doc/info/ja/Numerical.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to fast Fourier transform::
   3 * Functions and Variables for fast Fourier transform::
   4 * Introduction to Fourier series::
   5 * Functions and Variables for Fourier series::
   6 @end menu
   7
   8 @c -----------------------------------------------------------------------------
   9 @node Introduction to fast Fourier transform, Functions and Variables for fast Fourier transform, Numerical, Numerical
  10 @section Introduction to fast Fourier transform
  11 @c -----------------------------------------------------------------------------
  12
  13 @code{fft}パッケージは、高速Fourier変換の（数式計算ではなく）数値計算に関する関数を含みます。
  14
  15 @opencatbox
  16 @category{Fourier transform} @category{Numerical methods} @category{Share packages} @category{Package fft}
  17 @closecatbox
  18
  19 @c end concepts Numerical
  20
  21 @c -----------------------------------------------------------------------------
  22 @node Functions and Variables for fast Fourier transform, Introduction to Fourier series, Introduction to fast Fourier transform, Numerical
  23 @section Functions and Variables for fast Fourier transform
  24 @c -----------------------------------------------------------------------------
  25
  26 @c -----------------------------------------------------------------------------
  27 @anchor{polartorect}
  28 @deffn {関数} polartorect (@var{r}, @var{t})
  29
  30 形式@code{r %e^(%i t)}の複素値を形式@code{a + b %i}に変換します。
  31 ここで、@var{r}は大きさで、@var{t}は位相です。
  32 @var{r}と@var{t}は、同じサイズの１次元配列です。
  33 配列のサイズは2のべき乗である必要はありません。
  34
  35 関数が戻ると、入力配列の元の値は、実部@code{a}と虚部@code{b}に置き換えられます。
  36 出力は、以下のように計算されます。
  37
  38 @example
  39 a = r cos(t)
  40 b = r sin(t)
  41 @end example
  42
  43 @code{polartorect}は、@code{recttopolar}の逆関数です。
  44
  45 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
  46 @code{fft}も参照してください。
  47
  48 @opencatbox
  49 @category{Package fft} @category{Complex variables}
  50 @closecatbox
  51 @end deffn
  52
  53 @c -----------------------------------------------------------------------------
  54 @anchor{recttopolar}
  55 @deffn {関数} recttopolar (@var{a}, @var{b})
  56
  57 形式@code{a + b %i}の複素値を形式@code{r %e^(%i t)}に変換します。
  58 ここで、@var{a}は実部で、@var{b}は虚部です。
  59 @var{a}と@var{b}は同じサイズの１次元配列です。
  60 配列のサイズは2のべき乗である必要はありません。
  61
  62 関数が戻ると、入力配列の元の値は、大きさ@code{r}と偏角@code{t}に置き換えられます。
  63 出力は、以下のように計算されます。
  64
  65 @example
  66 r = sqrt(a^2 + b^2)
  67 t = atan2(b, a)
  68 @end example
  69
  70 計算された偏角は、@code{-%pi}から@code{%pi}の範囲の中にあります。
  71
  72 @code{recttopolar}は@code{polartorect}の逆関数です。
  73
  74 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
  75 @code{fft}も参照してください。
  76
  77 @opencatbox
  78 @category{Package fft} @category{Complex variables}
  79 @closecatbox
  80 @end deffn
  81
  82 @c -----------------------------------------------------------------------------
  83 @anchor{inverse_fft}
  84 @deffn {関数} inverse_fft (@var{y})
  85
  86 複素逆高速Fourier変換を計算します。
  87 @var{y}は、変換されるデータを含むリストもしくは配列です。
  88 要素の数は2のべき乗でなければいけません。
  89 要素は、数リテラル（整数、有理数、浮動小数点、多倍長浮動小数点）、シンボル定数、
  90 もしくは、@code{a}と@code{b}が数リテラルもしくはシンボル定数である式@code{a + b*%i}
  91 でなければいけません。
  92
  93 @code{inverse_fft}は、@var{y}と同じタイプの新しいオブジェクトを返します。
  94 @var{y}は変更されません。
  95 結果はいつも浮動小数点、もしくは@code{a}と@code{b}が浮動小数点であるところの式
  96 @code{a + b*%i}として計算されます。
  97
  98 逆離散Fourier変換は、以下のように定義されます。
  99 @code{x}を逆変換の出力とします。
 100 @code{j}が0から@code{n - 1}まで変わる中、
 101
 102 @example
 103 x[j] = sum(y[k] exp(+2 %i %pi j k / n), k, 0, n - 1)
 104 @end example
 105
 106 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
 107
 108 @code{fft} (正変換), @code{recttopolar}, @code{polartorect}も参照してください。
 109
 110 例:
 111
 112 実数データ。
 113
 114 @c ===beg===
 115 @c load (fft) $
 116 @c fpprintprec : 4 $
 117 @c L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 118 @c L1 : inverse_fft (L);
 119 @c L2 : fft (L1);
 120 @c lmax (abs (L2 - L));
 121 @c ===end===
 122 @example
 123 (%i1) load (fft) $
 124 (%i2) fpprintprec : 4 $
 125 (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 126 (%i4) L1 : inverse_fft (L);
 127 (%o4) [0.0, 14.49 %i - .8284, 0.0, 2.485 %i + 4.828, 0.0,
 128                        4.828 - 2.485 %i, 0.0, - 14.49 %i - .8284]
 129 (%i5) L2 : fft (L1);
 130 (%o5) [1.0, 2.0 - 2.168L-19 %i, 3.0 - 7.525L-20 %i,
 131 4.0 - 4.256L-19 %i, - 1.0, 2.168L-19 %i - 2.0,
 132 7.525L-20 %i - 3.0, 4.256L-19 %i - 4.0]
 133 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 134 (%o6)                       3.545L-16
 135 @end example
 136
 137 複素数データ
 138
 139 @c ===beg===
 140 @c load (fft) $
 141 @c fpprintprec : 4 $
 142 @c L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 143 @c L1 : inverse_fft (L);
 144 @c L2 : fft (L1);
 145 @c lmax (abs (L2 - L));
 146 @c ===end===
 147 @example
 148 (%i1) load (fft) $
 149 (%i2) fpprintprec : 4 $
 150 (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 151 (%i4) L1 : inverse_fft (L);
 152 (%o4) [4.0, 2.711L-19 %i + 4.0, 2.0 %i - 2.0,
 153 - 2.828 %i - 2.828, 0.0, 5.421L-20 %i + 4.0, - 2.0 %i - 2.0,
 154 2.828 %i + 2.828]
 155 (%i5) L2 : fft (L1);
 156 (%o5) [4.066E-20 %i + 1.0, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 157 1.55L-19 %i - 1.0, - 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 158 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 7.368L-20 %i]
 159 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 160 (%o6)                       6.841L-17
 161 @end example
 162
 163 @opencatbox
 164 @category{Package fft}
 165 @closecatbox
 166 @end deffn
 167
 168 @c -----------------------------------------------------------------------------
 169 @anchor{fft}
 170 @deffn {関数} fft (@var{x})
 171
 172 複素高速Fourier変換を計算します。
 173 @var{x}は、変換されるデータを含むリストもしくは配列です。
 174 要素の数は2のべき乗でなければいけません。
 175 要素は、数リテラル（整数、有理数、浮動小数点、多倍長浮動小数点）、シンボル定数、
 176 もしくは、@code{a}と@code{b}が数リテラルもしくはシンボル定数である式@code{a + b*%i}
 177 でなければいけません。
 178
 179 @code{fft}は、@var{x}と同じタイプの新しいオブジェクトを返します。
 180 @var{x}は変更されません。
 181 結果はいつも浮動小数点、もしくは@code{a}と@code{b}が浮動小数点であるところの式
 182 @code{a + b*%i}として計算されます。
 183
 184 離散Fourier変換は、以下のように定義されます。
 185 @code{y}を変換の出力とします。
 186 @code{k}が0から@code{n - 1}まで変わる中、
 187
 188 @example
 189 y[k] = (1/n) sum(x[j] exp(-2 %i %pi j k / n), j, 0, n - 1)
 190 @end example
 191
 192 データ@var{x}が実数の時、
 193 実係数@code{a}と@code{b}は以下のように計算することができます。
 194 @example
 195 x[j] = sum(a[k]*cos(2*%pi*j*k/n)+b[k]*sin(2*%pi*j*k/n), k, 0, n/2)
 196 @end example
 197
 198 ここで、
 199
 200 @example
 201 a[0] = realpart (y[0])
 202 b[0] = 0
 203 @end example
 204
 205 そして、@code{k}が1からn/2 - 1まで変わる中、
 206
 207 @example
 208 a[k] = realpart (y[k] + y[n - k])
 209 b[k] = imagpart (y[n - k] - y[k])
 210 @end example
 211
 212 そして、
 213
 214 @example
 215 a[n/2] = realpart (y[n/2])
 216 b[n/2] = 0
 217 @end example
 218
 219 @code{load(fft)}はこの関数をロードします。
 220
 221 @code{inverse_fft} (逆変換), @code{recttopolar}, @code{polartorect}も参照してください。
 222
 223 例:
 224
 225 実数データ。
 226
 227 @c ===beg===
 228 @c load (fft) $
 229 @c fpprintprec : 4 $
 230 @c L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 231 @c L1 : fft (L);
 232 @c L2 : inverse_fft (L1);
 233 @c lmax (abs (L2 - L));
 234 @c ===end===
 235 @example
 236 (%i1) load (fft) $
 237 (%i2) fpprintprec : 4 $
 238 (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $
 239 (%i4) L1 : fft (L);
 240 (%o4) [0.0, - 1.811 %i - .1036, 0.0, .6036 - .3107 %i, 0.0,
 241                          .3107 %i + .6036, 0.0, 1.811 %i - .1036]
 242 (%i5) L2 : inverse_fft (L1);
 243 (%o5) [1.0, 2.168L-19 %i + 2.0, 7.525L-20 %i + 3.0,
 244 4.256L-19 %i + 4.0, - 1.0, - 2.168L-19 %i - 2.0,
 245 - 7.525L-20 %i - 3.0, - 4.256L-19 %i - 4.0]
 246 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 247 (%o6)                       3.545L-16
 248 @end example
 249
 250 複素数データ
 251
 252 @c ===beg===
 253 @c load (fft) $
 254 @c fpprintprec : 4 $
 255 @c L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 256 @c L1 : fft (L);
 257 @c L2 : inverse_fft (L1);
 258 @c lmax (abs (L2 - L));
 259 @c ===end===
 260 @example
 261 (%i1) load (fft) $
 262 (%i2) fpprintprec : 4 $
 263 (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $
 264 (%i4) L1 : fft (L);
 265 (%o4) [0.5, .3536 %i + .3536, - 0.25 %i - 0.25,
 266 0.5 - 6.776L-21 %i, 0.0, - .3536 %i - .3536, 0.25 %i - 0.25,
 267 0.5 - 3.388L-20 %i]
 268 (%i5) L2 : inverse_fft (L1);
 269 (%o5) [1.0 - 4.066E-20 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 270 - 1.008L-19 %i - 1.0, 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i,
 271 1.0 %i + 1.0, 1.947L-20 %i + 1.0]
 272 (%i6) lmax (abs (L2 - L));
 273 (%o6)                       6.83L-17
 274 @end example
 275
 276 サインとコサイン係数の計算。
 277
 278 @c ===beg===
 279 @c load (fft) $
 280 @c fpprintprec : 4 $
 281 @c L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $
 282 @c n : length (L) $
 283 @c x : make_array (any, n) $
 284 @c fillarray (x, L) $
 285 @c y : fft (x) $
 286 @c a : make_array (any, n/2 + 1) $
 287 @c b : make_array (any, n/2 + 1) $
 288 @c a[0] : realpart (y[0]) $
 289 @c b[0] : 0 $
 290 @c for k : 1 thru n/2 - 1 do
 291 @c    (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]),
 292 @c     b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k]));
 293 @c a[n/2] : y[n/2] $
 294 @c b[n/2] : 0 $
 295 @c listarray (a);
 296 @c listarray (b);
 297 @c f(j) := sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2) $
 298 @c makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1);
 299 @c ===end===
 300 @example
 301 (%i1) load (fft) $
 302 (%i2) fpprintprec : 4 $
 303 (%i3) L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $
 304 (%i4) n : length (L) $
 305 (%i5) x : make_array (any, n) $
 306 (%i6) fillarray (x, L) $
 307 (%i7) y : fft (x) $
 308 (%i8) a : make_array (any, n/2 + 1) $
 309 (%i9) b : make_array (any, n/2 + 1) $
 310 (%i10) a[0] : realpart (y[0]) $
 311 (%i11) b[0] : 0 $
 312 (%i12) for k : 1 thru n/2 - 1 do
 313    (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]),
 314     b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k]));
 315 (%o12)                        done
 316 (%i13) a[n/2] : y[n/2] $
 317 (%i14) b[n/2] : 0 $
 318 (%i15) listarray (a);
 319 (%o15)          [4.5, - 1.0, - 1.0, - 1.0, - 0.5]
 320 (%i16) listarray (b);
 321 (%o16)           [0, - 2.414, - 1.0, - .4142, 0]
 322 (%i17) f(j) := sum (a[k]*cos(2*%pi*j*k/n) + b[k]*sin(2*%pi*j*k/n),
 323                     k, 0, n/2) $
 324 (%i18) makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1);
 325 (%o18)      [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0]
 326 @end example
 327
 328 @opencatbox
 329 @category{Package fft}
 330 @closecatbox
 331 @end deffn
 332
 333 @c -----------------------------------------------------------------------------
 334 @anchor{fortindent}
 335 @defvr {オプション変数} fortindent
 336 デフォルト値: 0
 337
 338 @code{fortindent}は、@code{fortran}コマンドが表示する式の
 339 式の左マージンインデントを制御します。
 340 0は、標準のプリントアウト(すなわち6スペース)を与え、
 341 正の値は、式を更に右に印字するようにします。
 342
 343 @opencatbox
 344 @category{Translation and compilation}
 345 @closecatbox
 346 @end defvr
 347
 348 @c -----------------------------------------------------------------------------
 349 @anchor{fortran}
 350 @deffn {関数} fortran (@var{expr})
 351
 352 Fortran文として@var{expr}を印字します。
 353 出力行は、スペースでインデントされます。
 354 もし行が長過ぎるなら、
 355 @code{fortran}は継続行を印字します。
 356 @code{fortran}は、指数演算子@code{^}を@code{**}として印字し、
 357 複素数@code{a + b %i}を形式@code{(a,b)}で印字します。
 358
 359 @var{expr}は等式も取り、もしそうなら、@code{fortran}は、
 360 等式の右辺を左辺に割り当てる割り当て文を印字します。
 361 特に、もし@var{expr}の右辺が行列名なら、
 362 @code{fortran}は、行列の要素それぞれに対する割り当て文を印字します。
 363
 364 もし@var{expr}が@code{fortran}が認識する何かでないなら、
 365 エラーなしに、式が@code{grind}フォーマットで印字されます。
 366 @code{fortran}は、リスト、配列、関数について知りません。
 367
 368 @code{fortindent}は、@code{fortran}コマンドが表示する式の
 369 式の左マージンインデントを制御します。
 370 0は、標準のプリントアウト(すなわち6スペース)を与え、
 371 正の値は、式を更に右に印字するようにします。
 372
 373 @code{fortspaces}が@code{true}の時、
 374 @code{fortran}は、印字行それぞれを80カラムまでスペースで埋めます。
 375
 376 @code{fortran}は引数を評価します;
 377 引数のクォートは評価を無効にします。
 378 @code{fortran}はいつも@code{done}を返します。
 379
 380 例:
 381
 382 @verbatim
 383 (%i1) expr: (a + b)^12$
 384 (%i2) fortran (expr);
 385       (b+a)**12
 386 (%o2)                         done
 387 (%i3) fortran ('x=expr);
 388       x = (b+a)**12
 389 (%o3)                         done
 390 (%i4) fortran ('x=expand (expr));
 391       x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792
 392      1   *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b
 393      2   **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12
 394 (%o4)                         done
 395 (%i5) fortran ('x=7+5*%i);
 396       x = (7,5)
 397 (%o5)                         done
 398 (%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]);
 399       x = [1,2,3,4]
 400 (%o6)                         done
 401 (%i7) f(x) := x^2$
 402 (%i8) fortran (f);
 403       f
 404 (%o8)                         done
 405 @end verbatim
 406
 407 @opencatbox
 408 @category{Translation and compilation}
 409 @closecatbox
 410 @end deffn
 411
 412 @c -----------------------------------------------------------------------------
 413 @anchor{fortspaces}
 414 @defvr {オプション変数} fortspaces
 415 デフォルト値: @code{false}
 416
 417 @code{fortspaces}が@code{true}の時、
 418 @code{fortran}は、印字行それぞれを80カラムまでスペースで埋めます。
 419
 420 @opencatbox
 421 @category{Translation and compilation}
 422 @closecatbox
 423 @end defvr
 424
 425 @c -----------------------------------------------------------------------------
 426 @anchor{horner}
 427 @deffn  {関数} horner (@var{expr}, @var{x})
 428 @deffnx {関数} horner (@var{expr})
 429
 430 Horner規則に従って、もし指定されないなら@var{x}を主変数として使い、
 431 @var{expr}の再配列された表現を返します。
 432 @code{x}は、@var{expr}の標準有理式形の主変数が使われる場合には、省略できます。
 433
 434 もし@code{expr}が数値的に評価されるものなら、
 435 @code{horner}は、時々、安定性が改善されます。
 436 また、もしMaximaがFortranで走らせるプログラムを生成するのに使われるなら、
 437 役に立ちます。
 438 @code{stringout}も参照してください。
 439
 440 @example
 441 (%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
 442                            2
 443 (%o1)            1.0E-155 x  - 5.5 x + 5.2E+155
 444 (%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
 445 (%o2)            (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
 446 (%i3) ev (expr, x=1e155);
 447 Maxima encountered a Lisp error:
 448
 449  floating point overflow
 450
 451 Automatically continuing.
 452 To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
 453 (%i4) ev (expr2, x=1e155);
 454 (%o4)                       7.0E+154
 455 @end example
 456
 457 @opencatbox
 458 @category{Numerical methods}
 459 @closecatbox
 460 @end deffn
 461
 462 @c -----------------------------------------------------------------------------
 463 @anchor{find_root}
 464 @anchor{bf_find_root}
 465 @anchor{find_root_error}
 466 @anchor{find_root_abs}
 467 @anchor{find_root_rel}
 468 @deffn  {関数} find_root (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 469 @deffnx {関数} find_root (@var{f}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 470 @deffnx {関数} bf_find_root (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 471 @deffnx {関数} bf_find_root (@var{f}, @var{a}, @var{b}, [@var{abserr}, @var{relerr}])
 472 @deffnx {オプション変数} find_root_error
 473 @deffnx {オプション変数} find_root_abs
 474 @deffnx {オプション変数} find_root_rel
 475
 476 式@var{expr}もしくは関数@var{f}の根を、閉区間@math{[@var{a}, @var{b}]}上で見つけます。
 477 式@var{expr}は等式でも問題ありません。
 478 その場合、@code{find_root}は@code{lhs(@var{expr}) - rhs(@var{expr})}の根を探します。
 479
 480 Maximaは@var{expr}もしくは@var{f}を@math{[@var{a}, @var{b}]}上で評価可能であり、
 481 @var{expr}もしくは@var{f}は連続と仮定して、@code{find_root}は根もしくは、
 482 もし複数の根があるなら、根の１つを見つけることを保証します。
 483
 484 @code{find_root}は初め、２分木探索を適用します。
 485 もし対象の関数が十分滑らかなら，@code{find_root}は代わりに線形内挿を適用します。
 486
 487 @code{f_find_root}は@code{find_root}の多倍長浮動小数点版です。
 488 関数は多倍長浮動小数点数値を使って計算され、多倍長浮動小数点の結果が返されます。
 489 そうでなければ、@code{bf_find_root}は@code{find_root}と同一で、以下の記述は@code{bf_find_root}に同様に適用されます。
 490
 491 @code{find_root}の精度は@code{abserr}と@code{relerr}に支配されます。
 492 それらは@code{fine_root}へのオプションのキーワード引数です。
 493 これらのキーワード引数は形式@code{key=val}を取ります。
 494 キーワード引数は
 495 @table @code
 496 @item abserr
 497 根での関数値の望まれる絶対エラー。デフォルトは、@code{find_root_abs}です。
 498 @item relerr
 499 根の望まれる相対エラー。デフォルトは@code{find_root_rel}です。
 500 @end table
 501
 502 懸案の関数が@code{abserr}以下の何かに評価される時、または、
 503 近似値@var{x_0}, @var{x_1}の差が@code{relerr * max(abs(x_0), abs(x_1))}以下になるなら、@code{find_root}は停止します。
 504
 505 @code{find_root_abs}と@code{find_root_rel}のデフォルト値はともに零です。
 506
 507 @code{find_root}は、探索区間の端で対象の関数が異なる符号を持つことを期待します。
 508 関数が両方の終端での数に評価されて、それらの数が同じ符号を持つ時、
 509 @code{find_root}の振る舞いは、@code{find_root_error}に支配されます。
 510 @code{find_root_error}が@code{true}の時、
 511 @code{find_root}はエラーメッセージを出力します。
 512 そうでなければ、@code{find_root}は@code{find_root_error}の値を返します。
 513 @code{find_root_error}のデフォルト値は@code{true}です。
 514
 515 もし@var{f}が探索アルゴリズムの中の任意のステップで、数以外の何かに評価するなら、
 516 @code{find_root}は、部分的に評価された@code{find_root}式を返します。
 517 @var{a}と@var{b}の順序は無視されます;
 518 根が探索される区間は@math{[min(@var{a}, @var{b}), max(@var{a}, @var{b})]}です。
 519
 520 例:
 521 @c PREVIOUS EXAMPLE STUFF -- MAY WANT TO BRING TRANSLATE BACK INTO THE EXAMPLE
 522 @c f(x):=(mode_declare(x,float),sin(x)-x/2.0);
 523 @c interpolate(sin(x)-x/2,x,0.1,%pi)       time= 60 msec
 524 @c interpolate(f(x),x,0.1,%pi);            time= 68 msec
 525 @c translate(f);
 526 @c interpolate(f(x),x,0.1,%pi);            time= 26 msec
 527 @c interpolate(f,0.1,%pi);                 time=  5 msec
 528
 529 @c ===beg===
 530 @c f(x) := sin(x) - x/2;
 531 @c find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
 532 @c find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 533 @c find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
 534 @c find_root (f, 0.1, %pi);
 535 @c find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
 536 @c find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 537 @c log (10.0);
 538 @c fpprec:32;
 539 @c 32;
 540 @c bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 541 @c log(10b0);
 542 @c ===end===
 543 @example
 544 (%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
 545                                         x
 546 (%o1)                  f(x) := sin(x) - -
 547                                         2
 548 (%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
 549 (%o2)                   1.895494267033981
 550 (%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
 551 (%o3)                   1.895494267033981
 552 (%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
 553 (%o4)                   1.895494267033981
 554 (%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
 555 (%o5)                   1.895494267033981
 556 (%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100);
 557                             x
 558 (%o6)           find_root(%e  = y, x, 0.0, 100.0)
 559 (%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 560 (%o7)                   2.302585092994046
 561 (%i8) log (10.0);
 562 (%o8)                   2.302585092994046
 563 (%i9) fpprec:32;
 564 (%o9)                           32
 565 (%i10) bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10;
 566 (%o10)                  2.3025850929940456840179914546844b0
 567 (%i11) log(10b0);
 568 (%o11)                  2.3025850929940456840179914546844b0
 569 @end example
 570
 571 @opencatbox
 572 @category{Algebraic equations} @category{Numerical methods}
 573 @closecatbox
 574
 575 @end deffn
 576
 577 @c -----------------------------------------------------------------------------
 578 @anchor{newton}
 579 @deffn {関数} newton (@var{expr}, @var{x}, @var{x_0}, @var{eps})
 580
 581 @var{expr}を@var{x}の１変数関数と考えて、
 582 Newton法による、@code{@var{expr} = 0}の近似解を返します。
 583 探索は、@code{@var{x} = @var{x_0}}で始まり、
 584 (@var{x}の現在値で評価された@var{expr}を使った)@code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}が成り立つまで続きます。
 585
 586 終了テスト@code{abs(@var{expr}) < @var{eps}}が@code{true}または@code{false}に評価される限り、
 587 @code{newton}は、未定義変数が@var{expr}の中に現れることを許します。
 588
 589 このように、
 590 @var{expr}は数に評価される必要はありません。
 591
 592 @code{load(newton1)}はこの関数をロードします。
 593
 594 @code{realroots}, @code{allroots}, @code{find_root}, @code{mnewton}も参照してください。
 595
 596 例:
 597
 598 @c ===beg===
 599 @c load (newton1);
 600 @c newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 601 @c ev (cos (u), u = %);
 602 @c assume (a > 0);
 603 @c newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 604 @c ev (x^2 - a^2, x = %);
 605 @c ===end===
 606 @example
 607 (%i1) load (newton1);
 608 (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
 609 (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
 610 (%o2)                   1.570675277161251
 611 (%i3) ev (cos (u), u = %);
 612 (%o3)                 1.2104963335033528E-4
 613 (%i4) assume (a > 0);
 614 (%o4)                        [a > 0]
 615 (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
 616 (%o5)                  1.00030487804878 a
 617 (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
 618                                            2
 619 (%o6)                6.098490481853958E-4 a
 620 @end example
 621
 622 @opencatbox
 623 @category{Algebraic equations} @category{Numerical methods}
 624 @closecatbox
 625 @end deffn
 626
 627 @c -----------------------------------------------------------------------------
 628 @node Introduction to Fourier series, Functions and Variables for Fourier series, Functions and Variables for fast Fourier transform, Numerical
 629 @section Introduction to Fourier series
 630 @c -----------------------------------------------------------------------------
 631
 632 @code{fourie}パッケージは、Fourier級数のシンボル計算のための関数を含みます。
 633
 634 @code{fourie}パッケージの中には
 635 Fourier積分係数を計算する関数や、式の操作のためのいくつかの関数があります。
 636
 637 @opencatbox
 638 @category{Fourier transform} @category{Share packages} @category{Package fourie}
 639 @closecatbox
 640
 641 @c -----------------------------------------------------------------------------
 642 @node Functions and Variables for Fourier series, , Introduction to Fourier series, Numerical
 643 @section Functions and Variables for Fourier series
 644 @c -----------------------------------------------------------------------------
 645
 646 @c REPHRASE
 647
 648 @c -----------------------------------------------------------------------------
 649 @anchor{equalp}
 650 @deffn {関数} equalp (@var{x}, @var{y})
 651
 652 もし@code{equal (@var{x}, @var{y})}なら、@code{true}を返し、
 653 そうでないなら、@code{false}を返します。
 654  (この場合、@code{equal (x, y)}がするようなエラーメッセージを与えません。)
 655
 656 @c NEEDS EXAMPLES
 657 @opencatbox
 658 @category{Package fourie}
 659 @closecatbox
 660 @end deffn
 661
 662 @c -----------------------------------------------------------------------------
 663 @anchor{remfun}
 664 @deffn  {関数} remfun (@var{f}, @var{expr})
 665 @deffnx {関数} remfun (@var{f}, @var{expr}, @var{x})
 666
 667 @code{remfun (@var{f}, @var{expr})}は、
 668 @var{expr}の中の@code{@var{f} (@var{arg})}すべてを@var{arg}で置き換えます。
 669
 670 @code{remfun (@var{f}, @var{expr}, @var{x})}は、
 671 @var{expr}の中の@code{@var{f} (@var{arg})}を
 672 @var{arg}が変数@var{x}を含むときだけ
 673 @var{arg}で置き換えます。
 674
 675 @c NEEDS EXAMPLES
 676 @opencatbox
 677 @category{Package fourie}
 678 @closecatbox
 679 @end deffn
 680
 681 @c -----------------------------------------------------------------------------
 682 @anchor{funp}
 683 @deffn  {関数} funp (@var{f}, @var{expr})
 684 @deffnx {関数} funp (@var{f}, @var{expr}, @var{x})
 685
 686 @code{funp (@var{f}, @var{expr})}は、
 687 もし@var{expr}が関数@var{f}を含むなら
 688 @code{true}を返します。
 689
 690 @code{funp (@var{f}, @var{expr}, @var{x})}は、
 691 もし@var{expr}が関数@var{f}を含み、変数
 692 @var{x}が@var{f}のインスタンスの１つの引数のどこかにあるなら、
 693 @code{true}を返します。
 694
 695 @c NEEDS EXAMPLES
 696 @opencatbox
 697 @category{Package fourie}
 698 @closecatbox
 699 @end deffn
 700
 701 @c -----------------------------------------------------------------------------
 702 @anchor{absint}
 703 @deffn  {関数} absint (@var{f}, @var{x}, @var{halfplane})
 704 @deffnx {関数} absint (@var{f}, @var{x})
 705 @deffnx {関数} absint (@var{f}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
 706
 707 @code{absint (@var{f}, @var{x}, @var{halfplane})}は、
 708 与えられた半平面(@code{pos}, @code{neg}, または@code{both})での
 709 @var{f}の@var{x}に関する不定積分を返します。
 710 @var{f}は、形式
 711 @code{abs (x)}, @code{abs (sin (x))}, @code{abs (a) * exp (-abs (b) * abs (x))}
 712 の式を含むことができます。
 713
 714 @code{absint (@var{f}, @var{x})}は@code{absint (@var{f}, @var{x}, pos)}と同値です。
 715
 716 @code{absint (@var{f}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}は、
 717 @var{f}の
 718 @var{x}に関する
 719 @var{a}から@var{b}までの定積分
 720 を返します。
 721
 722 @c SAME LIST AS ABOVE ??
 723 @var{f}は、絶対値を含むことができます。
 724
 725 @c NEEDS EXAMPLES
 726 @opencatbox
 727 @category{Package fourie} @category{Integral calculus}
 728 @closecatbox
 729 @end deffn
 730
 731 @c NEEDS EXPANSION
 732
 733 @c -----------------------------------------------------------------------------
 734 @anchor{fourier}
 735 @deffn {関数} fourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 736
 737 区間@code{[-p, p]}上で定義された@code{@var{f}(@var{x})}のFourier係数のリストを返します。
 738
 739 @c NEEDS EXAMPLES
 740 @opencatbox
 741 @category{Package fourie}
 742 @closecatbox
 743 @end deffn
 744
 745 @c NEES EXPANSION. WHAT IS THE ARGUMENT l ??
 746
 747 @c -----------------------------------------------------------------------------
 748 @anchor{foursimp}
 749 @deffn {関数} foursimp (@var{l})
 750
 751 もし@code{sinnpiflag}が@code{true}なら、@code{sin (n %pi)}を0に整理します。
 752 もし@code{cosnpiflag}が@code{true}なら、@code{cos (n %pi)}を@code{(-1)^n}に整理します。
 753
 754 @c NEEDS EXAMPLES
 755 @opencatbox
 756 @category{Package fourie} @category{Trigonometric functions} @category{Simplification functions}
 757 @closecatbox
 758 @end deffn
 759
 760 @c -----------------------------------------------------------------------------
 761 @anchor{sinnpiflag}
 762 @defvr {オプション変数} sinnpiflag
 763 デフォルト値: @code{true}
 764
 765 @code{foursimp}を参照してください。
 766
 767 @opencatbox
 768 @category{Package fourie}
 769 @closecatbox
 770 @end defvr
 771
 772 @c -----------------------------------------------------------------------------
 773 @anchor{cosnpiflag}
 774 @defvr {オプション変数} cosnpiflag
 775 デフォルト値: @code{true}
 776
 777 @code{foursimp}を参照してください。
 778
 779 @opencatbox
 780 @category{Package fourie}
 781 @closecatbox
 782 @end defvr
 783
 784 @c NEEDS EXPANSION. EXPLAIN x AND p HERE (DO NOT REFER SOMEWHERE ELSE)
 785
 786 @c -----------------------------------------------------------------------------
 787 @anchor{fourexpand}
 788 @deffn {関数} fourexpand (@var{l}, @var{x}, @var{p}, @var{limit})
 789
 790 Fourier係数@var{l}のリストから
 791 @var{limit}項までのFourier級数を構成し、返します。
 792 (@var{limit}は@code{inf}もあり得ます。)
 793 @var{x}と@var{p}は、@code{fourier}におけるものと同じ意味を持ちます。
 794
 795 @c NEEDS EXAMPLES
 796 @opencatbox
 797 @category{Package fourie}
 798 @closecatbox
 799 @end deffn
 800
 801 @c NEEDS EXPANSION
 802
 803 @c -----------------------------------------------------------------------------
 804 @anchor{fourcos}
 805 @deffn {関数} fourcos (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 806
 807 @code{[0, @var{p}]}上で定義された
 808 @code{@var{f}(@var{x})}のFourierコサイン係数を返します。
 809
 810 @c NEEDS EXAMPLES
 811 @opencatbox
 812 @category{Package fourie}
 813 @closecatbox
 814 @end deffn
 815
 816 @c NEEDS EXPANSION
 817
 818 @c -----------------------------------------------------------------------------
 819 @anchor{foursin}
 820 @deffn {関数} foursin (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 821
 822 @code{[0, @var{p}]}上で定義された
 823 @code{@var{f}(@var{x})}のFourierサイン係数を返します。
 824
 825 @c NEEDS EXAMPLES
 826 @opencatbox
 827 @category{Package fourie}
 828 @closecatbox
 829 @end deffn
 830
 831 @c NEEDS EXPANSION
 832
 833 @c -----------------------------------------------------------------------------
 834 @anchor{totalfourier}
 835 @deffn {関数} totalfourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})
 836
 837 @code{fourexpand (foursimp (fourier (@var{f}, @var{x}, @var{p})), @var{x}, @var{p}, 'inf)}を返します。
 838
 839 @c NEEDS EXAMPLES
 840 @opencatbox
 841 @category{Package fourie}
 842 @closecatbox
 843 @end deffn
 844
 845 @c NEEDS EXPANSION
 846
 847 @c -----------------------------------------------------------------------------
 848 @anchor{fourint}
 849 @deffn {関数} fourint (@var{f}, @var{x})
 850
 851 @code{[minf, inf]}上で定義された
 852 @code{@var{f}(@var{x})}のFourier積分係数のリストを構成し、返します。
 853
 854 @c NEEDS EXAMPLES
 855 @opencatbox
 856 @category{Package fourie}
 857 @closecatbox
 858 @end deffn
 859
 860 @c NEEDS EXPANSION
 861
 862 @c -----------------------------------------------------------------------------
 863 @anchor{fourintcos}
 864 @deffn {関数} fourintcos (@var{f}, @var{x})
 865 @code{[0, inf]}上の@code{@var{f}(@var{x})}のFourierコサイン積分係数を返します。
 866
 867 @c NEEDS EXAMPLES
 868 @opencatbox
 869 @category{Package fourie}
 870 @closecatbox
 871 @end deffn
 872
 873 @c NEEDS EXPANSION
 874
 875 @c -----------------------------------------------------------------------------
 876 @anchor{forintsin}
 877 @deffn {関数} fourintsin (@var{f}, @var{x})
 878 @code{[0, inf]}上の@code{@var{f}(@var{x})}のFourierサイン積分係数を返します。
 879
 880
 881 @c NEEDS EXAMPLES
 882 @opencatbox
 883 @category{Package fourie}
 884 @closecatbox
 885 @end deffn