doc/info/pt/stats.texi

   1 @c /stats.texi/1.4/Sat Jan 13 04:30:36 2007//
   2 @menu
   3 * Introdução a stats::
   4 * Definições para inference_result::
   5 * Definições para stats::
   6 * Definições para distribuições especiais::
   7 @end menu
   8
   9 @node Introdução a stats, Definições para inference_result, Top, Top
  10 @section Introdução a stats
  11
  12
  13 O pacote @code{stats} contém um conjunto de procedimentos de inferência clássica
  14 estatística e procedimentos de teste.
  15
  16 Todas essas funções retornam um objecto do Maxima chamado @code{inference_result} que contém
  17 os resultados necessários para inferências de manipulação e tomada de decisões.
  18
  19 A variável global @code{stats_numer} controla se resultados são mostrados em
  20 ponto flutuante ou simbólico e no formato racional; seu valor padrão é @code{true}
  21 e os resultados são retornados no formato de ponto flutuante.
  22
  23 O pacote @code{descriptive} contém alguns utilitários para manipular estruturas de dados
  24 (listas e matrizes); por exemplo, para extrair subamostras. O pacote @code{descriptive} também contém alguns
  25 exemplos sobre como usar o pacote @code{numericalio} para ler dados a partir de ficheiro no formato texto
  26 plano. Veja @code{descriptive} e @code{numericalio} para maiores detalhes.
  27
  28 O pacote @code{stats} precisa dos pacotes @code{descriptive}, @code{distrib} e
  29 @code{inference_result}.
  30
  31 Para comentários, erros ou sugestões, por favor contate o autor em
  32
  33 @var{'mario AT edu DOT xunta DOT es'}.
  34
  35
  36 @node Definições para inference_result, Definições para stats, Introdução a stats, Top
  37 @section Definições para inference_result
  38
  39 @deffn {Função} inference_result (@var{título}, @var{valores}, @var{números})
  40
  41 Constrói um objecto @code{inference_result} do tipo retornado pelas
  42 funções stats. O argumento @var{título} é uma
  43 sequência de caracteres do Maxima co o nome do procedimento; @var{valores} é uma lissta com
  44 elementos da forma @code{símbolo = valor} e @var{números} é uma lista
  45 com números inteiros positivos no intervalo de um para @code{length(@var{valores})},
  46 indicando que valores serão mostrados por padrão.
  47
  48 Exemplo:
  49
  50 Este é um exemplo que mostras os resultados associados a um retángulo. O
  51 título deste bojeto é a sequência de caraceteres @code{"Retângulo"}, o qual
  52 armazena cinco resultados, a saber, @code{'base}, @code{'altura},
  53 @code{'diagonal}, @code{'área} y @code{'perímetro}, porém só mostra
  54 o primeiro, segundo, quinto e quarto resultado. O resultado @code{'diagonal} também
  55 é armazenado neste objecto, no entanto não é mostrado por padrão; para se ter acesso
  56 a este valor, faz-se uso da função @code{take_inference}.
  57
  58 @c ===beg===
  59 @c load (inference_result)$
  60 @c b: 3$ h: 2$
  61 @c inference_result("Retângulo",
  62 @c                  ['base=b,
  63 @c                   'altura=h,
  64 @c                   'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
  65 @c                   'area=b*h,
  66 @c                   'perímetro=2*(b+h)],
  67 @c                  [1,2,5,4] );
  68 @c take_inference('diagonal,%);
  69 @c ===end===
  70 @example
  71 (%i1) load(inference_result)$
  72 (%i2) b: 3$ h: 2$
  73 (%i3) inference_result("Retângulo",
  74                         ['base=b,
  75                          'altura=h,
  76                          'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
  77                          'área=b*h,
  78                          'perímetro=2*(b+h)],
  79                         [1,2,5,4] );
  80                         |   Retângulo
  81                         |
  82                         |    base = 3
  83                         |
  84 (%o3)                   |   altura = 2
  85                         |
  86                         | perímetro = 10
  87                         |
  88                         |    area = 6
  89 (%i4) take_inference('diagonal,%);
  90 (%o4)                        sqrt(13)
  91 @end example
  92
  93 Veja também @code{take_inference}.
  94 @end deffn
  95
  96
  97
  98
  99
 100
 101 @deffn {Função} inferencep (@var{obj})
 102
 103 Retorna @code{true} ou @code{false}, dependendo se @var{obj} é
 104 um objecto @code{inference_result} ou não.
 105
 106 @end deffn
 107
 108
 109
 110
 111
 112
 113 @deffn {Função} items_inference (@var{obj})
 114
 115 Retorna uma lista com os nomes dos itens em @var{obj}, que devem
 116 ser um objecto @code{inference_result}.
 117
 118 Exemplo:
 119
 120 O objecto @code{inference_result} armazena dois valores, a saber @code{'pi} e @code{'e},
 121 mas somente o segundo é mostrado. A função @code{items_inference} retorna os nomes
 122 de todos os itens, não importa se eles são ou não mostrados.
 123
 124 @c ===beg===
 125 @c load (inference_result)$
 126 @c inference_result("Hi", ['pi=%pi,'e=%e],[2]);
 127 @c items_inference(%);
 128 @c ===end===
 129 @example
 130 (%i1) load(inference_result)$
 131 (%i2) inference_result("Hi", ['pi=%pi,'e=%e],[2]);
 132                             |   Hi
 133 (%o2)                       |
 134                             | e = %e
 135 (%i3) items_inference(%);
 136 (%o3)                        [pi, e]
 137 @end example
 138 @end deffn
 139
 140
 141
 142
 143
 144
 145
 146 @deffn {Função} take_inference (@var{n}, @var{obj})
 147 @deffnx {Função} take_inference (@var{nome}, @var{obj})
 148 @deffnx {Função} take_inference (@var{lista}, @var{obj})
 149
 150 Retorna o @var{n}-ésimo valor armazenado em @var{obj} se @var{n} for um inteiro positivo,
 151 ou o item chamado @var{nome} se esse for o nome de um item. Se o primeiro
 152 argumento for uma lista de números e/ou símbolos, a função @code{take_inference} retorna
 153 uma lista com os resultados correspondentes.
 154
 155 Exemplo:
 156
 157 Fornece um objecto @code{inference_result}, a função @code{take_inference} é
 158 chamada com o objectivo de extrair alguma informação armazenada nesse objecto.
 159
 160 @c ===beg===
 161 @c load (inference_result)$
 162 @c b: 3$ h: 2$
 163 @c sol:inference_result("Retângulo",
 164 @c                      ['base=b,
 165 @c                       'altura=h,
 166 @c                       'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
 167 @c                       'area=b*h,
 168 @c                       'perímetro=2*(b+h)],
 169 @c                      [1,2,5,4] );
 170 @c take_inference('base,sol);
 171 @c take_inference(5,sol);
 172 @c take_inference([1,'diagonal],sol);
 173 @c take_inference(items_inference(sol),sol);
 174 @c ===end===
 175 @example
 176 (%i1) load(inference_result)$
 177 (%i2) b: 3$ h: 2$
 178 (%i3) sol: inference_result("Retângulo",
 179                             ['base=b,
 180                              'altura=h,
 181                              'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
 182                              'area=b*h,
 183                              'perímetro=2*(b+h)],
 184                             [1,2,5,4] );
 185                         |   Retângulo
 186                         |
 187                         |    base = 3
 188                         |
 189 (%o3)                   |   altura = 2
 190                         |
 191                         | perímetro = 10
 192                         |
 193                         |    area = 6
 194 (%i4) take_inference('base,sol);
 195 (%o4)                           3
 196 (%i5) take_inference(5,sol);
 197 (%o5)                          10
 198 (%i6) take_inference([1,'diagonal],sol);
 199 (%o6)                     [3, sqrt(13)]
 200 (%i7) take_inference(items_inference(sol),sol);
 201 (%o7)                [3, 2, sqrt(13), 6, 10]
 202 @end example
 203
 204 Veja também @code{inference_result} e @code{take_inference}.
 205 @end deffn
 206
 207
 208
 209
 210
 211
 212
 213
 214
 215 @node Definições para stats, Definições para distribuições especiais, Definições para inference_result, Top
 216 @section Definições para stats
 217
 218
 219 @defvr {Variável de opção} stats_numer
 220 Valor por omissão: @code{true}
 221
 222 Se @code{stats_numer} for @code{true}, funções de inferência estatística
 223 retornam seus resultados em números com ponto flutuante. Se @code{stats_numer} for @code{false},
 224 resultados são fornecidos em formato simbólico e racional.
 225
 226 @end defvr
 227
 228
 229 @deffn {Função} test_mean (@var{x})
 230 @deffnx {Função} test_mean (@var{x}, @var{opção_1}, @var{opção_2}, ...)
 231
 232 Esse é o teste-@var{t} de média. O argumento @var{x} é uma lista ou uma matriz coluna
 233 contendo uma amostra unidimensional. @code{test_mean} tamb;em executa um teste assintótico
 234 baseado no @i{Teorema do Limite Central} se a opção @code{'asymptotic} for
 235 @code{true}.
 236
 237 Opções:
 238
 239 @itemize @bullet
 240
 241 @item
 242 @code{'mean}, o valor padrão é @code{0}, é o valor da média a ser verificado.
 243
 244 @item
 245 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 246 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 247
 248 @item
 249 @code{'dev}, o valor padrão é @code{'unknown}, corresponde ao valor do desvio padrão quando esse valor de desvio padrão for
 250 conhecido; valores válidos são: @code{'unknown} ou uma expressão positiva.
 251
 252 @item
 253 @code{'conflevel}, o valor padrão é @code{95/100}, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve
 254 ser uma expressão que toma um valor em (0,1).
 255
 256 @item
 257 @code{'asymptotic}, o valor padrão é @code{false}, indica se @code{test_mean} exeecuta um teste-@var{t} exato ou
 258 um teste assintótico baseando-se no @i{Teorema do Limite Central};
 259 valores válidos são @code{true} e @code{false}.
 260
 261 @end itemize
 262
 263 A saída da função @code{test_mean} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
 264 mostrando os seguintes resultados:
 265
 266 @enumerate
 267
 268 @item
 269 @code{'mean_estimate}: a média da amostra.
 270
 271 @item
 272 @code{'conf_level}: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
 273
 274 @item
 275 @code{'conf_interval}: intervalo de confidência para a média da população.
 276
 277 @item
 278 @code{'method}: procedimento de inferência.
 279
 280 @item
 281 @code{'hypotheses}: hipótese do nulo e hipótese alternativa a ser testada.
 282
 283 @item
 284 @code{'statistic}: valor da amostra estatística a ser usado para testar a hipótese do nulo.
 285
 286 @item
 287 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetro(s).
 288
 289 @item
 290 @code{'p_value}: valores de @math{p} do teste.
 291
 292 @end enumerate
 293
 294 Exemplos:
 295
 296 Executa um teste-@var{t} exato com variância desconhecida. A hipótese do nulo
 297 é @math{H_0: mean=50} contra a alternativa unilatera @math{H_1: mean<50};
 298 conforme os resultados, o valor de @math{p} é muito grande, não existem
 299 evidências paa rejeitar @math{H_0}.
 300
 301 @c ===beg===
 302 @c load (stats)$
 303 @c data: [78,64,35,45,45,75,43,74,42,42]$
 304 @c test_mean(data,'conflevel=0.9,'alternative='less,'mean=50);
 305 @c ===end===
 306 @example
 307 (%i1) load("stats")$
 308 (%i2) data: [78,64,35,45,45,75,43,74,42,42]$
 309 (%i3) test_mean(data,'conflevel=0.9,'alternative='less,'mean=50);
 310           |                 MEAN TEST
 311           |
 312           |            mean_estimate = 54.3
 313           |
 314           |              conf_level = 0.9
 315           |
 316           | conf_interval = [minf, 61.51314273502712]
 317           |
 318 (%o3)     |  method = Exact t-test. Unknown variance.
 319           |
 320           | hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean < 50
 321           |
 322           |       statistic = .8244705235071678
 323           |
 324           |       distribution = [student_t, 9]
 325           |
 326           |        p_value = .7845100411786889
 327 @end example
 328
 329 Nesta ocasião Maxima executa um testte assintótico, baseado no @i{Teorema do Limite Central}.
 330 A hipótese do nulo é @math{H_0: equal(mean, 50)} contra a alternativa de duas vias @math{H_1: not equal(mean, 50)};
 331 conforme os resultados, o valor de @math{p} é muito pequeno, @math{H_0} pode ser rejeitado em
 332 favor da alternativa @math{H_1}. Note que, como indicado pela componente @code{Method},
 333 esse procedimento pode ser aplicado a grandes amostras.
 334
 335 @c ===beg===
 336 @c load (stats)$
 337 @c test_mean([36,118,52,87,35,256,56,178,57,57,89,34,25,98,35,
 338 @c         98,41,45,198,54,79,63,35,45,44,75,42,75,45,45,
 339 @c         45,51,123,54,151],
 340 @c         'asymptotic=true,'mean=50);
 341 @c ===end===
 342 @example
 343 (%i1) load("stats")$
 344 (%i2) test_mean([36,118,52,87,35,256,56,178,57,57,89,34,25,98,35,
 345               98,41,45,198,54,79,63,35,45,44,75,42,75,45,45,
 346               45,51,123,54,151],
 347               'asymptotic=true,'mean=50);
 348           |                       MEAN TEST
 349           |
 350           |           mean_estimate = 74.88571428571429
 351           |
 352           |                   conf_level = 0.95
 353           |
 354           | conf_interval = [57.72848600856194, 92.04294256286663]
 355           |
 356 (%o2)     |    method = Large sample z-test. Unknown variance.
 357           |
 358           |       hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean # 50
 359           |
 360           |             statistic = 2.842831192874313
 361           |
 362           |             distribution = [normal, 0, 1]
 363           |
 364           |             p_value = .004471474652002261
 365 @end example
 366
 367 @end deffn
 368
 369
 370
 371
 372
 373
 374
 375 @deffn {Função} test_means_difference (@var{x1}, @var{x2})
 376 @deffnx {Função} test_means_difference (@var{x1}, @var{x2}, @var{opção_1}, @var{opção_2}, ...)
 377
 378 Esse é o teste-@var{t} de diferença de médias entre duas amostras.
 379 Os argumentos @var{x1} e @var{x2} são listas ou matrizes colunas
 380 contendo duas amostras independentes. No caso de diferentes variâncias desconhecidas
 381 (veja opções @code{'dev1}, @code{'dev2} e @code{'varequal} abaixo),
 382 os graus de liberdade são calculados por meio da aproximação de Welch.
 383 @code{test_means_difference} também executa um teste assintótico
 384 baseado no @i{Teorema do Limite Central} se a opção @code{'asymptotic} for
 385 escolhida para @code{true}.
 386
 387 Opções:
 388
 389 @itemize @bullet
 390
 391 @item
 392
 393 @item
 394 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 395 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 396
 397 @item
 398 @code{'dev1}, o valor padrão é @code{'unknown}, é o valor do desvio padrão
 399 da amostra @var{x1} quando esse desvio for conhecido; valores válidos são: @code{'unknown} ou uma expressão positiva.
 400
 401 @item
 402 @code{'dev2}, o valor padrão é @code{'unknown}, é o valor do desvio padrão
 403 da amostra @var{x2} quando esse desvio for conhecido; valores válidos são: @code{'unknown} ou uma expressão positiva.
 404
 405 @item
 406 @code{'varequal}, o valor padrão é @code{false}, se variâncias podem serem consideradas como iguais ou não;
 407 essa opção tem efeito somente quando @code{'dev1} e/ou @code{'dev2} forem  @code{'unknown}.
 408
 409 @item
 410 @code{'conflevel}, o valor padrão é @code{95/100}, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve
 411 ser uma expressão que toma valores em (0,1).
 412
 413 Nota de Tradução: (0,1) representa intervalo aberto.
 414
 415 @item
 416 @code{'asymptotic}, o valor padrão é @code{false}, indica se @code{test_means_difference} executa um teste-@var{t} exato ou
 417 um teste assíntótico baseando-se no @i{Teorema do Limite Central};
 418 valores válidos são @code{true} e @code{false}.
 419
 420 @end itemize
 421
 422 A saída da função @code{test_means_difference} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
 423 mostrando os seguintes resultados:
 424
 425 @enumerate
 426
 427 @item
 428 @code{'diff_estimate}: a diferença de médias estimadas.
 429
 430 @item
 431 @code{'conf_level}: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
 432
 433 @item
 434 @code{'conf_interval}: intervalo de confidência para a diferença de médias.
 435
 436 @item
 437 @code{'method}: procedimento de inferência.
 438
 439 @item
 440 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
 441
 442 @item
 443 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
 444
 445 @item
 446 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
 447
 448 @item
 449 @code{'p_value}: valor de @math{p} do teste.
 450
 451 @end enumerate
 452
 453 Exemplos:
 454
 455 A igualdade de médias é testada com duas pequenas amostras @var{x} e @var{y},
 456 contra a alternativa @math{H_1: m_1>m_2}, sendo @math{m_1} e @math{m_2}
 457 as médias das populações; variâncias são desconhecidas e supostamente admitidas para serem diferentes.
 458
 459 @c equivalent code for R:
 460 @c x <- c(20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7)
 461 @c y <- c(1.2,6.9,38.7,20.4,17.2)
 462 @c t.test(x,y,alternative="greater")
 463
 464 @c ===beg===
 465 @c load (stats)$
 466 @c x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
 467 @c y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
 468 @c test_means_difference(x,y,'alternative='greater);
 469 @c ===end===
 470 @example
 471 (%i1) load("stats")$
 472 (%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
 473 (%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
 474 (%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater);
 475             |              DIFFERENCE OF MEANS TEST
 476             |
 477             |         diff_estimate = 20.31999999999999
 478             |
 479             |                 conf_level = 0.95
 480             |
 481             |    conf_interval = [- .04597417812882298, inf]
 482             |
 483 (%o4)       |        method = Exact t-test. Welch approx.
 484             |
 485             | hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
 486             |
 487             |           statistic = 1.838004300728477
 488             |
 489             |    distribution = [student_t, 8.62758740184604]
 490             |
 491             |            p_value = .05032746527991905
 492 @end example
 493
 494 O mesmo teste que antes, mas agora as variâncias são admitidas serem supostamente
 495 iguais.
 496
 497 @c equivalent code for R:
 498 @c x <- c(20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7)
 499 @c y <- c(1.2,6.9,38.7,20.4,17.2)
 500 @c t.test(x,y,var.equal=T,alternative="greater")
 501
 502 @c ===beg===
 503 @c load (stats)$
 504 @c x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
 505 @c y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
 506 @c test_means_difference(x,y,'alternative='greater,'varequal=true);
 507 @c ===end===
 508 @example
 509 (%i1) load("stats")$
 510 (%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
 511 (%i3) y: matrix([1.2],[6.9],[38.7],[20.4],[17.2])$
 512 (%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater,'varequal=true);
 513             |              DIFFERENCE OF MEANS TEST
 514             |
 515             |         diff_estimate = 20.31999999999999
 516             |
 517             |                 conf_level = 0.95
 518             |
 519             |     conf_interval = [- .7722627696897568, inf]
 520             |
 521 (%o4)       |   method = Exact t-test. Unknown equal variances
 522             |
 523             | hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
 524             |
 525             |           statistic = 1.765996124515009
 526             |
 527             |           distribution = [student_t, 9]
 528             |
 529             |            p_value = .05560320992529344
 530 @end example
 531
 532 @end deffn
 533
 534
 535
 536
 537
 538
 539
 540 @deffn {Função} test_variance (@var{x})
 541 @deffnx {Função} test_variance (@var{x}, @var{opção_1}, @var{opção_2}, ...)
 542
 543 Esse é o teste da variância @var{chi^2}. O argumento @var{x} é uma lista ou uma matriz coluna
 544 contendo uma amostra unidimensional tomada entre a população normal.
 545
 546 Opções:
 547
 548 @itemize @bullet
 549
 550 @item
 551 @code{'mean}, o valor padrão é @code{'unknown}, é a média da população, quando for conhecida.
 552
 553 @item
 554 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 555 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 556
 557 @item
 558 @code{'variance}, o valor padrão é @code{1}, isso é o valor (positivo) da variância a ser testado.
 559
 560 @item
 561 @code{'conflevel}, o valor padrão é @code{95/100}, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve
 562 ser uma expressão que toma valores em (0,1).
 563
 564 @end itemize
 565
 566 A saída da função @code{test_variance} está no objecto @code{inference_result} do Maxima
 567 mostrando os seguintes resultados:
 568
 569 @enumerate
 570
 571 @item
 572 @code{'var_estimate}: a variância da amostra.
 573
 574 @item
 575 @code{'conf_level}: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
 576
 577 @item
 578 @code{'conf_interval}: intervalo de confidência para a variância da população.
 579
 580 @item
 581 @code{'method}: procedimento de inferência.
 582
 583 @item
 584 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
 585
 586 @item
 587 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
 588
 589 @item
 590 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
 591
 592 @item
 593 @code{'p_value}: o valor de @math{p} do teste.
 594
 595 @end enumerate
 596
 597 Exemplos:
 598
 599 Isso é testado se a variância de uma população com média desconhhecida
 600 for igual ou maior que 200.
 601
 602 @c ===beg===
 603 @c load (stats)$
 604 @c x: [203,229,215,220,223,233,208,228,20]$
 605 @c test_variance(x,'alternative='greater,'variance=200);
 606 @c ===end===
 607 @example
 608 (%i1) load("stats")$
 609 (%i2) x: [203,229,215,220,223,233,208,228,209]$
 610 (%i3) test_variance(x,'alternative='greater,'variance=200);
 611              |                  VARIANCE TEST
 612              |
 613              |              var_estimate = 110.75
 614              |
 615              |                conf_level = 0.95
 616              |
 617              |     conf_interval = [57.13433376937479, inf]
 618              |
 619 (%o3)        | method = Variance Chi-square test. Unknown mean.
 620              |
 621              |    hypotheses = H0: var = 200 , H1: var > 200
 622              |
 623              |                 statistic = 4.43
 624              |
 625              |             distribution = [chi2, 8]
 626              |
 627              |           p_value = .8163948512777689
 628 @end example
 629
 630 @end deffn
 631
 632
 633
 634
 635
 636
 637
 638 @deffn {Função} test_variance_ratio (@var{x1}, @var{x2})
 639 @deffnx {Função} test_variance_ratio (@var{x1}, @var{x2}, @var{opção_1}, @var{opção_2}, ...)
 640
 641 Isso é o teste @var{F} da razão de variância para duas populações normais.
 642 Os argumentos @var{x1} e @var{x2} são listas ou matrizes colunas
 643 contendo duas amostras independentes.
 644
 645 Opções:
 646
 647 @itemize @bullet
 648
 649 @item
 650 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 651 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 652
 653 @item
 654 @code{'mean1}, o valor padrão é @code{'unknown}, quando for conhecida, isso é a média da
 655 população da qual @var{x1} foi tomada.
 656
 657 @item
 658 @code{'mean2}, o valor padrão é @code{'unknown}, quando for conhecida, isso é a média da
 659 população da qual @var{x2} foi tomada.
 660
 661 @item
 662 @code{'conflevel}, o valor padrão é @code{95/100}, nível de confidência para o intervalo de confidência da
 663 razão; deve ser uma expressão que tome valores em (0,1).
 664
 665 @end itemize
 666
 667 A saída da função @code{test_variance_ratio} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
 668 mostrando os seguintes resultados:
 669
 670 @enumerate
 671
 672 @item
 673 @code{'ratio_estimate}: a razão de variância da amostra.
 674
 675 @item
 676 @code{'conf_level}: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
 677
 678 @item
 679 @code{'conf_interval}: intervalo de confidência para a razão de variância.
 680
 681 @item
 682 @code{'method}: procedimento de inferência.
 683
 684 @item
 685 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
 686
 687 @item
 688 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
 689
 690 @item
 691 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
 692
 693 @item
 694 @code{'p_value}: o valor de @math{p} do teste.
 695
 696 @end enumerate
 697
 698
 699 Exemplos:
 700
 701 a igualdade das variâncias de duas populações normais é verificado
 702 contra a alternativa que a primeira é maior que a segunda.
 703
 704 @c equivalent code for R:
 705 @c x <- c(20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7)
 706 @c y <- c(1.2,6.9,38.7,20.4,17.2)
 707 @c var.test(x,y,alternative="greater")
 708
 709 @c ===beg===
 710 @c load (stats)$
 711 @c x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
 712 @c y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
 713 @c test_variance_ratio(x,y,'alternative='greater);
 714 @c ===end===
 715 @example
 716 (%i1) load("stats")$
 717 (%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
 718 (%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
 719 (%i4) test_variance_ratio(x,y,'alternative='greater);
 720               |              VARIANCE RATIO TEST
 721               |
 722               |       ratio_estimate = 2.316933391522034
 723               |
 724               |               conf_level = 0.95
 725               |
 726               |    conf_interval = [.3703504689507268, inf]
 727               |
 728 (%o4)         | method = Variance ratio F-test. Unknown means.
 729               |
 730               | hypotheses = H0: var1 = var2 , H1: var1 > var2
 731               |
 732               |         statistic = 2.316933391522034
 733               |
 734               |            distribution = [f, 5, 4]
 735               |
 736               |          p_value = .2179269692254457
 737 @end example
 738
 739 @end deffn
 740
 741
 742
 743
 744
 745
 746 @deffn {Função} test_sign (@var{x})
 747 @deffnx {Função} test_sign (@var{x}, @var{opção_1}, @var{opção_2}, ...)
 748
 749 Esse é o teste de sinal não paramétrico para a mediana de uma população contínua.
 750 O argumento @var{x} é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional.
 751
 752 Opções:
 753
 754 @itemize @bullet
 755
 756 @item
 757 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 758 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 759
 760 @item
 761 @code{'median}, o valor padrão é @code{0}, é o valor da mediana a ser verificado.
 762
 763 @end itemize
 764
 765 A saída da função @code{test_sign} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
 766 mostrando os seguintes resultados:
 767
 768 @enumerate
 769
 770 @item
 771 @code{'med_estimate}: a mediana da amostra.
 772
 773 @item
 774 @code{'method}: procedimento de inferência.
 775
 776 @item
 777 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
 778
 779 @item
 780 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
 781
 782 @item
 783 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
 784
 785 @item
 786 @code{'p_value}: o valor de @math{p} do teste.
 787
 788 @end enumerate
 789
 790 Exemplos:
 791
 792 Verifica se a população da qual a amostra foi tomada tem mediana 6,
 793 contra a alternativa @math{H_1: median > 6}.
 794
 795 @c ===beg===
 796 @c load (stats)$
 797 @c x: [2,0.1,7,1.8,4,2.3,5.6,7.4,5.1,6.1,6]$
 798 @c test_sign(x,'median=6,'alternative='greater);
 799 @c ===end===
 800 @example
 801 (%i1) load("stats")$
 802 (%i2) x: [2,0.1,7,1.8,4,2.3,5.6,7.4,5.1,6.1,6]$
 803 (%i3) test_sign(x,'median=6,'alternative='greater);
 804                |                  SIGN TEST
 805                |
 806                |              med_estimate = 5.1
 807                |
 808                |      method = Non parametric sign test.
 809                |
 810 (%o3)          | hypotheses = H0: median = 6 , H1: median > 6
 811                |
 812                |                statistic = 7
 813                |
 814                |      distribution = [binomial, 10, 0.5]
 815                |
 816                |         p_value = .05468749999999989
 817 @end example
 818
 819 @end deffn
 820
 821
 822
 823
 824
 825
 826
 827
 828
 829 @deffn {Função} test_signed_rank (@var{x})
 830 @deffnx {Função} test_signed_rank (@var{x}, @var{opção_1}, @var{opção_2}, ...)
 831
 832 Esse é o teste de ranque sinalizado de Wilcoxon para fazer inferências sobre a mediana de uma
 833 população contínua. O argumento @var{x} é uma lista ou uma matriz coluna
 834 contendo uma amostra unidimensional. Executa uma aproximação normal se o
 835 tamanho da amostra for maior que 20, ou se existirem zeros ou houverem empates.
 836
 837 Veja também @code{pdf_rank_test} e @code{cdf_rank_test}.
 838
 839 Opções:
 840
 841 @itemize @bullet
 842
 843 @item
 844 @code{'median}, o valor padrão é @code{0}, é o valor da mediana a ser verificado.
 845
 846 @item
 847 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 848 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 849
 850 @end itemize
 851
 852 A saída da função @code{test_signed_rank} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
 853 com os seguintes resultados:
 854
 855 @enumerate
 856
 857 @item
 858 @code{'med_estimate}: a mediana da amostra.
 859
 860 @item
 861 @code{'method}: procedimento de inferência.
 862
 863 @item
 864 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
 865
 866 @item
 867 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
 868
 869 @item
 870 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
 871
 872 @item
 873 @code{'p_value}: o valor de @math{p} do teste.
 874
 875 @end enumerate
 876
 877 Exemplos:
 878
 879 Verifica a hipótese do nulo @math{H_0: median = 15} contra a
 880 alternativa @math{H_1: median > 15}. Esse é um teste exato, ua vez que
 881 não exite empates.
 882
 883 @c equivalent code for R:
 884 @c x <- c(17.1,15.9,13.7,13.4,15.5,17.6)
 885 @c wilcox.test(x,mu=15,alternative="greater")
 886
 887 @c ===beg===
 888 @c load (stats)$
 889 @c x: [17.1,15.9,13.7,13.4,15.5,17.6]$
 890 @c test_signed_rank(x,median=15,alternative=greater);
 891 @c ===end===
 892 @example
 893 (%i1) load("stats")$
 894 (%i2) x: [17.1,15.9,13.7,13.4,15.5,17.6]$
 895 (%i3) test_signed_rank(x,median=15,alternative=greater);
 896                  |             SIGNED RANK TEST
 897                  |
 898                  |           med_estimate = 15.7
 899                  |
 900                  |           method = Exact test
 901                  |
 902 (%o3)            | hypotheses = H0: med = 15 , H1: med > 15
 903                  |
 904                  |              statistic = 14
 905                  |
 906                  |     distribution = [signed_rank, 6]
 907                  |
 908                  |            p_value = 0.28125
 909 @end example
 910
 911 Verifica a hipótese do nulo @math{H_0: equal(median, 2.5)} contra a
 912 alternativa @math{H_1: not equal(median, 2.5)}. Esse é um teste aproximado,
 913 uma vez que ocorrem empates.
 914
 915 @c equivalent code for R:
 916 @c y<-c(1.9,2.3,2.6,1.9,1.6,3.3,4.2,4,2.4,2.9,1.5,3,2.9,4.2,3.1)
 917 @c wilcox.test(y,mu=2.5)
 918
 919 @c ===beg===
 920 @c load (stats)$
 921 @c y:[1.9,2.3,2.6,1.9,1.6,3.3,4.2,4,2.4,2.9,1.5,3,2.9,4.2,3.1]$
 922 @c test_signed_rank(y,median=2.5);
 923 @c ===end===
 924 @example
 925 (%i1) load("stats")$
 926 (%i2) y:[1.9,2.3,2.6,1.9,1.6,3.3,4.2,4,2.4,2.9,1.5,3,2.9,4.2,3.1]$
 927 (%i3) test_signed_rank(y,median=2.5);
 928              |                 SIGNED RANK TEST
 929              |
 930              |                med_estimate = 2.9
 931              |
 932              |          method = Asymptotic test. Ties
 933              |
 934 (%o3)        |    hypotheses = H0: med = 2.5 , H1: med # 2.5
 935              |
 936              |                 statistic = 76.5
 937              |
 938              | distribution = [normal, 60.5, 17.58195097251724]
 939              |
 940              |           p_value = .3628097734643669
 941 @end example
 942
 943 @end deffn
 944
 945
 946
 947
 948
 949
 950
 951 @deffn {Função} test_rank_sum (@var{x1}, @var{x2})
 952 @deffnx {Função} test_rank_sum (@var{x1}, @var{x2}, @var{opção_1})
 953
 954 Esse é o teste de Wilcoxon-Mann-Whitney para comparação das medianas de duas
 955 populações contínuas. Os primeiros dois argumentos @var{x1} e @var{x2} são listas
 956 ou matrizes colunas com os dados de duas amostras independentes. Executa aproximação
 957 normal se quaisquer dos tamanhos de amostra for maior que 10, ou se houverem empates.
 958
 959 Opção:
 960
 961 @itemize @bullet
 962
 963 @item
 964 @code{'alternative}, o valor padrão é @code{'twosided}, é a hipótese alternativa;
 965 valores válidos são: @code{'twosided}, @code{'greater} e @code{'less}.
 966
 967 @end itemize
 968
 969 A saída da função @code{test_rank_sum} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
 970 com os seguintes resultados:
 971
 972 @enumerate
 973
 974 @item
 975 @code{'method}: procedimento de inferência.
 976
 977 @item
 978 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
 979
 980 @item
 981 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
 982
 983 @item
 984 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
 985
 986 @item
 987 @code{'p_value}: o valor de @math{p} do teste.
 988
 989 @end enumerate
 990
 991 Exemplos:
 992
 993 Verifica se populações possuem medianas similares. Tamanhos de amotra
 994 são pequenos e é feito um teste exato.
 995
 996 @c equivalent code for R:
 997 @c x <- c(12,15,17,38,42,10,23,35,28)
 998 @c y <- c(21,18,25,14,52,65,40,43)
 999 @c wilcox.test(x,y)
1000
1001 @c ===beg===
1002 @c load (stats)$
1003 @c x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
1004 @c y:[21,18,25,14,52,65,40,43]$
1005 @c test_rank_sum(x,y);
1006 @c ===end===
1007 @example
1008 (%i1) load("stats")$
1009 (%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
1010 (%i3) y:[21,18,25,14,52,65,40,43]$
1011 (%i4) test_rank_sum(x,y);
1012               |                 RANK SUM TEST
1013               |
1014               |              method = Exact test
1015               |
1016               | hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 # med2
1017 (%o4)         |
1018               |                 statistic = 22
1019               |
1020               |        distribution = [rank_sum, 9, 8]
1021               |
1022               |          p_value = .1995886466474702
1023 @end example
1024
1025 Agora, com grandes amostras e empates, o procedimento faz
1026 aproximação norma. A hipótese alternativa é
1027 @math{H_1: median1 < median2}.
1028
1029 @c equivalent code for R:
1030 @c x <- c(39,42,35,13,10,23,15,20,17,27)
1031 @c y <- c(20,52,66,19,41,32,44,25,14,39,43,35,19,56,27,15)
1032 @c wilcox.test(x,y,alternative="less")
1033
1034 @c ===beg===
1035 @c load (stats)$
1036 @c x: [39,42,35,13,10,23,15,20,17,27]$
1037 @c y: [20,52,66,19,41,32,44,25,14,39,43,35,19,56,27,15]$
1038 @c test_rank_sum(x,y,'alternative='less);
1039 @c ===end===
1040 @example
1041 (%i1) load("stats")$
1042 (%i2) x: [39,42,35,13,10,23,15,20,17,27]$
1043 (%i3) y: [20,52,66,19,41,32,44,25,14,39,43,35,19,56,27,15]$
1044 (%i4) test_rank_sum(x,y,'alternative='less);
1045              |                  RANK SUM TEST
1046              |
1047              |          method = Asymptotic test. Ties
1048              |
1049              |  hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 < med2
1050 (%o4)        |
1051              |                 statistic = 48.5
1052              |
1053              | distribution = [normal, 79.5, 18.95419580097078]
1054              |
1055              |           p_value = .05096985666598441
1056 @end example
1057
1058 @end deffn
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066 @deffn {Função} test_normality (@var{x})
1067
1068 Teste de Shapiro-Wilk para normalidade. O argumento @var{x} é uma lista de números, e o tamanho
1069 da amostra deve ser maior que 2 e menor ou igua a 5000, de outra forma, a função
1070 @code{test_normality} sinaliza com um erro.
1071
1072 Referência:
1073
1074   [1] Algorithm AS R94, Applied Statistics (1995), vol.44, no.4, 547-551
1075
1076 A saída da função @code{test_normality} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
1077 com os seguintes resultados:
1078
1079 @enumerate
1080
1081 @item
1082 @code{'statistic}: valor do @var{W} estatístico.
1083
1084 @item
1085 @code{'p_value}: valor de @math{p} sob a hipótese de normalidade.
1086
1087 @end enumerate
1088
1089 Exemplos:
1090
1091 Verifica a normalidade de uma população, baseada em uma amostra de tamanho 9.
1092
1093 @c equivalent code for R:
1094 @c x <- c(12,15,17,38,42,10,23,35,28)
1095 @c shapiro.test(x)
1096
1097 @c ===beg===
1098 @c load (stats)$
1099 @c x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
1100 @c test_normality(x);
1101 @c ===end===
1102 @example
1103 (%i1) load("stats")$
1104 (%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
1105 (%i3) test_normality(x);
1106                        |      SHAPIRO - WILK TEST
1107                        |
1108 (%o3)                  | statistic = .9251055695162436
1109                        |
1110                        |  p_value = .4361763918860381
1111 @end example
1112
1113 @end deffn
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123 @deffn {Função} simple_linear_regression (@var{x})
1124 @deffnx {Função} simple_linear_regression (@var{x} @var{opção_1})
1125
1126 Regressão linear simples, @math{y_i=a+b x_i+e_i}, onde os @math{e_i} são @math{N(0,sigma)}
1127 variáveis aleatórias independentes. O argumento @var{x} deve ser uma matriz de duas colunas ou uma lista de
1128 pares.
1129
1130 Opções:
1131
1132 @itemize @bullet
1133
1134 @item
1135 @code{'conflevel}, o valor padrão é @code{95/100}, nível de confidência para o intervalo de confidência; isso deve
1136 ser uma expressão que tome valores em (0,1).
1137
1138 @item
1139 @code{'regressor}, o valor padrão é @code{'x}, nome da variável independente.
1140
1141 @end itemize
1142
1143 A saída da função @code{simple_linear_regression} é um objecto @code{inference_result} do Maxima
1144 com os seguintes resultados:
1145
1146 @enumerate
1147
1148 @item
1149 @code{'model}: a equação ajustada. Útil para fazer novas previsões. Veja exemplos abaixo.
1150
1151 @item
1152 @code{'means}: média de duas variáveis pseudo-aleatórias.
1153
1154 @item
1155 @code{'variances}: variâncias de ambas as variáveis.
1156
1157 @item
1158 @code{'correlation}: coeficiente de correlação.
1159
1160 @item
1161 @code{'adc}: coeficiente de determinação ajustado.
1162
1163 @item
1164 @code{'a_estimation}: estimador do parâmetro @var{a}.
1165
1166 @item
1167 @code{'a_conf_int}: intervalo de confidência do parâmetro @var{a}.
1168
1169 @item
1170 @code{'b_estimation}: estimador do parâmetro @var{b}.
1171
1172 @item
1173 @code{'b_conf_int}: intervalo de confidência do parâmetro @var{b}.
1174
1175 @item
1176 @code{'hypotheses}: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa sobre o parâmetro @var{b}.
1177
1178 @item
1179 @code{'statistic}: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
1180
1181 @item
1182 @code{'distribution}: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
1183
1184 @item
1185 @code{'p_value}: o valor de @math{p} do teste sobre @var{b}.
1186
1187 @item
1188 @code{'v_estimation}: estimador de variância imparcial, ou variância residual.
1189
1190 @item
1191 @code{'v_conf_int}: intervalo de confidência da variância.
1192
1193 @item
1194 @code{'cond_mean_conf_int}: intervalo de confidência paa a média condicionada. Veja exemplos abaixo.
1195
1196 @item
1197 @code{'new_pred_conf_int}: intervalo de confidência para uma nova previsão. Veja exemplos abaixo.
1198
1199 @item
1200 @code{'residuals}: lista de pares (previsão, resíduo), ordenados em relação às previsões.
1201 Útil para achar o melhor da análise de ajuste. Veja exemplos abaixo.
1202
1203 @end enumerate
1204
1205 Somente os itens 1, 4, 14, 9, 10, 11, 12, e 13 acima, nessa ordem, são mostrados por padrão. Os restantes
1206 escondem-se até que o utilizador faça uso de funções @code{items_inference} e @code{take_inference}.
1207
1208 Exemplo:
1209
1210 Ajustando um modelo linear para uma amostras de duas variáveis. A entrada @code{%i4} monta p gráfico
1211 da amostra junto com a linha de regressão; a entrada @code{%i5}
1212 calcula @code{y} dado @code{x=113}; a média e o
1213 intervalo de confidência para uma nova previsão quando @code{x=113} são também calculados.
1214
1215 @c ===beg===
1216 @c load (stats)$
1217 @c s:[[125,140.7],[130,155.1],[135,160.3],[140,167.2],[145,169.8]]$
1218 @c z:simple_linear_regression(s,conflevel=0.99);
1219 @c plot2d([[discrete, s], take_inference(model,z)],
1220 @c           [x,120,150],
1221 @c           [gnuplot_curve_styles, ["with points","with lines"]] )$
1222 @c take_inference(model,z), x=133;
1223 @c take_inference(means,z);
1224 @c take_inference(new_pred_conf_int,z), x=133;
1225 @c ===end===
1226 @example
1227 (%i1) load("stats")$
1228 (%i2) s:[[125,140.7],[130,155.1],[135,160.3],[140,167.2],[145,169.8]]$
1229 (%i3) z:simple_linear_regression(s,conflevel=0.99);
1230            |               SIMPLE LINEAR REGRESSION
1231            |
1232            |   model = 1.405999999999985 x - 31.18999999999804
1233            |
1234            |           correlation = .9611685255255155
1235            |
1236            |           v_estimation = 13.57966666666665
1237            |
1238 (%o3)      | b_conf_int = [.04469633662525263, 2.767303663374718]
1239            |
1240            |          hypotheses = H0: b = 0 ,H1: b # 0
1241            |
1242            |            statistic = 6.032686683658114
1243            |
1244            |            distribution = [student_t, 3]
1245            |
1246            |             p_value = 0.0038059549413203
1247 (%i4) plot2d([[discrete, s], take_inference(model,z)],
1248               [x,120,150],
1249               [gnuplot_curve_styles, ["with points","with lines"]] )$
1250 (%i5) take_inference(model,z), x=133;
1251 (%o5)                         155.808
1252 (%i6) take_inference(means,z);
1253 (%o6)                     [135.0, 158.62]
1254 (%i7) take_inference(new_pred_conf_int,z), x=133;
1255 (%o7)              [132.0728595995113, 179.5431404004887]
1256 @end example
1257
1258 @end deffn
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291 @node Definições para distribuições especiais, , Definições para stats, Top
1292 @section Definições para distribuições especiais
1293
1294
1295 @deffn {Função} pdf_signed_rank (@var{x}, @var{n})
1296 Função densidade de probabilidade da distribuição exacta da
1297 estatística do rank sinalizado. O argumento @var{x} é um número
1298 real e @var{n} um inteiro positivo.
1299
1300 Veja também @code{test_signed_rank}.
1301 @end deffn
1302
1303 @deffn {Função} cdf_signed_rank (@var{x}, @var{n})
1304 Função de densidade cumulativa da distribuição exacta da
1305 estatística do rank sinalizado. O argumento @var{x} é um número
1306 real e @var{n} um inteiro positivo.
1307
1308 Veja também @code{test_signed_rank}.
1309 @end deffn
1310
1311 @deffn {Função} pdf_rank_sum (@var{x}, @var{n}, @var{m})
1312 Função densidade de probabilidade da distribuição exacta da
1313 estatística do somatório do rank. O argumento @var{x} é um número
1314 real e @var{n} e @var{m} são ambos inteiros positivos.
1315
1316 Veja também @code{test_rank_sum}.
1317 @end deffn
1318
1319 @deffn {Função} cdf_rank_sum (@var{x}, @var{n}, @var{m})
1320 Função de densidade cumulativa da distribuição exacta da
1321 estatística do somatório do rank. O argumento @var{x} é um número
1322 real e @var{n} e @var{m} são ambos inteiro positivos.
1323
1324 Veja também @code{test_rank_sum}.
1325 @end deffn
1326
1327