doc/info/ja/linearalgebra.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to linearalgebra::
   3 * Functions and Variables for linearalgebra::
   4 @end menu
   5
   6 @c -----------------------------------------------------------------------------
   7 @node Introduction to linearalgebra, Functions and Variables for linearalgebra, linearalgebra, linearalgebra
   8 @section Introduction to linearalgebra
   9 @c -----------------------------------------------------------------------------
  10
  11 @code{linearalgebra}は線形代数に関する関数のコレクションです。
  12
  13 例:
  14
  15 @c ===beg===
  16 @c M : matrix ([1, 2], [1, 2]);
  17 @c nullspace (M);
  18 @c columnspace (M);
  19 @c ptriangularize (M - z*ident(2), z);
  20 @c M : matrix ([1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]) - z*ident(3);
  21 @c MM : ptriangularize (M, z);
  22 @c algebraic : true;
  23 @c tellrat (MM [3, 3]);
  24 @c MM : ratsimp (MM);
  25 @c nullspace (MM);
  26 @c M : matrix ([1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12],
  27 @c                    [13, 14, 15, 16]);
  28 @c columnspace (M);
  29 @c apply ('orthogonal_complement, args (nullspace (transpose (M))));
  30 @c ===end===
  31 @example
  32 (%i1) M : matrix ([1, 2], [1, 2]);
  33                             [ 1  2 ]
  34 (%o1)                       [      ]
  35                             [ 1  2 ]
  36 (%i2) nullspace (M);
  37                                [  1  ]
  38                                [     ]
  39 (%o2)                     span([   1 ])
  40                                [ - - ]
  41                                [   2 ]
  42 (%i3) columnspace (M);
  43                                 [ 1 ]
  44 (%o3)                      span([   ])
  45                                 [ 1 ]
  46 (%i4) ptriangularize (M - z*ident(2), z);
  47                          [ 1   2 - z   ]
  48 (%o4)                    [             ]
  49                          [           2 ]
  50                          [ 0  3 z - z  ]
  51 (%i5) M : matrix ([1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]) - z*ident(3);
  52                      [ 1 - z    2      3   ]
  53                      [                     ]
  54 (%o5)                [   4    5 - z    6   ]
  55                      [                     ]
  56                      [   7      8    9 - z ]
  57 (%i6) MM : ptriangularize (M, z);
  58               [ 4  5 - z            6            ]
  59               [                                  ]
  60               [                2                 ]
  61               [     66        z    102 z   132   ]
  62               [ 0   --      - -- + ----- + ---   ]
  63 (%o6)         [     49        7     49     49    ]
  64               [                                  ]
  65               [               3        2         ]
  66               [           49 z    245 z    147 z ]
  67               [ 0    0    ----- - ------ - ----- ]
  68               [            264      88      44   ]
  69 (%i7) algebraic : true;
  70 (%o7)                         true
  71 (%i8) tellrat (MM [3, 3]);
  72                          3       2
  73 (%o8)                  [z  - 15 z  - 18 z]
  74 (%i9) MM : ratsimp (MM);
  75                [ 4  5 - z           6           ]
  76                [                                ]
  77                [                2               ]
  78 (%o9)          [     66      7 z  - 102 z - 132 ]
  79                [ 0   --    - ------------------ ]
  80                [     49              49         ]
  81                [                                ]
  82                [ 0    0             0           ]
  83 (%i10) nullspace (MM);
  84                         [        1         ]
  85                         [                  ]
  86                         [   2              ]
  87                         [  z  - 14 z - 16  ]
  88                         [  --------------  ]
  89 (%o10)             span([        8         ])
  90                         [                  ]
  91                         [    2             ]
  92                         [   z  - 18 z - 12 ]
  93                         [ - -------------- ]
  94                         [         12       ]
  95 (%i11) M : matrix ([1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12],
  96                    [13, 14, 15, 16]);
  97                        [ 1   2   3   4  ]
  98                        [                ]
  99                        [ 5   6   7   8  ]
 100 (%o11)                 [                ]
 101                        [ 9   10  11  12 ]
 102                        [                ]
 103                        [ 13  14  15  16 ]
 104 (%i12) columnspace (M);
 105                            [ 1  ]  [ 2  ]
 106                            [    ]  [    ]
 107                            [ 5  ]  [ 6  ]
 108 (%o12)                span([    ], [    ])
 109                            [ 9  ]  [ 10 ]
 110                            [    ]  [    ]
 111                            [ 13 ]  [ 14 ]
 112 (%i13) apply ('orthogonal_complement, args (nullspace (transpose (M))));
 113                            [ 0 ]  [  1  ]
 114                            [   ]  [     ]
 115                            [ 1 ]  [  0  ]
 116 (%o13)                span([   ], [     ])
 117                            [ 2 ]  [ - 1 ]
 118                            [   ]  [     ]
 119                            [ 3 ]  [ - 2 ]
 120 @end example
 121
 122 @opencatbox
 123 @category{Linear algebra}
 124 @category{Share packages}
 125 @category{Package linearalgebra}
 126 @closecatbox
 127
 128 @c -----------------------------------------------------------------------------
 129 @need 800
 130 @node Functions and Variables for linearalgebra,  , Introduction to linearalgebra, linearalgebra
 131 @section Functions and Variables for linearalgebra
 132 @c -----------------------------------------------------------------------------
 133
 134 @c -----------------------------------------------------------------------------
 135 @anchor{addmatrices}
 136 @deffn {関数} addmatrices (@var{f}, @var{M_1}, @dots{}, @var{M_n})
 137
 138 @c REWORD -- THE RESULT IS NOT GENERALLY THE SUM OF M_1, ..., M_N
 139 関数@var{f}を加算関数として使い、
 140 行列@var{M_1}, @dots{}, @var{M_n}の和を返します。
 141 関数@var{f}は任意の数の引数を受け付けなければいけません(Maxima n項関数)。
 142
 143 例:
 144
 145 @c ===beg===
 146 @c m1 : matrix([1,2],[3,4])$
 147 @c m2 : matrix([7,8],[9,10])$
 148 @c addmatrices('max,m1,m2);
 149 @c addmatrices('max,m1,m2,5*m1);
 150 @c ===end===
 151 @example
 152 (%i1) m1 : matrix([1,2],[3,4])$
 153 (%i2) m2 : matrix([7,8],[9,10])$
 154 (%i3) addmatrices('max,m1,m2);
 155 (%o3) matrix([7,8],[9,10])
 156 (%i4) addmatrices('max,m1,m2,5*m1);
 157 (%o4) matrix([7,10],[15,20])
 158 @end example
 159
 160 @opencatbox
 161 @category{Package linearalgebra}
 162 @closecatbox
 163 @end deffn
 164
 165 @c -----------------------------------------------------------------------------
 166 @anchor{blockmatrixp}
 167 @deffn {関数} blockmatrixp (@var{M})
 168
 169 @var{M}のエントリがすべて行列なら、その時に限って、
 170 trueを返します。
 171
 172 @opencatbox
 173 @category{Package linearalgebra}
 174 @category{Predicate functions}
 175 @closecatbox
 176 @end deffn
 177
 178 @c -----------------------------------------------------------------------------
 179 @anchor{columnop}
 180 @deffn {関数} columnop (@var{M}, @var{i}, @var{j}, @var{theta})
 181
 182 もし@var{M}が行列なら、
 183 列演算@code{C_i <- C_i - @var{theta} * C_j}を施すことで生じる行列を返します。
 184 もし@var{M}が行@var{i}か行@var{j}を持たないなら
 185 エラーをシグナルします。
 186
 187 @opencatbox
 188 @category{Package linearalgebra}
 189 @closecatbox
 190 @end deffn
 191
 192 @c -----------------------------------------------------------------------------
 193 @anchor{columnswap}
 194 @deffn {関数} columnswap (@var{M}, @var{i}, @var{j})
 195
 196 もし @var{M}が行列なら、列 @var{i}と @var{j}を交換します。
 197 もし @var{M}に列 @var{i}か @var{j}がないなら、
 198 エラーをシグナルします。
 199
 200 @opencatbox
 201 @category{Package linearalgebra}
 202 @closecatbox
 203
 204 @end deffn
 205
 206 @c -----------------------------------------------------------------------------
 207 @anchor{columnspace}
 208 @deffn {関数} columnspace (@var{M})
 209
 210 もし @var{M}が行列なら、
 211 @code{span (v_1, ..., v_n)}を返します。
 212 ここで、集合 @code{@{v_1, ..., v_n@}}は
 213 @var{M}の列空間の基底です。
 214 空集合の包は @code{@{0@}}です。
 215 従って、列空間が1員だけ持つ時、
 216 @code{span ()}を返します。
 217
 218 @opencatbox
 219 @category{Package linearalgebra}
 220 @closecatbox
 221
 222 @end deffn
 223
 224 @c -----------------------------------------------------------------------------
 225 @anchor{copy}
 226 @deffn {関数} copy (@var{e})
 227
 228 Maxima式 @var{e}のコピーを返します。
 229 @var{e}は任意のMaxima式であり得ますが、
 230 @var{e}がリストか行列の時、
 231 コピー関数はもっとも役立ちます;
 232 以下を考えてください:
 233
 234 @c ===beg===
 235 @c m : [1,[2,3]]$
 236 @c mm : m$
 237 @c mm[2][1] : x$
 238 @c m;
 239 @c mm;
 240 @c ===end===
 241 @example
 242 (%i1) m : [1,[2,3]]$
 243 (%i2) mm : m$
 244 (%i3) mm[2][1] : x$
 245 (%i4) m;
 246 (%o4)                      [1,[x,3]]
 247 (%i5) mm;
 248 (%o5)                      [1,[x,3]]
 249 @end example
 250
 251 同じ実験を試みましょう。
 252 しかし、今回 @var{mm}を @var{m}のコピーとします。
 253
 254 @c ===beg===
 255 @c m : [1,[2,3]]$
 256 @c mm : copy(m)$
 257 @c mm[2][1] : x$
 258 @c m;
 259 @c mm;
 260 @c ===end===
 261 @example
 262 (%i6) m : [1,[2,3]]$
 263 (%i7) mm : copy(m)$
 264 (%i8) mm[2][1] : x$
 265 (%i9) m;
 266 (%o9)                     [1,[2,3]]
 267 (%i10) mm;
 268 (%o10)                    [1,[x,3]]
 269 @end example
 270
 271 今回、 @var{mm}への割り当ては@var{m}の値を変えません。
 272
 273 @opencatbox
 274 @category{Package linearalgebra}
 275 @closecatbox
 276 @end deffn
 277
 278 @c -----------------------------------------------------------------------------
 279 @anchor{cholesky}
 280 @deffn  {関数} cholesky (@var{M})
 281 @deffnx {関数} cholesky (@var{M}, @var{field})
 282
 283 自己共役(すなわちHermite)行列のCholesky分解を返します。
 284
 285 二番目の引数はデフォルトでは'generalring'です。
 286 @var{field}の取り得る値の説明については @code{lu_factor}を参照してください。
 287
 288 @opencatbox
 289 @category{Matrix decompositions}
 290 @category{Package linearalgebra}
 291 @closecatbox
 292 @end deffn
 293
 294 @c -----------------------------------------------------------------------------
 295 @anchor{ctranspose}
 296 @deffn {関数} ctranspose (@var{M})
 297
 298 行列 @var{M}の複素共役転置を返します。
 299 関数 @code{ctranspose}は
 300 それぞれの行列要素を転置するのに
 301 @code{matrix_element_transpose}を使います。
 302
 303 @opencatbox
 304 @category{Package linearalgebra}
 305 @closecatbox
 306 @end deffn
 307
 308 @c -----------------------------------------------------------------------------
 309 @anchor{diag_matrix}
 310 @deffn {関数} diag_matrix (@var{d_1}, @var{d_2},...,@var{d_n})
 311
 312 対角成分 @var{d_1}, @var{d_2},...,@var{d_n}を持つ対角行列を返します。
 313 対角成分が行列の時、
 314 戻り値行列の零成分は
 315 適切なサイズの零行列です;
 316 例えば:
 317
 318 @c ===beg===
 319 @c diag_matrix(diag_matrix(1,2),diag_matrix(3,4));
 320 @c diag_matrix(p,q);
 321 @c ===end===
 322 @example
 323 (%i1) diag_matrix(diag_matrix(1,2),diag_matrix(3,4));
 324
 325                             [ [ 1  0 ]  [ 0  0 ] ]
 326                             [ [      ]  [      ] ]
 327                             [ [ 0  2 ]  [ 0  0 ] ]
 328 (%o1)                       [                    ]
 329                             [ [ 0  0 ]  [ 3  0 ] ]
 330                             [ [      ]  [      ] ]
 331                             [ [ 0  0 ]  [ 0  4 ] ]
 332 (%i2) diag_matrix(p,q);
 333
 334                                    [ p  0 ]
 335 (%o2)                              [      ]
 336                                    [ 0  q ]
 337 @end example
 338
 339 @opencatbox
 340 @category{Package linearalgebra}
 341 @closecatbox
 342 @end deffn
 343
 344 @c -----------------------------------------------------------------------------
 345 @anchor{dotproduct}
 346 @deffn {関数} dotproduct (@var{u}, @var{v})
 347
 348 ベクトル @var{u}と @var{v}の内積を返します。
 349 これは@code{conjugate (transpose (@var{u})) . @var{v}}と同じです。
 350 引数 @var{u}と @var{v}は列ベクトルでなければいけません。
 351
 352 @opencatbox
 353 @category{Package linearalgebra}
 354 @closecatbox
 355 @end deffn
 356
 357 @c -----------------------------------------------------------------------------
 358 @anchor{eigens_by_jacobi}
 359 @deffn  {関数} eigens_by_jacobi (@var{A})
 360 @deffnx {関数} eigens_by_jacobi (@var{A}, @var{field_type})
 361
 362 @var{A}の固有値と固有ベクトルを
 363 Jacobi回転法で計算します。
 364 @var{A}は対称行列でなければいけません。
 365 (しかし、正定値である必要も半正定値である必要もありません。)
 366 @var{field_type}は計算上の体を示し、@code{floatfield}か @code{bigfloatfield}です。
 367 もし @var{field_type}が指定されないなら、
 368 デフォルトは @code{floatfield}です。
 369
 370 @var{A}の要素は、数か、
 371 (@var{field_type}に依存して)@code{float}か @code{bfloat}を介して
 372 数に評価される式でなければいけません。
 373
 374 例:
 375
 376 @c ===beg===
 377 @c S : matrix ([1/sqrt(2), 1/sqrt(2)], [- 1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]);
 378 @c L : matrix ([sqrt(3), 0], [0, sqrt(5)]);
 379 @c M : S . L . transpose (S);
 380 @c eigens_by_jacobi (M);
 381 @c float ([[sqrt(3), sqrt(5)], S]);
 382 @c eigens_by_jacobi (M, bigfloatfield);
 383 @c ===end===
 384
 385 @example
 386 (%i1) S: matrix([1/sqrt(2), 1/sqrt(2)],[-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]);
 387                      [     1         1    ]
 388                      [  -------   ------- ]
 389                      [  sqrt(2)   sqrt(2) ]
 390 (%o1)                [                    ]
 391                      [      1        1    ]
 392                      [ - -------  ------- ]
 393                      [   sqrt(2)  sqrt(2) ]
 394 (%i2) L : matrix ([sqrt(3), 0], [0, sqrt(5)]);
 395                       [ sqrt(3)     0    ]
 396 (%o2)                 [                  ]
 397                       [    0     sqrt(5) ]
 398 (%i3) M : S . L . transpose (S);
 399             [ sqrt(5)   sqrt(3)  sqrt(5)   sqrt(3) ]
 400             [ ------- + -------  ------- - ------- ]
 401             [    2         2        2         2    ]
 402 (%o3)       [                                      ]
 403             [ sqrt(5)   sqrt(3)  sqrt(5)   sqrt(3) ]
 404             [ ------- - -------  ------- + ------- ]
 405             [    2         2        2         2    ]
 406 (%i4) eigens_by_jacobi (M);
 407 The largest percent change was 0.1454972243679
 408 The largest percent change was 0.0
 409 number of sweeps: 2
 410 number of rotations: 1
 411 (%o4) [[1.732050807568877, 2.23606797749979],
 412                         [  0.70710678118655   0.70710678118655 ]
 413                         [                                      ]]
 414                         [ - 0.70710678118655  0.70710678118655 ]
 415 (%i5) float ([[sqrt(3), sqrt(5)], S]);
 416 (%o5) [[1.732050807568877, 2.23606797749979],
 417                         [  0.70710678118655   0.70710678118655 ]
 418                         [                                      ]]
 419                         [ - 0.70710678118655  0.70710678118655 ]
 420 (%i6) eigens_by_jacobi (M, bigfloatfield);
 421 The largest percent change was 1.454972243679028b-1
 422 The largest percent change was 0.0b0
 423 number of sweeps: 2
 424 number of rotations: 1
 425 (%o6) [[1.732050807568877b0, 2.23606797749979b0],
 426                 [  7.071067811865475b-1   7.071067811865475b-1 ]
 427                 [                                              ]]
 428                 [ - 7.071067811865475b-1  7.071067811865475b-1 ]
 429 @end example
 430
 431 @opencatbox
 432 @category{Matrix decompositions}
 433 @category{Package linearalgebra}
 434 @closecatbox
 435 @end deffn
 436
 437 @c -----------------------------------------------------------------------------
 438 @anchor{get_lu_factors}
 439 @deffn {関数} get_lu_factors (@var{x})
 440
 441 @code{@var{x} = lu_factor (@var{A})}の時、
 442 @code{get_lu_factors}は
 443 形式 @code{[P, L, U]}のリストを返します。
 444 ここで、 @var{P}は置換行列、 @var{L}は対角成分を含む下三角行列、
 445 @var{U}は上三角行列であり、
 446  @code{@var{A} = @var{P} @var{L} @var{U}}が成り立ちます。
 447
 448 @opencatbox
 449 @category{Package linearalgebra}
 450 @closecatbox
 451 @end deffn
 452
 453 @c -----------------------------------------------------------------------------
 454 @anchor{hankel}
 455 @deffn  {関数} hankel (@var{col})
 456 @deffnx {関数} hankel (@var{col}, @var{row})
 457
 458 Hankel行列 @var{H}を返します。
 459 @var{H}の最初の列は @var{col}です;
 460 最初の成分を除いて、
 461 @var{H}の最後の行は @var{row}です。
 462 @var{row}のデフォルトは @var{col}と同じ長さを持つ零ベクトルです。
 463
 464 @opencatbox
 465 @category{Package linearalgebra}
 466 @closecatbox
 467 @end deffn
 468
 469 @c -----------------------------------------------------------------------------
 470 @anchor{hessian}
 471 @deffn {関数} hessian (@var{f}, @var{x})
 472
 473 変数 @var{x}のリストに関する @var{f}のHessian行列を返します。
 474 Hessian行列の @code{(i, j)}成分は
 475 @code{diff(@var{f}, @var{x}[i], 1, @var{x}[j], 1)}です。
 476
 477 例:
 478
 479 @c ===beg===
 480 @c hessian (x * sin (y), [x, y]);
 481 @c depends (F, [a, b]);
 482 @c hessian (F, [a, b]);
 483 @c ===end===
 484 @example
 485 (%i1) hessian (x * sin (y), [x, y]);
 486                      [   0       cos(y)   ]
 487 (%o1)                [                    ]
 488                      [ cos(y)  - x sin(y) ]
 489 (%i2) depends (F, [a, b]);
 490 (%o2)                       [F(a, b)]
 491 (%i3) hessian (F, [a, b]);
 492                         [   2      2   ]
 493                         [  d F    d F  ]
 494                         [  ---   ----- ]
 495                         [    2   da db ]
 496                         [  da          ]
 497 (%o3)                   [              ]
 498                         [   2      2   ]
 499                         [  d F    d F  ]
 500                         [ -----   ---  ]
 501                         [ da db     2  ]
 502                         [         db   ]
 503 @end example
 504
 505 @opencatbox
 506 @category{Differential calculus}
 507 @category{Package linearalgebra}
 508 @closecatbox
 509 @end deffn
 510
 511 @c -----------------------------------------------------------------------------
 512 @anchor{hilbert_matrix}
 513 @deffn {関数} hilbert_matrix (@var{n})
 514
 515 @var{n}掛け@var{n}のHilbert行列を返します。
 516 @var{n}が正の整数でない時、エラーをシグナルします。
 517
 518 @opencatbox
 519 @category{Package linearalgebra}
 520 @closecatbox
 521 @end deffn
 522
 523 @c -----------------------------------------------------------------------------
 524 @anchor{identfor}
 525 @deffn {関数} identfor (@var{M})
 526 @deffnx {関数} identfor (@var{M}, @var{fld})
 527
 528 行列 @var{M}と同じ形を持つ単位行列を返します。
 529 単位行列の対角成分は体 @var{fld}の乗算単位元です;
 530 @var{fld}のデフォルトは @var{generalring}です。
 531
 532 一番目の引数 @var{M}は平方行列か非行列でなければいけません。
 533 @var{M}が行列の時、 @var{M}のそれぞれの成分は平方行列であり得ます。
 534 -- 従って、 @var{M}は区分されたMaxima行列であり得ます。
 535 行列は、任意の(有限の)深さに区分できます。
 536
 537 @code{zerofor}も参照してください。
 538
 539 @opencatbox
 540 @category{Package linearalgebra}
 541 @closecatbox
 542 @end deffn
 543
 544 @c -----------------------------------------------------------------------------
 545 @anchor{invert_by_lu}
 546 @deffn {関数} invert_by_lu (@var{M}, @var{(rng generalring)})
 547
 548 LU分解を使って、
 549 行列 @var{M}の逆行列を返します。
 550 LU分解は環 @var{rng}を使って実行されます。
 551
 552
 553 @opencatbox
 554 @category{Package linearalgebra}
 555 @closecatbox
 556 @end deffn
 557
 558 @c -----------------------------------------------------------------------------
 559 @anchor{jacobian}
 560 @deffn {関数} jacobian (@var{f}, @var{x})
 561
 562 変数のリスト @var{x}に関する
 563 関数のリスト @var{f}のJacobi行列を返します。
 564 Jacobi行列の @code{(i, j)}成分は
 565 @code{diff(@var{f}[i], @var{x}[j])}です。
 566
 567 例:
 568
 569 @c ===beg===
 570 @c jacobian ([sin (u - v), sin (u * v)], [u, v]);
 571 @c depends ([F, G], [y, z]);
 572 @c jacobian ([F, G], [y, z]);
 573 @c ===end===
 574 @example
 575 (%i1) jacobian ([sin (u - v), sin (u * v)], [u, v]);
 576                   [ cos(v - u)  - cos(v - u) ]
 577 (%o1)             [                          ]
 578                   [ v cos(u v)   u cos(u v)  ]
 579 (%i2) depends ([F, G], [y, z]);
 580 (%o2)                  [F(y, z), G(y, z)]
 581 (%i3) jacobian ([F, G], [y, z]);
 582                            [ dF  dF ]
 583                            [ --  -- ]
 584                            [ dy  dz ]
 585 (%o3)                      [        ]
 586                            [ dG  dG ]
 587                            [ --  -- ]
 588                            [ dy  dz ]
 589 @end example
 590
 591 @opencatbox
 592 @category{Differential calculus}
 593 @category{Package linearalgebra}
 594 @closecatbox
 595 @end deffn
 596
 597 @c -----------------------------------------------------------------------------
 598 @anchor{kronecker_product}
 599 @deffn {関数} kronecker_product (@var{A}, @var{B})
 600
 601 行列 @var{A}と @var{B}のKronecker積を返します。
 602
 603 @opencatbox
 604 @category{Package linearalgebra}
 605 @closecatbox
 606 @end deffn
 607
 608 @c -----------------------------------------------------------------------------
 609 @anchor{listp}
 610 @deffn  {関数} listp (@var{e}, @var{p})
 611 @deffnx {関数} listp (@var{e})
 612
 613 オプションの引数 @var{p}が与えられたとして、
 614 もし @var{e}がMaximaリストで、 @var{p}がすべてのリストの要素で
 615 @code{true}に評価されるなら、 @code{true}を返します。
 616 @code{listp}がオプションの引数を与えられない時、
 617 もし @var{e}がMaximaリストなら、 @code{true}を返します。
 618 他のすべての場合、 @code{false}を返します。
 619
 620 @opencatbox
 621 @category{Package linearalgebra}
 622 @category{Predicate functions}
 623 @closecatbox
 624 @end deffn
 625
 626 @c -----------------------------------------------------------------------------
 627 @anchor{locate_matrix_entry}
 628 @deffn {関数} locate_matrix_entry (@var{M}, @var{r_1}, @var{c_1}, @var{r_2}, @var{c_2}, @var{f}, @var{rel})
 629
 630 一番目の引数は行列でなければいけません;
 631 引数 @var{r_1}から @var{c_2}は
 632 行 @var{r_1}から @var{r_2}と列 @var{c_1}から @var{c_2}から成る
 633 @var{M}の部分行列を決定します。
 634
 635 ある性質を満たす部分行列 @var{M}の中の成分を見つけます。
 636 3つのケース:
 637
 638 (1) @code{@var{rel} = 'bool}で @var{f}が述語論理:
 639
 640 左から右へ、そして上から下へ部分行列をスキャンし、
 641 述語論理 @var{f}を満たす最初の成分のインデックスを返します。
 642 もし @var{f}を満たす行列成分がないなら、 @code{false}を返します。
 643
 644 (2) @code{@var{rel} = 'max}で @var{f}が実関数:
 645
 646 @var{f}を最大にする成分を探して部分行列をスキャンします。
 647 最大化の成分のインデックスを返します。
 648
 649 (3) @code{@var{rel} = 'min}で @var{f}が実関数:
 650
 651 @var{f}を最小にする成分を探して部分行列をスキャンします。
 652 最小化の成分のインデックスを返します。
 653
 654 @opencatbox
 655 @category{Package linearalgebra}
 656 @closecatbox
 657
 658 @end deffn
 659
 660 @deffn {関数} lu_backsub (@var{M}, @var{b})
 661
 662 @code{@var{M} = lu_factor (@var{A}, @var{field})}の時、
 663 @code{lu_backsub (@var{M}, @var{b})}は
 664 線形系 @code{@var{A} @var{x} = @var{b}}を解きます。
 665
 666 @opencatbox
 667 @category{Package linearalgebra}
 668 @closecatbox
 669 @end deffn
 670
 671 @c -----------------------------------------------------------------------------
 672 @anchor{lu_factor}
 673 @deffn {関数} lu_factor (@var{M}, @var{field})
 674
 675 形式 @code{[@var{LU}, @var{perm}, @var{fld}]}か
 676 @code{[@var{LU}, @var{perm}, @var{fld}, @var{lower-cnd} @var{upper-cnd}]}
 677 のリストを返します。
 678 ここで、
 679
 680   (1) 行列 @var{LU}は@var{M}の分解をパックされた形式で含みます。
 681 パックされた形式は3つのことを意味します;
 682 第一に @var{LU}の行はリスト @var{perm}に従って置換されます。
 683 もし、例えば、 @var{perm}がリスト @code{[3,2,1]}なら、
 684 @var{LU}分解の実際の一番目の行は行列 @var{LU}の三番目の行です。
 685 第二に、mの下三角因子はすべて1で置き換えられた対角成分を持つ @var{LU}の下三角部です。
 686 第三に、 @var{M}の上三角因子は @var{LU}の上三角部です。
 687
 688   (2) 体が @code{floatfield}か @code{complexfield}の時、
 689 数 @var{lower-cnd}と @var{upper-cnd}は
 690 @var{M}の無限ノルム条件数の下限と上限です。
 691 すべての体に対して条件数を見積ることができるわけではありません;
 692 そんな体に対しては @code{lu_factor}は2項目リストを返します。
 693 下限と上限どちらも真の値から任意に大きな因子だけ異なる可能性があります。
 694 (@code{mat_cond}も参照してください。)
 695
 696 引数 @var{M}は平方行列でなければいけません。
 697
 698 オプション引数 @var{fld}は環か体かを決めるシンボルでなければいけません。
 699 予め定義された体と環は以下のものがあります:
 700
 701     (a) @code{generalring} -- Maxima式の環,
 702     (b) @code{floatfield} --  倍精度浮動小数点数体,
 703     (c) @code{complexfield} --  倍精度浮動小数点複素数体,
 704     (d) @code{crering}  -- Maxima CRE式の環,
 705     (e) @code{rationalfield} -- 有理数体,
 706     (f) @code{runningerror} -- 浮動小数点の丸め誤差をトラック,
 707     (g) @code{noncommutingring} -- 乗算が非可換ドット演算子のMaxima式の環
 708
 709 体が @code{floatfield}か @code{complexfield}、@code{runningerror}のいずれかの時、
 710 アルゴリズムは部分ピボットを使います;
 711 他のすべての体に対しては、
 712 零ピボットを避ける必要があるときだけ、行がスイッチされます。
 713
 714 浮動小数点加算算術は結合的でなく、
 715 '体'の意味は数学的定義と異なります。
 716
 717 体 @code{runningerror}の要素は
 718 形式 @code{[x,n]}の2つの要素のMaximaリストです。
 719 ここで、 @var{x}は浮動小数点数で、
 720 @code{n}は整数です。
 721  @code{x}の'真'の値と @code{x}の相対差は
 722 計算機イプシロンに @code{n}をかけたもので近似的に抑えられます。
 723 The running error bound drops some terms that of the order the square of the machine epsilon.
 724
 725 新しい体を定義するユーザーインターフェースはありません。
 726 Common Lispに精通しているユーザーは新しい体を定義することができるはずです。
 727 これをするには、ユーザーは算術演算のための関数と
 728 体表現とMaximaの相互変換のための関数を定義しなければいけません。
 729 さらに、(部分ピボットが使われる)順序体に関しては、
 730 ユーザーは大きさの関数と体の元の比較関数を定義しなければいけません。
 731 あとは、Common Lisp 構造体 @code{mring}を定義することだけです。
 732 ファイル @code{mring}に多くの例があります。
 733
 734 分解を計算するために、
 735 最初の仕事は
 736 行列成分それぞれを指定された体の元に変換することです。
 737 変換が不可能な時は、分解はエラーメッセージとともに停止します。
 738 体の元はMaxima式である必要はありません。
 739 例えば、@code{complexfield}の元はCommon Lisp複素数です。
 740 そして、分解を計算した後には、行列成分はMaxima式に変換されなければいけません。
 741
 742 @code{get_lu_factors}も参照してください。
 743
 744 例:
 745
 746 @c ===beg===
 747 @c w[i,j] := random (1.0) + %i * random (1.0);
 748 @c showtime : true$
 749 @c M : genmatrix (w, 100, 100)$
 750 @c lu_factor (M, complexfield)$
 751 @c lu_factor (M, generalring)$
 752 @c showtime : false$
 753 @c M : matrix ([1 - z, 3], [3, 8 - z]);
 754 @c lu_factor (M, generalring);
 755 @c get_lu_factors (%);
 756 @c %[1] . %[2] . %[3];
 757 @c ===end===
 758 @example
 759 (%i1) w[i,j] := random (1.0) + %i * random (1.0);
 760 (%o1)          w     := random(1.) + %i random(1.)
 761                 i, j
 762 (%i2) showtime : true$
 763 Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed)
 764 (%i3) M : genmatrix (w, 100, 100)$
 765 Evaluation took 7.40 seconds (8.23 elapsed)
 766 (%i4) lu_factor (M, complexfield)$
 767 Evaluation took 28.71 seconds (35.00 elapsed)
 768 (%i5) lu_factor (M, generalring)$
 769 Evaluation took 109.24 seconds (152.10 elapsed)
 770 (%i6) showtime : false$
 771
 772 (%i7) M : matrix ([1 - z, 3], [3, 8 - z]);
 773                         [ 1 - z    3   ]
 774 (%o7)                   [              ]
 775                         [   3    8 - z ]
 776 (%i8) lu_factor (M, generalring);
 777           [ 1 - z         3        ]
 778           [                        ]
 779 (%o8)    [[   3            9       ], [1, 2], generalring]
 780           [ -----  - z - ----- + 8 ]
 781           [ 1 - z        1 - z     ]
 782 (%i9) get_lu_factors (%);
 783                   [   1    0 ]  [ 1 - z         3        ]
 784         [ 1  0 ]  [          ]  [                        ]
 785 (%o9)  [[      ], [   3      ], [                9       ]]
 786         [ 0  1 ]  [ -----  1 ]  [   0    - z - ----- + 8 ]
 787                   [ 1 - z    ]  [              1 - z     ]
 788 (%i10) %[1] . %[2] . %[3];
 789                         [ 1 - z    3   ]
 790 (%o10)                  [              ]
 791                         [   3    8 - z ]
 792 @end example
 793
 794 @opencatbox
 795 @category{Matrix decompositions}
 796 @category{Package linearalgebra}
 797 @closecatbox
 798 @end deffn
 799
 800 @c -----------------------------------------------------------------------------
 801 @anchor{mat_cond}
 802 @deffn  {関数} mat_cond (@var{M}, 1)
 803 @deffnx {関数} mat_cond (@var{M}, inf)
 804
 805 行列 @var{m}の@var{p}-ノルムの行列条件数を返します。
 806 @var{p}に許される値は1と @var{inf}です。
 807 この関数は、行列 @var{m}の逆元を計算するのにLU分解を使います。
 808 このため、@code{mat_cond}の実行時間は行列サイズの三乗に比例します;
 809 @code{lu_factor}は、
 810 行列サイズの二乗に比例する時間内に
 811 無限大ノルム条件数の下限と上限を決定します。
 812
 813 @opencatbox
 814 @category{Package linearalgebra}
 815 @closecatbox
 816 @end deffn
 817
 818 @c -----------------------------------------------------------------------------
 819 @anchor{mat_norm}
 820 @deffn  {関数} mat_norm (@var{M}, 1)
 821 @deffnx {関数} mat_norm (@var{M}, inf)
 822 @deffnx {関数} mat_norm (@var{M}, frobenius)
 823
 824 行列 @var{M}の行列 @var{p}-ノルムを返します。
 825 .  The allowed values for
 826 @var{p}に許される値は1か @code{inf}か @code{frobenius} (Frobenius行列ノルム)です。
 827 行列 @var{M}は区分されない行列でなければいけません。
 828
 829 @opencatbox
 830 @category{Package linearalgebra}
 831 @closecatbox
 832 @end deffn
 833
 834 @c -----------------------------------------------------------------------------
 835 @anchor{linearalgebra_matrixp}
 836 @deffn {関数} matrixp (@var{e}, @var{p})
 837 @deffnx {関数} matrixp (@var{e})
 838
 839 オプション引数 @var{p}が与えられたとして、
 840 もし @var{e}が行列で、 @var{p}が行列成分すべてに対して
 841 @code{true}に評価されるなら、
 842 @code{true}を返します。
 843 @code{matrixp}がオプション引数を与えられない時は、
 844 もし @code{e}が行列なら、
 845 @code{true}を返します。
 846 他のすべての場合には、 @code{false}を返します。
 847
 848 @code{blockmatrixp}も参照してください。
 849
 850 @opencatbox
 851 @category{Package linearalgebra}
 852 @category{Predicate functions}
 853 @closecatbox
 854 @end deffn
 855
 856 @c -----------------------------------------------------------------------------
 857 @anchor{matrix_size}
 858 @deffn {関数} matrix_size (@var{M})
 859
 860 行列 @var{M}の行数と列数をそれぞれ与える2要素リストを返します。
 861
 862 @opencatbox
 863 @category{Package linearalgebra}
 864 @closecatbox
 865 @end deffn
 866
 867 @c -----------------------------------------------------------------------------
 868 @anchor{mat_fullunblocker}
 869 @deffn {関数} mat_fullunblocker (@var{M})
 870
 871 もし @var{M}が区分行列なら、
 872 行列をすべてのレベルで区分解除します。
 873 もし @var{M}が行列なら、
 874 @var{M}を返します; それ以外ではエラーをシグナルします。
 875
 876 @opencatbox
 877 @category{Package linearalgebra}
 878 @closecatbox
 879
 880 @end deffn
 881
 882 @c -----------------------------------------------------------------------------
 883 @anchor{mat_trace}
 884 @deffn {関数} mat_trace (@var{M})
 885
 886 行列 @var{M}の跡を返します。
 887 もし @var{M}が行列でないなら、名詞形を返します。
 888 @var{M}が区分行列の時、
 889 @code{mat_trace(M)}は
 890 @code{mat_trace(mat_unblocker(m))}するのと同じ値を返します。
 891
 892 @opencatbox
 893 @category{Package linearalgebra}
 894 @closecatbox
 895 @end deffn
 896
 897 @c -----------------------------------------------------------------------------
 898 @anchor{mat_unblocker}
 899 @deffn {関数} mat_unblocker (@var{M})
 900
 901 もし @var{M}が区分行列なら、
 902 @var{M}を1レベル区分解除します。
 903 もし @var{M}が行列なら、
 904 @code{mat_unblocker (M)}は @var{M}を返します;
 905 それ以外ではエラーをシグナルします。
 906
 907 このように、
 908 もし @var{M}の成分それぞれが行列なら、
 909 @code{mat_unblocker (M)}は区分されていない行列を返しますが、
 910 もし @var{M}の成分それぞれが区分行列なら、
 911 @code{mat_unblocker (M)}は
 912 区分が1レベル少ない区分行列を返します。
 913
 914 もし区分行列を使うなら、
 915 おそらく、
 916 @code{matrix_element_mult}を @code{"."}に、
 917 @code{matrix_element_transpose}を @code{'transpose}に設定したくなるでしょう。
 918 @code{mat_fullunblocker}も参照してください。
 919
 920 例:
 921
 922 @c ===beg===
 923 @c A : matrix ([1, 2], [3, 4]);
 924 @c B : matrix ([7, 8], [9, 10]);
 925 @c matrix ([A, B]);
 926 @c mat_unblocker (%);
 927 @c ===end===
 928 @example
 929 (%i1) A : matrix ([1, 2], [3, 4]);
 930                             [ 1  2 ]
 931 (%o1)                       [      ]
 932                             [ 3  4 ]
 933 (%i2) B : matrix ([7, 8], [9, 10]);
 934                             [ 7  8  ]
 935 (%o2)                       [       ]
 936                             [ 9  10 ]
 937 (%i3) matrix ([A, B]);
 938 @group
 939                      [ [ 1  2 ]  [ 7  8  ] ]
 940 (%o3)                [ [      ]  [       ] ]
 941                      [ [ 3  4 ]  [ 9  10 ] ]
 942 @end group
 943 (%i4) mat_unblocker (%);
 944                          [ 1  2  7  8  ]
 945 (%o4)                    [             ]
 946                          [ 3  4  9  10 ]
 947 @end example
 948
 949 @opencatbox
 950 @category{Package linearalgebra}
 951 @closecatbox
 952 @end deffn
 953
 954 @c -----------------------------------------------------------------------------
 955 @anchor{nullspace}
 956 @deffn {関数} nullspace (@var{M})
 957
 958 もし @var{M}が行列なら、
 959 @code{span (v_1, ..., v_n)}を返します。
 960 ここで、, where the set
 961 集合 @code{@{v_1, ..., v_n@}}は
 962 @var{M}の零空間の基底です。
 963 空集合のスパンは @code{@{0@}}です。
 964 なので、零空間が要素を1つだけ持つときは、@code{span ()}を返します。
 965
 966 @opencatbox
 967 @category{Package linearalgebra}
 968 @closecatbox
 969 @end deffn
 970
 971 @c -----------------------------------------------------------------------------
 972 @anchor{nullity}
 973 @deffn {関数} nullity (@var{M})
 974
 975 もし @var{M}が行列なら、
 976 @var{M}の零空間の次元を返します。
 977
 978 @opencatbox
 979 @category{Package linearalgebra}
 980 @closecatbox
 981 @end deffn
 982
 983 @c -----------------------------------------------------------------------------
 984 @anchor{orthogonal_complement}
 985 @deffn {関数} orthogonal_complement (@var{v_1}, ..., @var{v_n})
 986
 987 @code{span (u_1, ..., u_m)}を返します。
 988 ここで、, where the se
 989 集合 @code{@{u_1, ..., u_m@}}は
 990 集合 @code{(v_1, ..., v_n)}の直交補空間の基底です。
 991
 992 ベクトル @var{v_1}から @var{v_n}それぞれは列ベクトルでなければいけません。
 993
 994 @opencatbox
 995 @category{Package linearalgebra}
 996 @closecatbox
 997 @end deffn
 998
 999 @c -----------------------------------------------------------------------------
1000 @anchor{polynomialp}
1001 @deffn  {関数} polynomialp (@var{p}, @var{L}, @var{coeffp}, @var{exponp})
1002 @deffnx {関数} polynomialp (@var{p}, @var{L}, @var{coeffp})
1003 @deffnx {関数} polynomialp (@var{p}, @var{L})
1004
1005 もし @var{p}がリスト @var{L}の中の変数に関して多項式なら、
1006 @code{true}を返します。
1007 述語論理 @var{coeffp}は係数それぞれに対して @code{true}に評価されなければいけなく、
1008 述語論理 @var{exponp}は
1009 @var{L}の中の変数の指数すべてに対して @code{true}に評価されなければいけません。
1010 もし
1011 @var{exponp}に対してデフォルトでない値を使いたいなら、
1012 たとえ@var{coeffp}に関してデフォルトを使いたくても
1013 @var{coeffp}を値とともに供給しなければいけません。
1014
1015 @c WORK THE FOLLOWING INTO THE PRECEDING
1016 @code{polynomialp (@var{p}, @var{L}, @var{coeffp})}は
1017 @code{polynomialp (@var{p}, @var{L}, @var{coeffp}, 'nonnegintegerp)}に同値です。
1018
1019 @code{polynomialp (@var{p}, @var{L})}は
1020 @code{polynomialp (@var{p}, L@var{,} 'constantp, 'nonnegintegerp)}に同値です。
1021
1022 多項式は展開される必要はありません:
1023
1024 @c ===beg===
1025 @c polynomialp ((x + 1)*(x + 2), [x]);
1026 @c polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^a, [x]);
1027 @c ===end===
1028 @example
1029 (%i1) polynomialp ((x + 1)*(x + 2), [x]);
1030 (%o1)                         true
1031 (%i2) polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^a, [x]);
1032 (%o2)                         false
1033 @end example
1034
1035 coeffpとexponpにデフォルトでない値を使う例:
1036
1037 @c ===beg===
1038 @c polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^(3/2), [x], numberp, numberp);
1039 @c polynomialp ((x^(1/2) + 1)*(x + 2)^(3/2), [x], numberp,
1040 @c                                                        numberp);
1041 @c ===end===
1042 @example
1043 (%i1) polynomialp ((x + 1)*(x + 2)^(3/2), [x], numberp, numberp);
1044 (%o1)                         true
1045 (%i2) polynomialp ((x^(1/2) + 1)*(x + 2)^(3/2), [x], numberp,
1046                                                         numberp);
1047 (%o2)                         true
1048 @end example
1049
1050 2変数多項式:
1051
1052 @c ===beg===
1053 @c polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x]);
1054 @c polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x, y]);
1055 @c ===end===
1056 @example
1057 (%i1) polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x]);
1058 (%o1)                         false
1059 (%i2) polynomialp (x^2 + 5*x*y + y^2, [x, y]);
1060 (%o2)                         true
1061 @end example
1062
1063 @opencatbox
1064 @category{Package linearalgebra}
1065 @category{Predicate functions}
1066 @closecatbox
1067 @end deffn
1068
1069 @c -----------------------------------------------------------------------------
1070 @anchor{polytocompanion}
1071 @deffn {関数} polytocompanion (@var{p}, @var{x})
1072
1073 もし @var{p}が
1074 @var{x}の多項式なら、
1075 @var{p}のコンパニオン行列を返します。
1076 次数 @var{n}のモニック多項式(最高次数の係数が1の多項式)に対しては、
1077 @code{@var{p} = (-1)^@var{n} charpoly (polytocompanion (@var{p}, @var{x}))}.
1078 があります。
1079
1080 @var{p}が @var{x}の多項式でないなら、エラーをシグナルします。
1081
1082 @opencatbox
1083 @category{Package linearalgebra}
1084 @closecatbox
1085 @end deffn
1086
1087 @c -----------------------------------------------------------------------------
1088 @anchor{ptringularize}
1089 @deffn {関数} ptriangularize (@var{M}, @var{v})
1090
1091 もし @var{M}がそれぞれの成分が@var{v}の多項式の行列なら、
1092 以下のような行列 @var{M2}を返します。
1093
1094 (1) @var{M2}は上三角で、
1095
1096 (2) @code{@var{M2} = @var{E_n} ... @var{E_1} @var{M}},
1097 ここで、 @var{E_1}から @var{E_n}は成分が@var{v}の多項式の基本行列です。
1098
1099 (3) @code{|det (@var{M})| = |det (@var{M2})|},
1100
1101 注意: この関数はすべての成分が@var{v}の多項式かチェックしません。
1102
1103 @opencatbox
1104 @category{Package linearalgebra}
1105 @closecatbox
1106 @end deffn
1107
1108 @c -----------------------------------------------------------------------------
1109 @anchor{rowp}
1110 @deffn {関数} rowop (@var{M}, @var{i}, @var{j}, @var{theta})
1111
1112 もし @var{M}が行列なら、
1113 行演算 @code{R_i <- R_i - theta * R_j}をすることで生じる
1114 行列を返します。
1115 もし @var{M}に行@var{i}か @var{j}がないなら、
1116 エラーをシグナルします。
1117
1118 @opencatbox
1119 @category{Package linearalgebra}
1120 @closecatbox
1121 @end deffn
1122
1123 @deffn {関数} rank (@var{M})
1124
1125 行列 @var{M}の階数を返します。
1126 階数は列空間の次元です。
1127
1128 例:
1129 @c ===beg===
1130 @c rank(matrix([1,2],[2,4]));
1131 @c rank(matrix([1,b],[c,d]));
1132 @c ===end===
1133 @example
1134 (%i1) rank(matrix([1,2],[2,4]));
1135 (%o1)                                  1
1136 (%i2) rank(matrix([1,b],[c,d]));
1137 Proviso:  @{d - b c # 0@}
1138 (%o2)                                  2
1139 @end example
1140
1141 @opencatbox
1142 @category{Package linearalgebra}
1143 @closecatbox
1144
1145 @end deffn
1146
1147 @c -----------------------------------------------------------------------------
1148 @anchor{rowswap}
1149 @deffn {関数} rowswap (@var{M}, @var{i}, @var{j})
1150
1151 もし @var{M}が行列なら、行 @var{i}と @var{j}を入れ替えます。
1152 もし @var{M}に行@var{i}か @var{j}がないなら、エラーをシグナルします。
1153
1154 @opencatbox
1155 @category{Package linearalgebra}
1156 @closecatbox
1157 @end deffn
1158
1159 @c -----------------------------------------------------------------------------
1160 @anchor{toeplitz}
1161 @deffn {関数} toeplitz (@var{col})
1162 @deffnx {関数} toeplitz (@var{col}, @var{row})
1163
1164 Toeplitz行列 @var{T}を返します。
1165 @var{T}の一番目の列は @var{col}です;
1166 一番目の成分を除いて、
1167 @var{T}の最初の行は @var{row}です。
1168 @var{row}のデフォルトは @var{col}の複素共役です。
1169
1170 例:
1171 @c ===beg===
1172 @c toeplitz([1,2,3],[x,y,z]);
1173 @c toeplitz([1,1+%i]);
1174 @c ===end===
1175 @example
1176 (%i1)  toeplitz([1,2,3],[x,y,z]);
1177 @group
1178
1179                                   [ 1  y  z ]
1180                                   [         ]
1181 (%o1)                             [ 2  1  y ]
1182                                   [         ]
1183                                   [ 3  2  1 ]
1184 @end group
1185 (%i2)  toeplitz([1,1+%i]);
1186
1187                               [   1     1 - %I ]
1188 (%o2)                         [                ]
1189                               [ %I + 1    1    ]
1190 @end example
1191
1192 @opencatbox
1193 @category{Package linearalgebra}
1194 @closecatbox
1195 @end deffn
1196
1197 @c -----------------------------------------------------------------------------
1198 @anchor{vandermonde_matrix}
1199 @deffn {関数} vandermonde_matrix ([@var{x_1}, ..., @var{x_n}])
1200
1201 @var{i}番目の行が@code{[1, @var{x_i}, @var{x_i}^2, ... @var{x_i}^(@var{n}-1)]}の
1202 @var{n}掛け@var{n}行列を返します。
1203
1204
1205 @opencatbox
1206 @category{Package linearalgebra}
1207 @closecatbox
1208 @end deffn
1209
1210 @c -----------------------------------------------------------------------------
1211 @anchor{zerofor}
1212 @deffn  {関数} zerofor (@var{M})
1213 @deffnx {関数} zerofor (@var{M}, @var{fld})
1214
1215 行列 @var{M}と同じ形の零行列を返します。
1216 零行列の成分すべては体 @var{fld}の加算の単位元です;
1217 @var{fld}のデフォルトは @var{generalring}です。
1218
1219 一番目の引数 @var{M}は
1220 平方行列か行列以外でなければいけません。
1221 @var{M}が行列の時、
1222 @var{M}の成分それぞれは平方行列であり得ます。
1223 -- 従って @var{M}は区分Maxima行列であり得ます。
1224 行列は任意の(有限の)深さに区分できます。
1225
1226 @code{identfor}も参照してください。
1227
1228 @opencatbox
1229 @category{Package linearalgebra}
1230 @closecatbox
1231 @end deffn
1232
1233 @c -----------------------------------------------------------------------------
1234 @anchor{zeromatrixp}
1235 @deffn {関数} zeromatrixp (@var{M})
1236
1237 @var{M}が区分行列でない時、
1238 もし行列 @var{M}のそれぞれの要素 @var{e}に対して
1239 @code{is (equal (@var{e}, 0))}が真なら、
1240 @code{true}を返します。
1241 @var{M}が区分行列の時、
1242 もし@var{e}の要素それぞれに対して @code{zeromatrixp}が
1243 @code{true}に評価されるなら、
1244 @code{true}を返します。
1245
1246 @opencatbox
1247 @category{Package linearalgebra}
1248 @category{Predicate functions}
1249 @closecatbox
1250 @end deffn