurtosis coefficient of a noncentral Chi-square random variable @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}.
1011
1012 @opencatbox{Categories:}
1013 @category{Package distrib}
1014 @closecatbox
1015
1016 @end deffn
1017
1018
1019 @anchor{random_noncentral_chi2}
1020 @deffn {Function} random_noncentral_chi2 (@var{n},@var{ncp}) @
1021 @fname{random_noncentral_chi2} (@var{n},@var{ncp},@var{m})
1022
1023 Returns a noncentral Chi-square random variate @math{nc_Chi^2(n,ncp)}, with @math{n>0} and noncentrality parameter @math{ncp>=0}. Calling @code{random_noncentral_chi2} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
1024
1025 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1026
1027 @opencatbox{Categories:}
1028 @category{Package distrib}
1029 @category{Random numbers}
1030 @closecatbox
1031
1032 @end deffn
1033
1034
1035
1036 @anchor{pdf_f}
1037 @deffn {Function} pdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1038 Returns the value at @var{x} of the density function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1039
1040 @opencatbox{Categories:}
1041 @category{Package distrib}
1042 @closecatbox
1043
1044 @end deffn
1045
1046
1047 @anchor{cdf_f}
1048 @deffn {Function} cdf_f (@var{x},@var{m},@var{n})
1049 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}.
1050
1051 @c ===beg===
1052 @c load ("distrib")$
1053 @c cdf_f(2,3,9/4);
1054 @c float(%);
1055 @c ===end===
1056 @example
1057 (%i1) load ("distrib")$
1058 (%i2) cdf_f(2,3,9/4);
1059                                          9  3  3
1060 (%o2)    1 - beta_incomplete_regularized(-, -, --)
1061                                          8  2  11
1062 (%i3) float(%);
1063 (%o3)                 0.66756728179008
1064 @end example
1065
1066 @opencatbox{Categories:}
1067 @category{Package distrib}
1068 @closecatbox
1069
1070 @end deffn
1071
1072
1073 @anchor{quantile_f}
1074 @deffn {Function} quantile_f (@var{q},@var{m},@var{n})
1075 Returns the @var{q}-quantile of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_f}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1076
1077 @c ===beg===
1078 @c load ("distrib")$
1079 @c quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1080 @c ===end===
1081 @example
1082 (%i1) load ("distrib")$
1083 (%i2) quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
1084 (%o2)                   0.518947838573693
1085 @end example
1086
1087 @opencatbox{Categories:}
1088 @category{Package distrib}
1089 @closecatbox
1090
1091 @end deffn
1092
1093
1094 @anchor{mean_f}
1095 @deffn {Function} mean_f (@var{m},@var{n})
1096 Returns the mean of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1097
1098 @opencatbox{Categories:}
1099 @category{Package distrib}
1100 @closecatbox
1101
1102 @end deffn
1103
1104
1105 @anchor{var_f}
1106 @deffn {Function} var_f (@var{m},@var{n})
1107 Returns the variance of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1108
1109 @opencatbox{Categories:}
1110 @category{Package distrib}
1111 @closecatbox
1112
1113 @end deffn
1114
1115
1116 @anchor{std_f}
1117 @deffn {Function} std_f (@var{m},@var{n})
1118 Returns the standard deviation of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>4}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1119
1120 @opencatbox{Categories:}
1121 @category{Package distrib}
1122 @closecatbox
1123
1124 @end deffn
1125
1126
1127 @anchor{skewness_f}
1128 @deffn {Function} skewness_f (@var{m},@var{n})
1129 Returns the skewness coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>6}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1130
1131 @opencatbox{Categories:}
1132 @category{Package distrib}
1133 @closecatbox
1134
1135 @end deffn
1136
1137
1138 @anchor{kurtosis_f}
1139 @deffn {Function} kurtosis_f (@var{m},@var{n})
1140 Returns the kurtosis coefficient of a F random variable @math{F(m,n)}, with @math{m>0, n>8}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1141
1142 @opencatbox{Categories:}
1143 @category{Package distrib}
1144 @closecatbox
1145
1146 @end deffn
1147
1148
1149 @anchor{random_f}
1150 @deffn {Function} random_f (@var{m},@var{n}) @
1151 @fname{random_f} (@var{m},@var{n},@var{k})
1152
1153 Returns a F random variate @math{F(m,n)}, with @math{m,n>0}. Calling @code{random_f} with a third argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
1154
1155 The simulation algorithm is based on the fact that if @var{X} is a @math{Chi^2(m)} random variable and @math{Y} is a @math{Chi^2(n)} random variable, then
1156 @ifnottex
1157 @example
1158                         n X
1159                     F = ---
1160                         m Y
1161 @end example
1162 @end ifnottex
1163 @tex
1164 $$F={{n X}\over{m Y}}$$
1165 @end tex
1166 is a F random variable with @var{m} and @var{n} degrees of freedom, @math{F(m,n)}.
1167
1168 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1169
1170 @opencatbox{Categories:}
1171 @category{Package distrib}
1172 @category{Random numbers}
1173 @closecatbox
1174
1175 @end deffn
1176
1177
1178 @anchor{pdf_exp}
1179 @deffn {Function} pdf_exp (@var{x},@var{m})
1180 Returns the value at @var{x} of the density function of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1181
1182 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1183
1184 @c ===beg===
1185 @c load ("distrib")$
1186 @c pdf_exp(x,m);
1187 @c ===end===
1188 @example
1189 (%i1) load ("distrib")$
1190 (%i2) pdf_exp(x,m);
1191                                 - m x
1192 (%o2)                       m %e
1193 @end example
1194
1195 @opencatbox{Categories:}
1196 @category{Package distrib}
1197 @closecatbox
1198
1199 @end deffn
1200
1201
1202 @anchor{cdf_exp}
1203 @deffn {Function} cdf_exp (@var{x},@var{m})
1204 Returns the value at @var{x} of the distribution function of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1205
1206 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1207
1208 @c ===beg===
1209 @c load ("distrib")$
1210 @c cdf_exp(x,m);
1211 @c ===end===
1212 @example
1213 (%i1) load ("distrib")$
1214 (%i2) cdf_exp(x,m);
1215                                  - m x
1216 (%o2)                      1 - %e
1217 @end example
1218
1219 @opencatbox{Categories:}
1220 @category{Package distrib}
1221 @closecatbox
1222
1223 @end deffn
1224
1225
1226 @anchor{quantile_exp}
1227 @deffn {Function} quantile_exp (@var{q},@var{m})
1228 Returns the @var{q}-quantile of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_exp}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
1229
1230 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1231
1232 @c ===beg===
1233 @c load ("distrib")$
1234 @c quantile_exp(0.56,5);
1235 @c quantile_exp(0.56,m);
1236 @c ===end===
1237 @example
1238 (%i1) load ("distrib")$
1239 (%i2) quantile_exp(0.56,5);
1240 (%o2)                   .1641961104139661
1241 (%i3) quantile_exp(0.56,m);
1242                              0.8209805520698303
1243 (%o3)                        ------------------
1244                                      m
1245 @end example
1246
1247 @opencatbox{Categories:}
1248 @category{Package distrib}
1249 @closecatbox
1250
1251 @end deffn
1252
1253
1254 @anchor{mean_exp}
1255 @deffn {Function} mean_exp (@var{m})
1256 Returns the mean of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1257
1258 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1259
1260 @c ===beg===
1261 @c load ("distrib")$
1262 @c mean_exp(m);
1263 @c ===end===
1264 @example
1265 (%i1) load ("distrib")$
1266 (%i2) mean_exp(m);
1267                                 1
1268 (%o2)                           -
1269                                 m
1270 @end example
1271
1272 @opencatbox{Categories:}
1273 @category{Package distrib}
1274 @closecatbox
1275
1276 @end deffn
1277
1278
1279 @anchor{var_exp}
1280 @deffn {Function} var_exp (@var{m})
1281 Returns the variance of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1282
1283 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1284
1285 @c ===beg===
1286 @c load ("distrib")$
1287 @c var_exp(m);
1288 @c ===end===
1289 @example
1290 (%i1) load ("distrib")$
1291 (%i2) var_exp(m);
1292                                1
1293 (%o2)                          --
1294                                 2
1295                                m
1296 @end example
1297
1298 @opencatbox{Categories:}
1299 @category{Package distrib}
1300 @closecatbox
1301
1302 @end deffn
1303
1304
1305 @anchor{std_exp}
1306 @deffn {Function} std_exp (@var{m})
1307 Returns the standard deviation of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1308
1309 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1310
1311 @c ===beg===
1312 @c load ("distrib")$
1313 @c std_exp(m);
1314 @c ===end===
1315 @example
1316 (%i1) load ("distrib")$
1317 (%i2) std_exp(m);
1318                                 1
1319 (%o2)                           -
1320                                 m
1321 @end example
1322
1323 @opencatbox{Categories:}
1324 @category{Package distrib}
1325 @closecatbox
1326
1327 @end deffn
1328
1329
1330 @anchor{skewness_exp}
1331 @deffn {Function} skewness_exp (@var{m})
1332 Returns the skewness coefficient of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1333
1334 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1335
1336 @c ===beg===
1337 @c load ("distrib")$
1338 @c skewness_exp(m);
1339 @c ===end===
1340 @example
1341 (%i1) load ("distrib")$
1342 (%i2) skewness_exp(m);
1343 (%o2)                           2
1344 @end example
1345
1346 @opencatbox{Categories:}
1347 @category{Package distrib}
1348 @closecatbox
1349
1350 @end deffn
1351
1352
1353 @anchor{kurtosis_exp}
1354 @deffn {Function} kurtosis_exp (@var{m})
1355 Returns the kurtosis coefficient of an @math{Exponential(m)} random variable, with @math{m>0}.
1356
1357 The @math{Exponential(m)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(1,1/m)}.
1358
1359 @c ===beg===
1360 @c load ("distrib")$
1361 @c kurtosis_exp(m);
1362 @c ===end===
1363 @example
1364 (%i1) load ("distrib")$
1365 (%i2) kurtosis_exp(m);
1366 (%o3)                           6
1367 @end example
1368
1369 @opencatbox{Categories:}
1370 @category{Package distrib}
1371 @closecatbox
1372
1373 @end deffn
1374
1375
1376 @anchor{random_exp}
1377 @deffn {Function} random_exp (@var{m}) @
1378 @fname{random_exp} (@var{m},@var{k})
1379
1380 Returns an @math{Exponential(m)} random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_exp} with a second argument @var{k}, a random sample of size @var{k} will be simulated.
1381
1382 The simulation algorithm is based on the general inverse method.
1383
1384 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1385
1386 @opencatbox{Categories:}
1387 @category{Package distrib}
1388 @category{Random numbers}
1389 @closecatbox
1390
1391 @end deffn
1392
1393
1394 @anchor{pdf_lognormal}
1395 @deffn {Function} pdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
1396 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1397
1398 @opencatbox{Categories:}
1399 @category{Package distrib}
1400 @closecatbox
1401
1402 @end deffn
1403
1404
1405 @anchor{cdf_lognormal}
1406 @deffn {Function} cdf_lognormal (@var{x},@var{m},@var{s})
1407 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. This function is defined in terms of Maxima's built-in error function @code{erf}.
1408
1409 @c ===beg===
1410 @c load ("distrib")$
1411 @c cdf_lognormal(x,m,s);
1412 @c ===end===
1413 @example
1414 (%i1) load ("distrib")$
1415 (%i2) cdf_lognormal(x,m,s);
1416 @group
1417                            log(x) - m
1418                        erf(----------)
1419                            sqrt(2) s     1
1420 (%o2)                  --------------- + -
1421                               2          2
1422 @end group
1423 @end example
1424
1425 See also @mrefdot{erf}
1426
1427 @opencatbox{Categories:}
1428 @category{Package distrib}
1429 @closecatbox
1430
1431 @end deffn
1432
1433
1434 @anchor{quantile_lognormal}
1435 @deffn {Function} quantile_lognormal (@var{q},@var{m},@var{s})
1436 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_lognormal}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1437
1438 @c ===beg===
1439 @c load ("distrib")$
1440 @c quantile_lognormal(95/100,0,1);
1441 @c float(%);
1442 @c ===end===
1443 @example
1444 (%i1) load ("distrib")$
1445 (%i2) quantile_lognormal(95/100,0,1);
1446                   sqrt(2) inverse_erf(9/10)
1447 (%o2)           %e
1448 (%i3) float(%);
1449 (%o3)               5.180251602233015
1450 @end example
1451
1452 @opencatbox{Categories:}
1453 @category{Package distrib}
1454 @closecatbox
1455
1456 @end deffn
1457
1458
1459 @anchor{mean_lognormal}
1460 @deffn {Function} mean_lognormal (@var{m},@var{s})
1461 Returns the mean of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1462
1463 @opencatbox{Categories:}
1464 @category{Package distrib}
1465 @closecatbox
1466
1467 @end deffn
1468
1469
1470 @anchor{var_lognormal}
1471 @deffn {Function} var_lognormal (@var{m},@var{s})
1472 Returns the variance of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1473
1474 @opencatbox{Categories:}
1475 @category{Package distrib}
1476 @closecatbox
1477
1478 @end deffn
1479
1480 @anchor{std_lognormal}
1481 @deffn {Function} std_lognormal (@var{m},@var{s})
1482 Returns the standard deviation of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1483
1484 @opencatbox{Categories:}
1485 @category{Package distrib}
1486 @closecatbox
1487
1488 @end deffn
1489
1490
1491 @anchor{skewness_lognormal}
1492 @deffn {Function} skewness_lognormal (@var{m},@var{s})
1493 Returns the skewness coefficient of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1494
1495 @opencatbox{Categories:}
1496 @category{Package distrib}
1497 @closecatbox
1498
1499 @end deffn
1500
1501
1502 @anchor{kurtosis_lognormal}
1503 @deffn {Function} kurtosis_lognormal (@var{m},@var{s})
1504 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Lognormal(m,s)} random variable, with @math{s>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1505
1506 @opencatbox{Categories:}
1507 @category{Package distrib}
1508 @closecatbox
1509
1510 @end deffn
1511
1512
1513 @anchor{random_lognormal}
1514 @deffn {Function} random_lognormal (@var{m},@var{s}) @
1515 @fname{random_lognormal} (@var{m},@var{s},@var{n})
1516
1517 Returns a @math{Lognormal(m,s)} random variate, with @math{s>0}. Calling @code{random_lognormal} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
1518
1519 Log-normal variates are simulated by means of random normal variates. See @code{random_normal} for details.
1520
1521 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1522
1523 @opencatbox{Categories:}
1524 @category{Package distrib}
1525 @category{Random numbers}
1526 @closecatbox
1527
1528 @end deffn
1529
1530
1531 @anchor{pdf_gamma}
1532 @deffn {Function} pdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
1533 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1534
1535 @opencatbox{Categories:}
1536 @category{Package distrib}
1537 @closecatbox
1538
1539 @end deffn
1540
1541
1542 @anchor{cdf_gamma}
1543 @deffn {Function} cdf_gamma (@var{x},@var{a},@var{b})
1544 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}.
1545
1546 @c ===beg===
1547 @c load ("distrib")$
1548 @c cdf_gamma(3,5,21);
1549 @c float(%);
1550 @c ===end===
1551 @example
1552 (%i1) load ("distrib")$
1553 (%i2) cdf_gamma(3,5,21);
1554                                               1
1555 (%o2)     1 - gamma_incomplete_regularized(5, -)
1556                                               7
1557 (%i3) float(%);
1558 (%o3)              4.402663157376807E-7
1559 @end example
1560
1561 @opencatbox{Categories:}
1562 @category{Package distrib}
1563 @closecatbox
1564
1565 @end deffn
1566
1567
1568 @anchor{quantile_gamma}
1569 @deffn {Function} quantile_gamma (@var{q},@var{a},@var{b})
1570 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gamma}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1571
1572 @opencatbox{Categories:}
1573 @category{Package distrib}
1574 @closecatbox
1575
1576 @end deffn
1577
1578
1579 @anchor{mean_gamma}
1580 @deffn {Function} mean_gamma (@var{a},@var{b})
1581 Returns the mean of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1582
1583 @opencatbox{Categories:}
1584 @category{Package distrib}
1585 @closecatbox
1586
1587 @end deffn
1588
1589
1590 @anchor{var_gamma}
1591 @deffn {Function} var_gamma (@var{a},@var{b})
1592 Returns the variance of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1593
1594 @opencatbox{Categories:}
1595 @category{Package distrib}
1596 @closecatbox
1597
1598 @end deffn
1599
1600 @anchor{std_gamma}
1601 @deffn {Function} std_gamma (@var{a},@var{b})
1602 Returns the standard deviation of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1603
1604 @opencatbox{Categories:}
1605 @category{Package distrib}
1606 @closecatbox
1607
1608 @end deffn
1609
1610
1611 @anchor{skewness_gamma}
1612 @deffn {Function} skewness_gamma (@var{a},@var{b})
1613 Returns the skewness coefficient of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1614
1615 @opencatbox{Categories:}
1616 @category{Package distrib}
1617 @closecatbox
1618
1619 @end deffn
1620
1621
1622 @anchor{kurtosis_gamma}
1623 @deffn {Function} kurtosis_gamma (@var{a},@var{b})
1624 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Gamma(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1625
1626 @opencatbox{Categories:}
1627 @category{Package distrib}
1628 @closecatbox
1629
1630 @end deffn
1631
1632
1633 @anchor{random_gamma}
1634 @deffn {Function} random_gamma (@var{a},@var{b}) @
1635 @fname{random_gamma} (@var{a},@var{b},@var{n})
1636
1637 Returns a @math{Gamma(a,b)} random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_gamma} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
1638
1639 The implemented algorithm is a combination of two procedures, depending on the value of parameter @var{a}:
1640
1641 For @math{a>=1}, Cheng, R.C.H. and Feast, G.M. (1979). @var{Some simple gamma variate generators}. Appl. Stat., 28, 3, 290-295.
1642
1643 For @math{0<a<1}, Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1974). @var{Computer methods for sampling from gamma, beta, poisson and binomial cdf_tributions}. Computing, 12, 223-246.
1644
1645 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1646
1647 @opencatbox{Categories:}
1648 @category{Package distrib}
1649 @category{Random numbers}
1650 @closecatbox
1651
1652 @end deffn
1653
1654
1655 @anchor{pdf_beta}
1656 @deffn {Function} pdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
1657 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1658
1659 @opencatbox{Categories:}
1660 @category{Package distrib}
1661 @closecatbox
1662
1663 @end deffn
1664
1665
1666
1667 @anchor{cdf_beta}
1668 @deffn {Function} cdf_beta (@var{x},@var{a},@var{b})
1669 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}.
1670
1671 @c ===beg===
1672 @c load ("distrib")$
1673 @c cdf_beta(1/3,15,2);
1674 @c float(%);
1675 @c ===end===
1676 @example
1677 (%i1) load ("distrib")$
1678 (%i2) cdf_beta(1/3,15,2);
1679                              11
1680 (%o2)                     --------
1681                           14348907
1682 (%i3) float(%);
1683 (%o3)              7.666089131388195E-7
1684 @end example
1685
1686 @opencatbox{Categories:}
1687 @category{Package distrib}
1688 @closecatbox
1689
1690 @end deffn
1691
1692
1693 @anchor{quantile_beta}
1694 @deffn {Function} quantile_beta (@var{q},@var{a},@var{b})
1695 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_beta}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1696
1697 @opencatbox{Categories:}
1698 @category{Package distrib}
1699 @closecatbox
1700
1701 @end deffn
1702
1703
1704 @anchor{mean_beta}
1705 @deffn {Function} mean_beta (@var{a},@var{b})
1706 Returns the mean of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1707
1708 @opencatbox{Categories:}
1709 @category{Package distrib}
1710 @closecatbox
1711
1712 @end deffn
1713
1714
1715 @anchor{var_beta}
1716 @deffn {Function} var_beta (@var{a},@var{b})
1717 Returns the variance of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1718
1719 @opencatbox{Categories:}
1720 @category{Package distrib}
1721 @closecatbox
1722
1723 @end deffn
1724
1725 @anchor{std_beta}
1726 @deffn {Function} std_beta (@var{a},@var{b})
1727 Returns the standard deviation of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1728
1729 @opencatbox{Categories:}
1730 @category{Package distrib}
1731 @closecatbox
1732
1733 @end deffn
1734
1735
1736 @anchor{skewness_beta}
1737 @deffn {Function} skewness_beta (@var{a},@var{b})
1738 Returns the skewness coefficient of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1739
1740 @opencatbox{Categories:}
1741 @category{Package distrib}
1742 @closecatbox
1743
1744 @end deffn
1745
1746
1747 @anchor{kurtosis_beta}
1748 @deffn {Function} kurtosis_beta (@var{a},@var{b})
1749 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Beta(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1750
1751 @opencatbox{Categories:}
1752 @category{Package distrib}
1753 @closecatbox
1754
1755 @end deffn
1756
1757
1758 @anchor{random_beta}
1759 @deffn {Function} random_beta (@var{a},@var{b}) @
1760 @fname{random_beta} (@var{a},@var{b},@var{n})
1761
1762 Returns a @math{Beta(a,b)} random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_beta} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
1763
1764 The implemented algorithm is defined in Cheng, R.C.H.  (1978). @var{Generating Beta Variates with Nonintegral Shape Parameters}. Communications of the ACM, 21:317-322
1765
1766 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1767
1768 @opencatbox{Categories:}
1769 @category{Package distrib}
1770 @category{Random numbers}
1771 @closecatbox
1772
1773 @end deffn
1774
1775 @anchor{pdf_continuous_uniform}
1776 @deffn {Function} pdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
1777 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1778
1779 @opencatbox{Categories:}
1780 @category{Package distrib}
1781 @closecatbox
1782
1783 @end deffn
1784
1785
1786 @anchor{cdf_continuous_uniform}
1787 @deffn {Function} cdf_continuous_uniform (@var{x},@var{a},@var{b})
1788 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1789
1790 @opencatbox{Categories:}
1791 @category{Package distrib}
1792 @closecatbox
1793
1794 @end deffn
1795
1796
1797 @anchor{quantile_continuous_uniform}
1798 @deffn {Function} quantile_continuous_uniform (@var{q},@var{a},@var{b})
1799 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_continuous_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1800
1801 @opencatbox{Categories:}
1802 @category{Package distrib}
1803 @closecatbox
1804
1805 @end deffn
1806
1807
1808 @anchor{mean_continuous_uniform}
1809 @deffn {Function} mean_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
1810 Returns the mean of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1811
1812 @opencatbox{Categories:}
1813 @category{Package distrib}
1814 @closecatbox
1815
1816 @end deffn
1817
1818
1819 @anchor{var_continuous_uniform}
1820 @deffn {Function} var_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
1821 Returns the variance of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1822
1823 @opencatbox{Categories:}
1824 @category{Package distrib}
1825 @closecatbox
1826
1827 @end deffn
1828
1829 @anchor{std_continuous_uniform}
1830 @deffn {Function} std_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
1831 Returns the standard deviation of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1832
1833 @opencatbox{Categories:}
1834 @category{Package distrib}
1835 @closecatbox
1836
1837 @end deffn
1838
1839
1840 @anchor{skewness_continuous_uniform}
1841 @deffn {Function} skewness_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
1842 Returns the skewness coefficient of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1843
1844 @opencatbox{Categories:}
1845 @category{Package distrib}
1846 @closecatbox
1847
1848 @end deffn
1849
1850
1851 @anchor{kurtosis_continuous_uniform}
1852 @deffn {Function} kurtosis_continuous_uniform (@var{a},@var{b})
1853 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variable, with @math{a<b}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1854
1855 @opencatbox{Categories:}
1856 @category{Package distrib}
1857 @closecatbox
1858
1859 @end deffn
1860
1861
1862 @anchor{random_continuous_uniform}
1863 @deffn {Function} random_continuous_uniform (@var{a},@var{b}) @
1864 @fname{random_continuous_uniform} (@var{a},@var{b},@var{n})
1865
1866 Returns a @math{Continuous Uniform(a,b)} random variate, with @math{a<b}. Calling @code{random_continuous_uniform} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
1867
1868 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
1869
1870 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1871
1872 @opencatbox{Categories:}
1873 @category{Package distrib}
1874 @category{Random numbers}
1875 @closecatbox
1876
1877 @end deffn
1878
1879
1880 @anchor{pdf_logistic}
1881 @deffn {Function} pdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
1882 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1883
1884 @opencatbox{Categories:}
1885 @category{Package distrib}
1886 @closecatbox
1887
1888 @end deffn
1889
1890
1891 @anchor{cdf_logistic}
1892 @deffn {Function} cdf_logistic (@var{x},@var{a},@var{b})
1893 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1894
1895 @opencatbox{Categories:}
1896 @category{Package distrib}
1897 @closecatbox
1898
1899 @end deffn
1900
1901
1902 @anchor{quantile_logistic}
1903 @deffn {Function} quantile_logistic (@var{q},@var{a},@var{b})
1904 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_logistic}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1905
1906 @opencatbox{Categories:}
1907 @category{Package distrib}
1908 @closecatbox
1909
1910 @end deffn
1911
1912
1913 @anchor{mean_logistic}
1914 @deffn {Function} mean_logistic (@var{a},@var{b})
1915 Returns the mean of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1916
1917 @opencatbox{Categories:}
1918 @category{Package distrib}
1919 @closecatbox
1920
1921 @end deffn
1922
1923
1924 @anchor{var_logistic}
1925 @deffn {Function} var_logistic (@var{a},@var{b})
1926 Returns the variance of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1927
1928 @opencatbox{Categories:}
1929 @category{Package distrib}
1930 @closecatbox
1931
1932 @end deffn
1933
1934
1935 @anchor{std_logistic}
1936 @deffn {Function} std_logistic (@var{a},@var{b})
1937 Returns the standard deviation of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1938
1939 @opencatbox{Categories:}
1940 @category{Package distrib}
1941 @closecatbox
1942
1943 @end deffn
1944
1945
1946 @anchor{skewness_logistic}
1947 @deffn {Function} skewness_logistic (@var{a},@var{b})
1948 Returns the skewness coefficient of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1949
1950 @opencatbox{Categories:}
1951 @category{Package distrib}
1952 @closecatbox
1953
1954 @end deffn
1955
1956
1957 @anchor{kurtosis_logistic}
1958 @deffn {Function} kurtosis_logistic (@var{a},@var{b})
1959 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Logistic(a,b)} random variable , with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1960
1961 @opencatbox{Categories:}
1962 @category{Package distrib}
1963 @closecatbox
1964
1965 @end deffn
1966
1967
1968 @anchor{random_logistic}
1969 @deffn {Function} random_logistic (@var{a},@var{b}) @
1970 @fname{random_logistic} (@var{a},@var{b},@var{n})
1971
1972 Returns a @math{Logistic(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_logistic} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
1973
1974 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
1975
1976 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1977
1978 @opencatbox{Categories:}
1979 @category{Package distrib}
1980 @category{Random numbers}
1981 @closecatbox
1982
1983 @end deffn
1984
1985
1986 @anchor{pdf_pareto}
1987 @deffn {Function} pdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
1988 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
1989
1990 @opencatbox{Categories:}
1991 @category{Package distrib}
1992 @closecatbox
1993
1994 @end deffn
1995
1996
1997 @anchor{cdf_pareto}
1998 @deffn {Function} cdf_pareto (@var{x},@var{a},@var{b})
1999 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2000
2001 @opencatbox{Categories:}
2002 @category{Package distrib}
2003 @closecatbox
2004
2005 @end deffn
2006
2007
2008 @anchor{quantile_pareto}
2009 @deffn {Function} quantile_pareto (@var{q},@var{a},@var{b})
2010 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_pareto}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2011
2012 @opencatbox{Categories:}
2013 @category{Package distrib}
2014 @closecatbox
2015
2016 @end deffn
2017
2018
2019 @anchor{mean_pareto}
2020 @deffn {Function} mean_pareto (@var{a},@var{b})
2021 Returns the mean of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a>1,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2022
2023 @opencatbox{Categories:}
2024 @category{Package distrib}
2025 @closecatbox
2026
2027 @end deffn
2028
2029
2030 @anchor{var_pareto}
2031 @deffn {Function} var_pareto (@var{a},@var{b})
2032 Returns the variance of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2033
2034 @opencatbox{Categories:}
2035 @category{Package distrib}
2036 @closecatbox
2037
2038 @end deffn
2039
2040 @anchor{std_pareto}
2041 @deffn {Function} std_pareto (@var{a},@var{b})
2042 Returns the standard deviation of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a>2,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2043
2044 @opencatbox{Categories:}
2045 @category{Package distrib}
2046 @closecatbox
2047
2048 @end deffn
2049
2050
2051
2052 @anchor{skewness_pareto}
2053 @deffn {Function} skewness_pareto (@var{a},@var{b})
2054 Returns the skewness coefficient of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a>3,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2055
2056 @opencatbox{Categories:}
2057 @category{Package distrib}
2058 @closecatbox
2059
2060 @end deffn
2061
2062
2063 @anchor{kurtosis_pareto}
2064 @deffn {Function} kurtosis_pareto (@var{a},@var{b})
2065 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Pareto(a,b)} random variable, with @math{a>4,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2066
2067 @opencatbox{Categories:}
2068 @category{Package distrib}
2069 @closecatbox
2070
2071 @end deffn
2072
2073
2074 @anchor{random_pareto}
2075 @deffn {Function} random_pareto (@var{a},@var{b}) @
2076 @fname{random_pareto} (@var{a},@var{b},@var{n})
2077
2078 Returns a @math{Pareto(a,b)} random variate, with @math{a>0,b>0}. Calling @code{random_pareto} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2079
2080 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2081
2082 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2083
2084 @opencatbox{Categories:}
2085 @category{Package distrib}
2086 @category{Random numbers}
2087 @closecatbox
2088
2089 @end deffn
2090
2091
2092 @anchor{pdf_weibull}
2093 @deffn {Function} pdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
2094 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2095
2096 @opencatbox{Categories:}
2097 @category{Package distrib}
2098 @closecatbox
2099
2100 @end deffn
2101
2102
2103 @anchor{cdf_weibull}
2104 @deffn {Function} cdf_weibull (@var{x},@var{a},@var{b})
2105 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2106
2107 @opencatbox{Categories:}
2108 @category{Package distrib}
2109 @closecatbox
2110
2111 @end deffn
2112
2113
2114 @anchor{quantile_weibull}
2115 @deffn {Function} quantile_weibull (@var{q},@var{a},@var{b})
2116 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_weibull}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2117
2118 @opencatbox{Categories:}
2119 @category{Package distrib}
2120 @closecatbox
2121
2122 @end deffn
2123
2124
2125 @anchor{mean_weibull}
2126 @deffn {Function} mean_weibull (@var{a},@var{b})
2127 Returns the mean of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2128
2129 @opencatbox{Categories:}
2130 @category{Package distrib}
2131 @closecatbox
2132
2133 @end deffn
2134
2135
2136 @anchor{var_weibull}
2137 @deffn {Function} var_weibull (@var{a},@var{b})
2138 Returns the variance of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2139
2140 @opencatbox{Categories:}
2141 @category{Package distrib}
2142 @closecatbox
2143
2144 @end deffn
2145
2146 @anchor{std_weibull}
2147 @deffn {Function} std_weibull (@var{a},@var{b})
2148 Returns the standard deviation of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2149
2150 @opencatbox{Categories:}
2151 @category{Package distrib}
2152 @closecatbox
2153
2154 @end deffn
2155
2156
2157
2158 @anchor{skewness_weibull}
2159 @deffn {Function} skewness_weibull (@var{a},@var{b})
2160 Returns the skewness coefficient of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2161
2162 @opencatbox{Categories:}
2163 @category{Package distrib}
2164 @closecatbox
2165
2166 @end deffn
2167
2168
2169 @anchor{kurtosis_weibull}
2170 @deffn {Function} kurtosis_weibull (@var{a},@var{b})
2171 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Weibull(a,b)} random variable, with @math{a,b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2172
2173 @opencatbox{Categories:}
2174 @category{Package distrib}
2175 @closecatbox
2176
2177 @end deffn
2178
2179
2180 @anchor{random_weibull}
2181 @deffn {Function} random_weibull (@var{a},@var{b}) @
2182 @fname{random_weibull} (@var{a},@var{b},@var{n})
2183
2184 Returns a @math{Weibull(a,b)} random variate, with @math{a,b>0}. Calling @code{random_weibull} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2185
2186 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2187
2188 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2189
2190 @opencatbox{Categories:}
2191 @category{Package distrib}
2192 @category{Random numbers}
2193 @closecatbox
2194
2195 @end deffn
2196
2197
2198
2199 @anchor{pdf_rayleigh}
2200 @deffn {Function} pdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
2201 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2202
2203 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2204
2205 @c ===beg===
2206 @c load ("distrib")$
2207 @c pdf_rayleigh(x,b);
2208 @c ===end===
2209 @example
2210 (%i1) load ("distrib")$
2211 (%i2) pdf_rayleigh(x,b);
2212                                     2  2
2213                            2     - b  x
2214 (%o2)                   2 b  x %e
2215 @end example
2216
2217 @opencatbox{Categories:}
2218 @category{Package distrib}
2219 @closecatbox
2220
2221 @end deffn
2222
2223
2224 @anchor{cdf_rayleigh}
2225 @deffn {Function} cdf_rayleigh (@var{x},@var{b})
2226 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2227
2228 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2229
2230 @c ===beg===
2231 @c load ("distrib")$
2232 @c cdf_rayleigh(x,b);
2233 @c ===end===
2234 @example
2235 (%i1) load ("distrib")$
2236 (%i2) cdf_rayleigh(x,b);
2237                                    2  2
2238                                 - b  x
2239 (%o2)                     1 - %e
2240 @end example
2241
2242 @opencatbox{Categories:}
2243 @category{Package distrib}
2244 @closecatbox
2245
2246 @end deffn
2247
2248
2249 @anchor{quantile_rayleigh}
2250 @deffn {Function} quantile_rayleigh (@var{q},@var{b})
2251 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_rayleigh}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
2252
2253 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2254
2255 @c ===beg===
2256 @c load ("distrib")$
2257 @c quantile_rayleigh(0.99,b);
2258 @c ===end===
2259 @example
2260 (%i1) load ("distrib")$
2261 (%i2) quantile_rayleigh(0.99,b);
2262                         2.145966026289347
2263 (%o2)                   -----------------
2264                                 b
2265 @end example
2266
2267 @opencatbox{Categories:}
2268 @category{Package distrib}
2269 @closecatbox
2270
2271 @end deffn
2272
2273
2274 @anchor{mean_rayleigh}
2275 @deffn {Function} mean_rayleigh (@var{b})
2276 Returns the mean of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2277
2278 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2279
2280 @c ===beg===
2281 @c load ("distrib")$
2282 @c mean_rayleigh(b);
2283 @c ===end===
2284 @example
2285 (%i1) load ("distrib")$
2286 (%i2) mean_rayleigh(b);
2287                             sqrt(%pi)
2288 (%o2)                       ---------
2289                                2 b
2290 @end example
2291
2292 @opencatbox{Categories:}
2293 @category{Package distrib}
2294 @closecatbox
2295
2296 @end deffn
2297
2298
2299 @anchor{var_rayleigh}
2300 @deffn {Function} var_rayleigh (@var{b})
2301 Returns the variance of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2302
2303 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2304
2305 @c ===beg===
2306 @c load ("distrib")$
2307 @c var_rayleigh(b);
2308 @c ===end===
2309 @example
2310 (%i1) load ("distrib")$
2311 (%i2) var_rayleigh(b);
2312                                  %pi
2313                              1 - ---
2314                                   4
2315 (%o2)                        -------
2316                                 2
2317                                b
2318 @end example
2319
2320 @opencatbox{Categories:}
2321 @category{Package distrib}
2322 @closecatbox
2323
2324 @end deffn
2325
2326
2327 @anchor{std_rayleigh}
2328 @deffn {Function} std_rayleigh (@var{b})
2329 Returns the standard deviation of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2330
2331 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2332
2333 @c ===beg===
2334 @c load ("distrib")$
2335 @c std_rayleigh(b);
2336 @c ===end===
2337 @example
2338 (%i1) load ("distrib")$
2339 (%i2) std_rayleigh(b);
2340                                    %pi
2341                           sqrt(1 - ---)
2342                                     4
2343 (%o2)                     -------------
2344                                 b
2345 @end example
2346
2347 @opencatbox{Categories:}
2348 @category{Package distrib}
2349 @closecatbox
2350
2351 @end deffn
2352
2353
2354 @anchor{skewness_rayleigh}
2355 @deffn {Function} skewness_rayleigh (@var{b})
2356 Returns the skewness coefficient of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2357
2358 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2359
2360 @c ===beg===
2361 @c load ("distrib")$
2362 @c skewness_rayleigh(b);
2363 @c ===end===
2364 @example
2365 (%i1) load ("distrib")$
2366 (%i2) skewness_rayleigh(b);
2367                          3/2
2368                       %pi      3 sqrt(%pi)
2369                       ------ - -----------
2370                         4           4
2371 (%o2)                 --------------------
2372                                %pi 3/2
2373                           (1 - ---)
2374                                 4
2375 @end example
2376
2377 @opencatbox{Categories:}
2378 @category{Package distrib}
2379 @closecatbox
2380
2381 @end deffn
2382
2383
2384 @anchor{kurtosis_rayleigh}
2385 @deffn {Function} kurtosis_rayleigh (@var{b})
2386 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Rayleigh(b)} random variable, with @math{b>0}.
2387
2388 The @math{Rayleigh(b)} random variable is equivalent to the @math{Weibull(2,1/b)}.
2389
2390 @c ===beg===
2391 @c load ("distrib")$
2392 @c kurtosis_rayleigh(b);
2393 @c ===end===
2394 @example
2395 (%i1) load ("distrib")$
2396 (%i2) kurtosis_rayleigh(b);
2397                                   2
2398                              3 %pi
2399                          2 - ------
2400                                16
2401 (%o2)                    ---------- - 3
2402                               %pi 2
2403                          (1 - ---)
2404                                4
2405 @end example
2406
2407 @opencatbox{Categories:}
2408 @category{Package distrib}
2409 @closecatbox
2410
2411 @end deffn
2412
2413
2414 @anchor{random_rayleigh}
2415 @deffn {Function} random_rayleigh (@var{b}) @
2416 @fname{random_rayleigh} (@var{b},@var{n})
2417
2418 Returns a @math{Rayleigh(b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_rayleigh} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2419
2420 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2421
2422 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2423
2424 @opencatbox{Categories:}
2425 @category{Package distrib}
2426 @category{Random numbers}
2427 @closecatbox
2428
2429 @end deffn
2430
2431
2432
2433 @anchor{pdf_laplace}
2434 @deffn {Function} pdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
2435 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2436
2437 @opencatbox{Categories:}
2438 @category{Package distrib}
2439 @closecatbox
2440
2441 @end deffn
2442
2443
2444 @anchor{cdf_laplace}
2445 @deffn {Function} cdf_laplace (@var{x},@var{a},@var{b})
2446 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2447
2448 @opencatbox{Categories:}
2449 @category{Package distrib}
2450 @closecatbox
2451
2452 @end deffn
2453
2454
2455 @anchor{quantile_laplace}
2456 @deffn {Function} quantile_laplace (@var{q},@var{a},@var{b})
2457 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_laplace}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2458
2459 @opencatbox{Categories:}
2460 @category{Package distrib}
2461 @closecatbox
2462
2463 @end deffn
2464
2465
2466 @anchor{mean_laplace}
2467 @deffn {Function} mean_laplace (@var{a},@var{b})
2468 Returns the mean of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2469
2470 @opencatbox{Categories:}
2471 @category{Package distrib}
2472 @closecatbox
2473
2474 @end deffn
2475
2476
2477 @anchor{var_laplace}
2478 @deffn {Function} var_laplace (@var{a},@var{b})
2479 Returns the variance of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2480
2481 @opencatbox{Categories:}
2482 @category{Package distrib}
2483 @closecatbox
2484
2485 @end deffn
2486
2487
2488 @anchor{std_laplace}
2489 @deffn {Function} std_laplace (@var{a},@var{b})
2490 Returns the standard deviation of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2491
2492 @opencatbox{Categories:}
2493 @category{Package distrib}
2494 @closecatbox
2495
2496 @end deffn
2497
2498
2499 @anchor{skewness_laplace}
2500 @deffn {Function} skewness_laplace (@var{a},@var{b})
2501 Returns the skewness coefficient of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2502
2503 @opencatbox{Categories:}
2504 @category{Package distrib}
2505 @closecatbox
2506
2507 @end deffn
2508
2509
2510 @anchor{kurtosis_laplace}
2511 @deffn {Function} kurtosis_laplace (@var{a},@var{b})
2512 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Laplace(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2513
2514 @opencatbox{Categories:}
2515 @category{Package distrib}
2516 @closecatbox
2517
2518 @end deffn
2519
2520
2521 @anchor{random_laplace}
2522 @deffn {Function} random_laplace (@var{a},@var{b}) @
2523 @fname{random_laplace} (@var{a},@var{b},@var{n})
2524
2525 Returns a @math{Laplace(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_laplace} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2526
2527 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2528
2529 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2530
2531 @opencatbox{Categories:}
2532 @category{Package distrib}
2533 @category{Random numbers}
2534 @closecatbox
2535
2536 @end deffn
2537
2538
2539
2540 @anchor{pdf_cauchy}
2541 @deffn {Function} pdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
2542 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Cauchy(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2543
2544 @opencatbox{Categories:}
2545 @category{Package distrib}
2546 @closecatbox
2547
2548 @end deffn
2549
2550
2551 @anchor{cdf_cauchy}
2552 @deffn {Function} cdf_cauchy (@var{x},@var{a},@var{b})
2553 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Cauchy(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2554
2555 @opencatbox{Categories:}
2556 @category{Package distrib}
2557 @closecatbox
2558
2559 @end deffn
2560
2561
2562 @anchor{quantile_cauchy}
2563 @deffn {Function} quantile_cauchy (@var{q},@var{a},@var{b})
2564 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Cauchy(a,b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_cauchy}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2565
2566 @opencatbox{Categories:}
2567 @category{Package distrib}
2568 @closecatbox
2569
2570 @end deffn
2571
2572
2573 @anchor{random_cauchy}
2574 @deffn {Function} random_cauchy (@var{a},@var{b}) @
2575 @fname{random_cauchy} (@var{a},@var{b},@var{n})
2576
2577 Returns a @math{Cauchy(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_cauchy} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2578
2579 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2580
2581 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2582
2583 @opencatbox{Categories:}
2584 @category{Package distrib}
2585 @category{Random numbers}
2586 @closecatbox
2587
2588 @end deffn
2589
2590
2591
2592 @anchor{pdf_gumbel}
2593 @deffn {Function} pdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
2594 Returns the value at @var{x} of the density function of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2595
2596 @opencatbox{Categories:}
2597 @category{Package distrib}
2598 @closecatbox
2599
2600 @end deffn
2601
2602
2603 @anchor{cdf_gumbel}
2604 @deffn {Function} cdf_gumbel (@var{x},@var{a},@var{b})
2605 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2606
2607 @opencatbox{Categories:}
2608 @category{Package distrib}
2609 @closecatbox
2610
2611 @end deffn
2612
2613
2614 @anchor{quantile_gumbel}
2615 @deffn {Function} quantile_gumbel (@var{q},@var{a},@var{b})
2616 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_gumbel}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2617
2618 @opencatbox{Categories:}
2619 @category{Package distrib}
2620 @closecatbox
2621
2622 @end deffn
2623
2624
2625 @anchor{mean_gumbel}
2626 @deffn {Function} mean_gumbel (@var{a},@var{b})
2627 Returns the mean of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}.
2628
2629 @c ===beg===
2630 @c load ("distrib")$
2631 @c mean_gumbel(a,b);
2632 @c ===end===
2633 @example
2634 (%i1) load ("distrib")$
2635 (%i2) mean_gumbel(a,b);
2636 (%o2)                     %gamma b + a
2637 @end example
2638 where symbol @code{%gamma} stands for the Euler-Mascheroni constant. See also @mrefdot{%gamma}
2639
2640 @opencatbox{Categories:}
2641 @category{Package distrib}
2642 @closecatbox
2643
2644 @end deffn
2645
2646
2647 @anchor{var_gumbel}
2648 @deffn {Function} var_gumbel (@var{a},@var{b})
2649 Returns the variance of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2650
2651 @opencatbox{Categories:}
2652 @category{Package distrib}
2653 @closecatbox
2654
2655 @end deffn
2656
2657
2658 @anchor{std_gumbel}
2659 @deffn {Function} std_gumbel (@var{a},@var{b})
2660 Returns the standard deviation of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2661
2662 @opencatbox{Categories:}
2663 @category{Package distrib}
2664 @closecatbox
2665
2666 @end deffn
2667
2668
2669 @anchor{skewness_gumbel}
2670 @deffn {Function} skewness_gumbel (@var{a},@var{b})
2671 Returns the skewness coefficient of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}.
2672
2673 @c ===beg===
2674 @c load ("distrib")$
2675 @c skewness_gumbel(a,b);
2676 @c ===end===
2677 @example
2678 (%i1) load ("distrib")$
2679 (%i2) skewness_gumbel(a,b);
2680                                   3/2
2681                                2 6    zeta(3)
2682 (%o2)                          --------------
2683                                        3
2684                                     %pi
2685 @end example
2686 where @code{zeta} stands for the Riemann's zeta function.
2687
2688 @opencatbox{Categories:}
2689 @category{Package distrib}
2690 @closecatbox
2691
2692 @end deffn
2693
2694
2695 @anchor{kurtosis_gumbel}
2696 @deffn {Function} kurtosis_gumbel (@var{a},@var{b})
2697 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Gumbel(a,b)} random variable, with @math{b>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2698
2699 @opencatbox{Categories:}
2700 @category{Package distrib}
2701 @category{Package distrib}
2702 @closecatbox
2703
2704 @end deffn
2705
2706
2707 @anchor{random_gumbel}
2708 @deffn {Function} random_gumbel (@var{a},@var{b}) @
2709 @fname{random_gumbel} (@var{a},@var{b},@var{n})
2710
2711 Returns a @math{Gumbel(a,b)} random variate, with @math{b>0}. Calling @code{random_gumbel} with a third argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
2712
2713 The implemented algorithm is based on the general inverse method.
2714
2715 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2716
2717 @opencatbox{Categories:}
2718 @category{Package distrib}
2719 @category{Random numbers}
2720 @closecatbox
2721
2722 @end deffn
2723
2724
2725 @node Functions and Variables for discrete distributions,  , Functions and Variables for continuous distributions, distrib-pkg
2726 @section Functions and Variables for discrete distributions
2727
2728
2729 @anchor{pdf_general_finite_discrete}
2730 @deffn {Function} pdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
2731 Returns the value at @var{x} of the probability function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}, such that @code{Pr(X=i) = v_i}. Vector @math{v} can be a list of nonnegative expressions, whose components will be normalized to get a vector of probabilities. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2732
2733 @c ===beg===
2734 @c load ("distrib")$
2735 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
2736 @c pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
2737 @c ===end===
2738 @example
2739 (%i1) load ("distrib")$
2740 (%i2) pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
2741                                 4
2742 (%o2)                           -
2743                                 7
2744 (%i3) pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
2745                                 4
2746 (%o3)                           -
2747                                 7
2748 @end example
2749
2750 @opencatbox{Categories:}
2751 @category{Package distrib}
2752 @closecatbox
2753
2754 @end deffn
2755
2756
2757 @anchor{cdf_general_finite_discrete}
2758 @deffn {Function} cdf_general_finite_discrete (@var{x},@var{v})
2759 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2760
2761 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2762
2763 @c ===beg===
2764 @c load ("distrib")$
2765 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
2766 @c cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
2767 @c cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
2768 @c ===end===
2769 @example
2770 (%i1) load ("distrib")$
2771 (%i2) cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
2772                                 5
2773 (%o2)                           -
2774                                 7
2775 (%i3) cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
2776                                 5
2777 (%o3)                           -
2778                                 7
2779 (%i4) cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
2780                                 5
2781 (%o4)                           -
2782                                 7
2783 @end example
2784
2785 @opencatbox{Categories:}
2786 @category{Package distrib}
2787 @closecatbox
2788
2789 @end deffn
2790
2791
2792 @anchor{quantile_general_finite_discrete}
2793 @deffn {Function} quantile_general_finite_discrete (@var{q},@var{v})
2794 Returns the @var{q}-quantile of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2795
2796 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2797
2798 @opencatbox{Categories:}
2799 @category{Package distrib}
2800 @closecatbox
2801
2802 @end deffn
2803
2804
2805 @anchor{mean_general_finite_discrete}
2806 @deffn {Function} mean_general_finite_discrete (@var{v})
2807 Returns the mean of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2808
2809 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2810
2811 @opencatbox{Categories:}
2812 @category{Package distrib}
2813 @closecatbox
2814
2815 @end deffn
2816
2817
2818 @anchor{var_general_finite_discrete}
2819 @deffn {Function} var_general_finite_discrete (@var{v})
2820 Returns the variance of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2821
2822 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2823
2824 @opencatbox{Categories:}
2825 @category{Package distrib}
2826 @closecatbox
2827
2828 @end deffn
2829
2830
2831 @anchor{std_general_finite_discrete}
2832 @deffn {Function} std_general_finite_discrete (@var{v})
2833 Returns the standard deviation of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2834
2835 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2836
2837 @opencatbox{Categories:}
2838 @category{Package distrib}
2839 @closecatbox
2840
2841 @end deffn
2842
2843
2844 @anchor{skewness_general_finite_discrete}
2845 @deffn {Function} skewness_general_finite_discrete (@var{v})
2846 Returns the skewness coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2847
2848 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2849
2850 @opencatbox{Categories:}
2851 @category{Package distrib}
2852 @closecatbox
2853
2854 @end deffn
2855
2856
2857 @anchor{kurtosis_general_finite_discrete}
2858 @deffn {Function} kurtosis_general_finite_discrete (@var{v})
2859 Returns the kurtosis coefficient of a general finite discrete random variable, with vector probabilities @math{v}.
2860
2861 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2862
2863 @opencatbox{Categories:}
2864 @category{Package distrib}
2865 @closecatbox
2866
2867 @end deffn
2868
2869
2870 @anchor{random_general_finite_discrete}
2871 @deffn {Function} random_general_finite_discrete (@var{v}) @
2872 @fname{random_general_finite_discrete} (@var{v},@var{m})
2873
2874 Returns a general finite discrete random variate, with vector probabilities @math{v}. Calling @code{random_general_finite_discrete} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
2875
2876 See @code{pdf_general_finite_discrete} for more details.
2877
2878 @c ===beg===
2879 @c load ("distrib")$
2880 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
2881 @c random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
2882 @c ===end===
2883 @example
2884 (%i1) load ("distrib")$
2885 (%i2) random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
2886 (%o2)                          4
2887 (%i3) random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
2888 (%o3)           [4, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 2]
2889 @end example
2890
2891 @opencatbox{Categories:}
2892 @category{Package distrib}
2893 @category{Random numbers}
2894 @closecatbox
2895
2896 @end deffn
2897
2898
2899 @anchor{pdf_binomial}
2900 @deffn {Function} pdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
2901 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2902
2903 @opencatbox{Categories:}
2904 @category{Package distrib}
2905 @closecatbox
2906
2907 @end deffn
2908
2909
2910 @anchor{cdf_binomial}
2911 @deffn {Function} cdf_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
2912 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer.
2913
2914 @c ===beg===
2915 @c load ("distrib")$
2916 @c cdf_binomial(5,7,1/6);
2917 @c float(%);
2918 @c ===end===
2919 @example
2920 (%i1) load ("distrib")$
2921 (%i2) cdf_binomial(5,7,1/6);
2922                             7775
2923 (%o2)                       ----
2924                             7776
2925 (%i3) float(%);
2926 (%o3)               .9998713991769548
2927 @end example
2928
2929 @opencatbox{Categories:}
2930 @category{Package distrib}
2931 @closecatbox
2932
2933 @end deffn
2934
2935
2936 @anchor{quantile_binomial}
2937 @deffn {Function} quantile_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
2938 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2939
2940 @opencatbox{Categories:}
2941 @category{Package distrib}
2942 @closecatbox
2943
2944 @end deffn
2945
2946
2947 @anchor{mean_binomial}
2948 @deffn {Function} mean_binomial (@var{n},@var{p})
2949 Returns the mean of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2950
2951 @opencatbox{Categories:}
2952 @category{Package distrib}
2953 @closecatbox
2954
2955 @end deffn
2956
2957
2958 @anchor{var_binomial}
2959 @deffn {Function} var_binomial (@var{n},@var{p})
2960 Returns the variance of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2961
2962 @opencatbox{Categories:}
2963 @category{Package distrib}
2964 @closecatbox
2965
2966 @end deffn
2967
2968
2969 @anchor{std_binomial}
2970 @deffn {Function} std_binomial (@var{n},@var{p})
2971 Returns the standard deviation of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2972
2973 @opencatbox{Categories:}
2974 @category{Package distrib}
2975 @closecatbox
2976
2977 @end deffn
2978
2979
2980 @anchor{skewness_binomial}
2981 @deffn {Function} skewness_binomial (@var{n},@var{p})
2982 Returns the skewness coefficient of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2983
2984 @opencatbox{Categories:}
2985 @category{Package distrib}
2986 @closecatbox
2987
2988 @end deffn
2989
2990
2991 @anchor{kurtosis_binomial}
2992 @deffn {Function} kurtosis_binomial (@var{n},@var{p})
2993 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
2994
2995 @opencatbox{Categories:}
2996 @category{Package distrib}
2997 @closecatbox
2998
2999 @end deffn
3000
3001
3002 @anchor{random_binomial}
3003 @deffn {Function} random_binomial (@var{n},@var{p}) @
3004 @fname{random_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
3005
3006 Returns a @math{Binomial(n,p)} random variate, with @math{0 \leq p \leq 1} and @math{n} a positive integer. Calling @code{random_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3007
3008 The implemented algorithm is based on the one described in Kachitvichyanukul, V. and Schmeiser, B.W. (1988) @var{Binomial Random Variate Generation}. Communications of the ACM, 31, Feb., 216.
3009
3010 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3011
3012 @opencatbox{Categories:}
3013 @category{Package distrib}
3014 @category{Random numbers}
3015 @closecatbox
3016
3017 @end deffn
3018
3019
3020 @anchor{pdf_poisson}
3021 @deffn {Function} pdf_poisson (@var{x},@var{m})
3022 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3023
3024 @opencatbox{Categories:}
3025 @category{Package distrib}
3026 @closecatbox
3027
3028 @end deffn
3029
3030
3031 @anchor{cdf_poisson}
3032 @deffn {Function} cdf_poisson (@var{x},@var{m})
3033 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}.
3034
3035 @c ===beg===
3036 @c load ("distrib")$
3037 @c cdf_poisson(3,5);
3038 @c float(%);
3039 @c ===end===
3040 @example
3041 (%i1) load ("distrib")$
3042 (%i2) cdf_poisson(3,5);
3043 (%o2)       gamma_incomplete_regularized(4, 5)
3044 (%i3) float(%);
3045 (%o3)               .2650259152973623
3046 @end example
3047
3048 @opencatbox{Categories:}
3049 @category{Package distrib}
3050 @closecatbox
3051
3052 @end deffn
3053
3054
3055 @anchor{quantile_poisson}
3056 @deffn {Function} quantile_poisson (@var{q},@var{m})
3057 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_poisson}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3058
3059 @opencatbox{Categories:}
3060 @category{Package distrib}
3061 @closecatbox
3062
3063 @end deffn
3064
3065
3066 @anchor{mean_poisson}
3067 @deffn {Function} mean_poisson (@var{m})
3068 Returns the mean of a @math{Poisson(m)} random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3069
3070 @opencatbox{Categories:}
3071 @category{Package distrib}
3072 @closecatbox
3073
3074 @end deffn
3075
3076
3077 @anchor{var_poisson}
3078 @deffn {Function} var_poisson (@var{m})
3079 Returns the variance of a @math{Poisson(m)} random variable, with  @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3080
3081 @opencatbox{Categories:}
3082 @category{Package distrib}
3083 @closecatbox
3084
3085 @end deffn
3086
3087
3088 @anchor{std_poisson}
3089 @deffn {Function} std_poisson (@var{m})
3090 Returns the standard deviation of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3091
3092 @opencatbox{Categories:}
3093 @category{Package distrib}
3094 @closecatbox
3095
3096 @end deffn
3097
3098
3099 @anchor{skewness_poisson}
3100 @deffn {Function} skewness_poisson (@var{m})
3101 Returns the skewness coefficient of a @math{Poisson(m)} random variable, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3102
3103 @opencatbox{Categories:}
3104 @category{Package distrib}
3105 @closecatbox
3106
3107 @end deffn
3108
3109
3110 @anchor{kurtosis_poisson}
3111 @deffn {Function} kurtosis_poisson (@var{m})
3112 Returns the kurtosis coefficient of a Poisson random variable  @math{Poi(m)}, with @math{m>0}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3113
3114 @opencatbox{Categories:}
3115 @category{Package distrib}
3116 @closecatbox
3117
3118 @end deffn
3119
3120
3121 @anchor{random_poisson}
3122 @deffn {Function} random_poisson (@var{m}) @
3123 @fname{random_poisson} (@var{m},@var{n})
3124
3125 Returns a @math{Poisson(m)} random variate, with @math{m>0}. Calling @code{random_poisson} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3126
3127 The implemented algorithm is the one described in Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1982) @var{Computer Generation of Poisson Deviates From Modified Normal Distributions}. ACM Trans. Math. Software, 8, 2, June,163-179.
3128
3129 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3130
3131 @opencatbox{Categories:}
3132 @category{Package distrib}
3133 @category{Random numbers}
3134 @closecatbox
3135
3136 @end deffn
3137
3138
3139 @anchor{pdf_bernoulli}
3140 @deffn {Function} pdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
3141 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3142
3143 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3144
3145 @c ===beg===
3146 @c load ("distrib")$
3147 @c pdf_bernoulli(1,p);
3148 @c ===end===
3149 @example
3150 (%i1) load ("distrib")$
3151 (%i2) pdf_bernoulli(1,p);
3152 (%o2)                           p
3153 @end example
3154
3155 @opencatbox{Categories:}
3156 @category{Package distrib}
3157 @closecatbox
3158
3159 @end deffn
3160
3161
3162 @anchor{cdf_bernoulli}
3163 @deffn {Function} cdf_bernoulli (@var{x},@var{p})
3164 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3165
3166 @opencatbox{Categories:}
3167 @category{Package distrib}
3168 @closecatbox
3169
3170 @end deffn
3171
3172
3173 @anchor{quantile_bernoulli}
3174 @deffn {Function} quantile_bernoulli (@var{q},@var{p})
3175 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_bernoulli}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3176
3177 @opencatbox{Categories:}
3178 @category{Package distrib}
3179 @closecatbox
3180
3181 @end deffn
3182
3183
3184 @anchor{mean_bernoulli}
3185 @deffn {Function} mean_bernoulli (@var{p})
3186 Returns the mean of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3187
3188 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3189
3190 @c ===beg===
3191 @c load ("distrib")$
3192 @c mean_bernoulli(p);
3193 @c ===end===
3194 @example
3195 (%i1) load ("distrib")$
3196 (%i2) mean_bernoulli(p);
3197 (%o2)                           p
3198 @end example
3199
3200 @opencatbox{Categories:}
3201 @category{Package distrib}
3202 @closecatbox
3203
3204 @end deffn
3205
3206
3207 @anchor{var_bernoulli}
3208 @deffn {Function} var_bernoulli (@var{p})
3209 Returns the variance of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3210
3211 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3212
3213 @c ===beg===
3214 @c load ("distrib")$
3215 @c var_bernoulli(p);
3216 @c ===end===
3217 @example
3218 (%i1) load ("distrib")$
3219 (%i2) var_bernoulli(p);
3220 (%o2)                       (1 - p) p
3221 @end example
3222
3223 @opencatbox{Categories:}
3224 @category{Package distrib}
3225 @closecatbox
3226
3227 @end deffn
3228
3229
3230 @anchor{std_bernoulli}
3231 @deffn {Function} std_bernoulli (@var{p})
3232 Returns the standard deviation of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3233
3234 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3235
3236 @c ===beg===
3237 @c load ("distrib")$
3238 @c std_bernoulli(p);
3239 @c ===end===
3240 @example
3241 (%i1) load ("distrib")$
3242 (%i2) std_bernoulli(p);
3243 (%o2)                           sqrt((1 - p) p)
3244 @end example
3245
3246 @opencatbox{Categories:}
3247 @category{Package distrib}
3248 @closecatbox
3249
3250 @end deffn
3251
3252
3253 @anchor{skewness_bernoulli}
3254 @deffn {Function} skewness_bernoulli (@var{p})
3255 Returns the skewness coefficient of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3256
3257 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3258
3259 @c ===beg===
3260 @c load ("distrib")$
3261 @c skewness_bernoulli(p);
3262 @c ===end===
3263 @example
3264 (%i1) load ("distrib")$
3265 (%i2) skewness_bernoulli(p);
3266                                     1 - 2 p
3267 (%o2)                           ---------------
3268                                 sqrt((1 - p) p)
3269 @end example
3270
3271 @opencatbox{Categories:}
3272 @category{Package distrib}
3273 @closecatbox
3274
3275 @end deffn
3276
3277
3278 @anchor{kurtosis_bernoulli}
3279 @deffn {Function} kurtosis_bernoulli (@var{p})
3280 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Bernoulli(p)} random variable, with @math{0 \leq p \leq 1}.
3281
3282 The @math{Bernoulli(p)} random variable is equivalent to the @math{Binomial(1,p)}.
3283
3284 @c ===beg===
3285 @c load ("distrib")$
3286 @c kurtosis_bernoulli(p);
3287 @c ===end===
3288 @example
3289 (%i1) load ("distrib")$
3290 (%i2) kurtosis_bernoulli(p);
3291                          1 - 6 (1 - p) p
3292 (%o2)                    ---------------
3293                             (1 - p) p
3294 @end example
3295
3296 @opencatbox{Categories:}
3297 @category{Package distrib}
3298 @closecatbox
3299
3300 @end deffn
3301
3302
3303 @anchor{random_bernoulli}
3304 @deffn {Function} random_bernoulli (@var{p}) @
3305 @fname{random_bernoulli} (@var{p},@var{n})
3306
3307 Returns a @math{Bernoulli(p)} random variate, with @math{0 \leq p \leq 1}. Calling @code{random_bernoulli} with a second argument @var{n}, a random sample of size @var{n} will be simulated.
3308
3309 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
3310
3311 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3312
3313 @opencatbox{Categories:}
3314 @category{Package distrib}
3315 @category{Random numbers}
3316 @closecatbox
3317
3318 @end deffn
3319
3320 @anchor{pdf_geometric}
3321 @deffn {Function} pdf_geometric (@var{x},@var{p})
3322 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3323 @ifnottex
3324 @math{0 < p <= 1}.
3325 @end ifnottex
3326 @tex
3327 @math{0 < p \leq 1}.
3328 @end tex
3329
3330 The probability function is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3331 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3332
3333 @code{load("distrib")} loads this function.
3334
3335 @opencatbox{Categories:}
3336 @category{Package distrib}
3337 @closecatbox
3338
3339 @end deffn
3340
3341
3342 @anchor{cdf_geometric}
3343 @deffn {Function} cdf_geometric (@var{x},@var{p})
3344 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3345 @ifnottex
3346 @math{0 < p <= 1}.
3347 @end ifnottex
3348 @tex
3349 @math{0 < p \leq 1}.
3350 @end tex
3351
3352 The probability from which the distribution function is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3353 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3354
3355 @code{load("distrib")} loads this function.
3356
3357 @opencatbox{Categories:}
3358 @category{Package distrib}
3359 @closecatbox
3360
3361 @end deffn
3362
3363
3364 @anchor{quantile_geometric}
3365 @deffn {Function} quantile_geometric (@var{q},@var{p})
3366 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3367 @ifnottex
3368 @math{0 < p <= 1};
3369 @end ifnottex
3370 @tex
3371 @math{0 < p \leq 1};
3372 @end tex
3373 in other words, this is the inverse of @code{cdf_geometric}.
3374 Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}.
3375
3376 The probability from which the quantile is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3377 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3378
3379 @code{load("distrib")} loads this function.
3380
3381 @opencatbox{Categories:}
3382 @category{Package distrib}
3383 @closecatbox
3384
3385 @end deffn
3386
3387
3388 @anchor{mean_geometric}
3389 @deffn {Function} mean_geometric (@var{p})
3390 Returns the mean of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3391 @ifnottex
3392 @math{0 < p <= 1}.
3393 @end ifnottex
3394 @tex
3395 @math{0 < p \leq 1}.
3396 @end tex
3397
3398 The probability from which the mean is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3399 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3400
3401 @code{load("distrib")} loads this function.
3402
3403 @opencatbox{Categories:}
3404 @category{Package distrib}
3405 @closecatbox
3406
3407 @end deffn
3408
3409
3410 @anchor{var_geometric}
3411 @deffn {Function} var_geometric (@var{p})
3412 Returns the variance of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3413 @ifnottex
3414 @math{0 < p <= 1}.
3415 @end ifnottex
3416 @tex
3417 @math{0 < p \leq 1}.
3418 @end tex
3419
3420 The probability from which the variance is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3421 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3422
3423 @code{load("distrib")} loads this function.
3424
3425 @opencatbox{Categories:}
3426 @category{Package distrib}
3427 @closecatbox
3428
3429 @end deffn
3430
3431
3432 @anchor{std_geometric}
3433 @deffn {Function} std_geometric (@var{p})
3434 Returns the standard deviation of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3435 @ifnottex
3436 @math{0 < p <= 1}.
3437 @end ifnottex
3438 @tex
3439 @math{0 < p \leq 1}.
3440 @end tex
3441
3442 The probability from which the standard deviation is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3443 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3444
3445 @code{load("distrib")} loads this function.
3446
3447 @opencatbox{Categories:}
3448 @category{Package distrib}
3449 @closecatbox
3450
3451 @end deffn
3452
3453
3454 @anchor{skewness_geometric}
3455 @deffn {Function} skewness_geometric (@var{p})
3456 Returns the skewness coefficient of a @math{Geometric(p)} random variable, with
3457 @ifnottex
3458 @math{0 < p <= 1}.
3459 @end ifnottex
3460 @tex
3461 @math{0 < p \leq 1}.
3462 @end tex
3463
3464 The probability from which the skewness is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3465 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3466
3467 @code{load("distrib")} loads this function.
3468
3469 @opencatbox{Categories:}
3470 @category{Package distrib}
3471 @closecatbox
3472
3473 @end deffn
3474
3475
3476 @anchor{kurtosis_geometric}
3477 @deffn {Function} kurtosis_geometric (@var{p})
3478 Returns the kurtosis coefficient of a geometric random variable  @math{Geometric(p)}, with
3479 @ifnottex
3480 @math{0 < p <= 1}.
3481 @end ifnottex
3482 @tex
3483 @math{0 < p \leq 1}.
3484 @end tex
3485
3486 The probability from which the kurtosis is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3487 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3488
3489 @code{load("distrib")} loads this function.
3490
3491 @opencatbox{Categories:}
3492 @category{Package distrib}
3493 @closecatbox
3494
3495 @end deffn
3496
3497
3498 @anchor{random_geometric}
3499 @deffn {Function} random_geometric (@var{p}) @
3500 @fname{random_geometric} (@var{p},@var{n})
3501
3502 @code{random_geometric(@var{p})} returns one random sample from a @math{Geometric(p)} distribution, with
3503 @ifnottex
3504 @math{0 < p <= 1}.
3505 @end ifnottex
3506 @tex
3507 @math{0 < p \leq 1}.
3508 @end tex
3509
3510 @code{random_geometric(@var{p}, @var{n})} returns a list of @var{n} random samples.
3511
3512 The algorithm is based on simulation of Bernoulli trials.
3513
3514 The probability from which the random sample is derived is defined as @math{p (1 - p)^x}.
3515 This is interpreted as the probability of @math{x} failures before the first success.
3516
3517 @code{load("distrib")} loads this function.
3518
3519
3520 @opencatbox{Categories:}
3521 @category{Package distrib}
3522 @category{Random numbers}
3523 @closecatbox
3524
3525 @end deffn
3526
3527
3528 @anchor{pdf_discrete_uniform}
3529 @deffn {Function} pdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
3530 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3531
3532 @opencatbox{Categories:}
3533 @category{Package distrib}
3534 @closecatbox
3535
3536 @end deffn
3537
3538
3539 @anchor{cdf_discrete_uniform}
3540 @deffn {Function} cdf_discrete_uniform (@var{x},@var{n})
3541 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3542
3543 @opencatbox{Categories:}
3544 @category{Package distrib}
3545 @closecatbox
3546
3547 @end deffn
3548
3549
3550 @anchor{quantile_discrete_uniform}
3551 @deffn {Function} quantile_discrete_uniform (@var{q},@var{n})
3552 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer; in other words, this is the inverse of @code{cdf_discrete_uniform}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3553
3554 @opencatbox{Categories:}
3555 @category{Package distrib}
3556 @closecatbox
3557
3558 @end deffn
3559
3560
3561 @anchor{mean_discrete_uniform}
3562 @deffn {Function} mean_discrete_uniform (@var{n})
3563 Returns the mean of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3564
3565 @opencatbox{Categories:}
3566 @category{Package distrib}
3567 @closecatbox
3568
3569 @end deffn
3570
3571
3572 @anchor{var_discrete_uniform}
3573 @deffn {Function} var_discrete_uniform (@var{n})
3574 Returns the variance of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3575
3576 @opencatbox{Categories:}
3577 @category{Package distrib}
3578 @closecatbox
3579
3580 @end deffn
3581
3582
3583 @anchor{std_discrete_uniform}
3584 @deffn {Function} std_discrete_uniform (@var{n})
3585 Returns the standard deviation of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3586
3587 @opencatbox{Categories:}
3588 @category{Package distrib}
3589 @closecatbox
3590
3591 @end deffn
3592
3593
3594 @anchor{skewness_discrete_uniform}
3595 @deffn {Function} skewness_discrete_uniform (@var{n})
3596 Returns the skewness coefficient of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3597
3598 @opencatbox{Categories:}
3599 @category{Package distrib}
3600 @closecatbox
3601
3602 @end deffn
3603
3604
3605 @anchor{kurtosis_discrete_uniform}
3606 @deffn {Function} kurtosis_discrete_uniform (@var{n})
3607 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Discrete Uniform(n)} random variable, with @math{n} a strictly positive integer. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3608
3609 @opencatbox{Categories:}
3610 @category{Package distrib}
3611 @closecatbox
3612
3613 @end deffn
3614
3615
3616 @anchor{random_discrete_uniform}
3617 @deffn {Function} random_discrete_uniform (@var{n}) @
3618 @fname{random_discrete_uniform} (@var{n},@var{m})
3619
3620 Returns a @math{Discrete Uniform(n)} random variate, with @math{n} a strictly positive integer. Calling @code{random_discrete_uniform} with a second argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3621
3622 This is a direct application of the @code{random} built-in Maxima function.
3623
3624 See also @mrefdot{random} To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3625
3626 @opencatbox{Categories:}
3627 @category{Package distrib}
3628 @category{Random numbers}
3629 @closecatbox
3630
3631 @end deffn
3632
3633
3634 @anchor{pdf_hypergeometric}
3635 @deffn {Function} pdf_hypergeometric (@var{x},@var{n1},@var{n2},@var{n})
3636 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)}
3637 random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}.
3638 Being @var{n1} the number of objects of class A, @var{n2} the number of objects of class B, and
3639 @var{n} the size of the sample without replacement, this function returns the probability of
3640 event "exactly @var{x} objects are of class A".
3641
3642 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3643
3644 @opencatbox{Categories:}
3645 @category{Package distrib}
3646 @closecatbox
3647
3648 @end deffn
3649
3650
3651 @anchor{cdf_hypergeometric}
3652 @deffn {Function} cdf_hypergeometric (@var{x},@var{n1},@var{n2},@var{n})
3653 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)}
3654 random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}.
3655 See @code{pdf_hypergeometric} for a more complete description.
3656
3657 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3658
3659 @opencatbox{Categories:}
3660 @category{Package distrib}
3661 @closecatbox
3662
3663 @end deffn
3664
3665
3666 @anchor{quantile_hypergeometric}
3667 @deffn {Function} quantile_hypergeometric (@var{q},@var{n1},@var{n2},@var{n})
3668 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}; in other words, this is the inverse of @code{cdf_hypergeometric}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3669
3670 @opencatbox{Categories:}
3671 @category{Package distrib}
3672 @closecatbox
3673
3674 @end deffn
3675
3676
3677 @anchor{mean_hypergeometric}
3678 @deffn {Function} mean_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
3679 Returns the mean of a discrete uniform random variable @math{Hyp(n1,n2,n)}, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3680
3681 @opencatbox{Categories:}
3682 @category{Package distrib}
3683 @closecatbox
3684
3685 @end deffn
3686
3687
3688 @anchor{var_hypergeometric}
3689 @deffn {Function} var_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
3690 Returns the variance of a hypergeometric  random variable @math{Hyp(n1,n2,n)}, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3691
3692 @opencatbox{Categories:}
3693 @category{Package distrib}
3694 @closecatbox
3695
3696 @end deffn
3697
3698
3699 @anchor{std_hypergeometric}
3700 @deffn {Function} std_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
3701 Returns the standard deviation of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3702
3703 @opencatbox{Categories:}
3704 @category{Package distrib}
3705 @closecatbox
3706
3707 @end deffn
3708
3709
3710 @anchor{skewness_hypergeometric}
3711 @deffn {Function} skewness_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
3712 Returns the skewness coefficient of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3713
3714 @opencatbox{Categories:}
3715 @category{Package distrib}
3716 @closecatbox
3717
3718 @end deffn
3719
3720
3721 @anchor{kurtosis_hypergeometric}
3722 @deffn {Function} kurtosis_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n})
3723 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variable, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3724
3725 @opencatbox{Categories:}
3726 @category{Package distrib}
3727 @closecatbox
3728
3729 @end deffn
3730
3731
3732 @anchor{random_hypergeometric}
3733 @deffn {Function} random_hypergeometric (@var{n1},@var{n2},@var{n}) @
3734 @fname{random_hypergeometric} (@var{n1},@var{n2},@var{n},@var{m})
3735
3736 Returns a @math{Hypergeometric(n1,n2,n)} random variate, with @var{n1}, @var{n2} and @var{n} non negative integers and @math{n<=n1+n2}. Calling @code{random_hypergeometric} with a fourth argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3737
3738 Algorithm described in Kachitvichyanukul, V., Schmeiser, B.W. (1985) @var{Computer generation of hypergeometric random variates.} Journal of Statistical Computation and Simulation 22, 127-145.
3739
3740 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3741
3742 @opencatbox{Categories:}
3743 @category{Package distrib}
3744 @category{Random numbers}
3745 @closecatbox
3746
3747 @end deffn
3748
3749
3750 @anchor{pdf_negative_binomial}
3751 @deffn {Function} pdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
3752 Returns the value at @var{x} of the probability function of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3753
3754 @opencatbox{Categories:}
3755 @category{Package distrib}
3756 @closecatbox
3757
3758 @end deffn
3759
3760
3761 @anchor{cdf_negative_binomial}
3762 @deffn {Function} cdf_negative_binomial (@var{x},@var{n},@var{p})
3763 Returns the value at @var{x} of the distribution function of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number.
3764
3765 @c ===beg===
3766 @c load ("distrib")$
3767 @c cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
3768 @c ===end===
3769 @example
3770 (%i1) load ("distrib")$
3771 (%i2) cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
3772                             3271
3773 (%o2)                      ------
3774                            524288
3775 @end example
3776
3777 @opencatbox{Categories:}
3778 @category{Package distrib}
3779 @closecatbox
3780
3781 @end deffn
3782
3783
3784 @anchor{quantile_negative_binomial}
3785 @deffn {Function} quantile_negative_binomial (@var{q},@var{n},@var{p})
3786 Returns the @var{q}-quantile of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number; in other words, this is the inverse of @code{cdf_negative_binomial}. Argument @var{q} must be an element of @math{[0,1]}. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3787
3788 @opencatbox{Categories:}
3789 @category{Package distrib}
3790 @closecatbox
3791
3792 @end deffn
3793
3794
3795 @anchor{mean_negative_binomial}
3796 @deffn {Function} mean_negative_binomial (@var{n},@var{p})
3797 Returns the mean of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3798
3799 @opencatbox{Categories:}
3800 @category{Package distrib}
3801 @closecatbox
3802
3803 @end deffn
3804
3805
3806 @anchor{var_negative_binomial}
3807 @deffn {Function} var_negative_binomial (@var{n},@var{p})
3808 Returns the variance of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3809
3810 @opencatbox{Categories:}
3811 @category{Package distrib}
3812 @closecatbox
3813
3814 @end deffn
3815
3816
3817 @anchor{std_negative_binomial}
3818 @deffn {Function} std_negative_binomial (@var{n},@var{p})
3819 Returns the standard deviation of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3820
3821 @opencatbox{Categories:}
3822 @category{Package distrib}
3823 @closecatbox
3824
3825 @end deffn
3826
3827
3828 @anchor{skewness_negative_binomial}
3829 @deffn {Function} skewness_negative_binomial (@var{n},@var{p})
3830 Returns the skewness coefficient of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3831
3832 @opencatbox{Categories:}
3833 @category{Package distrib}
3834 @closecatbox
3835
3836 @end deffn
3837
3838
3839 @anchor{kurtosis_negative_binomial}
3840 @deffn {Function} kurtosis_negative_binomial (@var{n},@var{p})
3841 Returns the kurtosis coefficient of a @math{Negative Binomial(n,p)} random variable, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3842
3843 @opencatbox{Categories:}
3844 @category{Package distrib}
3845 @closecatbox
3846
3847 @end deffn
3848
3849
3850 @anchor{random_negative_binomial}
3851 @deffn {Function} random_negative_binomial (@var{n},@var{p}) @
3852 @fname{random_negative_binomial} (@var{n},@var{p},@var{m})
3853
3854 Returns a @math{Negative Binomial(n,p)} random variate, with @math{0 < p \leq 1} and @math{n} a positive number. Calling @code{random_negative_binomial} with a third argument @var{m}, a random sample of size @var{m} will be simulated.
3855
3856 Algorithm described in Devroye, L. (1986) @var{Non-Uniform Random Variate Generation}. Springer Verlag, p. 480.
3857
3858 To make use of this function, write first @code{load("distrib")}.
3859
3860 @opencatbox{Categories:}
3861 @category{Package distrib}
3862 @category{Random numbers}
3863 @closecatbox
3864
3865 @end deffn