doc/info/bernstein.texi

   1 @menu
   2 * Functions and Variables for Bernstein::
   3 @end menu
   4
   5 @node Functions and Variables for Bernstein,  , Bernstein, Bernstein
   6 @section Functions and Variables for Bernstein
   7
   8 @deffn {Function} bernstein_poly (@var{k}, @var{n}, @var{x})
   9
  10 Provided @code{k} is not a negative integer, the Bernstein polynomials
  11 are defined by @code{bernstein_poly(k,n,x) = binomial(n,k) x^k
  12 (1-x)^(n-k)}; for a negative integer @code{k}, the Bernstein polynomial
  13 @code{bernstein_poly(k,n,x)} vanishes.  When either @code{k} or @code{n} are
  14 non integers, the option variable @code{bernstein_explicit}
  15 controls the expansion of the Bernstein polynomials into its explicit form;
  16 example:
  17
  18 @example
  19 (%i1) load(bernstein)$
  20
  21 (%i2) bernstein_poly(k,n,x);
  22 (%o2)                bernstein_poly(k, n, x)
  23 (%i3) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
  24                                        n - k  k
  25 (%o3)            binomial(n, k) (1 - x)      x
  26 @end example
  27
  28 The Bernstein polynomials have both a gradef property and an integrate property:
  29
  30 @example
  31 (%i4) diff(bernstein_poly(k,n,x),x);
  32 (%o4) (bernstein_poly(k - 1, n - 1, x)
  33                                  - bernstein_poly(k, n - 1, x)) n
  34 (%i5) integrate(bernstein_poly(k,n,x),x);
  35 (%o5)
  36                                                             k + 1
  37  hypergeometric([k + 1, k - n], [k + 2], x) binomial(n, k) x
  38  ----------------------------------------------------------------
  39                               k + 1
  40 @end example
  41
  42 For numeric inputs, both real and complex, the Bernstein polynomials evaluate
  43 to a numeric result:
  44
  45 @example
  46 (%i6) bernstein_poly(5,9, 1/2 + %i);
  47                         39375 %i   39375
  48 (%o6)                   -------- + -----
  49                           128       256
  50 (%i7) bernstein_poly(5,9, 0.5b0 + %i);
  51 (%o7)           3.076171875b2 %i + 1.5380859375b2
  52 @end example
  53
  54 To use @code{bernstein_poly}, first @code{load("bernstein")}.
  55
  56 @end deffn
  57
  58
  59 @defvr {Variable} bernstein_explicit
  60 Default value: @code{false}
  61
  62 When either @code{k} or @code{n} are non integers, the option variable
  63 @code{bernstein_explicit} controls the expansion of @code{bernstein(k,n,x)}
  64 into its explicit form; example:
  65
  66 @example
  67 (%i1) bernstein_poly(k,n,x);
  68 (%o1)                bernstein_poly(k, n, x)
  69 (%i2) bernstein_poly(k,n,x), bernstein_explicit : true;
  70                                        n - k  k
  71 (%o2)            binomial(n, k) (1 - x)      x
  72 @end example
  73 When both @code{k} and @code{n} are explicitly integers, @code{bernstein(k,n,x)}
  74 @emph{always} expands to its explicit form.
  75
  76 @end defvr
  77
  78
  79 @deffn {Function} multibernstein_poly (@var{[k1,k2,@dots{}, kp]}, @var{[n1,n2,@dots{}, np]}, @var{[x1,x2,@dots{}, xp]})
  80
  81 The multibernstein polynomial @code{multibernstein_poly (@var{[k1, k2, ...,
  82 kp]}, @var{[n1, n2, ..., np]}, @var{[x1, x2, ..., xp]})} is the product of
  83 bernstein polynomials @code{bernstein_poly(k1, n1, x1)
  84 bernstein_poly(k2, n2, x2) ... bernstein_poly(kp, np, xp)}.
  85
  86 To use @code{multibernstein_poly}, first @code{load("bernstein")}.
  87
  88 @end deffn
  89
  90 @deffn {Function} bernstein_approx (@var{f}, @var{[x1, x1, @dots{}, xn]}, n)
  91
  92 Return the @code{n}-th order uniform Bernstein polynomial approximation for the
  93 function @code{(x1, x2, ..., xn) |--> f}.
  94 Examples
  95
  96 @example
  97 (%i1) bernstein_approx(f(x),[x], 2);
  98                  2       1                          2
  99 (%o1)      f(1) x  + 2 f(-) (1 - x) x + f(0) (1 - x)
 100                          2
 101 (%i2) bernstein_approx(f(x,y),[x,y], 2);
 102                2  2       1                2
 103 (%o2) f(1, 1) x  y  + 2 f(-, 1) (1 - x) x y
 104                           2
 105                   2  2          1   2
 106  + f(0, 1) (1 - x)  y  + 2 f(1, -) x  (1 - y) y
 107                                 2
 108        1  1                               1         2
 109  + 4 f(-, -) (1 - x) x (1 - y) y + 2 f(0, -) (1 - x)  (1 - y) y
 110        2  2                               2
 111             2        2       1                      2
 112  + f(1, 0) x  (1 - y)  + 2 f(-, 0) (1 - x) x (1 - y)
 113                              2
 114                   2        2
 115  + f(0, 0) (1 - x)  (1 - y)
 116 @end example
 117
 118 To use @code{bernstein_approx}, first @code{load("bernstein")}.
 119
 120 @end deffn
 121
 122 @deffn {Function} bernstein_expand (@var{e}, @var{[x1, x1, @dots{}, xn]})
 123
 124 Express the @emph{polynomial} @code{e} exactly as a linear combination of multi-variable
 125 Bernstein polynomials.
 126
 127 @example
 128 (%i1) bernstein_expand(x*y+1,[x,y]);
 129 (%o1)    2 x y + (1 - x) y + x (1 - y) + (1 - x) (1 - y)
 130 (%i2) expand(%);
 131 (%o2)                        x y + 1
 132 @end example
 133
 134 Maxima signals an error when the first argument isn't a polynomial.
 135
 136 To use @code{bernstein_expand}, first @code{load("bernstein")}.
 137
 138 @end deffn
 139