doc/info/ja/Special.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to Special Functions::
   3 * Bessel Functions::
   4 * Airy Functions::
   5 * Gamma and factorial Functions::
   6 * Exponential Integrals::
   7 * Error Function::
   8 * Struve Functions::
   9 * Hypergeometric Functions::
  10 * Parabolic Cylinder Functions::
  11 * Functions and Variables for Special Functions::
  12 @end menu
  13
  14 @c -----------------------------------------------------------------------------
  15 @node Introduction to Special Functions, Bessel Functions, Special Functions, Special Functions
  16 @section Introduction to Special Functions
  17 @c -----------------------------------------------------------------------------
  18
  19 特殊関数表記は以下の通りです:
  20
  21 @example
  22 bessel_j (index, expr)         第一種ベッセル関数
  23 bessel_y (index, expr)         第二種ベッセル関数
  24 bessel_i (index, expr)         第一種変形ベッセル関数
  25 bessel_k (index, expr)         第二種変形ベッセル関数
  26
  27 hankel_1 (v,z)                 第一種ハンケル関数
  28 hankel_2 (v,z)                 第二種ハンケル関数
  29 struve_h (v,z)                 シュトルーベH関数
  30 struve_l (v,z)                 シュトルーベL関数
  31
  32 assoc_legendre_p[v,u] (z)      位数v、次数uのルジャンドル関数
  33 assoc_legendre_q[v,u] (z)      第二種ルジャンドル関数
  34
  35 %f[p,q] ([], [], expr)         一般化超幾何関数
  36 gamma()                        ガンマ関数
  37 gammagreek(a,z)                第一種不完全ガンマ関数
  38 gammaincomplete(a,z)           第二種不完全ガンマ関数
  39 hypergeometric(l1, l2, z)      超幾何関数
  40 @c IS slommel THE "LOMMEL" FUNCTION ?? NOT OTHERWISE MENTIONED IN TEXINFO FILES
  41 slommel
  42 %m[u,k] (z)                    第一種Whittaker関数
  43 %w[u,k] (z)                    第二種Whittaker関数
  44 erfc (z)                       相補誤差関数
  45 ei (z)                         指数積分 (?)
  46 kelliptic (z)                  第一種完全楕円積分 (K)
  47 parabolic_cylinder_d (v,z)     放物円筒D関数
  48 @end example
  49
  50 @opencatbox
  51 @category{Bessel functions} @category{Airy functions} @category{Special functions}
  52 @closecatbox
  53
  54 @c -----------------------------------------------------------------------------
  55 @node Bessel Functions, Airy Functions, Introduction to Special Functions, Special Functions
  56 @section Bessel Functions
  57 @c -----------------------------------------------------------------------------
  58
  59 @c -----------------------------------------------------------------------------
  60 @anchor{bessel_j}
  61 @deffn {関数} bessel_j (@var{v}, @var{z})
  62
  63 次数@math{v}と独立変数@math{z}の第一種ベッセル関数。
  64
  65 @code{bessel_j}は以下のように定義されます。
  66
  67 @ifnottex
  68 @example
  69                 inf
  70                 ====       k  - v - 2 k  v + 2 k
  71                 \     (- 1)  2          z
  72                  >    --------------------------
  73                 /        k! gamma(v + k + 1)
  74                 ====
  75                 k = 0
  76 @end example
  77 @end ifnottex
  78
  79 @tex
  80 $$\sum_{k=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{k}\,\left(z\over 2\right)^{v+2\,k}
  81  }\over{k!\,\Gamma\left(v+k+1\right)}}}$$
  82 @end tex
  83
  84 計算のために無限級数は使われませんが。
  85
  86 @opencatbox
  87 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
  88 @closecatbox
  89 @end deffn
  90
  91 @c -----------------------------------------------------------------------------
  92 @anchor{bessel_y}
  93 @deffn {関数} bessel_y (@var{v}, @var{z})
  94
  95 次数@math{v}と独立変数@math{z}の第二種ベッセル関数
  96
  97 @math{v}が整数でない時、
  98 @code{bessel_y}は以下のように定義されます。
  99 @ifnottex
 100 @example
 101               cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
 102               -------------------------------------------
 103                              sin(%pi v)
 104 @end example
 105 @end ifnottex
 106
 107 @tex
 108 $${{\cos \left(\pi\,v\right)\,J_{v}(z)-J_{-v}(z)}\over{
 109  \sin \left(\pi\,v\right)}}$$
 110 @end tex
 111
 112 @math{v}が整数@math{n}の時、
 113 @math{v}が@math{n}に近づく極限が取られます。
 114
 115 @opencatbox
 116 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 117 @closecatbox
 118 @end deffn
 119
 120 @c -----------------------------------------------------------------------------
 121 @anchor{bessel_i}
 122 @deffn {関数} bessel_i (@var{v}, @var{z})
 123
 124 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第一種変形ベッセル関数
 125
 126 @code{bessel_i}は以下のように定義されます。
 127 @ifnottex
 128 @example
 129                     inf
 130                     ====   - v - 2 k  v + 2 k
 131                     \     2          z
 132                      >    -------------------
 133                     /     k! gamma(v + k + 1)
 134                     ====
 135                     k = 0
 136 @end example
 137 @end ifnottex
 138
 139 @tex
 140 $$\sum_{k=0}^{\infty } {{1\over{k!\,\Gamma
 141  \left(v+k+1\right)}} {\left(z\over 2\right)^{v+2\,k}}}$$
 142 @end tex
 143
 144 無限級数は計算には使われませんが。
 145
 146 @opencatbox
 147 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 148 @closecatbox
 149 @end deffn
 150
 151 @c -----------------------------------------------------------------------------
 152 @anchor{bessel_k}
 153 @deffn {関数} bessel_k (@var{v}, @var{z})
 154
 155 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第二種変形ベッセル関数
 156
 157 @math{v}が整数の時
 158 @code{bessel_k}は以下のように定義されます。
 159 @ifnottex
 160 @example
 161            %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
 162            -------------------------------------------------
 163                                   2
 164 @end example
 165 @end ifnottex
 166 @tex
 167 $${{\pi\,\csc \left(\pi\,v\right)\,\left(I_{-v}(z)-I_{v}(z)\right)}\over{2}}$$
 168 @end tex
 169
 170 もし@math{v}が整数@math{n}でないなら、
 171 @math{v}が@math{n}に近づく極限が取られます。
 172
 173 @opencatbox
 174 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 175 @closecatbox
 176 @end deffn
 177
 178 @c -----------------------------------------------------------------------------
 179 @anchor{hankel_1}
 180 @deffn {関数} hankel_1 (@var{v}, @var{z})
 181
 182 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第一種ハンケル関数 (A&S 9.1.3)。
 183 @code{hankel_1}は以下のように定義されます。
 184
 185 @example
 186    bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)
 187 @end example
 188
 189 Maximaは、
 190 浮動小数点精度の実数次数@math{v}と複素独立変数@math{z}に対して
 191 @code{hankel_1}を数値的に評価します。
 192 多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数@math{v}はサポートされていません。
 193
 194 @code{besselexpand}が@code{true}の時、
 195 次数@math{v}が奇数の1/2の時@code{hankel_1}は初等関数の項に展開されます。
 196 @code{besselexpand}を参照してください。
 197
 198 Maximaは@code{hankel_1}の独立変数@math{z}に関する導関数を知っています。
 199
 200 例:
 201
 202 数値評価:
 203
 204 @c ===beg===
 205 @c hankel_1(1,0.5);
 206 @c hankel_1(1,0.5+%i);
 207 @c ===end===
 208 @example
 209 (%i1) hankel_1(1,0.5);
 210 (%o1)              .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
 211 (%i2) hankel_1(1,0.5+%i);
 212 (%o2)             - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016
 213 @end example
 214
 215 複素次数@math{v}はサポートされていません。
 216 Maximaは名詞形を返します:
 217
 218 @c ===beg===
 219 @c hankel_1(%i,0.5+%i);
 220 @c ===end===
 221 @example
 222 (%i3) hankel_1(%i,0.5+%i);
 223 (%o3)                       hankel_1(%i, %i + 0.5)
 224 @end example
 225
 226 @code{besselexpand}が@code{true}の時の@code{hankel_1}の展開:
 227
 228 @c ===beg===
 229 @c hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
 230 @c ===end===
 231 @example
 232 (%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
 233                       sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
 234 (%o4)                 ----------------------------------
 235                               sqrt(%pi) sqrt(z)
 236 @end example
 237
 238 @code{hankel_1}の独立変数@math{z}に関する導関数。
 239 次数@math{v}に関する導関数はサポートされていません。
 240 Maximaは名詞形を返します:
 241
 242 @c ===beg===
 243 @c diff(hankel_1(v,z),z);
 244 @c diff(hankel_1(v,z),v);
 245 @c ===end===
 246 @example
 247 (%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
 248                     hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
 249 (%o5)               ---------------------------------------
 250                                        2
 251 (%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
 252                              d
 253 (%o6)                        -- (hankel_1(v, z))
 254                              dv
 255 @end example
 256
 257 @opencatbox
 258 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 259 @closecatbox
 260 @end deffn
 261
 262 @c -----------------------------------------------------------------------------
 263 @anchor{hankel_2}
 264 @deffn {関数} hankel_2 (@var{v}, @var{z})
 265
 266 次数@math{v}、独立変数@math{z}の第二種ハンケル関数 (A&S 9.1.4)。
 267 @code{hankel_2}は以下のように定義されます。
 268
 269 @example
 270    bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)
 271 @end example
 272
 273 Maximaは、
 274 浮動小数点精度の実数次数@math{v}と複素独立変数@math{z}に対して
 275 @code{hankel_2}を数値的に評価します。
 276 多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数@math{v}はサポートされていません。
 277
 278 @code{besselexpand}が@code{true}の時、
 279 次数@math{v}が奇数の1/2の時@code{hankel_2}は初等関数の項に展開されます。
 280 @code{besselexpand}を参照してください。
 281
 282 Maximaは@code{hankel_2}の独立変数@math{z}に関する導関数を知っています。
 283
 284 例は@code{hankel_1}を参照してください。
 285
 286 @opencatbox
 287 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 288 @closecatbox
 289 @end deffn
 290
 291 @c -----------------------------------------------------------------------------
 292 @anchor{besselexpand}
 293 @defvr {オプション変数} besselexpand
 294 デフォルト値: @code{false}
 295
 296 @c REPHRASE
 297 次数が半奇数の時のベッセル関数の展開を制御します。
 298 この場合、ベッセル関数は他の初等関数で展開することができます。
 299 @code{besselexpand}が@code{true}の時、
 300 ベッセル関数は展開されます。
 301
 302 @example
 303 (%i1) besselexpand: false$
 304 (%i2) bessel_j (3/2, z);
 305                                     3
 306 (%o2)                      bessel_j(-, z)
 307                                     2
 308 (%i3) besselexpand: true$
 309 (%i4) bessel_j (3/2, z);
 310                                         sin(z)   cos(z)
 311                        sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
 312                                            2       z
 313                                           z
 314 (%o4)                  ---------------------------------
 315                                    sqrt(%pi)
 316 @end example
 317
 318 @opencatbox
 319 @category{Bessel functions} @category{Simplification flags and variables}
 320 @category{Special functions}
 321 @closecatbox
 322 @end defvr
 323
 324 @c -----------------------------------------------------------------------------
 325 @deffn {関数} scaled_bessel_i (@var{v}, @var{z})
 326
 327 次数@math{v}、独立変数@math{z}のスケールされた第一種変形ベッセル関数。
 328 すなわち、@math{scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)}。
 329 この関数は、大きな@math{z}に関する@math{bessel_i}―これはおおきくなりますーの計算に
 330 特に役に立ちます。
 331 しかしながら、そうでなければ、Maximaはこの関数についてあまり知りません。
 332 数式処理のためには、式@code{exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)}を使って取り組むのが多分望ましいです。
 333
 334 @opencatbox
 335 @category{Bessel functions}
 336 @closecatbox
 337 @end deffn
 338
 339 @deffn {関数} scaled_bessel_i0 (@var{z})
 340
 341 @code{scaled_bessel_i(0,z)}と同一です。
 342
 343 @opencatbox
 344 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 345 @closecatbox
 346 @end deffn
 347
 348 @c -----------------------------------------------------------------------------
 349 @deffn {関数} scaled_bessel_i1 (@var{z})
 350
 351 @code{scaled_bessel_i(1,z)}と同一です。
 352 @opencatbox
 353 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 354 @closecatbox
 355 @end deffn
 356
 357 @c -----------------------------------------------------------------------------
 358 @deffn {関数} %s [@var{u},@var{v}] (@var{z})
 359 Lommelの小s[u,v](z)関数。
 360 多分Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.
 361 @opencatbox
 362 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
 363 @closecatbox
 364 @end deffn
 365
 366 @c -----------------------------------------------------------------------------
 367 @node Airy Functions, Gamma and factorial Functions, Bessel Functions, Special Functions
 368 @section Airy Functions
 369 @c -----------------------------------------------------------------------------
 370
 371 エアリー関数Ai(x)とBi(x)は、Abramowitz and Stegun,
 372 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Section 10.4の中で定義されています。
 373
 374 @code{y = Ai(x)}と@code{y = Bi(x)}は、
 375 エアリー微分方程式@code{diff (y(x), x, 2) - x y(x) = 0}の
 376 ２つの線形独立な解です。
 377
 378 もし引数@code{x}が実数もしくは複素数の浮動小数点数なら、
 379 関数の数値が返されます。
 380
 381 @deffn {関数} airy_ai (@var{x})
 382 エアリー関数Ai(x)。  (A&S 10.4.2)
 383
 384 導関数@code{diff (airy_ai(x), x)}は、@code{airy_dai(x)}です。
 385
 386 @code{airy_bi}, @code{airy_dai}, @code{airy_dbi}も参照してください。
 387
 388 @opencatbox
 389 @category{Airy functions} @category{Special functions}
 390 @closecatbox
 391 @end deffn
 392
 393 @c -----------------------------------------------------------------------------
 394 @deffn {関数} airy_dai (@var{x})
 395 エアリー関数Ai @code{airy_ai(x)}の導関数。
 396
 397 @code{airy_ai}を参照してください。
 398
 399 @opencatbox
 400 @category{Airy functions} @category{Special functions}
 401 @closecatbox
 402 @end deffn
 403
 404 @c -----------------------------------------------------------------------------
 405 @deffn {関数} airy_bi (@var{x})
 406 エアリー関数Bi(x)。 (A&S 10.4.3)
 407
 408 導関数@code{diff (airy_bi(x), x)}は@code{airy_dbi(x)}です。
 409
 410 @code{airy_ai}, @code{airy_dbi}を参照してください。
 411
 412 @opencatbox
 413 @category{Airy functions} @category{Special functions}
 414 @closecatbox
 415 @end deffn
 416
 417
 418 @c -----------------------------------------------------------------------------
 419 @deffn {関数} airy_dbi (@var{x})
 420 エアリーBi関数@code{airy_bi(x)}の導関数。
 421
 422 @code{airy_ai}と@code{airy_bi}を参照してください。
 423
 424 @opencatbox
 425 @category{Airy functions} @category{Special functions}
 426 @closecatbox
 427 @end deffn
 428
 429 @c -----------------------------------------------------------------------------
 430 @node Gamma and factorial Functions, Exponential Integrals, Airy Functions, Special Functions
 431 @section Gamma and factorial Functions
 432 @c -----------------------------------------------------------------------------
 433
 434 ガンマ関数と、関連したベータ、プサイ、不完全ガンマ関数は
 435 Abramowitz and Stegun,
 436 @i{Handbook of Mathematical Functions}, Chapter 6の中で定義されています。
 437
 438 @c FOLLOWING FUNCTIONS IN bffac.mac ARE NOT DESCRIBED IN .texi FILES: !!!
 439 @c obfac, azetb, vonschtoonk, divrlst, obzeta, bfhzeta, bfpsi0 !!!
 440 @c DON'T KNOW WHICH ONES ARE INTENDED FOR GENERAL USE !!!
 441
 442 @c FOLLOWING FUNCTIONS IN bffac.mac ARE DESCRIBED IN Number.texi: !!!
 443 @c burn, bzeta, bfzeta !!!
 444
 445 @c FOLLOWING FUNCTIONS IN bffac.mac ARE DESCRIBED HERE: !!!
 446 @c bfpsi, bffac, cbffac !!!
 447
 448 @c -----------------------------------------------------------------------------
 449 @anchor{bffac}
 450 @deffn {関数} bffac (@var{expr}, @var{n})
 451 階乗（シフトガンマ）関数の多倍長浮動小数点バージョン。
 452 ２番目の引数は、保持し返すディジットの数です。
 453 少しの余分を要請するのはいい考えです。
 454
 455 @opencatbox
 456 @category{Gamma and factorial functions} @category{Numerical evaluation}
 457 @closecatbox
 458 @end deffn
 459
 460 @c -----------------------------------------------------------------------------
 461 @anchor{bfpsi}
 462 @deffn  {関数} bfpsi (@var{n}, @var{z}, @var{fpprec})
 463 @deffnx {関数} bfpsi0 (@var{z}, @var{fpprec})
 464 @code{bfpsi}は、実引数@var{z}と整数次数@var{n}の多ガンマ関数です。
 465 @code{bfpsi0}はディガンマ関数です。
 466 @code{bfpsi0 (@var{z}, @var{fpprec})}は@code{bfpsi (0, @var{z}, @var{fpprec})}と同値です。
 467
 468 これらの関数は多倍長浮動小数点値を返します。
 469 @var{fpprec}は戻り値の多倍長浮動小数点精度です。
 470
 471 @c psi0(1) = -%gamma IS AN INTERESTING PROPERTY BUT IN THE ABSENCE OF ANY OTHER
 472 @c DISCUSSION OF THE PROPERTIES OF THIS FUNCTION, THIS STATEMENT SEEMS OUT OF PLACE.
 473 @c Note @code{-bfpsi0 (1, fpprec)} provides @code{%gamma} (Euler's constant) as a bigfloat.
 474
 475 @opencatbox
 476 @category{Gamma and factorial functions} @category{Numerical evaluation}
 477 @closecatbox
 478 @end deffn
 479
 480 @c -----------------------------------------------------------------------------
 481 @anchor{cbffac}
 482 @deffn {関数} cbffac (@var{z}, @var{fpprec})
 483 複素多倍長浮動小数点の階乗です。
 484
 485 @code{load ("bffac")}はこの関数をロードします。
 486
 487 @opencatbox
 488 @category{Gamma and factorial functions} @category{Complex variables} @category{Numerical evaluation}
 489 @closecatbox
 490 @end deffn
 491
 492 @c -----------------------------------------------------------------------------
 493 @anchor{gamma}
 494 @deffn {関数} gamma (@var{z})
 495
 496 ガンマ関数の基本的な定義 (A&S 6.1.1) は、
 497
 498 @ifnottex
 499 @example
 500                          inf
 501                         /
 502                         [     z - 1   - t
 503              gamma(z) = I    t      %e    dt
 504                         ]
 505                         /
 506                          0
 507 @end example
 508 @end ifnottex
 509 @tex
 510 $$¥Gamma¥left(z¥right)=¥int_{0}^{¥infty }{t^{z-1}¥,e^ {- t }¥;dt}$$
 511 @end tex
 512 です。
 513
 514 Maximaは、正の整数と正負の有理数に関して、@code{gamma}を整理します。
 515 半整数値に関して、結果は有理数掛ける@code{sqrt(%pi)}です。
 516 整数値に関する整理は、@code{factlim}によって制御されます。
 517
 518 @code{factlim}より大きな整数に関して、
 519 階乗関数ー@code{gamma}を計算するのに使われますーの数値的な結果はオーバーフローします。
 520 有理数に関する整理は、内部オーバーフローを避けるために、
 521 @code{gammalim}によって制御されます。
 522 @code{factlim}と@code{gammalim}も参照してください。
 523
 524 負の整数に関して、@code{gamma}は未定義です。
 525
 526 Maximaは、浮動小数点および多倍長浮動小数点の実数値および複素数値に関して、
 527 @code{gamma}を数値的に評価できます。
 528
 529 @code{gamma}は鏡像対称性を持ちます。
 530
 531 @code{gamma_expand}が@code{true}の時、
 532 Maximaは、
 533 引数@code{z+n}と@code{z-n}―@code{n}は整数―の@code{gamma}を
 534 展開します。
 535
 536 Maximaは、@code{gamma}の導関数を知っています。
 537
 538 例:
 539
 540 整数、半整数、有理数に関する整理:
 541
 542 @example
 543 (%i1) map('gamma,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);
 544 (%o1)        [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320]
 545 (%i2) map('gamma,[1/2,3/2,5/2,7/2]);
 546                     sqrt(%pi)  3 sqrt(%pi)  15 sqrt(%pi)
 547 (%o2)   [sqrt(%pi), ---------, -----------, ------------]
 548                         2           4            8
 549 (%i3) map('gamma,[2/3,5/3,7/3]);
 550                                   2           1
 551                           2 gamma(-)  4 gamma(-)
 552                       2           3           3
 553 (%o3)          [gamma(-), ----------, ----------]
 554                       3       3           9
 555 @end example
 556
 557 実数と複素数の数値評価:
 558
 559 @example
 560 (%i4) map('gamma,[2.5,2.5b0]);
 561 (%o4)     [1.329340388179137, 1.329340388179137b0]
 562 (%i5) map('gamma,[1.0+%i,1.0b0+%i]);
 563 (%o5) [.4980156681183558 - .1549498283018108 %i,
 564          4.980156681183561b-1 - 1.549498283018107b-1 %i]
 565 @end example
 566
 567 @code{gamma}は鏡像対称性を持ちます:
 568
 569 @example
 570 (%i6) declare(z,complex)$
 571 (%i7) conjugate(gamma(z));
 572 (%o7)                  gamma(conjugate(z))
 573 @end example
 574
 575 @code{gamma_expand}が@code{true}の時
 576 Maximaは、@code{gamma(z+n)}と@code{gamma(z-n)}を展開します:
 577
 578 @example
 579 (%i8) gamma_expand:true$
 580
 581 (%i9) [gamma(z+1),gamma(z-1),gamma(z+2)/gamma(z+1)];
 582                                gamma(z)
 583 (%o9)             [z gamma(z), --------, z + 1]
 584                                 z - 1
 585 @end example
 586
 587 @code{gamma}の導関数:
 588
 589 @example
 590 (%i10) diff(gamma(z),z);
 591 (%o10)                  psi (z) gamma(z)
 592                            0
 593 @end example
 594
 595 @code{makegamma}も参照してください。
 596
 597 オイラー-マスケローニ定数は@code{%gamma}です。
 598
 599 @opencatbox
 600 @category{Gamma and factorial functions} @category{Special functions}
 601 @closecatbox
 602 @end deffn
 603
 604 @c -----------------------------------------------------------------------------
 605 @deffn {関数} log_gamma (@var{z})
 606
 607 ガンマ関数の自然対数。
 608
 609 @opencatbox
 610 @category{Gamma and factorial functions} @category{Special functions}
 611 @closecatbox
 612 @end deffn
 613
 614 @c -----------------------------------------------------------------------------
 615 @deffn {関数} gamma_incomplete (@var{a},@var{z})
 616
 617 第二種不完全ガンマ関数 A&S 6.5.2:
 618
 619 @ifnottex
 620 @example
 621                               inf
 622                              /
 623                              [     a - 1   - t
 624     gamma_incomplete(a, z) = I    t      %e    dt
 625                              ]
 626                              /
 627                               z
 628 @end example
 629 @end ifnottex
 630 @tex
 631 $$¥Gamma¥left(a , z¥right)=¥int_{z}^{¥infty }{t^{a-1}¥,e^ {- t }¥;dt}$$
 632 @end tex
 633
 634 @opencatbox
 635 @category{Gamma and factorial functions} @category{Special functions}
 636 @closecatbox
 637 @end deffn
 638
 639 @c -----------------------------------------------------------------------------
 640 @deffn {関数} gamma_incomplete_regularized (@var{a}, @var{z})
 641
 642 正則第二種不完全ガンマ関数 A&S 6.5.1:
 643
 644 @ifnottex
 645 @example
 646 gamma_incomplete_regularized(a, z) =
 647                                         gamma_incomplete(a, z)
 648                                         ----------------------
 649                                                gamma(a)
 650 @end example
 651 @end ifnottex
 652 @tex
 653 $${¥it Q}¥left(a , z¥right)={{¥Gamma¥left(a , z¥right)}¥over{¥Gamma¥left(a¥right)}}$$
 654 @end tex
 655
 656 @opencatbox
 657 @category{Gamma and factorial functions} @category{Special functions}
 658 @closecatbox
 659 @end deffn
 660
 661 @c -----------------------------------------------------------------------------
 662 @deffn {関数} gamma_incomplete_generalized (@var{a},@var{z1},@var{z1} )
 663 一般化不完全ガンマ関数
 664
 665 @ifnottex
 666 @example
 667 gamma_incomplete_generalized(a, z1, z2) =
 668                                                z2
 669                                               /
 670                                               [    a - 1   - t
 671                                               I   t      %e    dt
 672                                               ]
 673                                               /
 674                                                z1
 675 @end example
 676 @end ifnottex
 677 @tex
 678 $$¥Gamma¥left(a , z_{1}, z_{2}¥right)=¥int_{z_{1}}^{z_{2}}{t^{a-1}¥,e^ {- t }¥;dt}$$
 679 @end tex
 680
 681 @opencatbox
 682 @category{Gamma and factorial functions} @category{Special functions}
 683 @closecatbox
 684 @end deffn
 685
 686 @c -----------------------------------------------------------------------------
 687 @anchor{gammalim}
 688 @defvr {オプション変数} gammalim
 689 デフォルト値: 1000000
 690
 691 @c REPHRASE
 692 @code{gammalim}は、整数と有理数引数に関してガンマ関数の整理を制御します。
 693 もし引数の絶対値が@code{gammalim}よりも大きくないなら、
 694 整理が行われます。
 695 @code{factlim}スイッチは、
 696 整数引数の@code{gamma}の結果の整理を制御します。
 697 @code{factlim}スイッチは、
 698 整数引数の@code{gamma}の結果の整理も制御することに注意してください。
 699
 700 @opencatbox
 701 @category{Gamma and factorial functions} @category{Simplification flags and variables}
 702 @closecatbox
 703
 704 @end defvr
 705
 706 @c NEED CROSS REFS HERE
 707 @c NEED EXAMPLES HERE
 708
 709 @c -----------------------------------------------------------------------------
 710 @anchor{makegamma}
 711 @deffn {関数} makegamma (@var{expr})
 712 @var{expr}の中の２項、階乗、ベータ関数のインスタンスをガンマ関数に変換します。
 713
 714 @code{makefact}も参照してください。
 715
 716 @opencatbox
 717 @category{Gamma and factorial functions}
 718 @closecatbox
 719 @end deffn
 720
 721 @c -----------------------------------------------------------------------------
 722 @deffn {関数} beta (@var{a}, @var{b})
 723 ベータ関数は、@code{gamma(a) gamma(b)/gamma(a+b)}
 724 (A&S 6.2.1)として定義されます。
 725
 726 Maximaは、正の整数と、合計すると整数になる有理数についてベータ関数を整理します。
 727 @code{beta_args_sum_to_integer}が@code{true}の時、
 728 Maximaは、和が整数になる一般式も整理します。
 729
 730 @var{a}もしくは@var{b}がゼロに等しい時には、ベータ関数は未定義です。
 731
 732 一般にベータ関数は、負の整数の引数で未定義です。
 733 例外は、@var{a=-n}―@var{n}は正の整数―かつ@var{b}が@var{b<=n}の正の整数で、
 734 解析接続を定義することが可能です。
 735 Maximaはこの場合結果を与えます。
 736
 737 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
 738 @code{n}を整数とする@code{beta(a+n,b)}と@code{beta(a-n,b)}、
 739 もしくは@code{beta(a,b+n)}と@code{beta(a,b-n)}
 740 のような式は整理されます。
 741
 742 Maximaは、実数値と複素数値のベータ関数を浮動小数点と多倍長浮動小数点精度で評価できます。
 743 数値評価のために、Maximaは@code{log_gamma}を使います:
 744
 745 @example
 746            - log_gamma(b + a) + log_gamma(b) + log_gamma(a)
 747          %e
 748 @end example
 749
 750 Maximaは、ベータ関数が対称で、鏡像対称性を持つことを知っています。
 751
 752 Maximaは、@var{a}または@var{b}に関するベータ関数の導関数を知っています。
 753
 754 ベータ関数をガンマ関数の比として表現するには、@code{makegamma}を参照してください。
 755
 756 例:
 757
 758 引数の１つが整数の時の整理:
 759
 760 @example
 761 (%i1) [beta(2,3),beta(2,1/3),beta(2,a)];
 762                                1   9      1
 763 (%o1)                         [--, -, ---------]
 764                                12  4  a (a + 1)
 765 @end example
 766
 767 ２つの有理数引数の和が整数になる時の整理:
 768
 769 @example
 770 (%i2) [beta(1/2,5/2),beta(1/3,2/3),beta(1/4,3/4)];
 771                           3 %pi   2 %pi
 772 (%o2)                    [-----, -------, sqrt(2) %pi]
 773                             8    sqrt(3)
 774 @end example
 775
 776 @code{beta_args_sum_to_integer}を@code{true}に設定した時、
 777 引数の和が整数の時、さらに一般的な式が整理されます:
 778
 779 @example
 780 (%i3) beta_args_sum_to_integer:true$
 781 (%i4) beta(a+1,-a+2);
 782                                 %pi (a - 1) a
 783 (%o4)                         ------------------
 784                               2 sin(%pi (2 - a))
 785 @end example
 786
 787 引数の１つが負の整数の時、可能な結果:
 788
 789 @example
 790 (%i5) [beta(-3,1),beta(-3,2),beta(-3,3)];
 791                                     1  1    1
 792 (%o5)                            [- -, -, - -]
 793                                     3  6    3
 794 @end example
 795
 796 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
 797 @code{n}が整数の@code{beta(a+n,b)}または@code{beta(a-n)}は整理されます:
 798
 799 @example
 800 (%i6) beta_expand:true$
 801 (%i7) [beta(a+1,b),beta(a-1,b),beta(a+1,b)/beta(a,b+1)];
 802                     a beta(a, b)  beta(a, b) (b + a - 1)  a
 803 (%o7)              [------------, ----------------------, -]
 804                        b + a              a - 1           b
 805
 806 @end example
 807
 808 引数の１つがゼロの時、ベータは未定義です:
 809
 810 @example
 811 (%i7) beta(0,b);
 812 beta: expected nonzero arguments; found 0, b
 813  -- an error.  To debug this try debugmode(true);
 814 @end example
 815
 816 実数値と複素数値の浮動小数点または多倍長浮動小数点精度での数値評価:
 817
 818 @example
 819 (%i8) beta(2.5,2.3);
 820 (%o8) .08694748611299981
 821
 822 (%i9) beta(2.5,1.4+%i);
 823 (%o9) 0.0640144950796695 - .1502078053286415 %i
 824
 825 (%i10) beta(2.5b0,2.3b0);
 826 (%o10) 8.694748611299969b-2
 827
 828 (%i11) beta(2.5b0,1.4b0+%i);
 829 (%o11) 6.401449507966944b-2 - 1.502078053286415b-1 %i
 830 @end example
 831
 832 ベータは対称で、鏡像対称性を持ちます:
 833
 834 @example
 835 (%i14) beta(a,b)-beta(b,a);
 836 (%o14)                                 0
 837 (%i15) declare(a,complex,b,complex)$
 838 (%i16) conjugate(beta(a,b));
 839 (%o16)                 beta(conjugate(a), conjugate(b))
 840 @end example
 841
 842 @code{a}に関するベータ関数の導関数:
 843 @example
 844 (%i17) diff(beta(a,b),a);
 845 (%o17)               - beta(a, b) (psi (b + a) - psi (a))
 846                                       0             0
 847 @end example
 848
 849 @opencatbox
 850 @category{Gamma and factorial functions}
 851 @closecatbox
 852 @end deffn
 853
 854 @c -----------------------------------------------------------------------------
 855 @deffn {関数} beta_incomplete (@var{a}, @var{b}, @var{z})
 856
 857 不完全ベータ関数の基本定義(A&S 6.6.1)は、以下の通りです。
 858
 859 @example
 860 @group
 861         z
 862        /
 863        [         b - 1  a - 1
 864        I  (1 - t)      t      dt
 865        ]
 866        /
 867         0
 868 @end group
 869 @end example
 870
 871 この定義は、@math{realpart(a)>0}かつ@math{realpart(b)>0}かつ@math{abs(z)<1}で可能です。
 872 他の値では不完全ベータ関数は一般化超幾何関数を通じて定義することができます。
 873
 874 @example
 875    gamma(a) hypergeometric_generalized([a, 1 - b], [a + 1], z) z
 876 @end example
 877
 878 (不完全ベータ関数の完全な定義については、functions.wolfram.comを参照してください。
 879 )
 880
 881 負の整数@math{a = -n}と正の整数@math{b=m}で、@math{m<=n}の場合、
 882 不完全ベータ関数は以下を通して定義されます。
 883
 884 @example
 885                             m - 1           k
 886                             ====  (1 - m)  z
 887                       n - 1 \            k
 888                      z       >    -----------
 889                             /     k! (n - k)
 890                             ====
 891                             k = 0
 892 @end example
 893
 894 Maximaは、
 895 負の整数@var{a}に関する@code{beta_incomplete}を整理するために、この定義を使います。
 896
 897 @var{a}が正の整数の時、
 898 任意の引数@var{b}, @var{z}に関して、
 899 @var{b}が正の整数の時、
 900 非負の整数@var{a}, 任意の@var{z}に関して、
 901 @code{beta_incomplete}は整理されます。
 902
 903 @math{z=0}かつ@math{realpart(a)>0}の時、@code{beta_incomplete}は特別な値ゼロを取ります。
 904 @var{z=1}かつ@math{realpart(b)>0}の時、
 905 @code{beta_incomplete}はベータ関数@code{beta(a,b)}に整理されます。
 906
 907 Maximaは、浮動小数点か多倍長浮動小数点精度の実数値と複素数値に対して、
 908 @code{beta_incomplete}を数値的に評価します。
 909 数値評価に関して、
 910 不完全ベータ函数の連分数展開を使います。
 911
 912 オプション変数@code{beta_expand}が@code{true}の時、
 913 Maximaは@code{beta_incomplete(a+n,b,z)}や@code{beta_incomplete(a-n,b,z)}のような式を展開します。ここでnは正の整数です。
 914
 915 Maximaは@code{beta_incomplete}の変数@var{a}, @var{b}, @var{z}についての導関数と
 916 変数@var{z}についての積分を知っています。
 917
 918 例:
 919
 920 正の整数@var{a}に関する整理:
 921
 922 @example
 923 (%i1) beta_incomplete(2,b,z);
 924                                        b
 925                             1 - (1 - z)  (b z + 1)
 926 (%o1)                       ----------------------
 927                                   b (b + 1)
 928 @end example
 929
 930 正の整数@var{b}に関する整理:
 931
 932 @example
 933 (%i2) beta_incomplete(a,2,z);
 934                                                a
 935                               (a (1 - z) + 1) z
 936 (%o2)                         ------------------
 937                                   a (a + 1)
 938 @end example
 939
 940 正の整数@var{a}, @var{b}に関する整理:
 941
 942 @example
 943 (%i3) beta_incomplete(3,2,z);
 944 @group
 945                                                3
 946                               (3 (1 - z) + 1) z
 947 (%o3)                         ------------------
 948                                       12
 949 @end group
 950 @end example
 951
 952 @var{a}が負の整数かつ@math{b<=(-a)}の時、Maximaは整理します:
 953
 954 @example
 955 (%i4) beta_incomplete(-3,1,z);
 956                                        1
 957 (%o4)                              - ----
 958                                         3
 959                                      3 z
 960 @end example
 961
 962 特定の値@math{z=0}と@math{z=1}に関して, Maximaは整理します:
 963
 964 @example
 965 (%i5) assume(a>0,b>0)$
 966 (%i6) beta_incomplete(a,b,0);
 967 (%o6)                                 0
 968 (%i7) beta_incomplete(a,b,1);
 969 (%o7)                            beta(a, b)
 970 @end example
 971
 972 浮動小数点または多倍長浮動小数点精度の数値評価:
 973
 974 @example
 975 (%i8) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9);
 976 (%o8)                          4.594959440269333
 977 (%i9)  fpprec:25$
 978 (%i10) beta_incomplete(0.25,0.50,0.9b0);
 979 (%o10)                    4.594959440269324086971203b0
 980 @end example
 981
 982 @math{abs(z)>1}の時、@code{beta_incomplete}は複素数を返します:
 983
 984 @example
 985 (%i11) beta_incomplete(0.25,0.50,1.7);
 986 (%o11)              5.244115108584249 - 1.45518047787844 %i
 987 @end example
 988
 989 もっと一般的な複素引数に関する結果:
 990
 991 @example
 992 (%i14) beta_incomplete(0.25+%i,1.0+%i,1.7+%i);
 993 (%o14)             2.726960675662536 - .3831175704269199 %i
 994 (%i15) beta_incomplete(1/2,5/4*%i,2.8+%i);
 995 (%o15)             13.04649635168716 %i - 5.802067956270001
 996 (%i16)
 997 @end example
 998
 999 @code{beta_expand}が@code{true}の時の展開:
1000
1001 @example
1002 (%i23) beta_incomplete(a+1,b,z),beta_expand:true;
1003                                                        b  a
1004                    a beta_incomplete(a, b, z)   (1 - z)  z
1005 (%o23)             -------------------------- - -----------
1006                              b + a                 b + a
1007
1008 (%i24) beta_incomplete(a-1,b,z),beta_expand:true;
1009                                                            b  a - 1
1010            beta_incomplete(a, b, z) (- b - a + 1)   (1 - z)  z
1011 (%o24)     -------------------------------------- - ---------------
1012                            1 - a                         1 - a
1013 @end example
1014
1015 @code{beta_incomplete}の微分と積分:
1016
1017 @example
1018 (%i34) diff(beta_incomplete(a, b, z), z);
1019 @group
1020                               b - 1  a - 1
1021 (%o34)                 (1 - z)      z
1022 @end group
1023 (%i35) integrate(beta_incomplete(a, b, z), z);
1024               b  a
1025        (1 - z)  z
1026 (%o35) ----------- + beta_incomplete(a, b, z) z
1027           b + a
1028                                        a beta_incomplete(a, b, z)
1029                                      - --------------------------
1030                                                  b + a
1031 (%i36) factor(diff(%, z));
1032 (%o36)              beta_incomplete(a, b, z)
1033 @end example
1034
1035 @opencatbox
1036 @category{Gamma and factorial functions}
1037 @closecatbox
1038 @end deffn
1039
1040 @c -----------------------------------------------------------------------------
1041 @deffn {関数} beta_incomplete_regularized (@var{a}, @var{b}, @var{z})
1042
1043 @example
1044 beta_incomplete_regularized(a, b, z) =
1045                                       beta_incomplete(a, b, z)
1046                                       ------------------------
1047                                              beta(a, b)
1048 @end example
1049 として定義された正則不完全ベータ関数 A&S 6.6.2。
1050
1051 @code{beta_incomplete}同様、この定義は完全ではありません。
1052 @code{beta_incomplete_regularized}の完全な定義については、functions.wolfram.comを参照してください。
1053
1054 @code{beta_incomplete_regularized}は、@var{a}または@var{b}が正の整数の時
1055 整理されます。
1056
1057 @math{z=0}かつ@math{realpart(a)>0}の時、
1058 @code{beta_incomplete_regularized}は、具体的な値0を持ちます。
1059 @var{z=1}かつ@math{realpart(b)>0}の時、
1060 @code{beta_incomplete_regularized}は、1に整理されます。
1061
1062 Maximaは、実数と複素数の引数について、
1063 浮動小数点と多倍長浮動小数点精度で@code{beta_incomplete_regularized}を評価します。
1064
1065 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1066 Maximaは、
1067 nは整数として、引数@math{a+n}または@math{a-n}に関して
1068 @code{beta_incomplete_regularized}を展開します。
1069
1070 Maximaは、変数@var{a}, @var{b}, @var{z}に関する
1071 @code{beta_incomplete_regularized}の導関数と、
1072 変数@var{z}に関する積分を知っています。
1073
1074 例:
1075
1076 @var{a}または@var{b}が正の整数の時の整理:
1077
1078 @example
1079 (%i1) beta_incomplete_regularized(2,b,z);
1080                                        b
1081 (%o1)                       1 - (1 - z)  (b z + 1)
1082
1083 (%i2) beta_incomplete_regularized(a,2,z);
1084                                                a
1085 (%o2)                         (a (1 - z) + 1) z
1086
1087 (%i3) beta_incomplete_regularized(3,2,z);
1088                                                3
1089 (%o3)                         (3 (1 - z) + 1) z
1090 @end example
1091
1092 特定の値@math{z=0}, @math{z=1}について、Maximaは整理します:
1093
1094 @example
1095 (%i4) assume(a>0,b>0)$
1096 (%i5) beta_incomplete_regularized(a,b,0);
1097 (%o5)                                 0
1098 (%i6) beta_incomplete_regularized(a,b,1);
1099 (%o6)                                 1
1100 @end example
1101
1102 実数と複素数引数に関する浮動小数点または多倍長浮動小数点精度の数値評価:
1103
1104 @example
1105 (%i7) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9);
1106 (%o7)                         .9114011367359802
1107 (%i8) fpprec:32$
1108 (%i9) beta_incomplete_regularized(0.12,0.43,0.9b0);
1109 (%o9)               9.1140113673598075519946998779975b-1
1110 (%i10) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5*%i);
1111 (%o10)             .2865367499935403 %i - 0.122995963334684
1112 (%i11) fpprec:20$
1113 (%i12) beta_incomplete_regularized(1+%i,3/3,1.5b0*%i);
1114 (%o12)      2.8653674999354036142b-1 %i - 1.2299596333468400163b-1
1115 @end example
1116
1117 @code{beta_expand}が@code{true}の時の展開:
1118
1119 @example
1120 (%i13) beta_incomplete_regularized(a+1,b,z);
1121                                                      b  a
1122                                               (1 - z)  z
1123 (%o13) beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------
1124                                               a beta(a, b)
1125 (%i14) beta_incomplete_regularized(a-1,b,z);
1126 (%o14) beta_incomplete_regularized(a, b, z)
1127                                                      b  a - 1
1128                                               (1 - z)  z
1129                                          - ----------------------
1130                                            beta(a, b) (b + a - 1)
1131 @end example
1132
1133 @var{z}に関する微分と積分:
1134
1135 @example
1136 (%i15) diff(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
1137                               b - 1  a - 1
1138                        (1 - z)      z
1139 (%o15)                 -------------------
1140                            beta(a, b)
1141 (%i16) integrate(beta_incomplete_regularized(a,b,z),z);
1142 (%o16) beta_incomplete_regularized(a, b, z) z
1143                                                            b  a
1144                                                     (1 - z)  z
1145           a (beta_incomplete_regularized(a, b, z) - ------------)
1146                                                     a beta(a, b)
1147         - -------------------------------------------------------
1148                                    b + a
1149 @end example
1150
1151 @opencatbox
1152 @category{Gamma and factorial functions}
1153 @closecatbox
1154 @end deffn
1155
1156 @c -----------------------------------------------------------------------------
1157 @deffn {関数} beta_incomplete_generalized (@var{a}, @var{b}, @var{z1}, @var{z2})
1158
1159 一般化不完全ベータ関数の基本的な定義は、以下の通りです。
1160
1161 @example
1162 @group
1163              z2
1164            /
1165            [          b - 1  a - 1
1166            I   (1 - t)      t      dt
1167            ]
1168            /
1169             z1
1170 @end group
1171 @end example
1172
1173 Maximaは、
1174 @var{a}と@var{b}が正の整数の時、
1175 @code{beta_incomplete_regularized}を整理します。
1176
1177 @math{realpart(a)>0}かつ@math{z1=0}または@math{z2=0}の時、
1178 Maximaは、
1179 @code{beta_incomplete_generalized}を@code{beta_incomplete}に整理します。
1180 @math{realpart(b)>0}かつ@math{z1=1}または@var{z2=1}の時、
1181 Maximaは、@code{beta}と@code{beta_incomplete}を含む式に整理します。
1182
1183 Maximaは、実数値と複素数値に関して、浮動小数点と多倍長浮動小数点精度で
1184 @code{beta_incomplete_regularized}を評価します。
1185
1186 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1187 @var{n}を正の整数とすると、
1188 Maximaは、@math{a+n}や@math{a-n}に関して@code{beta_incomplete_generalized}
1189 を整理します。
1190
1191 Maximaは、
1192 変数@var{a}, @var{b}, @var{z1}, @var{z2}に関する
1193 @code{beta_incomplete_generalized}の微分を知っており、
1194 変数@var{z1}や@var{z2}に関する積分を知っています。
1195
1196 例:
1197
1198 Maximaは、@var{a}と@var{b}が正の整数の時、
1199 @code{beta_incomplete_generalized}を整理します:
1200
1201 @example
1202 (%i1) beta_incomplete_generalized(2,b,z1,z2);
1203                    b                      b
1204            (1 - z1)  (b z1 + 1) - (1 - z2)  (b z2 + 1)
1205 (%o1)      -------------------------------------------
1206                             b (b + 1)
1207 (%i2) beta_incomplete_generalized(a,2,z1,z2);
1208 @group
1209                               a                      a
1210            (a (1 - z2) + 1) z2  - (a (1 - z1) + 1) z1
1211 (%o2)      -------------------------------------------
1212                             a (a + 1)
1213 @end group
1214 (%i3) beta_incomplete_generalized(3,2,z1,z2);
1215               2      2                       2      2
1216       (1 - z1)  (3 z1  + 2 z1 + 1) - (1 - z2)  (3 z2  + 2 z2 + 1)
1217 (%o3) -----------------------------------------------------------
1218                                   12
1219 @end example
1220
1221 特定の値@math{z1=0}, @math{z2=0}, @math{z1=1}または@math{z2=1}に関する整理:
1222
1223 @example
1224 (%i4) assume(a > 0, b > 0)$
1225 (%i5) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,0);
1226 (%o5)                    - beta_incomplete(a, b, z1)
1227
1228 (%i6) beta_incomplete_generalized(a,b,0,z2);
1229 (%o6)                    - beta_incomplete(a, b, z2)
1230
1231 (%i7) beta_incomplete_generalized(a,b,z1,1);
1232 (%o7)              beta(a, b) - beta_incomplete(a, b, z1)
1233
1234 (%i8) beta_incomplete_generalized(a,b,1,z2);
1235 (%o8)              beta_incomplete(a, b, z2) - beta(a, b)
1236 @end example
1237
1238 浮動小数点もしくは多倍長浮動小数点精度での実数値引数に関する数値評価:
1239
1240 @example
1241 (%i9) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31);
1242 (%o9)                        .09638178086368676
1243
1244 (%i10) fpprec:32$
1245 (%i10) beta_incomplete_generalized(1/2,3/2,0.25,0.31b0);
1246 (%o10)               9.6381780863686935309170054689964b-2
1247 @end example
1248
1249 浮動小数点もしくは多倍長浮動小数点精度での複素数値引数に関する数値評価:
1250
1251 @example
1252 (%i11) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31);
1253 (%o11)           - .09625463003205376 %i - .003323847735353769
1254 (%i12) fpprec:20$
1255 (%i13) beta_incomplete_generalized(1/2+%i,3/2+%i,0.25,0.31b0);
1256 (%o13)     - 9.6254630032054178691b-2 %i - 3.3238477353543591914b-3
1257 @end example
1258
1259 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1260 @var{n}を正の整数とする、
1261 @math{a+n}または@math{a-n}に関する整理:
1262
1263 @example
1264 (%i14) beta_expand:true$
1265
1266 (%i15) beta_incomplete_generalized(a+1,b,z1,z2);
1267
1268                b   a           b   a
1269        (1 - z1)  z1  - (1 - z2)  z2
1270 (%o15) -----------------------------
1271                    b + a
1272                       a beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2)
1273                     + -------------------------------------------
1274                                          b + a
1275 (%i16) beta_incomplete_generalized(a-1,b,z1,z2);
1276
1277        beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) (- b - a + 1)
1278 (%o16) -------------------------------------------------------
1279                                 1 - a
1280                                     b   a - 1           b   a - 1
1281                             (1 - z2)  z2      - (1 - z1)  z1
1282                           - -------------------------------------
1283                                             1 - a
1284 @end example
1285
1286 変数@var{z1}に関する微分と@var{z1}や@var{z2}に関する積分:
1287
1288 @example
1289 (%i17) diff(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
1290                                b - 1   a - 1
1291 (%o17)               - (1 - z1)      z1
1292 (%i18) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z1);
1293 (%o18) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z1
1294                                   + beta_incomplete(a + 1, b, z1)
1295 (%i19) integrate(beta_incomplete_generalized(a,b,z1,z2),z2);
1296 (%o19) beta_incomplete_generalized(a, b, z1, z2) z2
1297                                   - beta_incomplete(a + 1, b, z2)
1298 @end example
1299
1300 @opencatbox
1301 @category{Gamma and factorial functions}
1302 @closecatbox
1303 @end deffn
1304
1305 @defvr {オプション変数} beta_expand
1306 デフォルト値: false
1307
1308 @code{beta_expand}が@code{true}の時、
1309 @math{a+n}や@math{a-n}のような引数に対して
1310 @code{beta(a,b)} と、関連した関数は展開されます。
1311 ここで@math{n}は整数です。
1312
1313 @opencatbox
1314 @category{Gamma and factorial functions} @category{Simplification flags and variables}
1315 @closecatbox
1316 @end defvr
1317
1318 @defvr {オプション変数} beta_args_sum_to_integer
1319 デフォルト値: false
1320
1321 @code{beta_args_sum_to_integer}が@code{true}の時、
1322 引数@var{a}と@var{b}の和が整数の時、
1323 Maximaは@code{beta(a,b)}を整理します。
1324
1325 @opencatbox
1326 @category{Gamma and factorial functions} @category{Simplification flags and variables}
1327 @closecatbox
1328 @end defvr
1329
1330
1331 @c NEED INFO HERE ABOUT THE SUBSCRIPTED FORM psi[n](x)
1332 @c I (rtoy) don't think there is a plain psi(x) function anymore.
1333 @c @deffn {関数} psi (@var{x})
1334 @c @deffnx {関数} psi [@var{n}](@var{x})
1335 @deffn {関数} psi [@var{n}](@var{x})
1336
1337 @code{log (gamma (@var{x}))}の次数@code{@var{n}+1}の導関数。
1338 例えば、
1339 @code{psi[0](@var{x})}は１階微分、
1340 @code{psi[1](@var{x})}は２階微分など。
1341
1342 Maximaは、一般に、@code{psi}の数値を計算する方法を知りませんが、
1343 有理数の引数に関してはいくつかの厳密な値を計算することができます。
1344 いくつの変数は、@code{psi}が可能なら厳密な値を返す有理数の引数の範囲を制御します。
1345 @code{maxpsiposint},
1346 @code{maxpsinegint}, @code{maxpsifracnum}, @code{maxpsifracdenom}を参照してください。
1347 すなわち、@var{x}は、@code{maxpsinegint}と@code{maxpsiposint}の間になければいけません。
1348 もし@var{x}の小数部分の絶対値が有理数で、かつ分子が@code{maxpsifracnum}より小さく、
1349 分母が@code{maxpsifracdenom}より小さければ、
1350 @code{psi}は厳密な値を返します。
1351
1352 @code{bffac}パッケージの中の
1353 関数@code{bfpsi}は数値を計算できます。
1354
1355 @opencatbox
1356 @category{Gamma and factorial functions}
1357 @closecatbox
1358 @end deffn
1359
1360 @defvr {オプション変数} maxpsiposint
1361 デフォルト値: 20
1362
1363 @code{maxpsiposint}は、
1364 @code{psi[n](x)}が厳密な値を計算しようとする
1365 最も大きな正の値です。
1366
1367 @opencatbox
1368 @category{Gamma and factorial functions}
1369 @closecatbox
1370
1371 @end defvr
1372
1373 @defvr {オプション変数} maxpsinegint
1374 デフォルト値: -10
1375
1376 @code{maxpsinegint}
1377 @code{psi[n](x)}が厳密な値を計算しようとする
1378 最も大きな負の値です。
1379 従って、もし
1380 @var{x}が@code{maxnegint}よりも小さければ、
1381 たとえ可能でも、
1382 @code{psi[n](@var{x})}は整理された答えを返しません。
1383
1384 @opencatbox
1385 @category{Gamma and factorial functions}
1386 @closecatbox
1387
1388 @end defvr
1389
1390 @defvr {オプション変数} maxpsifracnum
1391 デフォルト値: 6
1392
1393 @var{x}を１より小さい、形式@code{p/q}の有理数とします。
1394 もし@code{p}が@code{maxpsifracnum}より大きいなら
1395 @code{psi[@var{n}](@var{x})}は、
1396 整理された値を返そうとしません。
1397
1398 @opencatbox
1399 @category{Gamma and factorial functions}
1400 @closecatbox
1401
1402 @end defvr
1403
1404 @defvr {オプション変数} maxpsifracdenom
1405 デフォルト値: 6
1406
1407 @var{x}を１より小さい、形式@code{p/q}の有理数とします。
1408 もし@code{q}が@code{maxpsifracdenom}より大きいなら
1409 @code{psi[@var{n}](@var{x})}は、
1410 整理された値を返そうとしません。
1411
1412 @opencatbox
1413 @category{Gamma and factorial functions}
1414 @closecatbox
1415
1416 @end defvr
1417
1418 @c NEED CROSS REFS HERE
1419 @c NEED EXAMPLES HERE
1420 @deffn {関数} makefact (@var{expr})
1421 @var{expr}の中の二項、ガンマ、ベータ関数のインスタンスを階乗に変換します。
1422
1423 @code{makegamma}も参照してください。
1424
1425 @opencatbox
1426 @category{Gamma and factorial functions}
1427 @closecatbox
1428 @end deffn
1429
1430
1431 @c AREN'T THERE OTHER FUNCTIONS THAT DO ESSENTIALLY THE SAME THING ??
1432 @deffn {関数} numfactor (@var{expr})
1433 式@var{expr}を掛ける数値因子を返します。
1434 式@var{expr}は単一項でなければいけません。
1435
1436 @c WHY IS content MENTIONED IN THIS CONTEXT ??
1437 @code{content}は、輪の中のすべての項の最大公約数を返します。
1438
1439 @example
1440 (%i1) gamma (7/2);
1441                           15 sqrt(%pi)
1442 (%o1)                     ------------
1443                                8
1444 (%i2) numfactor (%);
1445                                15
1446 (%o2)                          --
1447                                8
1448 @end example
1449
1450 @opencatbox
1451 @category{Expressions}
1452 @closecatbox
1453 @end deffn
1454
1455
1456 @node Exponential Integrals, Error Function, Gamma and factorial Functions, Special Functions
1457 @section Exponential Integrals
1458
1459 指数積分と、関連した関数は、
1460 Abramowitz and Stegun,
1461 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 5章の中で定義されています。
1462
1463 @deffn {関数} expintegral_e1 (@var{z})
1464 指数積分E1(z) (A&S 5.1.1)
1465 @opencatbox
1466 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1467 @closecatbox
1468 @end deffn
1469
1470 @deffn {関数} expintegral_ei (@var{z})
1471 指数積分Ei(z) (A&S 5.1.2)
1472 @opencatbox
1473 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1474 @closecatbox
1475 @end deffn
1476
1477 @deffn {関数} expintegral_li (@var{z})
1478 指数積分Li(z)  (A&S 5.1.3)
1479 @opencatbox
1480 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1481 @closecatbox
1482 @end deffn
1483
1484 @deffn {関数} expintegral_e (@var{n},@var{z})
1485 指数積分 En(z)  (A&S 5.1.4)
1486 @opencatbox
1487 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1488 @closecatbox
1489 @end deffn
1490
1491 @deffn {関数} expintegral_si (@var{z})
1492 指数積分 Si(z) (A&S 5.2.1)
1493 @opencatbox
1494 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1495 @closecatbox
1496 @end deffn
1497
1498 @deffn {関数} expintegral_ci (@var{z})
1499 指数積分 Ci(z) (A&S 5.2.2)
1500 @opencatbox
1501 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1502 @closecatbox
1503 @end deffn
1504
1505 @deffn {関数} expintegral_shi (@var{z})
1506 指数積分 Shi(z) (A&S 5.2.3)
1507 @opencatbox
1508 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1509 @closecatbox
1510 @end deffn
1511
1512 @deffn {関数} expintegral_chi (@var{z})
1513 指数積分 Chi(z) (A&S 5.2.4)
1514 @opencatbox
1515 @category{Exponential Integrals} @category{Special functions}
1516 @closecatbox
1517 @end deffn
1518
1519 @defvr {オプション変数} expintrep
1520 デフォルト値: false
1521
1522 指数積分の表現を、
1523   gamma_incomplete, expintegral_e1, expintegral_ei,
1524   expintegral_li, expintegral_trig, expintegral_hyp
1525 に変えます。
1526
1527 @opencatbox
1528 @category{Exponential Integrals}
1529 @closecatbox
1530 @end defvr
1531
1532 @defvr {オプション変数} expintexpand
1533 デフォルト値: false
1534
1535 Expand the Exponential Integral
1536 半整数値の指数積分E[n](z)をErfcもしくはErfの項で展開し、
1537 整数値のそれをEiの項で展開します。
1538 @opencatbox
1539 @category{Exponential Integrals}
1540 @closecatbox
1541 @end defvr
1542
1543 @node Error Function, Struve Functions, Exponential Integrals, Special Functions
1544 @section Error Function
1545
1546 誤差関数と、関連した関数は、
1547 Abramowitz and Stegun,
1548 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 7章で定義されています。
1549
1550 @deffn {関数} erf (@var{z})
1551 誤差関数erf(z) (A&S 7.1.1)
1552
1553 See also flag @code{erfflag}.
1554 @opencatbox
1555 @category{Special functions}
1556 @closecatbox
1557 @end deffn
1558
1559 @deffn {関数} erfc (@var{z})
1560 相補誤差関数erfc(z) (A&S 7.1.2)
1561
1562 @code{erfc(z) = 1-erf(z)}
1563 @opencatbox
1564 @category{Special functions}
1565 @closecatbox
1566 @end deffn
1567
1568 @deffn {関数} erfi (@var{z})
1569 虚数誤差関数
1570
1571 @code{erfi(z) = -%i*erf(%i*z)}
1572 @opencatbox
1573 @category{Special functions}
1574 @closecatbox
1575 @end deffn
1576
1577 @deffn {関数} erf_generalized (@var{z1},@var{z2})
1578 一般化誤差関数Erf(z1,z2)
1579 @opencatbox
1580 @category{Special functions}
1581 @closecatbox
1582 @end deffn
1583
1584 @deffn {関数} fresnel_c (@var{z})
1585 フレネル積分C(z) = integrate(cos((%pi/2)*t^2),t,0,z) (A&S 7.3.1)
1586
1587 フラグ@code{trigsign}が@code{true}の時、
1588 整理 fresnel_c(-x) = -fresnel_c(x)
1589 が適用されます。
1590
1591 フラグ@code{%iargs}が@code{true}の時、
1592 整理 fresnel_c(%i*x) =  %i*fresnel_c(x)
1593 が適用されます。
1594
1595
1596 フラグ@code{erf_representation}と@code{hypergeometric_representation}を参照してください。
1597 @opencatbox
1598 @category{Special functions}
1599 @closecatbox
1600 @end deffn
1601
1602 @deffn {関数} fresnel_s (@var{z})
1603 フレネル積分S(z) = integrate(sin((%pi/2)*t^2),t,0,z). (A&S 7.3.2)
1604
1605 フラグ@code{trigsign}が@code{true}の時、
1606 整理fresnel_s(-x) = -fresnel_s(x)
1607 が適用されます。
1608
1609 フラグ@code{%iargs}が@code{true}の時、
1610 整理 fresnel_s(%i*x) =  %i*fresnel_s(x)
1611 が適用されます。
1612
1613 フラグ@code{erf_representation}と@code{hypergeometric_representation}を参照してください。
1614 @opencatbox
1615 @category{Special functions}
1616 @closecatbox
1617 @end deffn
1618
1619 @defvr {オプション変数} erf_representation
1620 デフォルト値: false
1621
1622 @code{true}の時、 erfc, erfi, erf_generalized, fresnel_s, fresnel_c
1623 は、erfに変換されます。
1624 @end defvr
1625
1626 @defvr {オプション変数} hypergeometric_representation
1627 デフォルト値: false
1628
1629 fresnel_sとfresnel_cに関して超幾何表現への変換を可能にします。
1630 @end defvr
1631
1632 @node Struve Functions, Hypergeometric Functions, Error Function, Special Functions
1633 @section Struve Functions
1634
1635 シュトルーベ関数はAbramowitz and Stegun,
1636 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 12章で定義されています。
1637
1638 Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。
1639 それらは、関数@code{hgfred}から返されることができます。
1640
1641 @c -----------------------------------------------------------------------------
1642 @deffn {関数} struve_h (@var{v}, @var{z})
1643 次数v, 独立変数zのシュトルーベ関数H (A&S 12.1.1)
1644
1645 @opencatbox
1646 @category{Special functions}
1647 @closecatbox
1648 @end deffn
1649
1650
1651 @c -----------------------------------------------------------------------------
1652 @deffn {関数} struve_l (@var{v}, @var{z})
1653 次数v、独立変数zの変形シュトルーベ関数L (A&S 12.2.1)
1654
1655 @opencatbox
1656 @category{Special functions}
1657 @closecatbox
1658 @end deffn
1659
1660
1661
1662 @node Hypergeometric Functions, Parabolic Cylinder Functions, Struve Functions, Special Functions
1663 @section Hypergeometric Functions
1664
1665 超幾何関数はAbramowitz and Stegun,
1666 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 13章15章で定義されています。
1667
1668 Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。
1669 それらは、関数@code{hgfred}から返されることができます。
1670
1671 @deffn {関数} %m [@var{k},@var{u}] (@var{z})
1672 Whittaker M関数
1673 @code{M[k,u](z) = exp(-z/2)*z^(1/2+u)*M(1/2+u-k,1+2*u,z)}.
1674 (A&S 13.1.32)
1675 @opencatbox
1676 @category{Special functions}
1677 @closecatbox
1678 @end deffn
1679
1680 @deffn {関数} %w [@var{k},@var{u}] (@var{z})
1681 Whittaker W関数  (A&S 13.1.33)
1682 @opencatbox
1683 @category{Special functions}
1684 @closecatbox
1685 @end deffn
1686
1687
1688 @deffn {関数} %f [@var{p},@var{q}] (@var{[a],[b],z})
1689 pFq(a1,a2,..ap;b1,b2,..bq;z)超幾何関数。
1690 ここで、@code{a}は長さ@code{p}のリストで、
1691 @code{b}は長さ@code{q}のリストです。
1692 @opencatbox
1693 @category{Bessel functions} @category{Special functions}
1694 @closecatbox
1695 @end deffn
1696
1697 @deffn {関数} hypergeometric ([@var{a1}, ..., @var{ap}],[@var{b1}, ... ,@var{bq}], x)
1698 超幾何関数。
1699 Maximaの@code{%f}超幾何関数と違って，
1700 関数@code{hypergeometric}は整理関数です;
1701 @code{hypergeometric}は複素倍精度と多倍長浮動小数点評価もサポートします。
1702 ガウスの超幾何関数、すなわち、@math{p = 2}かつ@math{q = 1}、
1703 に関しては、
1704 単位円の外側の浮動小数点評価はサポートされていますが、
1705 一般にはサポートされていません。
1706
1707 オプション変数@code{expand_hypergeometric}がtrue(デフォルトはfalse)で、
1708 独立変数@code{a1}から@code{ap}の１つが負の整数の時(多項式の場合)、
1709 @code{hypergeometric}は展開された多項式を返します。
1710
1711 例:
1712
1713 @example
1714 (%i1)  hypergeometric([],[],x);
1715 (%o1) %e^x
1716 @end example
1717
1718 @code{expand_hypergeometric}がtrueの時、多項式の場合は自動的に展開されます:
1719
1720 @example
1721 (%i2) hypergeometric([-3],[7],x);
1722 (%o2) hypergeometric([-3],[7],x)
1723
1724 (%i3) hypergeometric([-3],[7],x), expand_hypergeometric : true;
1725 (%o3) -x^3/504+3*x^2/56-3*x/7+1
1726 @end example
1727
1728 倍精度と多倍長浮動小数点評価の両方がサポートされています:
1729
1730 @example
1731 (%i4) hypergeometric([5.1],[7.1 + %i],0.42);
1732 (%o4)       1.346250786375334 - 0.0559061414208204 %i
1733 (%i5) hypergeometric([5,6],[8], 5.7 - %i);
1734 (%o5)     .00737582400977495 - 0.001049813688578674 %i
1735 (%i6) hypergeometric([5,6],[8], 5.7b0 - %i), fpprec : 30;
1736 (%o6) 7.37582400977494674506442010824b-3
1737                           - 1.04981368857867315858055393376b-3 %i
1738 @end example
1739 @end deffn
1740
1741 @node Parabolic Cylinder Functions, Functions and Variables for Special Functions, Hypergeometric Functions, Special Functions
1742 @section  Parabolic Cylinder Functions
1743
1744 放物円筒関数はAbramowitz and Stegun,
1745 @i{Handbook of Mathematical Functions}, 19章で定義されています。
1746
1747 Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。
1748 それらは、関数@code{hgfred}から返されることができます。
1749
1750 @deffn {関数} parabolic_cylinder_d (@var{v}, @var{z})
1751 放物円筒関数@code{parabolic_cylinder_d(v,z)}. (A&s 19.3.1)
1752 @opencatbox
1753 @category{Special functions}
1754 @closecatbox
1755 @end deffn
1756
1757 @node Functions and Variables for Special Functions,  , Parabolic Cylinder Functions, Special Functions
1758 @section Functions and Variables for Special Functions
1759
1760
1761
1762 @deffn {関数} specint (exp(- s*@var{t}) * @var{expr}, @var{t})
1763
1764 @var{expr}の変数@var{t}に関するラプラス変換を計算します。
1765 以下の特殊関数は@code{specint}で扱われます:
1766 不完全ベータ関数、誤差関数
1767 （誤差関数@code{erfi}ではないです。@code{erfi}は例えば、@code{erf}に変換することは簡単です。）、
1768 指数積分、（ベッセル関数の積を含む）ベッセル関数、ハンケル関数、エルミートおよびラーゲル多項式。
1769
1770 更に、@code{specint}は、超幾何関数@code{%f[p,q]([],[],z)}、
1771 第一種Whittaker関数@code{%m[u,k](z)}第二種Whittaker関数@code{%w[u,k](z)}を
1772 扱うことができます。
1773
1774 結果は、特殊関数の項になるかもしれませんし、未整理の超幾何関数を含むかもしれません。
1775
1776 @code{laplace}がラプラス変換を見つけることに失敗した時、
1777 @code{specint}がコールされます。
1778 @code{laplace}はラプラス変換に関するもっと一般的な規則を知っているので、
1779 @code{specint}ではなく@code{laplace}を使うのが望ましいです。
1780
1781 @code{demo(hypgeo)}は、@code{specint}によって計算されたラプラス変換のいくつかの例を表示します。
1782
1783
1784 例:
1785 @c ===beg===
1786 @c assume (p > 0, a > 0)$
1787 @c specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
1788 @c specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
1789 @c               * exp(-p*t), t);
1790 @c ===end===
1791
1792 @example
1793 (%i1) assume (p > 0, a > 0)$
1794 (%i2) specint (t^(1/2) * exp(-a*t/4) * exp(-p*t), t);
1795                            sqrt(%pi)
1796 (%o2)                     ------------
1797                                  a 3/2
1798                           2 (p + -)
1799                                  4
1800 (%i3) specint (t^(1/2) * bessel_j(1, 2 * a^(1/2) * t^(1/2))
1801               * exp(-p*t), t);
1802                                    - a/p
1803                          sqrt(a) %e
1804 (%o3)                    ---------------
1805                                 2
1806                                p
1807 @end example
1808
1809 指数積分の例:
1810
1811 @example
1812 (%i4) assume(s>0,a>0,s-a>0)$
1813 (%i5) ratsimp(specint(%e^(a*t)
1814                       *(log(a)+expintegral_e1(a*t))*%e^(-s*t),t));
1815                              log(s)
1816 (%o5)                        ------
1817                              s - a
1818 (%i6) logarc:true$
1819
1820 (%i7) gamma_expand:true$
1821
1822 (%i8) radcan(specint((cos(t)*expintegral_si(t)
1823                      -sin(t)*expintegral_ci(t))*%e^(-s*t),t));
1824                              log(s)
1825 (%o8)                        ------
1826                               2
1827                              s  + 1
1828 (%i9) ratsimp(specint((2*t*log(a)+2/a*sin(a*t)
1829                       -2*t*expintegral_ci(a*t))*%e^(-s*t),t));
1830                                2    2
1831                           log(s  + a )
1832 (%o9)                     ------------
1833                                 2
1834                                s
1835 @end example
1836
1837 @code{gamma_incomplete}の展開を使った時と、
1838 @code{expintegral_e1}への表現の変形を使った時のの結果:
1839
1840 @example
1841 (%i10) assume(s>0)$
1842 (%i11) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1843                                             1
1844                             gamma_incomplete(-, k s)
1845                                             2
1846 (%o11)                      ------------------------
1847                                sqrt(%pi) sqrt(s)
1848
1849 (%i12) gamma_expand:true$
1850 (%i13) specint(1/sqrt(%pi*t)*unit_step(t-k)*%e^(-s*t),t);
1851                               erfc(sqrt(k) sqrt(s))
1852 (%o13)                        ---------------------
1853                                      sqrt(s)
1854
1855 (%i14) expintrep:expintegral_e1$
1856 (%i15) ratsimp(specint(1/(t+a)^2*%e^(-s*t),t));
1857                               a s
1858                         a s %e    expintegral_e1(a s) - 1
1859 (%o15)                - ---------------------------------
1860                                         a
1861 @end example
1862
1863 @opencatbox
1864 @category{Laplace transform}
1865 @closecatbox
1866 @end deffn
1867
1868 @deffn {関数} hgfred (@var{a}, @var{b}, @var{t})
1869
1870 一般化超幾何関数を他のより簡単な形式に整理します。
1871 @var{a}は分子パラメータのリストで、@var{b}は分母パラメータのリストです。
1872
1873 もし@code{hgfred}が超幾何関数を整理できなければ、
1874 形式@code{%f[p,q]([a], [b], x)}の式を返します。
1875 ここで@var{p}は@var{a}の中の要素の数で、
1876 @var{q}は@var{b}の中の要素の数です。
1877 これは、通常の@code{pFq}一般化超幾何関数です。
1878
1879 @example
1880 (%i1) assume(not(equal(z,0)));
1881 (%o1)                          [notequal(z, 0)]
1882 (%i2) hgfred([v+1/2],[2*v+1],2*%i*z);
1883
1884                      v/2                               %i z
1885                     4    bessel_j(v, z) gamma(v + 1) %e
1886 (%o2)               ---------------------------------------
1887                                        v
1888                                       z
1889 (%i3) hgfred([1,1],[2],z);
1890
1891                                    log(1 - z)
1892 (%o3)                            - ----------
1893                                        z
1894 (%i4) hgfred([a,a+1/2],[3/2],z^2);
1895
1896                                1 - 2 a          1 - 2 a
1897                         (z + 1)        - (1 - z)
1898 (%o4)                   -------------------------------
1899                                  2 (1 - 2 a) z
1900
1901 @end example
1902
1903 以下の例が示すように、orthopolyもロードすることは有益なことがあります。
1904 @var{L}は、一般化ラーゲル多項式であることに注意してください。
1905
1906 @example
1907 (%i5) load(orthopoly)$
1908 (%i6) hgfred([-2],[a],z);
1909 @group
1910
1911                                     (a - 1)
1912                                  2 L       (z)
1913                                     2
1914 (%o6)                            -------------
1915                                    a (a + 1)
1916 @end group
1917 (%i7) ev(%);
1918
1919                                   2
1920                                  z        2 z
1921 (%o7)                         --------- - --- + 1
1922                               a (a + 1)    a
1923
1924 @end example
1925 @end deffn
1926
1927 @deffn {関数} lambert_w (@var{z})
1928 ランバートW関数W(z)の主枝、
1929 @code{z = W(z) * exp(W(z))}の解。
1930 @opencatbox
1931 @category{Special functions}
1932 @closecatbox
1933 @end deffn
1934
1935 @deffn {関数} nzeta (@var{z})
1936 プラズマ分散関数
1937 @code{nzeta(z) = %i*sqrt(%pi)*exp(-z^2)*(1-erf(-%i*z))}
1938 @opencatbox
1939 @category{Special functions}
1940 @closecatbox
1941 @end deffn
1942
1943 @deffn {関数} nzetar (@var{z})
1944 @code{realpart(nzeta(z))}を返します。
1945 @opencatbox
1946 @category{Special functions}
1947 @closecatbox
1948 @end deffn
1949
1950 @deffn {関数} nzetai (@var{z})
1951 @code{imagpart(nzeta(z))}を返します。
1952 @opencatbox
1953 @category{Special functions}
1954 @closecatbox
1955 @end deffn
1956