doc/info/pt_BR/Numerical.texi

   1 @c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
   2 @c /Numerical.texi/1.25/Sat Jun  2 00:12:59 2007/-ko/
   3 @menu
   4 * Introduç@~{a}o a Num@'{e}rico::
   5 * Pacotes de Fourier::
   6 * Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Num@'{e}rico::
   7 * Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para S@'{e}ries de Fourier::
   8 @end menu
   9
  10 @node Introduç@~{a}o a Num@'{e}rico, Pacotes de Fourier, Num@'{e}rico, Num@'{e}rico
  11 @section Introduç@~{a}o a Num@'{e}rico
  12
  13 @node Pacotes de Fourier, Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Num@'{e}rico, Introduç@~{a}o a Num@'{e}rico, Num@'{e}rico
  14 @section Pacotes de Fourier
  15 O pacote @code{fft} compreende funç@~{o}es para computaç@~{a}o num@'{e}rica (n@~{a}o simb@'{o}lica)
  16 das transformaç@~{o}es r@'{a}pidas de Fourier.
  17 @code{load ("fft")} chama esse pacote.
  18 Veja @code{fft}.
  19
  20 O pacote @code{fourie} compreende funç@~{o}es para computaç@~{a}o simb@'{o}lica
  21 de s@'{e}ries de Fourier.
  22 @code{load ("fourie")} chama esse pacote.
  23 Existem funç@~{o}es no pacote @code{fourie} para calcular coeficientes da
  24 integral de Fourier e algumas funç@~{o}es para manipulaç@~{a}o de express@~{o}es.
  25 Veja @code{Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para S@'{e}ries}.
  26
  27 @c end concepts Numerical
  28
  29 @node Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Num@'{e}rico, Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para S@'{e}ries de Fourier, Pacotes de Fourier, Num@'{e}rico
  30 @section Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Num@'{e}rico
  31 @c NOTE: Let's keep POLARTORECT, RECTTOPOLAR, and IFT before FFT
  32 @c in this file. Otherwise DESCRIBE returns the FFT text (because
  33 @c POLARTORECT, etc are list in the heading of FFT with @defunx).
  34
  35 @deffn {Funç@~{a}o} polartorect (@var{magnitude_array}, @var{phase_array})
  36
  37 Traduz valores complexos da forma @code{r %e^(%i t)} para a forma @code{a + b %i}.
  38 @code{load ("fft")} chama essa funç@~{a}o dentro do Maxima. Veja tamb@'{e}m @code{fft}.
  39
  40 O m@'{o}dulo e a fase, @code{r} e @code{t}, S@~{a}o tomados de @var{magnitude_array} e
  41 @var{phase_array}, respectivamente. Os valores originais de arrays de entrada s@~{a}o
  42 substitu@'{i}dos pelas partes real e emagin@'{a}ria, @code{a} e @code{b}, no retorno. As sa@'{i}das s@~{a}o
  43 calculadas como
  44
  45 @example
  46 a: r cos (t)
  47 b: r sin (t)
  48 @end example
  49
  50 Os arrays de entrada devem ter o mesmo tamanho  e ser unidimensionais.
  51 O tamanho do array n@~{a}o deve ser uma pot@^{e}ncia de 2.
  52
  53 @code{polartorect} @'{e} a funç@~{a}o inversa de @code{recttopolar}.
  54
  55 @end deffn
  56
  57 @deffn {Funç@~{a}o} recttopolar (@var{real_array}, @var{imaginary_array})
  58
  59 Traduz valores complexos da forma @code{a + b %i} para a forma @code{r %e^(%i t)}.
  60 @code{load ("fft")} chama essa funç@~{a}o dentro do Maxima. Veja tamb@'{e}m @code{fft}.
  61
  62 As partes real e imagin@'{a}ria, @code{a} e @code{b}, s@~{a}o tomadas de @var{real_array} e
  63 @var{imaginary_array}, respectivamente. Os valores originais dos arrays de entrada
  64 s@~{a}o substitu@'{i}dos pelo m@'{o}dulo e pelo @^{a}ngulo, @code{r} e @code{t}, no retorno. As sa@'{i}das s@~{a}o
  65 calculadas como
  66
  67 @example
  68 r: sqrt (a^2 + b^2)
  69 t: atan2 (b, a)
  70 @end example
  71
  72 O @^{a}ngulo calculado encontra-se no intervalo de @code{-%pi} a @code{%pi}.
  73
  74 Os arrays de entrada devem ter o mesmo tamanho e ser unidimensionais.
  75 O tamanho do array n@~{a}o deve ser uma pot@^{e}ncia de 2.
  76
  77 @code{recttopolar} @'{e} a funç@~{a}o inversa de @code{polartorect}.
  78
  79 @end deffn
  80
  81 @deffn {Funç@~{a}o} ift (@var{real_array}, @var{imaginary_array})
  82
  83 Transformaç@~{a}o r@'{a}pida inversa discreta de Fourier . @code{load ("fft")} chama essa funç@~{a}o
  84 dentro do Maxima.
  85
  86 @code{ift} realiza a transformaç@~{a}o r@'{a}pida complexa de Fourier sobre
  87 arrays em ponto flutuante unidimensionais. A transformaç@~{a}o inversa @'{e} definida como
  88
  89 @example
  90 x[j]: sum (y[j] exp (+2 %i %pi j k / n), k, 0, n-1)
  91 @end example
  92
  93 Veja @code{fft} para maiores detalhes.
  94
  95 @end deffn
  96
  97 @deffn {Funç@~{a}o} fft (@var{real_array}, @var{imaginary_array})
  98 @deffnx {Funç@~{a}o} ift (@var{real_array}, @var{imaginary_array})
  99 @deffnx {Funç@~{a}o} recttopolar (@var{real_array}, @var{imaginary_array})
 100 @deffnx {Funç@~{a}o} polartorect (@var{magnitude_array}, @var{phase_array})
 101
 102 Transformaç@~{a}o r@'{a}pidada de Fourier e funç@~{o}es relacionadas. @code{load ("fft")}
 103 chama essas funç@~{o}es dentro do Maxima.
 104
 105 @code{fft} e @code{ift} realiza transformaç@~{a}o r@'{a}pida complexa de Fourier e
 106 a transformaç@~{a}o inversa, respectivamente, sobre arrays em ponto flutuante
 107 unidimensionais. O tamanho de @var{imaginary_array} deve ser igual ao tamanho de @var{real_array}.
 108
 109 @code{fft} e @code{ift} operam in-loco. Isto @'{e}, sobre o retorno de @code{fft} ou de @code{ift},
 110 O conte@'{u}do original dos arrays de entrada @'{e} substitu@'{i}do pela sa@'{i}da.
 111 A funç@~{a}o @code{fillarray} pode fazer uma c@'{o}pia de um array, isso pode
 112 ser necess@'{a}rio.
 113
 114 A transformaç@~{a}o discreta de Fourier e sua transformaç@~{a}o inversa s@~{a}o definidas
 115 como segue. Tome @code{x} sendo os dados originais, com
 116
 117 @example
 118 x[i]: real_array[i] + %i imaginary_array[i]
 119 @end example
 120
 121 Tome @code{y} sendo os dados transformados. A transformaç@~{a}o normal e sua transformaç@~{a}o inversa s@~{a}o
 122
 123 @example
 124 y[k]: (1/n) sum (x[j] exp (-2 %i %pi j k / n), j, 0, n-1)
 125
 126 x[j]:       sum (y[j] exp (+2 %i %pi j k / n), k, 0, n-1)
 127 @end example
 128
 129 Arrays adequadas podem ser alocadas pela funç@~{a}o @code{array}. Por exemplo:
 130
 131 @example
 132 array (my_array, float, n-1)$
 133 @end example
 134
 135 declara um array unidimensional com n elementos, indexado de 0 a
 136 n-1 inclusive. O n@'{u}mero de elementos n deve ser igual a 2^m para algum m.
 137
 138 @code{fft} pode ser aplicada a dados reais (todos os arrays imagin@'{a}rios s@~{a}o iguais a zero) para obter
 139 coeficientes seno e cosseno.  Ap@'{o}s chamar @code{fft}, os coeficientes
 140 seno e cosseno, digamos @code{a} e @code{b}, podem ser calculados como
 141
 142 @example
 143 a[0]: real_array[0]
 144 b[0]: 0
 145 @end example
 146
 147 e
 148
 149 @example
 150 a[j]: real_array[j] + real_array[n-j]
 151 b[j]: imaginary_array[j] - imaginary_array[n-j]
 152 @end example
 153
 154 para j variando de 1 a n/2-1, e
 155
 156 @example
 157 a[n/2]: real_array[n/2]
 158 b[n/2]: 0
 159 @end example
 160
 161 @code{recttopolar} traduz valores complexos da forma @code{a + b %i} para
 162 a forma @code{r %e^(%i t)}. Veja @code{recttopolar}.
 163
 164 @code{polartorect} traduz valores complexos da forma @code{r %e^(%i t)}
 165 para a forma @code{a + b %i}. Veja @code{polartorect}.
 166
 167 @code{demo ("fft")} exibe uma demonstraç@~{a}o do pacote @code{fft}.
 168
 169 @end deffn
 170
 171 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} fortindent
 172 Valor padr@~{a}o: 0
 173
 174 @code{fortindent} controla a margem esquerda de indentaç@~{a}o de
 175 express@~{o}es mostradas pelo comando @code{fortran}.  0 fornece indentaç@~{a}o
 176 normal (i.e., 6 espaços), e valores positivos far@~{a}o com que
 177 express@~{o}es sejam mostrados mais al@'{e}m para a direita.
 178
 179 @end defvr
 180
 181 @deffn {Funç@~{a}o} fortran (@var{expr})
 182 Mostra @var{expr} como uma declaraç@~{a}o Fortran.
 183 A linha de sa@'{i}da @'{e} indentada com espaços.
 184 Se a linha for muito longa, @code{fortran} imprime linhas de continuaç@~{a}o.
 185 @code{fortran} mostra o operador de exponenciaç@~{a}o @code{^} como @code{**},
 186 e mostra um n@'{u}mero complexo @code{a + b %i} na forma @code{(a,b)}.
 187
 188 @var{expr} pode ser uma equaç@~{a}o. Nesse caso, @code{fortran} mostra uma declaraç@~{a}o de
 189 atribuiç@~{a}o, atribuindo o primeiro membro (esquerda) da equaç@~{a}o ao segundo membro (direita).
 190 Em particular, se o primeiro membro @var{expr} @'{e} um nome de uma matriz,
 191 ent@~{a}o @code{fortran} mostra uma declaraç@~{a}o de atribuiç@~{a}o para cada elemento da matriz.
 192
 193 Se @var{expr} n@~{a}o for alguma coisa reconhecida por @code{fortran},
 194 a express@~{a}o @'{e} mostrada no formato @code{grind} sem reclamaç@~{a}o.
 195 @code{fortran} n@~{a}o conhece listas, arrays ou funç@~{o}es.
 196
 197 @code{fortindent} controla o margem esquerda das linhas mostradas.
 198 0 @'{e} a margem normal (i.e., indentada 6 espaços). Incrementando @code{fortindent}
 199 faz com que express@~{o}es sejam mostradas adiante para a direita.
 200
 201 quando @code{fortspaces} for @code{true}, @code{fortran} preenche
 202 cada linha mostrada com espaços em branco at@'{e} completar 80 columas.
 203
 204 @code{fortran} avalia seus argumentos;
 205 colocando um ap@'{o}strofo em um argumento evita avaliaç@~{a}o.
 206 @code{fortran} sempre retorna @code{done}.
 207
 208 Exemplos:
 209
 210 @example
 211 (%i1) expr: (a + b)^12$
 212 (%i2) fortran (expr);
 213       (b+a)**12
 214 (%o2)                         done
 215 (%i3) fortran ('x=expr);
 216       x = (b+a)**12
 217 (%o3)                         done
 218 (%i4) fortran ('x=expand (expr));
 219       x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792
 220      1   *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b
 221      2   **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12
 222 (%o4)                         done
 223 (%i5) fortran ('x=7+5*%i);
 224       x = (7,5)
 225 (%o5)                         done
 226 (%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]);
 227       x = [1,2,3,4]
 228 (%o6)                         done
 229 (%i7) f(x) := x^2$
 230 (%i8) fortran (f);
 231       f
 232 (%o8)                         done
 233 @end example
 234
 235 @end deffn
 236
 237 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} fortspaces
 238 Valor padr@~{a}o: @code{false}
 239
 240 Quando @code{fortspaces} for @code{true}, @code{fortran} preenche
 241 cada linha mostrada com espaços em branco at@'{e} completar 80 columas.
 242
 243 @end defvr
 244
 245 @deffn {Funç@~{a}o} horner (@var{expr}, @var{x})
 246 @deffnx {Funç@~{a}o} horner (@var{expr})
 247 Retorna uma representaç@~{a}o rearranjada de @var{expr} como
 248 na regra de Horner, usando @var{x} como vari@'{a}vel principal se isso for especificado.
 249 @code{x} pode ser omitido e nesse caso a vari@'{a}vel principal da forma de express@~{a}o racional
 250 can@^{o}nica de @var{expr} @'{e} usada.
 251
 252 @code{horner} algumas vezes melhora a estabilidade se @code{expr} for
 253 ser numericamente avaliada.  Isso tamb@'{e}m @'{e} @'{u}til se Maxima @'{e} usado para
 254 gerar programas para rodar em Fortran. Veja tamb@'{e}m @code{stringout}.
 255
 256 @example
 257 (%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
 258                            2
 259 (%o1)            1.0E-155 x  - 5.5 x + 5.2E+155
 260 (%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
 261 (%o2)            (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
 262 (%i3) ev (expr, x=1e155);
 263 Maxima encountered a Lisp error:
 264
 265  floating point overflow
 266
 267 Automatically continuing.
 268 To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
 269 (%i4) ev (expr2, x=1e155);
 270 (%o4)                       7.0E+154
 271 @end example
 272
 273 @end deffn
 274
 275 @c NEEDS WORK
 276 @deffn {Funç@~{a}o} find_root (@var{f}(@var{x}), @var{x}, @var{a}, @var{b})
 277 @deffnx {Funç@~{a}o} find_root (@var{f}, @var{a}, @var{b})
 278 Encontra a ra@'{i}z da funç@~{a}o @var{f} com a vari@'{a}vel @var{x} percorrendo o intervalo @code{[@var{a}, @var{b}]}.
 279 A funç@~{a}o deve ter um
 280 sinal diferente em cada ponto final.  Se essa condiç@~{a}o n@~{a}o for alcançada, a
 281 action of the function is governed by @code{find_root_error}.  If
 282 @code{find_root_error} is @code{true} then an error occurs, otherwise the value of
 283 @code{find_root_error} is returned (thus for plotting @code{find_root_error} might be set to
 284 0.0).  De outra forma (dado que Maxima pode avaliar o primeiro argumento
 285 no intervalo especificado, e que o intervalo @'{e} cont@'{i}nuo) @code{find_root} @'{e}
 286 garantido vir para cima com a ra@'{i}z (ou um deles se existir mais
 287 que uma ra@'{i}z).  A precis@~{a}o de @code{find_root} @'{e} governada por
 288 @code{intpolabs} e @code{intpolrel} os quais devem ser n@'{u}meros em ponto flutuante
 289 n@~{a}o negativos.  @code{find_root} encerrar@'{a} quando o primeiro argumento avaliar para
 290 alguma coisa menor que ou igual a @code{intpolabs} ou se sucessivas
 291 aproximaç@~{o}es da ra@'{i}z diferirem por n@~{a}o mais que @code{intpolrel * <um dos aproximandos>}.
 292 O valor padr@~{a}o de @code{intpolabs} e @code{intpolrel} s@~{a}o
 293 0.0 de forma que @code{find_root} pega como boa uma resposta como for poss@'{i}vel com a
 294 precis@~{a}o aritm@'{e}tica simples que tivermos.  O primeiro argumento pode ser uma
 295 equaç@~{a}o.  A ordem dos dois @'{u}ltimos argumentos @'{e} irrelevante.  Dessa forma
 296
 297 @example
 298 find_root (sin(x) = x/2, x, %pi, 0.1);
 299 @end example
 300
 301 @'{e} equivalente a
 302
 303 @example
 304 find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 305 @end example
 306
 307 O m@'{e}todo usado @'{e} uma busca bin@'{a}ria no intervalo especificado pelos @'{u}ltimos
 308 dois argumentos.  Quando o resultado da busca for encontrado a funç@~{a}o @'{e} fechada o suficiente para ser
 309 linear, isso inicia usando interpolaç@~{a}o linear.
 310
 311 Examples:
 312 @c ===beg===
 313 @c f(x):=(mode_declare(x,float),sin(x)-x/2.0);
 314 @c find_root(sin(x)-x/2,x,0.1,%pi)       time= 60 msec
 315 @c find_root(f(x),x,0.1,%pi);            time= 68 msec
 316 @c translate(f);
 317 @c find_root(f(x),x,0.1,%pi);            time= 26 msec
 318 @c find_root(f,0.1,%pi);                 time=  5 msec
 319 @c
 320 @c STUFF BELOW GENERATED FROM THE FOLLOWING
 321 @c f(x) := sin(x) - x/2;
 322 @c find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
 323 @c find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 324 @c find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
 325 @c find_root (f, 0.1, %pi);
 326 @example
 327 (%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
 328                                         x
 329 (%o1)                  f(x) := sin(x) - -
 330                                         2
 331 (%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
 332 (%o2)                   1.895494267033981
 333 (%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 334 (%o3)                   1.895494267033981
 335 (%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
 336 (%o4)                   1.895494267033981
 337 (%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
 338 (%o5)                   1.895494267033981
 339 @end example
 340
 341 @end deffn
 342
 343 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} find_root_abs
 344 Valor padr@~{a}o: 0.0
 345
 346 @code{find_root_abs} @'{e} a precis@~{a}o do comando @code{find_root}. A precis@~{a}o @'{e}
 347 governada por @code{find_root_abs} e @code{find_root_rel} que devem ser
 348 n@'{u}meros n@~{a}o negativos em ponto flutuante.  @code{find_root} terminar@'{a} quando o
 349 primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a @code{find_root_abs} ou se
 350 sucessivos aproximandos para a ra@'{i}z diferirem por n@~{a}o mais que @code{find_root_rel * <um dos aproximandos>}.
 351 Os valores padr@~{a}o de @code{find_root_abs} e
 352 @code{find_root_rel} s@~{a}o 0.0 de forma que @code{find_root} tome como boa uma resposta que for poss@'{i}vel
 353 com a precis@~{a}o aritm@'{e}tica simples que tivermos.
 354
 355 @end defvr
 356
 357 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} find_root_error
 358 Valor padr@~{a}o: @code{true}
 359
 360 @code{find_root_error} governa o comportamento de @code{find_root}.
 361 Quando @code{find_root} for chamada, ela determina se a funç@~{a}o
 362 a ser resolvida satisfaz ou n@~{a}o a condiç@~{a}o que os valores da
 363 funç@~{a}o nos pontos finais do intervalo de interpolaç@~{a}o s@~{a}o opostos
 364 em sinal.  Se eles forem de sinais opostos, a interpolaç@~{a}o prossegue.
 365 Se eles forem de mesmo sinal, e @code{find_root_error} for @code{true}, ent@~{a}o um erro @'{e}
 366 sinalizado.  Se eles forem de mesmo sinal e @code{find_root_error} n@~{a}o for @code{true}, o
 367 valor de @code{find_root_error} @'{e} retornado.  Dessa forma para montagem de gr@'{a}fico, @code{find_root_error}
 368 pode ser escolhida para 0.0.
 369
 370 @end defvr
 371
 372 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} find_root_rel
 373 Valor padr@~{a}o: 0.0
 374
 375 @code{find_root_rel} @'{e} a precis@~{a}o do comando @code{find_root} e @'{e}
 376 governada por @code{find_root_abs} e @code{find_root_rel} que devem ser
 377 n@'{u}meros n@~{a}o negativos em ponto flutuante.  @code{find_root} terminar@'{a} quando o
 378 primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a @code{find_root_abs} ou se
 379 sucessivos aproximandos para a ra@'{i}z diferirem de n@~{a}o mais que @code{find_root_rel * <um dos aproximandos>}.
 380 Os valores padr@~{a}o de @code{find_root_labs} e
 381 @code{find_root_rel} @'{e} 0.0 de forma que @code{find_root} toma como boa uma resposta que for poss@'{i}vel
 382 com a precis@~{a}o aritm@'{e}tica simples que tivermos.
 383
 384 @end defvr
 385
 386 @deffn {Funç@~{a}o} newton (@var{expr}, @var{x}, @var{x_0}, @var{eps})
 387 Retorna uma soluç@~{a}o aproximada de @code{@var{expr} = 0} atrav@'{e}s do m@'{e}todo de Newton,
 388 considerando @var{expr} como sendo uma funç@~{a}o de uma vari@'{a}vel, @var{x}.
 389 A busca pela soluç@~{a}o começa com @code{@var{x} = @var{x_0}}
 390 e prossegue at@'{e} @code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}
 391 (com @var{expr} avaliada para o valor corrente de @var{x}).
 392
 393 @code{newton} permite que vari@'{a}veis indefinidas apareçam em @var{expr},
 394 contanto que o teste de terminaç@~{a}o @code{abs(@var{expr}) < @var{eps}} avalie
 395 para @code{true} ou @code{false}.
 396 Dessa forma n@~{a}o @'{e} necess@'{a}rio que @var{expr} avalie para um n@'{u}mero.
 397
 398 @code{load(newton1)} chama essa funç@~{a}o.
 399
 400 Veja tamb@'{e}m @code{realroots}, @code{allroots}, @code{find_root}, e @code{mnewton}.
 401
 402 Exemplos:
 403
 404 @c ===beg===
 405 @c load (newton1);
 406 @c newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 407 @c ev (cos (u), u = %);
 408 @c assume (a > 0);
 409 @c newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 410 @c ev (x^2 - a^2, x = %);
 411 @c ===end===
 412 @example
 413 (%i1) load (newton1);
 414 (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
 415 (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 416 (%o2)                   1.570675277161251
 417 (%i3) ev (cos (u), u = %);
 418 (%o3)                 1.2104963335033528E-4
 419 (%i4) assume (a > 0);
 420 (%o4)                        [a > 0]
 421 (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 422 (%o5)                  1.00030487804878 a
 423 (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
 424                                            2
 425 (%o6)                6.098490481853958E-4 a
 426 @end example
 427
 428 @end deffn
 429
 430 @node Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para S@'{e}ries de Fourier, , Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Num@'{e}rico, Num@'{e}rico
 431 @section Funç@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para S@'{e}ries de Fourier
 432
 433 @c REPHRASE
 434 @deffn {Funç@~{a}o} equalp (@var{x}, @var{y})
 435 Retorna @code{true} se @code{equal (@var{x}, @var{y})} de outra forma @code{false} (n@~{a}o fornece uma
 436 mensagem de erro como @code{equal (x, y)} poderia fazer nesse caso).
 437
 438 @c NEEDS EXAMPLES
 439 @end deffn
 440
 441 @deffn {Funç@~{a}o} remfun (@var{f}, @var{expr})
 442 @deffnx {Funç@~{a}o} remfun (@var{f}, @var{expr}, @var{x})
 443 @code{remfun (@var{f}, @var{expr})}
 444 substitue todas as ocorr@^{e}ncias de @code{@var{f} (@var{arg})} por @var{arg} em @var{expr}.
 445
 446 @code{remfun (@var{f}, @var{expr}, @var{x})}
 447 substitue todas as ocorr@^{e}ncias de @code{@var{f} (@var{arg})} por @var{arg} em @var{expr}
 448 somente se @var{arg} contiver a vari@'{a}vel @var{x}.
 449
 450 @c NEEDS EXAMPLES
 451 @end deffn
 452
 453 @deffn {Funç@~{a}o} funp (@var{f}, @var{expr})
 454 @deffnx {Funç@~{a}o} funp (@var{f}, @var{expr}, @var{x})
 455 @code{funp (@var{f}, @var{expr})}
 456 retorna @code{true} se @var{expr} cont@'{e}m a funç@~{a}o @var{f}.
 457
 458 @code{funp (@var{f}, @var{expr}, @var{x})}
 459 retorna @code{true} se @var{expr} cont@'{e}m a funç@~{a}o @var{f} e a vari@'{a}vel
 460 @var{x} em algum lugar no argumento de uma das inst@^{a}ncias de @var{f}.
 461
 462 @c NEEDS EXAMPLES
 463 @end deffn
 464
 465 @deffn {Funç@~{a}o} absint (@var{f}, @var{x}, @var{halfplane})
 466 @deffnx {Funç@~{a}o} absint (@var{f}, @var{x})
 467 @deffnx {Funç@~{a}o} absint (@var{f}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
 468 @code{absint (@var{f}, @var{x}, @var{halfplane})}
 469 retorna a integral indefinida de @var{f} com relaç@~{a}o a
 470 @var{x} no dado semi-plano (@code{pos}, @code{neg}, ou @code{both}).
 471 @var{f} pode conter express@~{o}es da forma
 472 @code{abs (x)}, @code{abs (sin (x))}, @code{abs (a) * exp (-abs (b) * abs (x))}.
 473
 474 @code{absint (@var{f}, @var{x})} @'{e} equivalente a @code{absint (@var{f}, @var{x}, pos)}.
 475
 476 @code{absint (@var{f}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}
 477 retorna a integral definida de @var{f} com relaç@~{a}o a @var{x} de @var{a} at@'{e} @var{b}.
 478 @c SAME LIST AS ABOVE ??
 479 @var{f} pode incluir valores absolutos.
 480
 481 @c NEEDS EXAMPLES
 482 @end deffn
 483
 484 @c NEEDS EXPANSION
 485 @deffn {Funç@~{a}o} fourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 486 Retorna uma lista de coeficientes de Fourier de @code{@var{f}(@var{x})} definidos
 487 sobre o intervalo @code{[-p, p]}.
 488
 489 @c NEEDS EXAMPLES
 490 @end deffn
 491
 492 @c NEES EXPANSION. WHAT IS THE ARGUMENT l ??
 493 @deffn {Funç@~{a}o} foursimp (@var{l})
 494 Simplifica @code{sin (n %pi)} para 0 se @code{sinnpiflag} for @code{true} e
 495 @code{cos (n %pi)} para @code{(-1)^n} se @code{cosnpiflag} for @code{true}.
 496
 497 @c NEEDS EXAMPLES
 498 @end deffn
 499
 500 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} sinnpiflag
 501 Valor padr@~{a}o: @code{true}
 502
 503 Veja @code{foursimp}.
 504
 505 @end defvr
 506
 507 @defvr {Vari@'{a}vel de opç@~{a}o} cosnpiflag
 508 Valor padr@~{a}o: @code{true}
 509
 510 Veja @code{foursimp}.
 511
 512 @end defvr
 513
 514 @c NEEDS EXPANSION. EXPLAIN x AND p HERE (DO NOT REFER SOMEWHERE ELSE)
 515 @deffn {Funç@~{a}o} fourexpand (@var{l}, @var{x}, @var{p}, @var{limit})
 516 Constr@'{o}i e retorna a s@'{e}rie de Fourier partindo da lista de
 517 coeficientes de Fourier @var{l} at@'{e} (up through) @var{limit} termos (@var{limit}
 518 pode ser @code{inf}). @var{x} e @var{p} possuem o mesmo significado que em
 519 @code{fourier}.
 520
 521 @c NEEDS EXAMPLES
 522 @end deffn
 523
 524 @c NEEDS EXPANSION. WHAT IS THE ARGUMENT p ??
 525 @deffn {Funç@~{a}o} fourcos (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 526 Retorna os coeficientes do cosseno de Fourier para @code{@var{f}(@var{x})} definida sobre @code{[0, %pi]}.
 527
 528 @c NEEDS EXAMPLES
 529 @end deffn
 530
 531 @c NEEDS EXPANSION
 532 @deffn {Funç@~{a}o} foursin (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 533 Retorna os coeficientes do seno de Fourier para @code{@var{f}(@var{x})} definida sobre @code{[0, @var{p}]}.
 534
 535 @c NEEDS EXAMPLES
 536 @end deffn
 537
 538 @c NEEDS EXPANSION
 539 @deffn {Funç@~{a}o} totalfourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 540 Retorna @code{fourexpand (foursimp (fourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})), @var{x}, @var{p}, 'inf)}.
 541
 542 @c NEEDS EXAMPLES
 543 @end deffn
 544
 545 @c NEEDS EXPANSION
 546 @deffn {Funç@~{a}o} fourint (@var{f}, @var{x})
 547 Constr@'{o}i e retorna uma lista de coeficientes de integral de Fourier de @code{@var{f}(@var{x})}
 548 definida sobre @code{[minf, inf]}.
 549
 550 @c NEEDS EXAMPLES
 551 @end deffn
 552
 553 @c NEEDS EXPANSION
 554 @deffn {Funç@~{a}o} fourintcos (@var{f}, @var{x})
 555 Retorna os coeficientes da integral do cosseno de Fourier para @code{@var{f}(@var{x})} on @code{[0, inf]}.
 556
 557 @c NEEDS EXAMPLES
 558 @end deffn
 559
 560 @c NEEDS EXPANSION
 561 @deffn {Funç@~{a}o} fourintsin (@var{f}, @var{x})
 562 Retorna os coeficientes da integral do seno de Fourier para @code{@var{f}(@var{x})} on @code{[0, inf]}.
 563
 564 @c NEEDS EXAMPLES
 565 @end deffn