doc/info/ja/lapack.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to lapack::
   3 * Functions and Variables for lapack::
   4 @end menu
   5
   6 @node Introduction to lapack, Functions and Variables for lapack, lapack, lapack
   7 @section Introduction to lapack
   8
   9 @code{lapack}は
  10 SLATECプロジェクトから得られるようなFortranライブラリLAPACKの
  11 (プログラム @code{f2c}を介した) Common Lisp翻訳です。
  12
  13 (訳者注意書き: lapackを使用するには、load("lapack"); load("eigensys");を実行してください。load("lapack")には、初回だけコンパイルで時間がかかるかもしれません。)
  14
  15 @opencatbox
  16 @category{Numerical methods} @category{Share packages} @category{Package lapack}
  17 @closecatbox
  18
  19
  20 @node Functions and Variables for lapack, , Introduction to lapack, lapack
  21 @section Functions and Variables for lapack
  22
  23 @deffn {関数} dgeev (@var{A})
  24 @deffnx {関数} dgeev (@var{A}, @var{right_p}, @var{left_p})
  25
  26 行列@var{A}の固有値と、オプションで固有ベクトルを計算します。
  27 @var{A}の要素はすべて整数か浮動小数点数でなければいけません。
  28 @var{A}は平方(行と列が同じ数)でなければいけません。
  29 @var{A}は対称であってもなくてもいいです。
  30
  31 @code{dgeev(@var{A})}は@var{A}の固有値だけを計算します。
  32 @code{dgeev(@var{A}, @var{right_p}, @var{left_p})}は
  33 @var{A}の固有値と、
  34 @math{@var{right_p} = @code{true}}の時、右固有ベクトル、
  35 @math{@var{left_p} = @code{true}}の時、左固有ベクトルを計算します。
  36
  37 3項目のリストが返されます。
  38 最初の項目は固有値のリストです。
  39 二番目の項目は@code{false}か右固有ベクトルの行列です。
  40 三番目の項目は@code{false}か左固有ベクトルの行列です。
  41
  42 右固有ベクトル@math{v(j)} (右固有ベクトル行列の@math{j}番目の列)は
  43
  44 @math{A . v(j) = lambda(j) . v(j)}
  45
  46 を満たします。ここで@math{lambda(j)}は対応する固有値です。
  47
  48 左固有ベクトル@math{v(j)} (左固有ベクトル行列の@math{j}番目の列)は
  49
  50 @math{u(j)**H . A = lambda(j) . u(j)**H}
  51
  52 を満たします。ここで@math{u(j)**H}は@math{u(j)}の共役転置を意味します。
  53 Maxima関数@code{ctranspose}が共役転置を計算します。
  54
  55 計算された固有ベクトルは、
  56 Euclideanノルムが1に等しく、
  57 最大成分の虚部が0になるように規格化されます。
  58
  59 例:
  60
  61 @c ===beg===
  62 @c load (lapack)$
  63 @c fpprintprec : 6;
  64 @c M : matrix ([9.5, 1.75], [3.25, 10.45]);
  65 @c dgeev (M);
  66 @c [L, v, u] : dgeev (M, true, true);
  67 @c D : apply (diag_matrix, L);
  68 @c M . v - v . D;
  69 @c transpose (u) . M - D . transpose (u);
  70 @c ===end===
  71 @example
  72 (%i1) load (lapack)$
  73 (%i2) fpprintprec : 6;
  74 (%o2)                           6
  75 (%i3) M : matrix ([9.5, 1.75], [3.25, 10.45]);
  76                          [ 9.5   1.75  ]
  77 (%o3)                    [             ]
  78                          [ 3.25  10.45 ]
  79 (%i4) dgeev (M);
  80 (%o4)          [[7.54331, 12.4067], false, false]
  81 (%i5) [L, v, u] : dgeev (M, true, true);
  82                            [ - .666642  - .515792 ]
  83 (%o5) [[7.54331, 12.4067], [                      ],
  84                            [  .745378   - .856714 ]
  85                                         [ - .856714  - .745378 ]
  86                                         [                      ]]
  87                                         [  .515792   - .666642 ]
  88 (%i6) D : apply (diag_matrix, L);
  89                       [ 7.54331     0    ]
  90 (%o6)                 [                  ]
  91                       [    0     12.4067 ]
  92 (%i7) M . v - v . D;
  93                 [      0.0       - 8.88178E-16 ]
  94 (%o7)           [                              ]
  95                 [ - 8.88178E-16       0.0      ]
  96 (%i8) transpose (u) . M - D . transpose (u);
  97                      [ 0.0  - 4.44089E-16 ]
  98 (%o8)                [                    ]
  99                      [ 0.0       0.0      ]
 100 @end example
 101
 102 @opencatbox
 103 @category{Package lapack}
 104 @closecatbox
 105
 106 @end deffn
 107
 108 @deffn {関数} dgeqrf (@var{A})
 109
 110 行列 @var{A}のQR分解します。
 111 All elements of
 112 @var{A}のすべての要素は整数か浮動小数点数でなければいけません。
 113 @var{A}は行と列の数は同じかもしれませんし違うかもしれません。
 114
 115 2つの項目のリストを返します。
 116 一番目の項目は行列 @var{Q}で、それは@var{A}と同じ行数を持つ平方正規直交行列です。
 117 二番目の項目は行列 @var{R}で、それは@var{A}tお同じサイズで、
 118 対角以下のすべての要素がが零に等しいものです。
 119 積 @code{@var{Q} . @var{R}}は(浮動小数点の丸め誤差を除いて)@var{A}に等しい。
 120 ここで "."は非可換乗算演算子です。
 121
 122 @c ===beg===
 123 @c load (lapack)$
 124 @c fpprintprec : 6;
 125 @c M : matrix ([1, -3.2, 8], [-11, 2.7, 5.9]);
 126 @c [q, r] : dgeqrf (M);
 127 @c q . r - M;
 128 @c mat_norm (%);
 129 @c ===end===
 130 @example
 131 (%i1) load (lapack) $
 132 (%i2) fpprintprec : 6 $
 133 (%i3) M : matrix ([1, -3.2, 8], [-11, 2.7, 5.9]) $
 134 (%i4) [q, r] : dgeqrf (M);
 135        [ - .0905357  .995893  ]
 136 (%o4) [[                      ],
 137        [  .995893    .0905357 ]
 138                                [ - 11.0454   2.97863   5.15148 ]
 139                                [                               ]]
 140                                [     0      - 2.94241  8.50131 ]
 141 (%i5) q . r - M;
 142          [ - 7.77156E-16   1.77636E-15   - 8.88178E-16 ]
 143 (%o5)    [                                             ]
 144          [      0.0       - 1.33227E-15   8.88178E-16  ]
 145 (%i6) mat_norm (%, 1);
 146 (%o6)                      3.10862E-15
 147 @end example
 148
 149 @opencatbox
 150 @category{Package lapack}
 151 @closecatbox
 152
 153 @end deffn
 154
 155 @deffn {関数} dgesv (@var{A}, @var{b})
 156
 157 線形方程式 @math{@var{A} @var{x} = @var{b}}の
 158 解 @var{x}を計算します。
 159 ここで、 @var{A}は平方行列、
 160 @var{b}は@var{A}と同じ数の行と任意の長さの列を持つ行列です。
 161 戻り値 @var{x}は @var{b}と同じサイズです。
 162
 163 @var{A}と @var{b}の要素は
 164 @code{float}を介して実の浮動小数点数に評価されなければいけません;
 165 従って、要素は任意の数値型か、数値定数のシンボルか、
 166 浮動小数点に評価される式であり得ます。
 167 @var{x}の要素はいつも浮動小数点数です。
 168 すべての算術は浮動小数演算として実行されます。
 169
 170 @code{dgesv}は
 171 @var{A}のLU分解を介して
 172 解を計算します。
 173
 174 例:
 175
 176 @code{dgesv}は
 177 線形方程式 @math{@var{A} @var{x} = @var{b}}の解を計算します。
 178
 179 @c ===beg===
 180 @c A : matrix ([1, -2.5], [0.375, 5]);
 181 @c b : matrix ([1.75], [-0.625]);
 182 @c x : dgesv (A, b);
 183 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
 184 @c ===end===
 185 @example
 186 (%i1) A : matrix ([1, -2.5], [0.375, 5]);
 187                                [   1    - 2.5 ]
 188 (%o1)                          [              ]
 189                                [ 0.375    5   ]
 190 (%i2) b : matrix ([1.75], [-0.625]);
 191                                   [  1.75   ]
 192 (%o2)                             [         ]
 193                                   [ - 0.625 ]
 194 (%i3) x : dgesv (A, b);
 195                             [  1.210526315789474  ]
 196 (%o3)                       [                     ]
 197                             [ - 0.215789473684211 ]
 198 (%i4) dlange (inf_norm, b - A.x);
 199 (%o4)                                 0.0
 200 @end example
 201
 202 @var{b}は@var{A}と同じ数の行と任意の長さの列を持つ行列です。
 203 @var{x}は @var{b}と同じサイズです。
 204
 205 @c ===beg===
 206 @c A : matrix ([1, -0.15], [1.82, 2]);
 207 @c b : matrix ([3.7, 1, 8], [-2.3, 5, -3.9]);
 208 @c x : dgesv (A, b);
 209 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
 210 @c ===end===
 211 @example
 212 (%i1) A : matrix ([1, -0.15], [1.82, 2]);
 213                                [  1    - 0.15 ]
 214 (%o1)                          [              ]
 215                                [ 1.82    2    ]
 216 (%i2) b : matrix ([3.7, 1, 8], [-2.3, 5, -3.9]);
 217                               [  3.7   1    8   ]
 218 (%o2)                         [                 ]
 219                               [ - 2.3  5  - 3.9 ]
 220 (%i3) x : dgesv (A, b);
 221       [  3.103827540695117   1.20985481742191    6.781786185657722  ]
 222 (%o3) [                                                             ]
 223       [ - 3.974483062032557  1.399032116146062  - 8.121425428948527 ]
 224 (%i4) dlange (inf_norm, b - A . x);
 225 (%o4)                       1.1102230246251565E-15
 226 @end example
 227
 228 @var{A}と @var{b}の要素は
 229 実の浮動小数点数に評価されなければいけません;
 230
 231 @c ===beg===
 232 @c A : matrix ([5, -%pi], [1b0, 11/17]);
 233 @c b : matrix ([%e], [sin(1)]);
 234 @c x : dgesv (A, b);
 235 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
 236 @c ===end===
 237 @example
 238 (%i1) A : matrix ([5, -%pi], [1b0, 11/17]);
 239                                [   5    - %pi ]
 240                                [              ]
 241 (%o1)                          [         11   ]
 242                                [ 1.0b0   --   ]
 243                                [         17   ]
 244 (%i2) b : matrix ([%e], [sin(1)]);
 245                                   [   %e   ]
 246 (%o2)                             [        ]
 247                                   [ sin(1) ]
 248 (%i3) x : dgesv (A, b);
 249                              [ 0.690375643155986 ]
 250 (%o3)                        [                   ]
 251                              [ 0.233510982552952 ]
 252 (%i4) dlange (inf_norm, b - A . x);
 253 (%o4)                        2.220446049250313E-16
 254 @end example
 255
 256 @opencatbox
 257 @category{Package lapack} @category{Linear equations}
 258 @closecatbox
 259
 260 @end deffn
 261
 262 @deffn {関数} dgesvd (@var{A})
 263 @deffnx {関数} dgesvd (@var{A}, @var{left_p}, @var{right_p})
 264
 265 特異値から成る行列 @var{A}の特異値分解(SVD)を計算します。
 266 オプションで左および右特異ベクトルを取ります。
 267
 268 @var{A}の要素はすべて整数か浮動小数点数でなければいけません。
 269 @var{A}は(行と列が同じ数の)平方かもしれませんし、そうでないかもしれません。
 270
 271 @math{m}を @var{A}の行数、@math{n}を列数とします。
 272 @var{A}の特異値分解は
 273 @c this code breaks texi2pdf: @math{@var{A} = @var{U} . @var{Sigma} . @var{V^T}}
 274 @math{@var{A} = @var{U} . @var{Sigma} . @var{V}^T}
 275 のような3つの行列 @var{U}, @var{Sigma}, @var{V^T}から構成されます。
 276 ここで、 @var{U}は @math{m}掛け@math{m}のユニタリ行列、
 277 @var{Sigma}は @math{m}掛け@math{n}の対角行列、
 278 @var{V^T}は @math{n}掛け@math{n}のユニタリ行列です。
 279
 280 @math{sigma[i]}を
 281 @math{Sigma}の対角要素、すなわち、 @math{@var{Sigma}[i, i] = @var{sigma}[i]}と
 282 します。
 283 要素 @math{sigma[i]}は @var{A}のいわゆる特異値です;
 284 これらは実数で、非負で、降順で返されます。
 285 @var{U}と @var{V}の最初の @math{min(m, n)}列は
 286 @var{A}の左と右特異ベクトルです。
 287 @code{dgesvd}は、@var{V}自身ではなく@var{V}の転置を返すことに注意してください。
 288
 289 @code{dgesvd(@var{A})}は @var{A}の特異値だけを計算します。
 290 @code{dgesvd(@var{A}, @var{left_p}, @var{right_p})}は
 291 @var{A}の特異値と、
 292 @math{@var{left_p} = @code{true}}の時、左特異ベクトル、
 293 @math{@var{right_p} = @code{true}}の時、右特異ベクトルを計算します。
 294
 295 3つの項目のリストが返されます。
 296 一つ目の項目は特異値のリストです。
 297 二つ目の項目は @code{false}か、左特異ベクトルの行列です。
 298 三つ目の項目は @code{false}か、右特異ベクトルの行列です。
 299
 300 例:
 301
 302 @c ===beg===
 303 @c load (lapack)$
 304 @c fpprintprec : 6;
 305 @c M: matrix([1, 2, 3], [3.5, 0.5, 8], [-1, 2, -3], [4, 9, 7]);
 306 @c dgesvd (M);
 307 @c [sigma, U, VT] : dgesvd (M, true, true);
 308 @c m : length (U);
 309 @c n : length (VT);
 310 @c Sigma:
 311 @c   genmatrix(lambda ([i, j], if i=j then sigma[i] else 0),
 312 @c             m, n);
 313 @c U . Sigma . VT - M;
 314 @c transpose (U) . U;
 315 @c VT . transpose (VT);
 316 @c ===end===
 317 @example
 318 (%i1) load (lapack)$
 319 (%i2) fpprintprec : 6;
 320 (%o2)                           6
 321 (%i3) M: matrix([1, 2, 3], [3.5, 0.5, 8], [-1, 2, -3], [4, 9, 7]);
 322                         [  1    2    3  ]
 323                         [               ]
 324                         [ 3.5  0.5   8  ]
 325 (%o3)                   [               ]
 326                         [ - 1   2   - 3 ]
 327                         [               ]
 328                         [  4    9    7  ]
 329 (%i4) dgesvd (M);
 330 (%o4)      [[14.4744, 6.38637, .452547], false, false]
 331 (%i5) [sigma, U, VT] : dgesvd (M, true, true);
 332 (%o5) [[14.4744, 6.38637, .452547],
 333 [ - .256731  .00816168   .959029    - .119523 ]
 334 [                                             ]
 335 [ - .526456   .672116   - .206236   - .478091 ]
 336 [                                             ],
 337 [  .107997   - .532278  - .0708315  - 0.83666 ]
 338 [                                             ]
 339 [ - .803287  - .514659  - .180867    .239046  ]
 340 [ - .374486  - .538209  - .755044 ]
 341 [                                 ]
 342 [  .130623   - .836799   0.5317   ]]
 343 [                                 ]
 344 [ - .917986   .100488    .383672  ]
 345 (%i6) m : length (U);
 346 (%o6)                           4
 347 (%i7) n : length (VT);
 348 (%o7)                           3
 349 (%i8) Sigma:
 350         genmatrix(lambda ([i, j], if i=j then sigma[i] else 0),
 351                   m, n);
 352                   [ 14.4744     0        0    ]
 353                   [                           ]
 354                   [    0     6.38637     0    ]
 355 (%o8)             [                           ]
 356                   [    0        0     .452547 ]
 357                   [                           ]
 358                   [    0        0        0    ]
 359 (%i9) U . Sigma . VT - M;
 360           [  1.11022E-15        0.0       1.77636E-15 ]
 361           [                                           ]
 362           [  1.33227E-15    1.66533E-15       0.0     ]
 363 (%o9)     [                                           ]
 364           [ - 4.44089E-16  - 8.88178E-16  4.44089E-16 ]
 365           [                                           ]
 366           [  8.88178E-16    1.77636E-15   8.88178E-16 ]
 367 (%i10) transpose (U) . U;
 368        [     1.0      5.55112E-17    2.498E-16     2.77556E-17  ]
 369        [                                                        ]
 370        [ 5.55112E-17      1.0       5.55112E-17    4.16334E-17  ]
 371 (%o10) [                                                        ]
 372        [  2.498E-16   5.55112E-17       1.0       - 2.08167E-16 ]
 373        [                                                        ]
 374        [ 2.77556E-17  4.16334E-17  - 2.08167E-16       1.0      ]
 375 (%i11) VT . transpose (VT);
 376           [      1.0           0.0      - 5.55112E-17 ]
 377           [                                           ]
 378 (%o11)    [      0.0           1.0       5.55112E-17  ]
 379           [                                           ]
 380           [ - 5.55112E-17  5.55112E-17       1.0      ]
 381 @end example
 382
 383 @opencatbox
 384 @category{Package lapack}
 385 @closecatbox
 386
 387 @end deffn
 388
 389 @deffn {関数} dlange (@var{norm}, @var{A})
 390 @deffnx {関数} zlange (@var{norm}, @var{A})
 391
 392 行列 @var{A}のノルムもしくはノルムのような関数を計算します。
 393
 394 @table @code
 395 @item max
 396 @math{max(abs(A(i, j)))}を計算します。
 397 ここで @math{i}と @math{j}はそれぞれ行と列を行き渡ります。
 398 この関数は適切な行列ノルムではないことに注意してください。
 399 @item one_norm
 400 @var{A}の @math{L[1]}ノルム、
 401 すなわち、それぞれの列の要素の絶対値の和の最大値
 402 を計算します。
 403 @item inf_norm
 404 @var{A}の @math{L[inf]}ノルム、
 405 すなわち、それぞれの行の要素の絶対値の和の最大値
 406 を計算します。
 407 @item frobenius
 408 @var{A}のFrobeniusノルム、すなわち、
 409 行列要素の平方の和の平方根
 410 を計算します。
 411 @end table
 412
 413 @opencatbox
 414 @category{Package lapack}
 415 @closecatbox
 416
 417 @end deffn
 418
 419 @deffn {関数} dgemm (@var{A}, @var{B})
 420 @deffnx {関数} dgemm (@var{A}, @var{B}, @var{options})
 421 2つの行列の積を計算します。オプションで積を三つ目の行列に足し算します。
 422
 423 最も簡単な形式では、
 424 @code{dgemm(@var{A}, @var{B})}は
 425 2つの実行列 @var{A}と @var{B}の積を計算します。
 426
 427 二番目の形式では、
 428 @code{dgemm}は
 429 @math{@var{alpha} * @var{A} * @var{B} + @var{beta} * @var{C}}
 430 を計算します。
 431 ここで @var{A}, @var{B}, @var{C}は
 432 適当なサイズの実行列であり、
 433 @var{alpha}と @var{beta}は実数です。
 434 オプションで、 @var{A}と/もしくは @var{B}は
 435 積を計算する前に転置を取ることができます。
 436 追加のパラメータはオプションのキーワード引数で指定できます:
 437 キーワード引数はオプションで、
 438 どんな順番でも指定できます。
 439 それらはすべて、形式 @code{key=val}を取ります。
 440 キーワード引数は以下の通りです:
 441
 442 @table @code
 443 @item C
 444 足すべき行列 @var{C}。
 445 デフォルトは @code{false}であり、行列を足さないことを意味します。
 446 @item alpha
 447 @var{A}と @var{B}の積がこの値に掛けられます。
 448 デフォルトは1です。
 449 @item beta
 450 もし行列 @var{C}が与えられたら、
 451 この値は、足される前に@var{C}に掛けられます。
 452 デフォルト値は0で、これは, たとえ@var{C}が与えられても
 453 @var{C}が足されないことを意味します。
 454 故に、必ず@var{beta}に零でない値を指定してください。
 455 @item transpose_a
 456 もし @code{true}なら、
 457 @var{A}の代わりに@var{A}の転置が積に使われます。
 458 デフォルトは @code{false}です。
 459 @item transpose_b
 460 もし @code{true}なら
 461 @var{B}の代わりに@var{B}の転置が積に使われます。
 462 デフォルトは @code{false}です。
 463 @end table
 464
 465 @c ===beg===
 466 @c load (lapack)$
 467 @c A : matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
 468 @c B : matrix([-1,-2,-3],[-4,-5,-6],[-7,-8,-9]);
 469 @c C : matrix([3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]);
 470 @c dgemm(A,B);
 471 @c A . B;
 472 @c dgemm(A,B,transpose_a=true);
 473 @c transpose(A) . B;
 474 @c dgemm(A,B,c=C,beta=1);
 475 @c A . B + C;
 476 @c dgemm(A,B,c=C,beta=1, alpha=-1);
 477 @c -A . B + C
 478 @example
 479 (%i1) load (lapack)$
 480 (%i2) A : matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
 481                                   [ 1  2  3 ]
 482                                   [         ]
 483 (%o2)                             [ 4  5  6 ]
 484                                   [         ]
 485                                   [ 7  8  9 ]
 486 (%i3) B : matrix([-1,-2,-3],[-4,-5,-6],[-7,-8,-9]);
 487                                [ - 1  - 2  - 3 ]
 488                                [               ]
 489 (%o3)                          [ - 4  - 5  - 6 ]
 490                                [               ]
 491                                [ - 7  - 8  - 9 ]
 492 (%i4) C : matrix([3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]);
 493                                   [ 3  2  1 ]
 494                                   [         ]
 495 (%o4)                             [ 6  5  4 ]
 496                                   [         ]
 497                                   [ 9  8  7 ]
 498 (%i5) dgemm(A,B);
 499                          [ - 30.0   - 36.0   - 42.0  ]
 500                          [                           ]
 501 (%o5)                    [ - 66.0   - 81.0   - 96.0  ]
 502                          [                           ]
 503                          [ - 102.0  - 126.0  - 150.0 ]
 504 (%i6) A . B;
 505                             [ - 30   - 36   - 42  ]
 506                             [                     ]
 507 (%o6)                       [ - 66   - 81   - 96  ]
 508                             [                     ]
 509                             [ - 102  - 126  - 150 ]
 510 (%i7) dgemm(A,B,transpose_a=true);
 511                          [ - 66.0  - 78.0   - 90.0  ]
 512                          [                          ]
 513 (%o7)                    [ - 78.0  - 93.0   - 108.0 ]
 514                          [                          ]
 515                          [ - 90.0  - 108.0  - 126.0 ]
 516 (%i8) transpose(A) . B;
 517                            [ - 66  - 78   - 90  ]
 518                            [                    ]
 519 (%o8)                      [ - 78  - 93   - 108 ]
 520                            [                    ]
 521                            [ - 90  - 108  - 126 ]
 522 (%i9) dgemm(A,B,c=C,beta=1);
 523                          [ - 27.0  - 34.0   - 41.0  ]
 524                          [                          ]
 525 (%o9)                    [ - 60.0  - 76.0   - 92.0  ]
 526                          [                          ]
 527                          [ - 93.0  - 118.0  - 143.0 ]
 528 (%i10) A . B + C;
 529                             [ - 27  - 34   - 41  ]
 530                             [                    ]
 531 (%o10)                      [ - 60  - 76   - 92  ]
 532                             [                    ]
 533                             [ - 93  - 118  - 143 ]
 534 (%i11) dgemm(A,B,c=C,beta=1, alpha=-1);
 535                             [ 33.0   38.0   43.0  ]
 536                             [                     ]
 537 (%o11)                      [ 72.0   86.0   100.0 ]
 538                             [                     ]
 539                             [ 111.0  134.0  157.0 ]
 540 (%i12) -A . B + C;
 541                                [ 33   38   43  ]
 542                                [               ]
 543 (%o12)                         [ 72   86   100 ]
 544                                [               ]
 545                                [ 111  134  157 ]
 546
 547 @end example
 548 @opencatbox
 549 @category{Package lapack}
 550 @closecatbox
 551
 552 @end deffn