share/contrib/diffequations/contrib_ode.usg

   1 -*- mode: Text;  -*-
   2
   3 MAXIMA's ordinary differential equation (ODE) solver ODE2 solves
   4 elementary linear ODEs of first and second order.  The function
   5 contrib_ode extends ODE2 with additional methods.  The code may be
   6 integrated into MAXIMA at some stage.
   7
   8 The calling convention for contrib_ode is identical to ODE2.  It takes
   9 three arguments: an ODE (only the left hand side need be given if the
  10 right hand side is 0), the dependent variable, and the independent
  11 variable.  When successful, it returns a list of solutions.
  12
  13 A solution can have a number of forms:
  14  o  an explicit solution for the dependent variable,
  15  o  an implicit solution for the dependent variable,
  16  o  a parametric solution in terms of variable %t, or
  17  o  a tranformation into another ODE in variable %u.
  18
  19 %c is used to represent the constant in the case of first order equations,
  20 and %k1 and %k2 the constants for second order equations.  If contrib_ode
  21 cannot obtain a solution for whatever reason, it returns false, after
  22 perhaps printing out an error message.
  23
  24 (C1) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;
  25
  26                            dy 2             dy
  27 (D1)                    x (--)  - (x y + 1) -- + y = 0
  28                            dx               dx
  29
  30 (C2) contrib_ode(eqn,y,x);
  31
  32                                                     x
  33 (D2)                     [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
  34
  35
  36 (C3) method;
  37
  38 (D3)                                factor
  39
  40 Nonlinear odes can have singular solutions without constants of
  41 integration.
  42
  43 (C4) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;
  44
  45                               dy 2     dy
  46 (D4)                         (--)  + x -- - y = 0
  47                               dx       dx
  48
  49 (C5) contrib_ode(eqn,y,x);
  50
  51                                                   2
  52                                         2        x
  53 (D5)                      [y = %C x + %C , y = - --]
  54                                                  4
  55 (C6) method;
  56
  57 (D6)                               clairault
  58
  59
  60 The following ode has two parametric solutions in terms of the dummy
  61 variable %t.  In this case the parametric solutions can be manipulated
  62 to give explicit solutions.
  63
  64 (C7) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;
  65
  66                                  dy          2
  67 (D7)                             -- = (y + x)
  68                                  dx
  69
  70 (C8) contrib_ode(eqn,y,x);
  71
  72 (D8) [[x = %C - ATAN(SQRT(%T)), y = - x - SQRT(%T)],
  73       [x = ATAN(SQRT(%T)) + %C, y = SQRT(%T) - x]]
  74
  75 (C9) method;
  76
  77 (D9)                              lagrange
  78
  79 The following Riccati equation is transformed into a linear
  80 second order ODE in the variable %u.  maxima is unable to
  81 solve the new ODE.
  82
  83 (%i7) eqn:'diff(y,x)+1-x=(x+y)*y;
  84
  85                             dy
  86 (%o7)                       -- - x + 1 = y (y + x)
  87                             dx
  88
  89 (%i8) contrib_ode(eqn,y,x);
  90
  91                         d%u
  92                         ---                          2
  93                         dx     d%u                  D %u
  94 (%o8)           [[y = - ---, - --- x + %u (x - 1) + ---- = 0]]
  95                         %u     dx                     2
  96                                                     dx
  97
  98 (%i9) method;
  99
 100 (%o9)                               riccati
 101
 102
 103 For first order ODEs contrib_ode calls ode2.  It then tries the
 104 following methods: factorization, Clairault, Lagrange, Riccati,
 105 Abel and Lie symmetry methods.  The Lie method is not attempted
 106 on Abel equations if the Abel method fails, but it is tried
 107 if the Riccati method returns an unsolved second order ODE.
 108
 109 For second order ODEs contrib_ode calls ode2.  No other methods are
 110 implemented yet.
 111
 112 Extensive debugging traces and messages are displayed if the command
 113 put('contrib_ode,true,'verbose) is executed.
 114
 115
 116 TO DO
 117 =====
 118
 119 These routines are work in progress.  I still need to:
 120
 121 * Extend the FACTOR method ode1_factor to work for multiple roots.
 122
 123 * Extend the FACTOR method ode1_factor to attempt to solve higher
 124   order factors.  At present it only attemps to solve linear factors.
 125
 126 * Fix the LAGRANGE routine ode1_lagrange to prefer real roots over
 127   complex roots.
 128
 129 * Add additional methods for Riccati equations.
 130
 131 * Improve the detection of Abel equations of second kind.  The exisiting
 132   pattern matching is weak.
 133
 134 * Work on the Lie symmetry group routine ode1_lie.  There are quite a
 135   few problems with it: some parts are unimplemented; some test cases
 136   seem to run forever; other test cases crash; yet others return very
 137   complex "solutions".  I wonder if it really ready for release yet.
 138
 139 * Add more test cases.
 140
 141 TEST CASES
 142 ==========
 143
 144 The routines have been tested on a few hundred test cases from Murphy,
 145 Kamke and Zwillinger.  These are included in the tests subdirectory.
 146
 147 * The Clairault routine ode1_clairault finds all known solutions,
 148   including singular soultions.  (This statement is asking for
 149   trouble).
 150
 151 * The other routines often return a single solution when multiple
 152   solutions exist.
 153
 154 * Some of the "solutions" from ode1_lie are overly complex and
 155   impossible to check.
 156
 157 * There are some crashes.
 158
 159
 160 References
 161 ==========
 162
 163 [1] E Kamke, Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen, Vol 1,
 164     Geest & Portig, Leipzig, 1961
 165
 166 [2] G M Murphy, Ordinary Differential Equations and Their Solutions,
 167     Van Nostrand, New York, 1960
 168
 169 [3] D Zwillinger, Handbook of Differential Equations, 3rd edition,
 170     Academic Press, 1998
 171
 172 [4] F Schwarz, Symmetry Analysis of Abel's Equation, Studies in
 173     Applied Mathematics, 100:269-294 (1998)
 174
 175 [5] F Schwarz, Algorithmic Solution of Abel's Equation,
 176     Computing 61, 39-49 (1998)
 177
 178 [6] E. S. Cheb-Terrab, A. D. Roche, Symmetries and First Order
 179     ODE Patterns, Computer Physics Communications 113 (1998), p 239.
 180     (http://lie.uwaterloo.ca/papers/ode_vii.pdf)
 181
 182 [7] E. S. Cheb-Terrab, T. Koloknikov,  First Order ODEs,
 183     Symmetries and Linear Transformations, European Journal of
 184     Applied Mathematics, Vol. 14, No. 2, pp. 231-246 (2003).
 185     (http://arxiv.org/abs/math-ph/0007023)
 186     (http://lie.uwaterloo.ca/papers/ode_iv.pdf)
 187
 188 [8] G W Bluman, S C Anco, Symmetry and Integration Methods for
 189     Differential Equations, Springer, (2002)