doc/info/ja/Numerical.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to fast Fourier transform::
   3 * Functions and Variables for fast Fourier transform::
   4 * Introduction to Fourier series::
   5 * Functions and Variables for Fourier series::
   6 @end menu
   7
   8 @c -----------------------------------------------------------------------------
   9 @node Introduction to fast Fourier transform, Functions and Variables for fast Fourier transform, Numerical, Numerical
  10 @section Introduction to fast Fourier transform
  11 @c -----------------------------------------------------------------------------
  12
  13 @code{fft}パッケージは、高速Fourier変換の（数式計算ではなく）数値計算に関する関数を含みます。
  14
  15 @opencatbox
  16 @category{Fourier transform}
  17 @category{Numerical methods}
  18 @category{Share packages}
  19 @category{Package fft}
  20 @closecatbox
  21
  22 @c end concepts Numerical
  23
  24 @c -----------------------------------------------------------------------------
  25 @node Functions and Variables for fast Fourier transform, Introduction to Fourier series, Introduction to fast Fourier transform, Numerical
  26 @section Functions and Variables for fast Fourier transform
  27 @c -----------------------------------------------------------------------------
  28
  29 @c -----------------------------------------------------------------------------
  30 @anchor{polartorect}
  31 @deffn {関数} polartorect (@var{r}, @var{t})
  32
  33 形式@code{r %e^(%i t)}の複素値を形式@code{a + b %i}に変換します。
  34 ここで、@var{r}は大きさで、@var{t}は位相です。
  35 @var{r}と@var{t}は、同じサイズの１次元配列です。
  36 配列のサイズは2のべき乗である必要はありません。
  37
  38 関数が戻ると、入力配列の元の値は、実部@code{a}と虚部@code{b}に置き換えられます。
  39 出力は、以下のように計算されます。
  40
  41 @example
  42 a = r cos(t)
  43 b = r sin(t)
  44 @end example
  45
  46 @code{polartorect}は、@code{recttopolar}の逆関数です。
  47
  48 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
  49 @code{fft}も参照してください。
  50
  51 @opencatbox
  52 @category{Package fft}
  53 @category{Complex variables}
  54 @closecatbox
  55 @end deffn
  56
  57 @c -----------------------------------------------------------------------------
  58 @anchor{recttopolar}
  59 @deffn {関数} recttopolar (@var{a}, @var{b})
  60
  61 形式@code{a + b %i}の複素値を形式@code{r %e^(%i t)}に変換します。
  62 ここで、@var{a}は実部で、@var{b}は虚部です。
  63 @var{a}と@var{b}は同じサイズの１次元配列です。
  64 配列のサイズは2のべき乗である必要はありません。
  65
  66 関数が戻ると、入力配列の元の値は、大きさ@code{r}と偏角@code{t}に置き換えられます。
  67 出力は、以下のように計算されます。
  68
  69 @example
  70 r = sqrt(a^2 + b^2)
  71 t = atan2(b, a)
  72 @end example
  73
  74 計算された偏角は、@code{-%pi}から@code{%pi}の範囲の中にあります。
  75
  76 @code{recttopolar}は@code{polartorect}の逆関数です。
  77
  78 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
  79 @code{fft}も参照してください。
  80
  81 @opencatbox
  82 @category{Package fft}
  83 @category{Complex variables}
  84 @closecatbox
  85 @end deffn
  86
  87 @c -----------------------------------------------------------------------------
  88 @anchor{inverse_fft}
  89 @deffn {関数} inverse_fft (@var{y})
  90
  91 複素逆高速Fourier変換を計算します。
  92 @var{y}は、変換されるデータを含むリストもしくは配列です。
  93 要素の数は2のべき乗でなければいけません。
  94 要素は、数リテラル（整数、有理数、浮動小数点、多倍長浮動小数点）、シンボル定数、
  95 もしくは、@code{a}と@code{b}が数リテラルもしくはシンボル定数である式@code{a + b*%i}
  96 でなければいけません。
  97
  98 @code{inverse_fft}は、@var{y}と同じタイプの新しいオブジェクトを返します。
  99 @var{y}は変更されません。
 100 結果はいつも浮動小数点、もしくは@code{a}と@code{b}が浮動小数点であるところの式
 101 @code{a + b*%i}として計算されます。
 102
 103 逆離散Fourier変換は、以下のように定義されます。
 104 @code{x}を逆変換の出力とします。
 105 @code{j}が0から@code{n - 1}まで変わる中、
 106
 107 @example
 108 x[j] = sum(y[k] exp(+2 %i %pi j k / n), k, 0, n - 1)
 109 @end example
 110
 111 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
 112
 113 @code{fft} (正変換), @code{recttopolar}, @code{polartorect}も参照してください。
 114
 115 例:
 116
 117 実数データ。
 118
 119 @c ===beg===
 120 @c load (fft) $
 121 @c fpprintprec : 4 $
 122 @c L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 123 @c L1 : inverse_fft (L);
 124 @c L2 : fft (L1);
 125 @c lmax (abs (L2 - L));
 126 @c ===end===
 127 @example
 128 (%i1) load (fft) $
 129 (%i2) fpprintprec : 4 $
 130 (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 131 (%i4) L1 : inverse_fft (L);
 132 (%o4) [0.0, 14.49 %i - .8284, 0.0, 2.485 %i + 4.828, 0.0,
 133                        4.828 - 2.485 %i, 0.0, - 14.49 %i - .8284]
 134 (%i5) L2 : fft (L1);
 135 (%o5) [1.0, 2.0 - 2.168L-19 %i, 3.0 - 7.525L-20 %i,
 136 4.0 - 4.256L-19 %i, - 1.0, 2.168L-19 %i - 2.0,
 137 7.525L-20 %i - 3.0, 4.256L-19 %i - 4.0]
 138 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 139 (%o6)                       3.545L-16
 140 @end example
 141
 142 複素数データ
 143
 144 @c ===beg===
 145 @c load (fft) $
 146 @c fpprintprec : 4 $
 147 @c L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 148 @c L1 : inverse_fft (L);
 149 @c L2 : fft (L1);
 150 @c lmax (abs (L2 - L));
 151 @c ===end===
 152 @example
 153 (%i1) load (fft) $
 154 (%i2) fpprintprec : 4 $
 155 (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 156 (%i4) L1 : inverse_fft (L);
 157 (%o4) [4.0, 2.711L-19 %i + 4.0, 2.0 %i - 2.0,
 158 - 2.828 %i - 2.828, 0.0, 5.421L-20 %i + 4.0, - 2.0 %i - 2.0,
 159 2.828 %i + 2.828]
 160 (%i5) L2 : fft (L1);
 161 (%o5) [4.066E-20 %i + 1.0, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 162 1.55L-19 %i - 1.0, - 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 163 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 7.368L-20 %i]
 164 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 165 (%o6)                       6.841L-17
 166 @end example
 167
 168 @opencatbox
 169 @category{Package fft}
 170 @closecatbox
 171 @end deffn
 172
 173 @c -----------------------------------------------------------------------------
 174 @anchor{fft}
 175 @deffn {関数} fft (@var{x})
 176
 177 複素高速Fourier変換を計算します。
 178 @var{x}は、変換されるデータを含むリストもしくは配列です。
 179 要素の数は2のべき乗でなければいけません。
 180 要素は、数リテラル（整数、有理数、浮動小数点、多倍長浮動小数点）、シンボル定数、
 181 もしくは、@code{a}と@code{b}が数リテラルもしくはシンボル定数である式@code{a + b*%i}
 182 でなければいけません。
 183
 184 @code{fft}は、@var{x}と同じタイプの新しいオブジェクトを返します。
 185 @var{x}は変更されません。
 186 結果はいつも浮動小数点、もしくは@code{a}と@code{b}が浮動小数点であるところの式
 187 @code{a + b*%i}として計算されます。
 188
 189 離散Fourier変換は、以下のように定義されます。
 190 @code{y}を変換の出力とします。
 191 @code{k}が0から@code{n - 1}まで変わる中、
 192
 193 @example
 194 y[k] = (1/n) sum(x[j] exp(-2 %i %pi j k / n), j, 0, n - 1)
 195 @end example
 196
 197 データ@var{x}が実数の時、
 198 実係数@code{a}と@code{b}は以下のように計算することができます。
 199 @example
 200 x[j] = sum(a[k]*cos(2*%pi*j*k/n)+b[k]*sin(2*%pi*j*k/n), k, 0, n/2)
 201 @end example
 202
 203 ここで、
 204
 205 @example
 206 a[0] = realpart (y[0])
 207 b[0] = 0
 208 @end example
 209
 210 そして、@code{k}が1からn/2 - 1まで変わる中、
 211
 212 @example
 213 a[k] = realpart (y[k] + y[n - k])
 214 b[k] = imagpart (y[n - k] - y[k])
 215 @end example
 216
 217 そして、
 218
 219 @example
 220 a[n/2] = realpart (y[n/2])
 221 b[n/2] = 0
 222 @end example
 223
 224 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
 225
 226 @code{inverse_fft} (逆変換), @code{recttopolar}, @code{polartorect}も参照してください。
 227
 228 例:
 229
 230 実数データ。
 231
 232 @c ===beg===
 233 @c load (fft) $
 234 @c fpprintprec : 4 $
 235 @c L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 236 @c L1 : fft (L);
 237 @c L2 : inverse_fft (L1);
 238 @c lmax (abs (L2 - L));
 239 @c ===end===
 240 @example
 241 (%i1) load (fft) $
 242 (%i2) fpprintprec : 4 $
 243 (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 244 (%i4) L1 : fft (L);
 245 (%o4) [0.0, - 1.811 %i - .1036, 0.0, .6036 - .3107 %i, 0.0,
 246                          .3107 %i + .6036, 0.0, 1.811 %i - .1036]
 247 (%i5) L2 : inverse_fft (L1);
 248 (%o5) [1.0, 2.168L-19 %i + 2.0, 7.525L-20 %i + 3.0,
 249 4.256L-19 %i + 4.0, - 1.0, - 2.168L-19 %i - 2.0,
 250 - 7.525L-20 %i - 3.0, - 4.256L-19 %i - 4.0]
 251 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 252 (%o6)                       3.545L-16
 253 @end example
 254
 255 複素数データ
 256
 257 @c ===beg===
 258 @c load (fft) $
 259 @c fpprintprec : 4 $
 260 @c L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 261 @c L1 : fft (L);
 262 @c L2 : inverse_fft (L1);
 263 @c lmax (abs (L2 - L));
 264 @c ===end===
 265 @example
 266 (%i1) load (fft) $
 267 (%i2) fpprintprec : 4 $
 268 (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 269 (%i4) L1 : fft (L);
 270 (%o4) [0.5, .3536 %i + .3536, - 0.25 %i - 0.25,
 271 0.5 - 6.776L-21 %i, 0.0, - .3536 %i - .3536, 0.25 %i - 0.25,
 272 0.5 - 3.388L-20 %i]
 273 (%i5) L2 : inverse_fft (L1);
 274 (%o5) [1.0 - 4.066E-20 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 275 - 1.008L-19 %i - 1.0, 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 276 1.0 %i + 1.0, 1.947L-20 %i + 1.0]
 277 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 278 (%o6)                       6.83L-17
 279 @end example
 280
 281 サインとコサイン係数の計算。
 282
 283 @c ===beg===
 284 @c load (fft) $
 285 @c fpprintprec : 4 $
 286 @c L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $
 287 @c n : length (L) $
 288 @c x : make_array (any, n) $
 289 @c fillarray (x, L) $
 290 @c y : fft (x) $
 291 @c a : make_array (any, n/2 + 1) $
 292 @c b : make_array (any, n/2 + 1) $
 293 @c a[0] : realpart (y[0]) $
 294 @c b[0] : 0 $
 295 @c for k : 1 thru n/2 - 1 do
 296 @c    (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]),
 297 @c     b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k]));
 298 @c a[n/2] : y[n/2] $
 299 @c b[n/2] : 0 $
 300 @c listarray (a);
 301 @c listarray (b);
 302 @c f(j) := sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2) $
 303 @c makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1);
 304 @c ===end===
 305 @example
 306 (%i1) load (fft) $
 307 (%i2) fpprintprec : 4 $
 308 (%i3) L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $
 309 (%i4) n : length (L) $
 310 (%i5) x : make_array (any, n) $
 311 (%i6) fillarray (x, L) $
 312 (%i7) y : fft (x) $
 313 (%i8) a : make_array (any, n/2 + 1) $
 314 (%i9) b : make_array (any, n/2 + 1) $
 315 (%i10) a[0] : realpart (y[0]) $
 316 (%i11) b[0] : 0 $
 317 (%i12) for k : 1 thru n/2 - 1 do
 318    (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]),
 319     b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k]));
 320 (%o12)                        done
 321 (%i13) a[n/2] : y[n/2] $
 322 (%i14) b[n/2] : 0 $
 323 (%i15) listarray (a);
 324 (%o15)          [4.5, - 1.0, - 1.0, - 1.0, - 0.5]
 325 (%i16) listarray (b);
 326 (%o16)           [0, - 2.414, - 1.0, - .4142, 0]
 327 (%i17) f(j) := sum (a[k]*cos(2*%pi*j*k/n) + b[k]*sin(2*%pi*j*k/n),
 328                     k, 0, n/2) $
 329 (%i18) makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1);
 330 (%o18)      [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0]
 331 @end example
 332
 333 @opencatbox
 334 @category{Package fft}
 335 @closecatbox
 336 @end deffn
 337
 338 @c -----------------------------------------------------------------------------
 339 @anchor{fortindent}
 340 @defvr {オプション変数} fortindent
 341 デフォルト値: 0
 342
 343 @code{fortindent}は、@code{fortran}コマンドが表示する式の
 344 式の左マージンインデントを制御します。
 345 0は、標準のプリントアウト(すなわち6スペース)を与え、
 346 正の値は、式を更に右に印字するようにします。
 347
 348 @opencatbox
 349 @category{Translation and compilation}
 350 @closecatbox
 351 @end defvr
 352
 353 @c -----------------------------------------------------------------------------
 354 @anchor{fortran}
 355 @deffn {関数} fortran (@var{expr})
 356
 357 Fortran文として@var{expr}を印字します。
 358 出力行は、スペースでインデントされます。
 359 もし行が長過ぎるなら、
 360 @code{fortran}は継続行を印字します。
 361 @code{fortran}は、指数演算子@code{^}を@code{**}として印字し、
 362 複素数@code{a + b %i}を形式@code{(a,b)}で印字します。
 363
 364 @var{expr}は等式も取り、もしそうなら、@code{fortran}は、
 365 等式の右辺を左辺に割り当てる割り当て文を印字します。
 366 特に、もし@var{expr}の右辺が行列名なら、
 367 @code{fortran}は、行列の要素それぞれに対する割り当て文を印字します。
 368
 369 もし@var{expr}が@code{fortran}が認識する何かでないなら、
 370 エラーなしに、式が@code{grind}フォーマットで印字されます。
 371 @code{fortran}は、リスト、配列、関数について知りません。
 372
 373 @code{fortindent}は、@code{fortran}コマンドが表示する式の
 374 式の左マージンインデントを制御します。
 375 0は、標準のプリントアウト(すなわち6スペース)を与え、
 376 正の値は、式を更に右に印字するようにします。
 377
 378 @code{fortspaces}が@code{true}の時、
 379 @code{fortran}は、印字行それぞれを80カラムまでスペースで埋めます。
 380
 381 @code{fortran}は引数を評価します;
 382 引数のクォートは評価を無効にします。
 383 @code{fortran}はいつも@code{done}を返します。
 384
 385 例:
 386
 387 @verbatim
 388 (%i1) expr: (a + b)^12$
 389 (%i2) fortran (expr);
 390       (b+a)**12
 391 (%o2)                         done
 392 (%i3) fortran ('x=expr);
 393       x = (b+a)**12
 394 (%o3)                         done
 395 (%i4) fortran ('x=expand (expr));
 396       x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792
 397      1   *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b
 398      2   **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12
 399 (%o4)                         done
 400 (%i5) fortran ('x=7+5*%i);
 401       x = (7,5)
 402 (%o5)                         done
 403 (%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]);
 404       x = [1,2,3,4]
 405 (%o6)                         done
 406 (%i7) f(x) := x^2$
 407 (%i8) fortran (f);
 408       f
 409 (%o8)                         done
 410 @end verbatim
 411
 412 @opencatbox
 413 @category{Translation and compilation}
 414 @closecatbox
 415 @end deffn
 416
 417 @c -----------------------------------------------------------------------------
 418 @anchor{fortspaces}
 419 @defvr {オプション変数} fortspaces
 420 デフォルト値: @code{false}
 421
 422 @code{fortspaces}が@code{true}の時、
 423 @code{fortran}は、印字行それぞれを80カラムまでスペースで埋めます。
 424
 425 @opencatbox
 426 @category{Translation and compilation}
 427 @closecatbox
 428 @end defvr
 429
 430 @c -----------------------------------------------------------------------------
 431 @anchor{horner}
 432 @deffn  {関数} horner (@var{expr}, @var{x})
 433 @deffnx {関数} horner (@var{expr})
 434
 435 Horner規則に従って、もし指定されないなら@var{x}を主変数として使い、
 436 @var{expr}の再配列された表現を返します。
 437 @code{x}は、@var{expr}の標準有理式形の主変数が使われる場合には、省略できます。
 438
 439 もし@code{expr}が数値的に評価されるものなら、
 440 @code{horner}は、時々、安定性が改善されます。
 441 また、もしMaximaがFortranで走らせるプログラムを生成するのに使われるなら、
 442 役に立ちます。
 443 @code{stringout}も参照してください。
 444
 445 @example
 446 (%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
 447                            2
 448 (%o1)            1.0E-155 x  - 5.5 x + 5.2E+155
 449 (%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
 450 (%o2)            (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
 451 (%i3) ev (expr, x=1e155);
 452 Maxima encountered a Lisp error:
 453
 454  floating point overflow
 455
 456 Automatically continuing.
 457 To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
 458 (%i4) ev (expr2, x=1e155);
 459 (%o4)                       7.0E+154
 460 @end example
 461
 462 @opencatbox
 463 @category{Numerical methods}
 464 @closecatbox
 465 @end deffn
 466
 467 @c -----------------------------------------------------------------------------
 468 @anchor{find_root}
 469 @anchor{bf_find_root}
 470 @anchor{find_root_error}
 471 @anchor{find_root_abs}
 472 @anchor{find_root_rel}
 473 @deffn  {関数} find_root (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 474 @deffnx {関数} find_root (@var{f}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 475 @deffnx {関数} bf_find_root (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 476 @deffnx {関数} bf_find_root (@var{f}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 477 @deffnx {オプション変数} find_root_error
 478 @deffnx {オプション変数} find_root_abs
 479 @deffnx {オプション変数} find_root_rel
 480
 481 式@var{expr}もしくは関数@var{f}の根を、閉区間@math{[@var{a}, @var{b}]}上で見つけます。
 482 式@var{expr}は等式でも問題ありません。
 483 その場合、@code{find_root}は@code{lhs(@var{expr}) - rhs(@var{expr})}の根を探します。
 484
 485 Maximaは@var{expr}もしくは@var{f}を@math{[@var{a}, @var{b}]}上で評価可能であり、
 486 @var{expr}もしくは@var{f}は連続と仮定して、@code{find_root}は根もしくは、
 487 もし複数の根があるなら、根の１つを見つけることを保証します。
 488
 489 @code{find_root}は初め、２分木探索を適用します。
 490 もし対象の関数が十分滑らかなら，@code{find_root}は代わりに線形内挿を適用します。
 491
 492 @code{f_find_root}は@code{find_root}の多倍長浮動小数点版です。
 493 関数は多倍長浮動小数点数値を使って計算され、多倍長浮動小数点の結果が返されます。
 494 そうでなければ、@code{bf_find_root}は@code{find_root}と同一で、以下の記述は@code{bf_find_root}に同様に適用されます。
 495
 496 @code{find_root}の精度は@code{abserr}と@code{relerr}に支配されます。
 497 それらは@code{fine_root}へのオプションのキーワード引数です。
 498 これらのキーワード引数は形式@code{key=val}を取ります。
 499 キーワード引数は
 500 @table @code
 501 @item abserr
 502 根での関数値の望まれる絶対エラー。デフォルトは、@code{find_root_abs}です。
 503 @item relerr
 504 根の望まれる相対エラー。デフォルトは@code{find_root_rel}です。
 505 @end table
 506
 507 懸案の関数が@code{abserr}以下の何かに評価される時、または、
 508 近似値@var{x_0}, @var{x_1}の差が@code{relerr * max(abs(x_0), abs(x_1))}以下になるなら、@code{find_root}は停止します。
 509
 510 @code{find_root_abs}と@code{find_root_rel}のデフォルト値はともに零です。
 511
 512 @code{find_root}は、探索区間の端で対象の関数が異なる符号を持つことを期待します。
 513 関数が両方の終端での数に評価されて、それらの数が同じ符号を持つ時、
 514 @code{find_root}の振る舞いは、@code{find_root_error}に支配されます。
 515 @code{find_root_error}が@code{true}の時、
 516 @code{find_root}はエラーメッセージを出力します。
 517 そうでなければ、@code{find_root}は@code{find_root_error}の値を返します。
 518 @code{find_root_error}のデフォルト値は@code{true}です。
 519
 520 もし@var{f}が探索アルゴリズムの中の任意のステップで、数以外の何かに評価するなら、
 521 @code{find_root}は、部分的に評価された@code{find_root}式を返します。
 522 @var{a}と@var{b}の順序は無視されます;
 523 根が探索される区間は@math{[min(@var{a}, @var{b}), max(@var{a}, @var{b})]}です。
 524
 525 例:
 526 @c PREVIOUS EXAMPLE STUFF -- MAY WANT TO BRING TRANSLATE BACK INTO THE EXAMPLE
 527 @c f(x):=(mode_declare(x,float),sin(x)-x/2.0);
 528 @c interpolate(sin(x)-x/2,x,0.1,%pi)       time= 60 msec
 529 @c interpolate(f(x),x,0.1,%pi);            time= 68 msec
 530 @c translate(f);
 531 @c interpolate(f(x),x,0.1,%pi);            time= 26 msec
 532 @c interpolate(f,0.1,%pi);                 time=  5 msec
 533
 534 @c ===beg===
 535 @c f(x) := sin(x) - x/2;
 536 @c find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
 537 @c find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 538 @c find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
 539 @c find_root (f, 0.1, %pi);
 540 @c find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
 541 @c find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 542 @c log (10.0);
 543 @c fpprec:32;
 544 @c 32;
 545 @c bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 546 @c log(10b0);
 547 @c ===end===
 548 @example
 549 (%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
 550                                         x
 551 (%o1)                  f(x) := sin(x) - -
 552                                         2
 553 (%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
 554 (%o2)                   1.895494267033981
 555 (%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 556 (%o3)                   1.895494267033981
 557 (%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
 558 (%o4)                   1.895494267033981
 559 (%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
 560 (%o5)                   1.895494267033981
 561 (%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
 562                             x
 563 (%o6)           find_root(%e  = y, x, 0.0, 100.0)
 564 (%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 565 (%o7)                   2.302585092994046
 566 (%i8) log (10.0);
 567 (%o8)                   2.302585092994046
 568 (%i9) fpprec:32;
 569 (%o9)                           32
 570 (%i10) bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 571 (%o10)                  2.3025850929940456840179914546844b0
 572 (%i11) log(10b0);
 573 (%o11)                  2.3025850929940456840179914546844b0
 574 @end example
 575
 576 @opencatbox
 577 @category{Algebraic equations}
 578 @category{Numerical methods}
 579 @closecatbox
 580
 581 @end deffn
 582
 583 @c -----------------------------------------------------------------------------
 584 @anchor{newton}
 585 @deffn {関数} newton (@var{expr}, @var{x}, @var{x_0}, @var{eps})
 586
 587 @var{expr}を@var{x}の１変数関数と考えて、
 588 Newton法による、@code{@var{expr} = 0}の近似解を返します。
 589 探索は、@code{@var{x} = @var{x_0}}で始まり、
 590 (@var{x}の現在値で評価された@var{expr}を使った)@code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}が成り立つまで続きます。
 591
 592 終了テスト@code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}が@code{true}または@code{false}に評価される限り、
 593 @code{newton}は、未定義変数が@var{expr}の中に現れることを許します。
 594
 595 このように、
 596 @var{expr}は数に評価される必要はありません。
 597
 598 @code{load(newton1)}はこの関数をロードします。
 599
 600 @code{realroots}, @code{allroots}, @code{find_root}, @code{mnewton}も参照してください。
 601
 602 例:
 603
 604 @c ===beg===
 605 @c load (newton1);
 606 @c newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 607 @c ev (cos (u), u = %);
 608 @c assume (a > 0);
 609 @c newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 610 @c ev (x^2 - a^2, x = %);
 611 @c ===end===
 612 @example
 613 (%i1) load (newton1);
 614 (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
 615 (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 616 (%o2)                   1.570675277161251
 617 (%i3) ev (cos (u), u = %);
 618 (%o3)                 1.2104963335033528E-4
 619 (%i4) assume (a > 0);
 620 (%o4)                        [a > 0]
 621 (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 622 (%o5)                  1.00030487804878 a
 623 (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
 624                                            2
 625 (%o6)                6.098490481853958E-4 a
 626 @end example
 627
 628 @opencatbox
 629 @category{Algebraic equations}
 630 @category{Numerical methods}
 631 @closecatbox
 632 @end deffn
 633
 634 @c -----------------------------------------------------------------------------
 635 @node Introduction to Fourier series, Functions and Variables for Fourier series, Functions and Variables for fast Fourier transform, Numerical
 636 @section Introduction to Fourier series
 637 @c -----------------------------------------------------------------------------
 638
 639 @code{fourie}パッケージは、Fourier級数のシンボル計算のための関数を含みます。
 640
 641 @code{fourie}パッケージの中には
 642 Fourier積分係数を計算する関数や、式の操作のためのいくつかの関数があります。
 643
 644 @opencatbox
 645 @category{Fourier transform}
 646 @category{Share packages}
 647 @category{Package fourie}
 648 @closecatbox
 649
 650 @c -----------------------------------------------------------------------------
 651 @node Functions and Variables for Fourier series, , Introduction to Fourier series, Numerical
 652 @section Functions and Variables for Fourier series
 653 @c -----------------------------------------------------------------------------
 654
 655 @c REPHRASE
 656
 657 @c -----------------------------------------------------------------------------
 658 @anchor{equalp}
 659 @deffn {関数} equalp (@var{x}, @var{y})
 660
 661 もし@code{equal (@var{x}, @var{y})}なら、@code{true}を返し、
 662 そうでないなら、@code{false}を返します。
 663  (この場合、@code{equal (x, y)}がするようなエラーメッセージを与えません。)
 664
 665 @c NEEDS EXAMPLES
 666 @opencatbox
 667 @category{Package fourie}
 668 @closecatbox
 669 @end deffn
 670
 671 @c -----------------------------------------------------------------------------
 672 @anchor{remfun}
 673 @deffn  {関数} remfun (@var{f}, @var{expr})
 674 @deffnx {関数} remfun (@var{f}, @var{expr}, @var{x})
 675
 676 @code{remfun (@var{f}, @var{expr})}は、
 677 @var{expr}の中の@code{@var{f} (@var{arg})}すべてを@var{arg}で置き換えます。
 678
 679 @code{remfun (@var{f}, @var{expr}, @var{x})}は、
 680 @var{expr}の中の@code{@var{f} (@var{arg})}を
 681 @var{arg}が変数@var{x}を含むときだけ
 682 @var{arg}で置き換えます。
 683
 684 @c NEEDS EXAMPLES
 685 @opencatbox
 686 @category{Package fourie}
 687 @closecatbox
 688 @end deffn
 689
 690 @c -----------------------------------------------------------------------------
 691 @anchor{funp}
 692 @deffn  {関数} funp (@var{f}, @var{expr})
 693 @deffnx {関数} funp (@var{f}, @var{expr}, @var{x})
 694
 695 @code{funp (@var{f}, @var{expr})}は、
 696 もし@var{expr}が関数@var{f}を含むなら
 697 @code{true}を返します。
 698
 699 @code{funp (@var{f}, @var{expr}, @var{x})}は、
 700 もし@var{expr}が関数@var{f}を含み、変数
 701 @var{x}が@var{f}のインスタンスの１つの引数のどこかにあるなら、
 702 @code{true}を返します。
 703
 704 @c NEEDS EXAMPLES
 705 @opencatbox
 706 @category{Package fourie}
 707 @closecatbox
 708 @end deffn
 709
 710 @c -----------------------------------------------------------------------------
 711 @anchor{absint}
 712 @deffn  {関数} absint (@var{f}, @var{x}, @var{halfplane})
 713 @deffnx {関数} absint (@var{f}, @var{x})
 714 @deffnx {関数} absint (@var{f}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
 715
 716 @code{absint (@var{f}, @var{x}, @var{halfplane})}は、
 717 与えられた半平面(@code{pos}, @code{neg}, または@code{both})での
 718 @var{f}の@var{x}に関する不定積分を返します。
 719 @var{f}は、形式
 720 @code{abs (x)}, @code{abs (sin (x))}, @code{abs (a) * exp (-abs (b) * abs (x))}
 721 の式を含むことができます。
 722
 723 @code{absint (@var{f}, @var{x})}は@code{absint (@var{f}, @var{x}, pos)}と同値です。
 724
 725 @code{absint (@var{f}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}は、
 726 @var{f}の
 727 @var{x}に関する
 728 @var{a}から@var{b}までの定積分
 729 を返します。
 730
 731 @c SAME LIST AS ABOVE ??
 732 @var{f}は、絶対値を含むことができます。
 733
 734 @c NEEDS EXAMPLES
 735 @opencatbox
 736 @category{Package fourie}
 737 @category{Integral calculus}
 738 @closecatbox
 739 @end deffn
 740
 741 @c NEEDS EXPANSION
 742
 743 @c -----------------------------------------------------------------------------
 744 @anchor{fourier}
 745 @deffn {関数} fourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 746
 747 区間@code{[-p, p]}上で定義された@code{@var{f}(@var{x})}のFourier係数のリストを返します。
 748
 749 @c NEEDS EXAMPLES
 750 @opencatbox
 751 @category{Package fourie}
 752 @closecatbox
 753 @end deffn
 754
 755 @c NEES EXPANSION. WHAT IS THE ARGUMENT l ??
 756
 757 @c -----------------------------------------------------------------------------
 758 @anchor{foursimp}
 759 @deffn {関数} foursimp (@var{l})
 760
 761 もし@code{sinnpiflag}が@code{true}なら、@code{sin (n %pi)}を0に整理します。
 762 もし@code{cosnpiflag}が@code{true}なら、@code{cos (n %pi)}を@code{(-1)^n}に整理します。
 763
 764 @c NEEDS EXAMPLES
 765 @opencatbox
 766 @category{Package fourie}
 767 @category{Trigonometric functions}
 768 @category{Simplification functions}
 769 @closecatbox
 770 @end deffn
 771
 772 @c -----------------------------------------------------------------------------
 773 @anchor{sinnpiflag}
 774 @defvr {オプション変数} sinnpiflag
 775 デフォルト値: @code{true}
 776
 777 @code{foursimp}を参照してください。
 778
 779 @opencatbox
 780 @category{Package fourie}
 781 @closecatbox
 782 @end defvr
 783
 784 @c -----------------------------------------------------------------------------
 785 @anchor{cosnpiflag}
 786 @defvr {オプション変数} cosnpiflag
 787 デフォルト値: @code{true}
 788
 789 @code{foursimp}を参照してください。
 790
 791 @opencatbox
 792 @category{Package fourie}
 793 @closecatbox
 794 @end defvr
 795
 796 @c NEEDS EXPANSION. EXPLAIN x AND p HERE (DO NOT REFER SOMEWHERE ELSE)
 797
 798 @c -----------------------------------------------------------------------------
 799 @anchor{fourexpand}
 800 @deffn {関数} fourexpand (@var{l}, @var{x}, @var{p}, @var{limit})
 801
 802 Fourier係数@var{l}のリストから
 803 @var{limit}項までのFourier級数を構成し、返します。
 804 (@var{limit}は@code{inf}もあり得ます。)
 805 @var{x}と@var{p}は、@code{fourier}におけるものと同じ意味を持ちます。
 806
 807 @c NEEDS EXAMPLES
 808 @opencatbox
 809 @category{Package fourie}
 810 @closecatbox
 811 @end deffn
 812
 813 @c NEEDS EXPANSION
 814
 815 @c -----------------------------------------------------------------------------
 816 @anchor{fourcos}
 817 @deffn {関数} fourcos (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 818
 819 @code{[0, @var{p}]}上で定義された
 820 @code{@var{f}(@var{x})}のFourierコサイン係数を返します。
 821
 822 @c NEEDS EXAMPLES
 823 @opencatbox
 824 @category{Package fourie}
 825 @closecatbox
 826 @end deffn
 827
 828 @c NEEDS EXPANSION
 829
 830 @c -----------------------------------------------------------------------------
 831 @anchor{foursin}
 832 @deffn {関数} foursin (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 833
 834 @code{[0, @var{p}]}上で定義された
 835 @code{@var{f}(@var{x})}のFourierサイン係数を返します。
 836
 837 @c NEEDS EXAMPLES
 838 @opencatbox
 839 @category{Package fourie}
 840 @closecatbox
 841 @end deffn
 842
 843 @c NEEDS EXPANSION
 844
 845 @c -----------------------------------------------------------------------------
 846 @anchor{totalfourier}
 847 @deffn {関数} totalfourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 848
 849 @code{fourexpand (foursimp (fourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})), @var{x}, @var{p}, 'inf)}を返します。
 850
 851 @c NEEDS EXAMPLES
 852 @opencatbox
 853 @category{Package fourie}
 854 @closecatbox
 855 @end deffn
 856
 857 @c NEEDS EXPANSION
 858
 859 @c -----------------------------------------------------------------------------
 860 @anchor{fourint}
 861 @deffn {関数} fourint (@var{f}, @var{x})
 862
 863 @code{[minf, inf]}上で定義された
 864 @code{@var{f}(@var{x})}のFourier積分係数のリストを構成し、返します。
 865
 866 @c NEEDS EXAMPLES
 867 @opencatbox
 868 @category{Package fourie}
 869 @closecatbox
 870 @end deffn
 871
 872 @c NEEDS EXPANSION
 873
 874 @c -----------------------------------------------------------------------------
 875 @anchor{fourintcos}
 876 @deffn {関数} fourintcos (@var{f}, @var{x})
 877 @code{[0, inf]}上の@code{@var{f}(@var{x})}のFourierコサイン積分係数を返します。
 878
 879 @c NEEDS EXAMPLES
 880 @opencatbox
 881 @category{Package fourie}
 882 @closecatbox
 883 @end deffn
 884
 885 @c NEEDS EXPANSION
 886
 887 @c -----------------------------------------------------------------------------
 888 @anchor{forintsin}
 889 @deffn {関数} fourintsin (@var{f}, @var{x})
 890 @code{[0, inf]}上の@code{@var{f}(@var{x})}のFourierサイン積分係数を返します。
 891
 892
 893 @c NEEDS EXAMPLES
 894 @opencatbox
 895 @category{Package fourie}
 896 @closecatbox
 897 @end deffn