doc/info/ja/orthopoly.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to orthogonal polynomials::
   3 * Functions and Variables for orthogonal polynomials::
   4 @end menu
   5
   6 @node Introduction to orthogonal polynomials, Functions and Variables for orthogonal polynomials, orthopoly, orthopoly
   7 @section Introduction to orthogonal polynomials
   8
   9 @code{orthopoly}は、
  10 Chebyshev, Laguerre, Hermite, Jacobi, Legendre, 超球(Gegenbauer)
  11 多項式を含むいくつかの種類の直交多項式のシンボリックな評価と数値評価のためのパッケージです。
  12 さらに、@code{orthopoly}には球Bessel, 球Hankel, 球調和関数のサポートが含まれます。
  13
  14 ほとんどの部分に関して、
  15 @code{orthopoly}は
  16 Abramowitz and Stegunの@i{Handbook of Mathematical Functions}, Chapter 22 (10th printing, December 1972)の慣例に従います;
  17 加えて、
  18 Gradshteyn and Ryzhikの@i{Table of Integrals, Series, and Products} (1980 corrected and enlarged edition)と
  19 Eugen Merzbacherの@i{Quantum Mechanics} (2nd edition, 1970)を使います。
  20
  21 @c INSTALLATION INSTRUCTIONS NO LONGER RELEVANT
  22 @c BUT MAYBE SOME OF THESE FILES SHOULD BE MENTIONED IN ANOTHER CONTEXT
  23 @c This will create a directory @code{orthopoly_x} (again x is the release
  24 @c identifier) that contains the source file @code{orthopoly.lisp}, user
  25 @c documentation in html and texi formats, a sample maxima initialization file
  26 @c @code{orthopoly-init.lisp}, a README file, a testing routine
  27 @c @code{test_orthopoly.mac}, and two demonstration files.
  28
  29 @c Start Maxima and compile orthopoly. To do this, use the command
  30 @c
  31 @c (c1) compile_file("orthopoly.lisp");
  32
  33 University of Nebraska at Kearney (UNK)のBarton Willisが
  34 @code{orthopoly}パッケージとドキュメンテーションを書きました。
  35 パッケージはGNU General Public License (GPL)の下で公開されています。
  36
  37 @opencatbox
  38 @category{Orthogonal polynomials}
  39 @category{Share packages}
  40 @category{Package orthopoly}
  41 @closecatbox
  42
  43 @subsection Getting Started with orthopoly
  44
  45 @code{load (orthopoly)}は@code{orthopoly}パッケージをロードします。
  46
  47 3次のLegendre多項式を見つけるには、
  48
  49 @c ===beg===
  50 @c legendre_p (3, x);
  51 @c ===end===
  52 @example
  53 (%i1) legendre_p (3, x);
  54                       3             2
  55              5 (1 - x)    15 (1 - x)
  56 (%o1)      - ---------- + ----------- - 6 (1 - x) + 1
  57                  2             2
  58 @end example
  59
  60 これを@var{x}の冪の和として表すには、
  61 @var{ratsimp}か@var{rat}を結果に適用してください。
  62
  63 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
  64 @c ===beg===
  65 @c [ratsimp (%), rat (%)];
  66 @c ===end===
  67 @example
  68 (%i2) [ratsimp (%), rat (%)];
  69                         3           3
  70                      5 x  - 3 x  5 x  - 3 x
  71 (%o2)/R/            [----------, ----------]
  72                          2           2
  73 @end example
  74
  75 あるいはまた、
  76 @code{legendre_p}の第二引数 (「主」変数)を正準有理形(CRE)にしてください。
  77
  78 @c ===beg===
  79 @c legendre_p (3, rat (x));
  80 @c ===end===
  81 @example
  82 (%i1) legendre_p (3, rat (x));
  83                               3
  84                            5 x  - 3 x
  85 (%o1)/R/                   ----------
  86                                2
  87 @end example
  88
  89 浮動小数点評価に関して、
  90 @code{orthopoly}はランニング誤差解析を使って
  91 誤差の上限を推定します。
  92 例えば、
  93
  94 @c ===beg===
  95 @c jacobi_p (150, 2, 3, 0.2);
  96 @c ===end===
  97 @example
  98 (%i1) jacobi_p (150, 2, 3, 0.2);
  99 (%o1) interval(- 0.062017037936715, 1.533267919277521E-11)
 100 @end example
 101
 102 区間(interval)は形式form @code{interval (@var{c}, @var{r})}を取ります。
 103 ここで、@var{c}は中央値、@var{r}は区間の半径です。
 104 Maximaは区間上の算術をサポートしていないので、
 105 グラフィックスなどいくつかの状況では
 106 誤差を抑制し、区間の中央値だけ出力したいでしょう。
 107 これをするには、オプション変数@code{orthopoly_returns_intervals}を
 108 @code{false}に設定してください。
 109
 110 @c ===beg===
 111 @c orthopoly_returns_intervals : false;
 112 @c jacobi_p (150, 2, 3, 0.2);
 113 @c ===end===
 114 @example
 115 (%i1) orthopoly_returns_intervals : false;
 116 (%o1)                         false
 117 (%i2) jacobi_p (150, 2, 3, 0.2);
 118 (%o2)                  - 0.062017037936715
 119 @end example
 120
 121 更に知るにはセクション@pxref{Floating point Evaluation}を参照してください。
 122
 123 @code{orthopoly}のほとんどの関数は@code{gradef}プロパティを持ちます;
 124 例えば、
 125
 126 @c ===beg===
 127 @c diff (hermite (n, x), x);
 128 @c diff (gen_laguerre (n, a, x), x);
 129 @c ===end===
 130 @example
 131 (%i1) diff (hermite (n, x), x);
 132 (%o1)                     2 n H     (x)
 133                                n - 1
 134 (%i2) diff (gen_laguerre (n, a, x), x);
 135               (a)               (a)
 136            n L   (x) - (n + a) L     (x) unit_step(n)
 137               n                 n - 1
 138 (%o2)      ------------------------------------------
 139                                x
 140 @end example
 141
 142
 143 二番目の例の単位階段関数は、
 144 @var{n}が0で評価することによって、そうでなければ生じる誤差を抑制します。
 145
 146 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 147 @c ===beg===
 148 @c ev (%, n = 0);
 149 @c ===end===
 150 @example
 151 (%i3) ev (%, n = 0);
 152 (%o3)                           0
 153 @end example
 154
 155 @code{gradef}プロパティは「主」変数にのみ適用されます;
 156 他の引数に関する導関数は、普通、エラーメッセージに帰着します;
 157 例えば、
 158
 159 @c ===beg===
 160 @c diff (hermite (n, x), x);
 161 @c diff (hermite (n, x), n);
 162 @c ===end===
 163 @example
 164 (%i1) diff (hermite (n, x), x);
 165 (%o1)                     2 n H     (x)
 166                                n - 1
 167 (%i2) diff (hermite (n, x), n);
 168
 169 Maxima doesn't know the derivative of hermite with respect the first
 170 argument
 171  -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
 172 @end example
 173
 174 一般に、@code{orthopoly}の関数はリストや行列上に写像します。
 175 写像を完全に評価するには、
 176 オプション変数@code{doallmxops}と@code{listarith}はともに
 177 @code{true}(デフォルト値)でなければいけません。
 178 行列上への写像を見るには、以下を考えてください。
 179
 180 @c ===beg===
 181 @c hermite (2, x);
 182 @c m : matrix ([0, x], [y, 0]);
 183 @c hermite (2, m);
 184 @c ===end===
 185 @example
 186 (%i1) hermite (2, x);
 187                                      2
 188 (%o1)                    - 2 (1 - 2 x )
 189 (%i2) m : matrix ([0, x], [y, 0]);
 190                             [ 0  x ]
 191 (%o2)                       [      ]
 192                             [ y  0 ]
 193 (%i3) hermite (2, m);
 194                [                             2  ]
 195                [      - 2        - 2 (1 - 2 x ) ]
 196 (%o3)          [                                ]
 197                [             2                  ]
 198                [ - 2 (1 - 2 y )       - 2       ]
 199 @end example
 200
 201 二番目の例では、値の@code{i, j}要素は@code{hermite (2, m[i,j])}です;
 202 次の例で見るように、これは、
 203 計算@code{-2 + 4 m . m}と同じではありません。
 204
 205 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 206 @c ===beg===
 207 @c -2 * matrix ([1, 0], [0, 1]) + 4 * m . m;
 208 @c ===end===
 209 @example
 210 (%i4) -2 * matrix ([1, 0], [0, 1]) + 4 * m . m;
 211                     [ 4 x y - 2      0     ]
 212 (%o4)               [                      ]
 213                     [     0      4 x y - 2 ]
 214 @end example
 215
 216 定義域外の点で関数を評価すると、
 217 一般に、@code{orthopoly}は未評価関数を返します。
 218 例えば、
 219
 220 @c ===beg===
 221 @c legendre_p (2/3, x);
 222 @c ===end===
 223 @example
 224 (%i1) legendre_p (2/3, x);
 225 (%o1)                        P   (x)
 226                               2/3
 227 @end example
 228
 229 @code{orthopoly}はTexへの翻訳をサポートします;
 230 端末上での2次元出力も行います。
 231
 232 @c ===beg===
 233 @c spherical_harmonic (l, m, theta, phi);
 234 @c tex (%);
 235 @c jacobi_p (n, a, a - b, x/2);
 236 @c tex (%);
 237 @c ===end===
 238 @example
 239 (%i1) spherical_harmonic (l, m, theta, phi);
 240                           m
 241 (%o1)                    Y (theta, phi)
 242                           l
 243 (%i2) tex (%);
 244 $$Y_@{l@}^@{m@}\left(\vartheta,\varphi\right)$$
 245 (%o2)                         false
 246 (%i3) jacobi_p (n, a, a - b, x/2);
 247                           (a, a - b) x
 248 (%o3)                    P          (-)
 249                           n          2
 250 (%i4) tex (%);
 251 $$P_@{n@}^@{\left(a,a-b\right)@}\left(@{@{x@}\over@{2@}@}\right)$$
 252 (%o4)                         false
 253 @end example
 254
 255 @subsection Limitations
 256
 257 式がいくつかの直交多項式を記号順で含む時、
 258 式が実際に0になる可能性がありますが、
 259 まだMaximaはそれを零に整理することができません。
 260 もしそんな量で割るなら、困ったことになるでしょう。
 261 例えば、
 262 以下の式は
 263 1より大きな整数 @var{n}で零になりますが、
 264 まだMaximaはそれを零に整理することができません。
 265
 266 @c ===beg===
 267 @c (2*n - 1) * legendre_p (n - 1, x) * x - n * legendre_p (n, x)
 268 @c       + (1 - n) * legendre_p (n - 2, x);
 269 @c ===end===
 270 @example
 271 (%i1) (2*n - 1) * legendre_p (n - 1, x) * x - n * legendre_p (n, x)
 272       + (1 - n) * legendre_p (n - 2, x);
 273 (%o1)  (2 n - 1) P     (x) x - n P (x) + (1 - n) P     (x)
 274                   n - 1           n               n - 2
 275 @end example
 276
 277 特定の @var{n}では式を零に換算できます。
 278
 279 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 280 @c ===beg===
 281 @c ev (% ,n = 10, ratsimp);
 282 @c ===end===
 283 @example
 284 (%i2) ev (% ,n = 10, ratsimp);
 285 (%o2)                           0
 286 @end example
 287
 288 一般に、直交多項式の多項式形は
 289 浮動小数点評価に関しては不適当です。
 290 以下は例です。
 291
 292 @c ACTUALLY NEEDS load(orthopoly); BEFORE ANYTHING ELSE
 293 @c ===beg===
 294 @c p : jacobi_p (100, 2, 3, x)$
 295 @c subst (0.2, x, p);
 296 @c jacobi_p (100, 2, 3, 0.2);
 297 @c float(jacobi_p (100, 2, 3, 2/10));
 298 @c ===end===
 299 @example
 300 (%i1) p : jacobi_p (100, 2, 3, x)$
 301
 302 (%i2) subst (0.2, x, p);
 303 (%o2)                3.4442767023833592E+35
 304 (%i3) jacobi_p (100, 2, 3, 0.2);
 305 (%o3)  interval(0.18413609135169, 6.8990300925815987E-12)
 306 (%i4) float(jacobi_p (100, 2, 3, 2/10));
 307 (%o4)                   0.18413609135169
 308 @end example
 309
 310 真値は約0.184です;
 311 この計算は
 312 極端な減算消去誤差に苦しみます。
 313 多項式を展開し評価すると、よりよい結果を与えます。
 314 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 315 @c ===beg===
 316 @c p : expand (p)$
 317 @c subst (0.2, x, p);
 318 @c ===end===
 319 @example
 320 (%i5) p : expand(p)$
 321 (%i6) subst (0.2, x, p);
 322 (%o6) 0.18413609766122982
 323 @end example
 324
 325 これは一般的な規則ではありません;
 326 多項式を展開することはいつも、
 327 数値評価により適した式を生じるわけではありません。
 328 数値評価する最もよい方法は
 329 断然、1つ以上の関数引数を浮動小数点数にすることです。
 330 それをすることで、
 331 特別な浮動小数点アルゴリズムが評価に使われます。
 332
 333 Maximaの @code{float}関数は幾分でたらめです;
 334 もし
 335 @code{float}を記号次数や順序パラメータを持つ直交多項式を含む式に適用するなら、
 336 これらのパラメータは
 337 浮動小数点に変換されるかもしれません;
 338 その後、式は完全には評価されません。
 339 以下を考えてください。
 340
 341 @c ===beg===
 342 @c assoc_legendre_p (n, 1, x);
 343 @c float (%);
 344 @c ev (%, n=2, x=0.9);
 345 @c ===end===
 346 @example
 347 (%i1) assoc_legendre_p (n, 1, x);
 348                                1
 349 (%o1)                         P (x)
 350                                n
 351 (%i2) float (%);
 352                               1.0
 353 (%o2)                        P   (x)
 354                               n
 355 (%i3) ev (%, n=2, x=0.9);
 356                              1.0
 357 (%o3)                       P   (0.9)
 358                              2
 359 @end example
 360
 361 (%o3)の式は浮動小数点に評価されません;
 362 @code{orthopoly}は
 363 整数を要求するところで浮動小数点値を認識しません。
 364 同様に、
 365 数値評価
 366 recognize floating point values where it requires an integer. Similarly,
 367 numerical evaluation of the
 368 @code{pochhammer_max_index}を越える位数の
 369 @code{pochhammer}関数は迷惑かもしれません;
 370 以下を考えてください。
 371
 372 @c ===beg===
 373 @c x :  pochhammer (1, 10), pochhammer_max_index : 5;
 374 @c ===end===
 375 @example
 376 (%i1) x :  pochhammer (1, 10), pochhammer_max_index : 5;
 377 (%o1)                         (1)
 378                                  10
 379 @end example
 380
 381 @code{float}を適用することは
 382 @var{x}を浮動小数点に評価しません。
 383
 384 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 385 @c ===beg===
 386 @c float (x);
 387 @c ===end===
 388 @example
 389 (%i2) float (x);
 390 (%o2)                       (1.0)
 391                                  10.0
 392 @end example
 393
 394 @var{x}を浮動小数点に評価するには、
 395 @code{pochhammer_max_index}を11以上にバインドして、
 396 @code{float}を @var{x}に適用する必要があります。
 397
 398 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 399 @c ===beg===
 400 @c float (x), pochhammer_max_index : 11;
 401 @c ===end===
 402 @example
 403 (%i3) float (x), pochhammer_max_index : 11;
 404 (%o3)                       3628800.0
 405 @end example
 406
 407 @code{pochhammer_max_index}のデフォルト値は100です;
 408 @code{orthopoly}をロードした後、値を変えてください。
 409
 410 最後に、参考書は直交多項式の定義を変えることを承知してください;
 411 一般的にAbramowitz and Stegunの慣例を使っています。
 412
 413 orhtopolyのバグを疑う前に、
 414 いくつかの特殊なケースをチェックして、
 415 あなたの定義が@code{orthopoly}が使っているものと一致しているかを明らかにしてください。
 416
 417 定義はしばしば規格化について異なります;
 418 時々、著者は
 419 @math{(-1, 1)}以外の区間上で直交な族を作る関数の「シフト」版を使います。
 420 例えば、
 421 @math{(0, 1)}上で直交するLegendre多項式を定義するのに、
 422 以下を定義します。
 423
 424 @c ===beg===
 425 @c shifted_legendre_p (n, x) := legendre_p (n, 2*x - 1)$
 426 @c shifted_legendre_p (2, rat (x));
 427 @c legendre_p (2, rat (x));
 428 @c ===end===
 429 @example
 430 (%i1) shifted_legendre_p (n, x) := legendre_p (n, 2*x - 1)$
 431
 432 (%i2) shifted_legendre_p (2, rat (x));
 433                             2
 434 (%o2)/R/                 6 x  - 6 x + 1
 435 (%i3) legendre_p (2, rat (x));
 436                                2
 437                             3 x  - 1
 438 (%o3)/R/                    --------
 439                                2
 440 @end example
 441
 442 @anchor{Floating point Evaluation}
 443 @subsection Floating point Evaluation
 444
 445 @code{orthopoly}の関数のほとんどは
 446 浮動小数点評価中の誤差を見積もるのに、
 447 ランニング誤差解析を使います;
 448 例外は球Bessel関数と第二種Legendreの陪多項式です。
 449 数値評価のため、
 450 球Bessel関数はSLATEC関数をコールします。
 451 第二種Legendreの陪多項式の数値評価のために特別な方法は使われません。
 452
 453 ランニング誤差解析は
 454 (丸め単位としても知られている)計算機イプシロンの二次か高次の
 455 誤差を無視します。
 456 2,3の他の誤差も無視します。
 457 (ありそうにありませんが、)実際の誤差は推定を越える可能性があります。
 458
 459 区間は形式 @code{interval (@var{c}, @var{r})}を持ちます。
 460 ここで、
 461 @var{c}は区間の中心で、
 462 @var{r}は半径です。
 463 区間の中心は複素数であり得ますし、
 464 半径はいつも正の実数です。
 465
 466 以下は例です。
 467
 468 @c ===beg===
 469 @c fpprec : 50$
 470 @c y0 : jacobi_p (100, 2, 3, 0.2);
 471 @c y1 : bfloat (jacobi_p (100, 2, 3, 1/5));
 472 @c ===end===
 473
 474 @example
 475 (%i1) fpprec : 50$
 476
 477 (%i2) y0 : jacobi_p (100, 2, 3, 0.2);
 478 (%o2) interval(0.1841360913516871, 6.8990300925815987E-12)
 479 (%i3) y1 : bfloat (jacobi_p (100, 2, 3, 1/5));
 480 (%o3) 1.8413609135168563091370224958913493690868904463668b-1
 481 @end example
 482
 483 実際の誤差が誤差推定よりも小さいことをテストしましょう。
 484
 485 @c CONTINUING PREVIOUS EXAMPLE HERE
 486 @c ===beg===
 487 @c is (abs (part (y0, 1) - y1) < part (y0, 2));
 488 @c ===end===
 489 @example
 490 (%i4) is (abs (part (y0, 1) - y1) < part (y0, 2));
 491 (%o4)                         true
 492 @end example
 493
 494 なるほど、この例では、
 495 誤差推定は真の誤差の上限です。
 496
 497 Maximaは区間の算術をサポートしていません。
 498
 499 @c ===beg===
 500 @c legendre_p (7, 0.1) + legendre_p (8, 0.1);
 501 @c ===end===
 502 @example
 503 (%i1) legendre_p (7, 0.1) + legendre_p (8, 0.1);
 504 (%o1) interval(0.18032072148437508, 3.1477135311021797E-15)
 505         + interval(- 0.19949294375000004, 3.3769353084291579E-15)
 506 @end example
 507
 508 ユーザーは区間算数を行う計算をする演算子を定義できます。
 509 区間の足し算を定義するには、
 510 以下を定義できます。
 511
 512 @c ===beg===
 513 @c infix ("@+")$
 514 @c "@+"(x,y) := interval (part (x, 1) + part (y, 1), part (x, 2)
 515 @c       + part (y, 2))$
 516 @c legendre_p (7, 0.1) @+ legendre_p (8, 0.1);
 517 @c ===end===
 518 @example
 519 (%i1) infix ("@@+")$
 520
 521 (%i2) "@@+"(x,y) := interval (part (x, 1) + part (y, 1), part (x, 2)
 522       + part (y, 2))$
 523
 524 (%i3) legendre_p (7, 0.1) @@+ legendre_p (8, 0.1);
 525 (%o3) interval(- 0.019172222265624955, 6.5246488395313372E-15)
 526 @end example
 527
 528 引数が複素数の時、特殊な浮動小数点ルーチンがコールされます。
 529 例えば、
 530
 531 @c ===beg===
 532 @c legendre_p (10, 2 + 3.0*%i);
 533 @c ===end===
 534 @example
 535 (%i1) legendre_p (10, 2 + 3.0*%i);
 536 (%o1) interval(- 3.876378825E+7 %i - 6.0787748E+7,
 537                                            1.2089173052721777E-6)
 538 @end example
 539
 540 これを真値と比較しましょう。
 541
 542 @c ===beg===
 543 @c float (expand (legendre_p (10, 2 + 3*%i)));
 544 @c ===end===
 545 @example
 546 (%i1) float (expand (legendre_p (10, 2 + 3*%i)));
 547 (%o1)          - 3.876378825E+7 %i - 6.0787748E+7
 548 @end example
 549
 550 更に、
 551 引数が多倍長浮動小数点の時、
 552 特殊な浮動小数点ルーチンがコールされます;
 553 しかしながら、多倍長浮動小数点は
 554 倍精度浮動小数点に変換され、最終結果は倍精度です。
 555
 556 @c ===beg===
 557 @c ultraspherical (150, 0.5b0, 0.9b0);
 558 @c ===end===
 559 @example
 560 (%i1) ultraspherical (150, 0.5b0, 0.9b0);
 561 (%o1) interval(- 0.043009481257265, 3.3750051301228864E-14)
 562 @end example
 563
 564 @subsection Graphics and @code{orthopoly}
 565
 566 直交多項式を含む式をプロットするには、
 567 2つのことをしなければいけません:
 568 @enumerate
 569 @item
 570 オプション変数 @code{orthopoly_returns_intervals}を @code{false}に設定する。
 571 @item
 572 @code{orthopoly}関数のすべてのコールをクォートする。
 573 @end enumerate
 574 もし関数コールがクォートされていないなら、
 575 Maximaはプロットする前にそれらを多項式に評価します;
 576 結果として、
 577 特殊な浮動小数点コードはコールされません。
 578 以下は、Legendre多項式を含む式をどうやってプロットするかの例です。
 579
 580 @c ===beg===
 581 @c plot2d ('(legendre_p (5, x)), [x, 0, 1]),
 582 @c                         orthopoly_returns_intervals : false;
 583 @c ===end===
 584 @example
 585 (%i1) plot2d ('(legendre_p (5, x)), [x, 0, 1]),
 586                         orthopoly_returns_intervals : false;
 587 (%o1)
 588 @end example
 589
 590 @ifnotinfo
 591 @image{@value{figuresfolder}/orthopoly1,8cm}
 592 @end ifnotinfo
 593
 594 式 @code{legendre_p (5, x)}@i{全体}をクォートします;
 595 これは
 596 @code{'legendre_p (5, @var{x})}を使って関数名をクォートするだけとは違います。
 597
 598 @opencatbox
 599 @category{Plotting}
 600 @closecatbox
 601
 602
 603 @subsection Miscellaneous Functions
 604
 605 @code{orthopoly}パッケージは
 606 Pochhammerシンボルと単位階段函数を定義します。
 607 @code{orthopoly}は@code{gradef}文の中で
 608 Kroneckerのデルタ函数と単位階段函数を使います。
 609
 610 Pochhammerシンボルをガンマ函数の商に変換するには、
 611 @code{makegamma}を使ってください。
 612
 613 @c ===beg===
 614 @c makegamma (pochhammer (x, n));
 615 @c makegamma (pochhammer (1/2, 1/2));
 616 @c ===end===
 617 @example
 618 (%i1) makegamma (pochhammer (x, n));
 619                           gamma(x + n)
 620 (%o1)                     ------------
 621                             gamma(x)
 622 (%i2) makegamma (pochhammer (1/2, 1/2));
 623                                 1
 624 (%o2)                       ---------
 625                             sqrt(%pi)
 626 @end example
 627
 628 Pochhammerシンボルの導函数は
 629 @code{psi}函数を使って与えられます。
 630
 631 @c ===beg===
 632 @c diff (pochhammer (x, n), x);
 633 @c diff (pochhammer (x, n), n);
 634 @c ===end===
 635 @example
 636 (%i1) diff (pochhammer (x, n), x);
 637 (%o1)             (x)  (psi (x + n) - psi (x))
 638                      n     0             0
 639 (%i2) diff (pochhammer (x, n), n);
 640 (%o2)                   (x)  psi (x + n)
 641                            n    0
 642 @end example
 643
 644 (%o1)の式に注意する必要があります;
 645 @code{psi}函数の差分は
 646 @code{@var{x} = -1, -2, .., -@var{n}}の時
 647 多項式です。
 648 これらの多項式は
 649 @var{n}が正の整数の時、
 650 導函数を@code{@var{n} - 1}次多項式にするように、
 651 @code{pochhammer (@var{x}, @var{n})}の因子を相殺します。
 652
 653 Pochhammerシンボルは
 654 ガンマ函数の商としての表現を通して
 655 負の位数で定義されます。
 656 以下を考えてください。
 657
 658 @c ===beg===
 659 @c q : makegamma (pochhammer (x, n));
 660 @c sublis ([x=11/3, n= -6], q);
 661 @c ===end===
 662 @example
 663 (%i1) q : makegamma (pochhammer (x, n));
 664                           gamma(x + n)
 665 (%o1)                     ------------
 666                             gamma(x)
 667 (%i2) sublis ([x=11/3, n= -6], q);
 668                                729
 669 (%o2)                        - ----
 670                                2240
 671 @end example
 672
 673 代わりに、この結果を直接得ることができます。
 674
 675 @c ===beg===
 676 @c pochhammer (11/3, -6);
 677 @c ===end===
 678 @example
 679 (%i1) pochhammer (11/3, -6);
 680                                729
 681 (%o1)                        - ----
 682                                2240
 683 @end example
 684
 685 単位階段函数は左連続です;
 686 従って、
 687
 688 @c ===beg===
 689 @c [unit_step (-1/10), unit_step (0), unit_step (1/10)];
 690 @c ===end===
 691 @example
 692 (%i1) [unit_step (-1/10), unit_step (0), unit_step (1/10)];
 693 (%o1)                       [0, 0, 1]
 694 @end example
 695
 696 もし零で左連続でも右連続でもない単位階段函数が必要なら、
 697 @code{signum}を使って自分のものを定義してください;
 698 例えば、
 699
 700 @c ===beg===
 701 @c xunit_step (x) := (1 + signum (x))/2$
 702 @c [xunit_step (-1/10), xunit_step (0), xunit_step (1/10)];
 703 @c ===end===
 704 @example
 705 (%i1) xunit_step (x) := (1 + signum (x))/2$
 706
 707 (%i2) [xunit_step (-1/10), xunit_step (0), xunit_step (1/10)];
 708                                 1
 709 (%o2)                       [0, -, 1]
 710                                 2
 711 @end example
 712
 713 @code{unit_step}自身を再定義しないでください;
 714 @code{orthopoly}の中のあるコードは
 715 単位階段函数が左連続であることを要求します。
 716
 717
 718 @subsection Algorithms
 719
 720 一般的に、
 721 @code{orthopoly}は
 722 直交多項式の超幾何表現を使うことで記号評価をします
 723 超幾何函数は
 724 (ドキュメント化されていない)関数 @code{hypergeo11}と @code{hypergeo21}を使って
 725 評価されます。
 726 例外は半整数Bessel函数と第二種Legendreの陪函数です。
 727 半整数Bessel函数は明示的な表現を使って評価されます。
 728 第二種Legendreの陪函数は再帰を使って評価されます。
 729
 730 浮動小数点評価のために、
 731 函数のほとんどを超幾何形式に再び変換します;
 732 順方向再帰を使って超幾何函数を評価します。
 733 ここでも、
 734 例外は半整数Bessel函数と第二種Legendreの陪函数です。
 735 数値的に、
 736 半整数Bessel函数はSLATECコードを使って評価されます。
 737
 738
 739 @node Functions and Variables for orthogonal polynomials,  , Introduction to orthogonal polynomials, orthopoly
 740 @section Functions and Variables for orthogonal polynomials
 741
 742 @deffn {関数} assoc_legendre_p (@var{n}, @var{m}, @var{x})
 743 次数 @var{n}と位数 @var{m}の第一種Legendre陪函数。
 744
 745 参考文献: Abramowitz and Stegun, equations 22.5.37, page 779, 8.6.6
 746 (second equation), page 334, and 8.2.5, page 333.
 747
 748 @opencatbox
 749 @category{Package orthopoly}
 750 @closecatbox
 751
 752 @end deffn
 753
 754 @deffn {関数} assoc_legendre_q (@var{n}, @var{m}, @var{x})
 755 次数 @var{n}と位数 @var{m}の第二種Legendre陪函数。
 756
 757 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 8.5.3 and 8.1.8.
 758
 759 @opencatbox
 760 @category{Package orthopoly}
 761 @closecatbox
 762
 763 @end deffn
 764
 765 @deffn {関数} chebyshev_t (@var{n}, @var{x})
 766 第一種Chebyshev函数。
 767
 768 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 22.5.47, page 779.
 769
 770 @opencatbox
 771 @category{Package orthopoly}
 772 @closecatbox
 773
 774 @end deffn
 775
 776 @deffn {関数} chebyshev_u (@var{n}, @var{x})
 777 第二種Chebyshev函数。
 778
 779 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 22.5.48, page 779.
 780
 781 @opencatbox
 782 @category{Package orthopoly}
 783 @closecatbox
 784
 785 @end deffn
 786
 787 @deffn {関数} gen_laguerre (@var{n}, @var{a}, @var{x})
 788 次数 @var{n}の一般化Laguerre多項式。
 789
 790 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 22.5.54, page 780.
 791
 792 @opencatbox
 793 @category{Package orthopoly}
 794 @closecatbox
 795
 796 @end deffn
 797
 798 @deffn {関数} hermite (@var{n}, @var{x})
 799 Hermite多項式。
 800
 801 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 22.5.55, page 780.
 802
 803 @opencatbox
 804 @category{Package orthopoly}
 805 @closecatbox
 806
 807 @end deffn
 808
 809 @deffn {関数} intervalp (@var{e})
 810 もし入力が区間なら @code{true}を、
 811 そうでないなら @code{false}を返します。
 812
 813 @opencatbox
 814 @category{Package orthopoly}
 815 @category{Predicate functions}
 816 @closecatbox
 817
 818 @end deffn
 819
 820 @deffn {関数} jacobi_p (@var{n}, @var{a}, @var{b}, @var{x})
 821 Jacobiの多項式。
 822
 823 Jacobiの多項式は実際には
 824 @var{a}と @var{b}すべてに対して定義されます;
 825 しかし、Jacobi多項式の重み
 826 @code{(1 - @var{x})^@var{a} (1 + @var{x})^@var{b}}は
 827 @code{@var{a} <= -1}か @code{@var{b} <= -1}で可積分でありません。
 828
 829 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 22.5.42, page 779.
 830
 831 @opencatbox
 832 @category{Package orthopoly}
 833 @closecatbox
 834
 835 @end deffn
 836
 837 @deffn {関数} laguerre (@var{n}, @var{x})
 838 Laguerre多項式。
 839
 840 参考文献: Abramowitz and Stegun, equations 22.5.16 and 22.5.54, page 780.
 841
 842 @opencatbox
 843 @category{Package orthopoly}
 844 @closecatbox
 845
 846 @end deffn
 847
 848 @deffn {関数} legendre_p (@var{n}, @var{x})
 849 第一種Legendre多項式。
 850
 851 参考文献: Abramowitz and Stegun, equations 22.5.50 and 22.5.51, page 779.
 852
 853 @opencatbox
 854 @category{Package orthopoly}
 855 @closecatbox
 856
 857 @end deffn
 858
 859 @deffn {関数} legendre_q (@var{n}, @var{x})
 860 第二種Legendre多項式。
 861
 862 参考文献: Abramowitz and Stegun, equations 8.5.3 and 8.1.8.
 863
 864 @opencatbox
 865 @category{Package orthopoly}
 866 @closecatbox
 867
 868 @end deffn
 869
 870 @deffn {関数} orthopoly_recur (@var{f}, @var{args})
 871 引数 @var{args}を持つ直交函数族 @var{f}の漸化式を返します。
 872 再帰は多項式次数に関してです。
 873
 874 @c ===beg===
 875 @c orthopoly_recur (legendre_p, [n, x]);
 876 @c ===end===
 877 @example
 878 (%i1) orthopoly_recur (legendre_p, [n, x]);
 879                 (2 n - 1) P     (x) x + (1 - n) P     (x)
 880                            n - 1                 n - 2
 881 (%o1)   P (x) = -----------------------------------------
 882          n                          n
 883 @end example
 884
 885 @code{orthopoly_recur}の二番目の引数は
 886 関数 @var{f}の正しい数の引数のリストでなければいけません;
 887 もしそうでないなら、Maximaはエラーをシグナルします。
 888
 889 @c ===beg===
 890 @c orthopoly_recur (jacobi_p, [n, x]);
 891 @c ===end===
 892 @example
 893 (%i1) orthopoly_recur (jacobi_p, [n, x]);
 894
 895 Function jacobi_p needs 4 arguments, instead it received 2
 896  -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
 897 @end example
 898
 899 更に、
 900 @var{f}が直交多項式族の1つの名前でないなら、
 901 エラーがシグナルされます。
 902
 903 @c ===beg===
 904 @c orthopoly_recur (foo, [n, x]);
 905 @c ===end===
 906 @example
 907 (%i1) orthopoly_recur (foo, [n, x]);
 908
 909 A recursion relation for foo isn't known to Maxima
 910  -- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);
 911 @end example
 912
 913 @opencatbox
 914 @category{Package orthopoly}
 915 @closecatbox
 916
 917 @end deffn
 918
 919 @defvr {変数} orthopoly_returns_intervals
 920 デフォルト値: @code{true}
 921
 922 @code{orthopoly_returns_intervals}が @code{true}の時、
 923 浮動小数点の結果が形式 @code{interval (@var{c}, @var{r})}
 924 で返されます。
 925 ここで、 @var{c}は区間の中心で、
 926 @var{r}は半径です。
 927 中心は複素数であり得ます;
 928 その場合、区間は複素平面上の円です。
 929
 930 @opencatbox
 931 @category{Package orthopoly}
 932 @closecatbox
 933
 934 @end defvr
 935
 936 @deffn {関数} orthopoly_weight (@var{f}, @var{args})
 937
 938 3つの要素のリストを返します;
 939 一番目の要素は
 940 リスト @var{args}が与える引数を持つ直交多項式族 @var{f}の重みの公式です;
 941 二番目と三番目の要素は
 942 直交性の区間の下限と上限を与えます。
 943 例えば、
 944
 945 @c ===beg===
 946 @c w : orthopoly_weight (hermite, [n, x]);
 947 @c integrate (w[1] * hermite (3, x) * hermite (2, x), x, w[2], w[3]);
 948 @c ===end===
 949 @example
 950 (%i1) w : orthopoly_weight (hermite, [n, x]);
 951                             2
 952                          - x
 953 (%o1)                 [%e    , - inf, inf]
 954 (%i2) integrate(w[1]*hermite(3, x)*hermite(2, x), x, w[2], w[3]);
 955 (%o2)                           0
 956 @end example
 957
 958 @var{f}の主変数はシンボルでなければいけません;
 959 そうでないなら、Maximaはエラーをシグナルします。
 960
 961 @opencatbox
 962 @category{Package orthopoly}
 963 @closecatbox
 964
 965 @end deffn
 966
 967 @deffn {関数} pochhammer (@var{n}, @var{x})
 968 Pochhammerシンボル。
 969 @code{@var{n} <= pochhammer_max_index}の非負整数 @var{n}に対して、
 970 式 @code{pochhammer (@var{x}, @var{n})}は
 971 @code{@var{n} > 0}の時、
 972 積 @code{@var{x} (@var{x} + 1) (@var{x} + 2) ... (@var{x} + n - 1)}
 973 を評価します。
 974 @code{@var{n} = 0}の時は1です。
 975 負の @var{n}に対しては、
 976 @code{pochhammer (@var{x}, @var{n})}は
 977 @code{(-1)^@var{n} / pochhammer (1 - @var{x}, -@var{n})}として定義されます。
 978 従って、
 979
 980 @c ===beg===
 981 @c pochhammer (x, 3);
 982 @c pochhammer (x, -3);
 983 @c ===end===
 984 @example
 985 (%i1) pochhammer (x, 3);
 986 (%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
 987 (%i2) pochhammer (x, -3);
 988                                  1
 989 (%o2)               - -----------------------
 990                       (1 - x) (2 - x) (3 - x)
 991 @end example
 992
 993 Pochhammerシンボルをガンマ函数の商に変換するには、
 994 (Abramowitz and Stegun, equation 6.1.22を参照してください)
 995 @code{makegamma}を使ってください;
 996 例えば、
 997
 998 @c ===beg===
 999 @c makegamma (pochhammer (x, n));
1000 @c ===end===
1001 @example
1002 (%i1) makegamma (pochhammer (x, n));
1003                           gamma(x + n)
1004 (%o1)                     ------------
1005                             gamma(x)
1006 @end example
1007
1008 @var{n}が @code{pochhammer_max_index}を越えるか、
1009 @var{n}が記号の時、
1010 @code{pochhammer}は名詞形を返します。
1011
1012 @c ===beg===
1013 @c pochhammer (x, n);
1014 @c ===end===
1015 @example
1016 (%i1) pochhammer (x, n);
1017 (%o1)                         (x)
1018                                  n
1019 @end example
1020
1021 @opencatbox
1022 @category{Package orthopoly}
1023 @category{Gamma and factorial functions}
1024 @closecatbox
1025
1026 @end deffn
1027
1028 @defvr {変数} pochhammer_max_index
1029 デフォルト値: 100
1030
1031 @code{pochhammer (@var{n}, @var{x})}は
1032 @code{@var{n} <= pochhammer_max_index}の時だけ
1033 積を展開します。
1034
1035 例:
1036
1037 @c ===beg===
1038 @c pochhammer (x, 3), pochhammer_max_index : 3;
1039 @c pochhammer (x, 4), pochhammer_max_index : 3;
1040 @c ===end===
1041 @example
1042 (%i1) pochhammer (x, 3), pochhammer_max_index : 3;
1043 (%o1)                   x (x + 1) (x + 2)
1044 (%i2) pochhammer (x, 4), pochhammer_max_index : 3;
1045 (%o2)                         (x)
1046                                  4
1047 @end example
1048
1049 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 6.1.16, page 256.
1050
1051 @opencatbox
1052 @category{Package orthopoly}
1053 @category{Gamma and factorial functions}
1054 @closecatbox
1055
1056 @end defvr
1057
1058 @deffn {関数} spherical_bessel_j (@var{n}, @var{x})
1059 第一種球Bessel函数。
1060
1061 参考文献: Abramowitz and Stegun, equations 10.1.8, page 437 and 10.1.15, page 439.
1062
1063 @opencatbox
1064 @category{Package orthopoly}
1065 @category{Bessel functions}
1066 @closecatbox
1067
1068 @end deffn
1069
1070 @deffn {関数} spherical_bessel_y (@var{n}, @var{x})
1071 第二種球Bessel函数。
1072
1073 参考文献: Abramowitz and Stegun, equations 10.1.9, page 437 and 10.1.15, page 439.
1074
1075 @opencatbox
1076 @category{Package orthopoly}
1077 @category{Bessel functions}
1078 @closecatbox
1079
1080 @end deffn
1081
1082 @deffn {関数} spherical_hankel1 (@var{n}, @var{x})
1083 第一種球Hankel函数。
1084
1085 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 10.1.36, page 439.
1086
1087 @opencatbox
1088 @category{Package orthopoly}
1089 @category{Bessel functions}
1090 @closecatbox
1091
1092 @end deffn
1093
1094 @deffn {関数} spherical_hankel2 (@var{n}, @var{x})
1095 第二種球Hankel函数。
1096
1097 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 10.1.17, page 439.
1098
1099 @opencatbox
1100 @category{Package orthopoly}
1101 @category{Bessel functions}
1102 @closecatbox
1103
1104 @end deffn
1105
1106 @deffn {関数} spherical_harmonic (@var{n}, @var{m}, @var{x}, @var{y})
1107 球調和函数。
1108
1109 参考文献: Merzbacher 9.64.
1110
1111 @opencatbox
1112 @category{Package orthopoly}
1113 @closecatbox
1114
1115 @end deffn
1116
1117 @deffn {関数} unit_step (@var{x})
1118 左連続の単位階段函数;なので
1119 @code{unit_step (@var{x})}は@code{@var{x} <= 0}で0であり、
1120 @code{@var{x} > 0}で1です。
1121
1122 もし0で値1/2を取る単位階段函数が欲しいなら、
1123 @code{(1 + signum (@var{x}))/2}を使ってください。
1124
1125 @opencatbox
1126 @category{Package orthopoly}
1127 @category{Mathematical functions}
1128 @closecatbox
1129
1130 @end deffn
1131
1132 @deffn {関数} ultraspherical (@var{n}, @var{a}, @var{x})
1133 (Gegenbauer多項式としても知られている)超球多項式。
1134
1135 参考文献: Abramowitz and Stegun, equation 22.5.46, page 779.
1136
1137 @opencatbox
1138 @category{Package orthopoly}
1139 @closecatbox
1140
1141 @end deffn