tests/rtestint.mac

   1 (kill(all),0);
   2 0$
   3
   4 /*
   5  * This is a set of test integrals for testing various parts of the
   6  * integration routines.
   7  */
   8
   9 /*
  10  * We're testing irinte now, which handles things like x^m*sqrt(R^(2*p+1))
  11  * for integral values of m and p.
  12  */
  13 R:c*x^2+b*x+a;
  14 c*x^2+b*x+a;
  15
  16 /*
  17  * Tests of den1den1, 1/x/sqrt(R)
  18  */
  19
  20 /* G&R a < 0, del < 0 */
  21 integrate(1/x/sqrt(x^2-1),x);
  22 -asin(1/abs(x));
  23
  24 /* G&R a > 0, del > 0 */
  25 integrate(1/x/sqrt(x^2+1),x);
  26 -asinh(1/abs(x));
  27
  28 /* G&R a > 0, del = 0 */
  29 /*integrate(1/x/sqrt(x^2-2*x+1),x);*/
  30
  31 /* G&R a < 0, del < 0 */
  32 integrate(1/x/sqrt(-6+5*x-x^2),x);
  33 asin(5*x/abs(x)-12/abs(x))/sqrt(6);
  34
  35 /* Last case */
  36 integrate(1/x/sqrt(-x^2+x-1),x);
  37 %i*asinh(x/(sqrt(3)*abs(x))-2/(sqrt(3)*abs(x)));
  38
  39
  40 /*
  41  * Test of denn, 1/sqrt(R^(2*p+1))
  42  */
  43
  44 (assume(4*a*c-b^2>0), assume(c > 0), assume(a > 0), assume(b > 0),
  45  assume(R > 0), 0);
  46 0;
  47
  48 /* 1/sqrt(R), repeated roots */
  49 integrate(1/sqrt(c*x^2+b*x+b^2/4/c),x);
  50 log(x+b/(2*c))/sqrt(c);
  51
  52 /* 1/sqrt(R^(2*p+1), p > 0, repeated roots */
  53 integrate(1/sqrt(c*x^2+b*x+b^2/4/c)^3,x);
  54 -1/(2*c^(3/2)*(x+b/(2*c))^2);
  55
  56
  57 /*
  58  * 1/sqrt(R), distinct roots,
  59  * G&R 2.261 case c > 0, del > 0
  60  */
  61 integrate(1/sqrt(R),x);
  62 1/sqrt(c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2));
  63
  64 /*
  65  * 1/sqrt(R^3), distinct roots,
  66  * G&R 2.264 eq. 5
  67  */
  68 factor(integrate(1/R^(3/2),x));
  69 2*(2*c*x+b)/((4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a));
  70
  71 /*
  72  * General case.
  73  * 1/sqrt(R^(2*p+1),
  74  * G&R 2.263 eq. 3, for reduction; eq 4 for explicit solution.
  75  */
  76 factor(integrate(1/R^(5/2),x));
  77 2*(2*c*x+b)*(8*c^2*x^2+8*b*c*x+12*a*c-b^2)
  78          /(3*(4*a*c-b^2)^2*(c*x^2+b*x+a)^(3/2));
  79 /*
  80  * Tests of den1denn, 1/x/sqrt(R^(2*p+1))
  81  */
  82
  83 /*
  84  * G&R 2.268 gives the general solution for this:
  85  *
  86  * integrate(1/x/sqrt(R^(2*n+1)),x) =
  87  *   1/(2*n-1)/a/sqrt(R^(2*n-1))
  88  *   - b/2/a*integrate(1/sqrt(R^(2*n+1)),x)
  89  *   + 1/a*integrate(1/x/sqrt(R^(2*n-1)),x)
  90  *
  91  * For this example, n = 1
  92  *
  93  * integrate(1/x/sqrt(R^3),x) =
  94  *   1/a/sqrt(R)
  95  *   - b/2/a*integrate(1/sqrt(R^3),x)
  96  *   + 1/a*integrate(1/x/sqrt(R),x)
  97  *
  98  * and we already know the answers to the other two integrals.
  99  */
 100 integrate(1/x/sqrt(R^3),x);
 101 -asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 102         /a^(3/2)
 103         -2*b*c*x/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 104         -b^2/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))+1/(a*sqrt(c*x^2+b*x+a));
 105
 106 /*
 107  * Tests of nummdenn x^m/sqrt(R^(2*p+1))
 108  */
 109
 110 /*
 111  * See G&R 2.264, eq 2:
 112  *
 113  * integrate(x/sqrt(R),x) =
 114  *   sqrt(R)/c - b/(2*c)*integrate(1/sqrt(R),x)
 115  */
 116 integrate(x/sqrt(R),x);
 117 sqrt(''R)/c-b*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(2*c^(3/2));
 118
 119 /*
 120  * See G&R 2.264, eq 3:
 121  *
 122  * integrate(x^2/sqrt(R),x) =
 123  *   (x/(2*c)-3*b/(4*c^2))*sqrt(R)
 124  *     + (3*b^2/(8*c^2) - a/(2*c))*integrate(1/sqrt(R),x)
 125  */
 126 integrate(x^2/sqrt(R),x);
 127 -a*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(2*c^(3/2))
 128         +3*b^2*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(8*c^(5/2))
 129         +x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(2*c)-3*b*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(4*c^2);
 130
 131
 132 /*
 133  * Test of repeated roots
 134  */
 135 integrate(x^2/sqrt(c*x^2+b*x+b^2/4/c),x);
 136 b^2*log(x+b/(2*c))/(4*c^(5/2))+x^2/(2*sqrt(c))-b*x/(2*c^(3/2));
 137
 138 integrate(x^2/sqrt(c*x^2+b*x+b^2/4/c)^3,x);
 139 log(x+b/(2*c))/c^(3/2)+b*x/(c^(5/2)*(x+b/(2*c))^2)
 140                               +3*b^2/(8*c^(7/2)*(x+b/(2*c))^2);
 141
 142 integrate(x^2/sqrt(c*x^2+b*x+b^2/4/c)^5,x);
 143 -1/(2*c^(5/2)*(x+b/(2*c))^2)+b/(3*c^(7/2)*(x+b/(2*c))^3)
 144                                     -b^2/(16*c^(9/2)*(x+b/(2*c))^4);
 145
 146 /*
 147  * Test denmnumn sqrt(R^(2*p+1))/x^m.
 148  */
 149
 150 integrate(sqrt(R)/x,x);
 151 -sqrt(a)*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))
 152                         +2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 153          +b*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(2*sqrt(c))+sqrt(c*x^2+b*x+a);
 154
 155 integrate(sqrt(R^3)/x,x),radexpand:all;
 156 -a^(3/2)*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))
 157                         +2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 158          +3*a*b*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(4*sqrt(c))
 159          -b^3*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(16*c^(3/2))
 160          +(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/3+b*x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/4
 161          +b^2*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(8*c)+a*sqrt(c*x^2+b*x+a);
 162
 163 integrate(sqrt(R)/x^2,x);
 164 -b*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 165          /(2*sqrt(a))
 166          +sqrt(c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))-sqrt(c*x^2+b*x+a)/x;
 167
 168 integrate(sqrt(R^3)/x^2,x),radexpand:all;
 169 -3*sqrt(a)*b
 170           *asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 171          /2
 172          +3*a*sqrt(c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/2
 173          +3*b^2*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(8*sqrt(c))
 174          -(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/x+3*c*x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/2
 175          +9*b*sqrt(c*x^2+b*x+a)/4;
 176
 177 /* Same as above, but test a = 0 (nonconstquadenum) */
 178 integrate(sqrt(R-a)/x,x);
 179 b*log(2*sqrt(c)*sqrt(c*x^2+b*x)+2*c*x+b)/(2*sqrt(c))+sqrt(c*x^2+b*x);
 180
 181 integrate(sqrt((R-a)^3)/x,x),radexpand:all;
 182 -b^3*log(2*sqrt(c)*sqrt(c*x^2+b*x)+2*c*x+b)/(16*c^(3/2))
 183          +(c*x^2+b*x)^(3/2)/3+b*x*sqrt(c*x^2+b*x)/4+b^2*sqrt(c*x^2+b*x)/(8*c);
 184
 185 integrate(sqrt(R-a)/x^2,x);
 186 sqrt(c)*log(2*sqrt(c)*sqrt(c*x^2+b*x)+2*c*x+b)-2*sqrt(c*x^2+b*x)/x;
 187
 188 integrate(sqrt((R-a)^3)/x^2,x),radexpand:all;
 189 3*b^2*log(2*sqrt(c)*sqrt(c*x^2+b*x)+2*c*x+b)/(8*sqrt(c))
 190          +(c*x^2+b*x)^(3/2)/(2*x)+3*b*sqrt(c*x^2+b*x)/4;
 191
 192 integrate(sqrt((R-a)^3)/x^3,x),radexpand:all;
 193 3*b*sqrt(c)*log(2*sqrt(c)*sqrt(c*x^2+b*x)+2*c*x+b)/2
 194          +(c*x^2+b*x)^(3/2)/x^2-3*b*sqrt(c*x^2+b*x)/x;
 195
 196 /*
 197  * Test denmdenn 1/sqrt(R^(2*p+1))/x^m
 198  */
 199 integrate(1/sqrt(R)/x^2,x);
 200 b*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 201          /(2*a^(3/2))
 202          -sqrt(c*x^2+b*x+a)/(a*x);
 203
 204 integrate(1/sqrt(R)/x^3,x);
 205 c*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 206          /(2*a^(3/2))
 207          -3*b^2
 208            *asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 209           /(8*a^(5/2))+3*b*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(4*a^2*x)
 210          -sqrt(c*x^2+b*x+a)/(2*a*x^2);
 211
 212 integrate(1/sqrt(R^3)/x^2,x);
 213 3*b*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 214          /(2*a^(5/2))
 215          -8*c^2*x/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 216          +3*b^2*c*x/(a^2*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 217          -1/(a*x*sqrt(c*x^2+b*x+a))-4*b*c/(a*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 218          +3*b^3/(2*a^2*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 219          -3*b/(2*a^2*sqrt(c*x^2+b*x+a));
 220
 221 integrate(1/sqrt(R^3)/x^3,x);
 222 3*c*asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 223          /(2*a^(5/2))
 224          -15*b^2
 225             *asinh(b*x/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x))+2*a/(sqrt(4*a*c-b^2)*abs(x)))
 226           /(8*a^(7/2))+13*b*c^2*x/(a^2*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 227          -15*b^3*c*x/(4*a^3*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 228          +5*b/(4*a^2*x*sqrt(c*x^2+b*x+a))-1/(2*a*x^2*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 229          +13*b^2*c/(2*a^2*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 230          -15*b^4/(8*a^3*(4*a*c-b^2)*sqrt(c*x^2+b*x+a))
 231          -3*c/(2*a^2*sqrt(c*x^2+b*x+a))+15*b^2/(8*a^3*sqrt(c*x^2+b*x+a));
 232
 233 /* Same as above, but test the case of a = 0 (test noconstquad) */
 234 integrate(1/sqrt(R-a)/x^2,x);
 235 4*c*sqrt(c*x^2+b*x)/(3*b^2*x)-2*sqrt(c*x^2+b*x)/(3*b*x^2);
 236
 237 integrate(1/sqrt(R-a)/x^3,x);
 238 -16*c^2*sqrt(c*x^2+b*x)/(15*b^3*x)+8*c*sqrt(c*x^2+b*x)/(15*b^2*x^2)
 239                                           -2*sqrt(c*x^2+b*x)/(5*b*x^3);
 240
 241 integrate(1/sqrt((R-a)^3)/x^2,x),radexpand:all;
 242 -32*c^3*x/(5*b^4*sqrt(c*x^2+b*x))+4*c/(5*b^2*x*sqrt(c*x^2+b*x))
 243                                          -2/(5*b*x^2*sqrt(c*x^2+b*x))
 244                                          -16*c^2/(5*b^3*sqrt(c*x^2+b*x));
 245
 246 integrate(1/sqrt((R-a)^3)/x^3,x),radexpand:all;
 247 256*c^4*x/(35*b^5*sqrt(c*x^2+b*x))-32*c^2/(35*b^3*x*sqrt(c*x^2+b*x))
 248                                           +16*c/(35*b^2*x^2*sqrt(c*x^2+b*x))
 249                                           -2/(7*b*x^3*sqrt(c*x^2+b*x))
 250                                           +128*c^3/(35*b^4*sqrt(c*x^2+b*x));
 251
 252 /*
 253  * Test nummnumn x^m*sqrt(R^(2*p+1))
 254  */
 255
 256 integrate(sqrt(R),x);
 257 a*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(2*sqrt(c))
 258         -b^2*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(8*c^(3/2))
 259         +x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/2+b*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(4*c);
 260
 261 integrate(x*sqrt(R),x);
 262 -a*b*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(4*c^(3/2))
 263         +b^3*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(16*c^(5/2))
 264         +(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(3*c)-b*x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(4*c)
 265         -b^2*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(8*c^2);
 266
 267 integrate(x^2*sqrt(R),x);
 268 a*(5*b^2-4*a*c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(32*c^(5/2))
 269         -b^2*(5*b^2-4*a*c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(128*c^(7/2))
 270         +x*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(4*c)-5*b*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(24*c^2)
 271         +(5*b^2-4*a*c)*x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(32*c^2)
 272         +b*(5*b^2-4*a*c)*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(64*c^3);
 273
 274 integrate(x^3*sqrt(R),x);
 275 -7*a*b*(5*b^2-4*a*c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(320*c^(7/2))
 276         +7*b^3*(5*b^2-4*a*c)*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(1280*c^(9/2))
 277         +a^2*b*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(10*c^(5/2))
 278         -a*b^3*asinh((2*c*x+b)/sqrt(4*a*c-b^2))/(40*c^(7/2))
 279         +x^2*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(5*c)-7*b*x*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(40*c^2)
 280         -2*a*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(15*c^2)+7*b^2*(c*x^2+b*x+a)^(3/2)/(48*c^3)
 281         -7*b*(5*b^2-4*a*c)*x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(320*c^3)
 282         +a*b*x*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(10*c^2)
 283         -7*b^2*(5*b^2-4*a*c)*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(640*c^4)
 284         +a*b^2*sqrt(c*x^2+b*x+a)/(20*c^3);
 285
 286 /* Integration is not correct: invalid 'false' term in results - ID: 3470668 */
 287 (assume(4*a*c > 1), 0);
 288 0;
 289
 290 integrate(x^4 / (a*x^2 + x + c)^(5/2), x);
 291 'integrate(x^4 / (a*x^2 + x + c)^(5/2), x);
 292
 293 (forget(4*a*c > 1), 0);
 294 0;
 295
 296 /*------------------------------------------------------------------------------*/
 297 /*
 298  * I (rtoy) have not verified any of these, except for the cases so marked.
 299  */
 300
 301 /*
 302  * Sample integrals from MIT LCS TR-092, Wang's thesis on definite integration
 303  */
 304
 305 /* p. 59 */
 306 /* Verified by doing the indefinite integral and taking limits */
 307 /* Tests mtoinf and zmtorat */
 308 factor(integrate((x^2+a1*x+b1)/(x^4+10*x^2+9),x,minf,inf));
 309 %pi*(b1+3)/12;
 310
 311 /* p. 62 */
 312 /*
 313  * Evaluating the indefinite integral and taking appropriate limits
 314  * gives the equivalent answer
 315  */
 316 /* Tests ztoinf and zmtorat */
 317 factor(integrate((x^2+a1*x+b1)/(x^4+10*x^2+9),x,0,inf));
 318 (%pi*b1+3*log(3)*a1+3*%pi)/24;
 319
 320 /*
 321  * p. 62
 322  *
 323  * Wang gives 2*%pi/3/sqrt(3), which is equivalent.  Why doesn't maxima
 324  * know that atan(sqrt(3)) is %pi/3?
 325  */
 326 /* Verified by doing evaluating indefinite integral */
 327 /* Tests ztoinf and zmtorat */
 328 integrate(1/(x^2+x+1),x,0,inf);
 329 2*sqrt(3)*atan(sqrt(3))/3;
 330
 331 /* p. 64 */
 332 /*
 333  * Using contour integration, we see this has poles at %i and 2*%i.  The
 334  * residues are 0 and -%i/3, respectively, so the integral is 2*%pi/3.
 335  */
 336 /* Tests ztoinf and zmtorat */
 337 integrate((x-%i)/((x-2*%i)*(x^2+1)),x,minf,inf);
 338 2*%pi/3;
 339
 340 /* p. 64 */
 341 /* Tests ztoinf and zmtorat */
 342 integrate((x-%i)/((x-2*%i)*(x^2+1)),x,0,inf);
 343 (6*%i*log(2)+6*%pi)/18;
 344
 345 /*
 346  * p. 67
 347  *
 348  * Wang gives 4*%pi/9/sqrt(3)-1/2, which is equivalent.
 349  */
 350
 351 /* Verified via indefinite integral */
 352 /* Tests ztoinf and zmtorat */
 353 integrate(1/(x^2+x+1)^3,x,0,inf);
 354 (8*sqrt(3)*%pi-27)/54;
 355
 356
 357 /* p. 70 */
 358 /* Verified via indefinite integral */
 359 /* Tests ztoinf and batapp */
 360 integrate(1/((1+x)*sqrt(x)),x,0,inf);
 361 %pi;
 362
 363 /* p. 71 */
 364 /*
 365  * First, we need assume(k < 0, k+1>0).  Then we also need to tell
 366  * maxima k is not an integer.  Then maxima can evaluate this integral.
 367  */
 368 /* Tests ztoinf and batapp */
 369 (assume(kj<0,kj+1>0,exp(kj)<1),0);
 370 0;
 371 (declare(kj,noninteger),0);
 372 0;
 373 integrate(x^kj/(x+3),x,0,inf);
 374 3^kj*beta(kj+1,-kj);
 375
 376 /* p. 74 */
 377 /* I think Wang meant the integral from a to inf, not 0 to inf. */
 378 /*
 379  * Tests parse-integrand, method-by-limits, dintegrate,
 380  * method-radical-poly, intsubs.
 381  */
 382 integrate(1/(x^2*sqrt(x^2-a^2)),x,a,inf);
 383 1/a^2;
 384
 385 /* p. 76 */
 386 /*
 387  * Wang gives 1024/6567561
 388  *
 389  * This particular integral matches form III with M = 6, N = 6, A = B
 390  * = C = 1.
 391  *
 392  * Based on his procedure, the case N>=M holds, and the integral is
 393  *
 394  * H*diff(U(1,1+z2,1+z3),z2,6)
 395  *
 396  * evaluated at z2=z3=0, where U(a,b,c) = 1/(sqrt(c)*(b/2+sqrt(a*c)))
 397  * and H = (-1)^N*sqrt(%pi)/2/gamma(3/2+N).  If we substitute the
 398  * values in, we find the answer is 2048/6567561.
 399  *
 400  * Thus, Wang's answer is wrong.
 401  */
 402 /*
 403  * Tests method-by-limits, dintegrate, method-radical-poly, intsubs.
 404  */
 405 integrate(x^6/(x^2+x+1)^(15/2),x,0,inf);
 406 2048/6567561;
 407
 408 /* p. 79 */
 409 /*
 410  * The single pole in the upper half plane is %i, and the residue of
 411  * exp(%i*x)/(x^2+1) is -%i/2*exp(-1), so the integral is as given.
 412  */
 413 /* Tests mtoinf, mtosc */
 414 integrate(cos(x)/(x^2+1),x,minf,inf);
 415 %e^(-1)*%pi;
 416
 417 /* p. 79 */
 418 /*
 419  * The single pole in the upper half plane is %i, and the residue of
 420  * x*exp(%i*x)/(x^2+1) is exp(-1)/2, so the integral is as given.
 421  */
 422 /* Tests mtoinf, mtosc */
 423 integrate(x*sin(x)/(x^2+1),x,minf,inf);
 424 %e^(-1)*%pi;
 425
 426 /* p. 79 */
 427 /* This follows from the above example.  Besides the function is odd. */
 428 integrate(x*cos(x)/(x^2+1),x,minf,inf);
 429 0;
 430
 431 /* p. 79 */
 432 /*
 433  * Wang gives
 434  * %pi/2*((-1/sqrt(3)-%i)*%e^((sqrt(3)-%i)/2) + (%i-1/sqrt(3))*%e^((-sqrt(3)-%i)/2))
 435  *
 436  * That can't be right because the result has real and imaginary parts.
 437  *
 438  * Maxima calculates this correctly.
 439  */
 440 /* Tests mtoinf, mtosc */
 441 integrate(x*cos(x)/(x^2+x+1),x,minf,inf);
 442 %e^-(sqrt(3)/2)*(3*%pi*sin(1/2)-sqrt(3)*%pi*cos(1/2))/3;
 443
 444 /* p. 80 */
 445 /* Tests mtoinf, mtosc */
 446 integrate(1/(%e^(%i*x)*(x^2+1)),x,minf,inf);
 447 %e^(-1)*%pi;
 448
 449 /* p. 80 */
 450 /*
 451  * Wang gives %pi/%e
 452  *
 453  * I think Wang's answer is wrong.
 454  *
 455  * If we exponentialize the integrand, we get
 456  *
 457  * %i*exp(-2*%i*x)/2/(x^2+1) - %i/2/(x^2+1).
 458  *
 459  * The integral of the second term is obviously %i*%pi/2.  The
 460  * integral of the first term can be down via residues, using the
 461  * residue at x = -%i, which is -exp(-2)/4.  Thus, the integral should
 462  * be %i*%pi*exp(-2)/2-%i*%pi/2.  (We need to change the sign of the
 463  * residue because we traverse the real axis in the opposite
 464  * direction.)
 465  */
 466 /* Tests mtoinf, mtosc */
 467 integrate(sin(x)/(%e^(%i*x)*(x^2+1)),x,minf,inf);
 468 -%e^(-2)*(%e^2-1)*%i*%pi/2;
 469
 470 /* p. 80 */
 471 /*
 472  * Wang gives %pi/%e^2
 473  *
 474  * I think Wang's answer is wrong.
 475  *
 476  * Using the same derivation as above, we get
 477  *
 478  * %i/2/(x^2+1)*(exp(-3*%i*x)-exp(-%i*x).
 479  *
 480  * We use the lower half plane and compute the residue at x = -%i,
 481  * which is exp(-3)*(exp(2)-1)/4.  Thus, the integral is
 482  * -%i*%pi*exp(-3)*(exp(2)-1)/2.
 483  */
 484 /* Tests mtoinf, mtosc */
 485 integrate(sin(x)/(%e^(2*%i*x)*(x^2+1)),x,minf,inf);
 486 -%e^(-3)*(%e^2-1)*%i*%pi/2;
 487
 488 /* Integration of products of sin(nz)/(nz) sometimes fails - ID: 3497046 */
 489 integrate(sin(z)/z*sin(3*z)/(3*z)*sin(5*z)/(5*z)*sin(7*z)/(7*z),z,minf,inf);
 490 44*%pi/315;
 491
 492 /* p. 83 */
 493 /*
 494  * Wang gives 3*gamma(3/7)*cos(3*%pi/14)/(7*9^(3/7))
 495  *
 496  * I've verified the derivation and the value, so I think this is right.
 497  */
 498 /* Tests ztoinf, scaxn */
 499 integrate(cos(9*x^(7/3)),x,0,inf);
 500 3*gamma(3/7)*cos(3*%pi/14)/(7*9^(3/7));
 501
 502
 503 /* p. 83 */
 504 /*
 505  * Wang gives 3*gamma(3/7)*sin(3*%pi/14)/(7*9^(3/7))
 506  *
 507  * Verified.
 508  */
 509 /* Tests ztoinf, scaxn */
 510 integrate(sin(9*x^(7/3)),x,0,inf);
 511 3*gamma(3/7)*sin(3*%pi/14)/(7*9^(3/7));
 512
 513
 514 /* p. 85 */
 515 /*
 516  * Wang gives gamma((2*%i+4)/3)/3/(%i/2)^((2*%i+4)/3)
 517  *
 518  * I think this is right, in a sense.  The final formula he gives is
 519  * wrong, but the derivation leading up to it is correct, except that
 520  * he has the wrong value for integrate(x^m*exp(k*x^n),x,0,inf).
 521  *
 522  * However, Wang also says these integrals only converge if
 523  * n-realpart(m)>1, and we have n=3 and realpart(m)=2, so we don't
 524  * satisfy the convergence criterion.
 525  */
 526 /*
 527 integrate(x^(3/2*%i+3)/exp(%i*x^3/2),x,0,inf);
 528 (-sqrt(3)*%i/2-1/2)*2^((2*%i+4)/3)*gamma((2*%i+4)/3)/3;
 529 */
 530
 531 /* p. 86 */
 532 /*
 533  * We can verify this by integrate(exp(%i*s*x)/sqrt(x),x,0,inf) and
 534  * taking the imaginary part.  This satisfies the convergence
 535  * criteria, and maxima returns the value
 536  * sqrt(%pi)/sqrt(s)*exp(%i*%pi/4).  Thus, we get the answer below.
 537  */
 538 /* Tests ztoinf, sconvert, ggr */
 539 (assume(s > 0), 0);
 540 0;
 541 ratsimp(integrate(sin(s*x)/sqrt(x),x,0,inf));
 542 sqrt(%pi)/(sqrt(2)*sqrt(s));
 543
 544 /* p. 87 */
 545 /* Tests ztoinf, ssp */
 546 (assume(r>0),0);
 547 0;
 548
 549 integrate(sin(r*x)/x,x,0,inf);
 550 %pi/2;
 551
 552 /* p. 87 */
 553 /* Tests ztoinf, ssp */
 554 (assume(q>0),0);
 555 0;
 556 integrate(sin(q*x)^2/x^2,x,0,inf);
 557 %pi*q/2;
 558
 559 /* p. 92 */
 560 /*
 561  * We can verify this integral by using
 562  * integrate(x^k*log(x)^2/(x^2+1),x,0,inf), and the evaluate the
 563  * result at k = 0.  The integral is a bit messy in terms of a beta
 564  * function, the digamma, and trigamma functions.  But maxima can
 565  * evaluate these at k = 0 and the result is %pi^3/8.
 566  *
 567  */
 568 /* Tests method-by-limits, zto1, batap-inf */
 569 integrate(log(x)^2/(x^2+1),x,0,inf);
 570 %pi^3/8;
 571
 572 /* p. 93 */
 573 /*
 574  * Wang gives
 575  *
 576  * log(3)*3^k*beta(k+1,-k) + 3^k*diff(beta(r,-k),r) - diff(beta(k+1,r),r)
 577  *
 578  * where the first derivative is evaluated at r=1+k and the second at r=-k.
 579  *
 580  * Actually, we can have maxima compute it for us, because we want the
 581  * derivative of x^k*beta(k+1,-k) which is
 582  *
 583  * log(3)*3^k*beta(k+1,-k)+3^k*(psi[0](k+1)-psi[0](-k))*beta(k+1,-k)
 584  *
 585  * Some simple numerical evaluations for k=-1/2 and k=-1/3 indicates
 586  * that this result is probably correct.
 587  */
 588 /* Tests method-by-limits, zto1, batap-inf */
 589 integrate(x^kj*log(x)/(x+3),x,0,inf);
 590 3^kj*(psi[0](kj+1)-psi[0](-kj))*beta(kj+1,-kj)+log(3)*3^kj*beta(kj+1,-kj);
 591
 592 /*
 593  * This is the same integral as above, using the substitution
 594  * y=log(x).  See also Bug 1451351.
 595  */
 596 /* Tests method-by-limits, zto1, batap-inf */
 597 integrate(x*exp((kj+1)*x)/(exp(x)+3),x,minf,inf);
 598 3^kj*(psi[0](kj+1)-psi[0](-kj))*beta(kj+1,-kj)+log(3)*3^kj*beta(kj+1,-kj);
 599
 600 /* p. 94
 601  *
 602  * subres/red gcd gets a "quotient is not exact" error.  spmod works better.
 603  *
 604  * The substitution y=1/x produces the same integral with a negative
 605  * sign, so the answer must be zero.
 606  */
 607 /* Tests method-by-limits, dintlog */
 608
 609 integrate((atan(x^(1/3)) + atan(x^(-1/3)))*log(x)/(x^2+1),x,0,inf);
 610 0;
 611
 612 /* p. 95 */
 613 /*
 614  * Wang gives %pi/sin(5*%pi/7)
 615  *
 616  * Based on his thesis, integration by parts for
 617  * integrate(log(1+x^(7/2))/x^2,0,inf) gives
 618  *
 619  *                  |inf
 620  * -log(1+x^(7/2))/x|    - integrate(-1/x*7/2*x^(5/2)/(1+x^(7/2)),x,0,inf)
 621  *                  |0
 622  *
 623  * = 7/2*integrate(x^(3/2)/(x^(7/2)+1),x,0,inf)
 624  *
 625  * Use the substitution (maxima doesn't do this) x = y^2 to get
 626  *
 627  * = 7*integrate(y^4/(y^7+1),y,0,inf)
 628  *
 629  * = %pi/sin(5*%pi/7)
 630  *
 631  * gcd:red gives a "quotient is not exact" error, so use
 632  * spmod.  We need intanalysis false to give the routine a chance.
 633  * (If true, we return the integral unevaluated.  I think this is
 634  * because solve fails to find the roots of x^(7/2)+1=0 correctly.)
 635  */
 636 /* Tests method-by-limits, dintlog, dintbypart, ztoinf, batapp */
 637 (intanalysis:false, 0);
 638 0;
 639
 640 integrate(log(x^(7/2)+1)/x^2,x,0,inf);
 641 /*%pi/sin(5*%pi/7);*/
 642 /* The result of the integral is beta(5/7,2/7). This simplifies to
 643    %pi/sin(5*%pi/z). Because we have introduced a symmetry rule for
 644    the beta function, Maxima first simplifies to beta(2/7,5/7).
 645    The equivalent result is %pi/sin(2*%pi/7). 03/2009 (DK) */
 646 %pi/sin(2*%pi/7);
 647
 648 (intanalysis:true, 0);
 649 0;
 650
 651 /* p. 97 */
 652 /* Verified via indefinite integral */
 653 /* Tests dintegrate, method-by-limits, method-radical-poly */
 654 factor(integrate(1/(exp(x/3)*(5/exp(x/3)+7)),x,0,inf));
 655 3*(log(12)-log(7))/5;
 656
 657 /* p. 97 */
 658 /* Verified via indefinite integral */
 659 integrate(exp(x/4)/(9*exp(x/2)+4),x,minf,inf);
 660 %pi/3;
 661
 662 /* p. 99 */
 663 /* Wang says %pi
 664  *
 665  * Not sure if this is right or not.  Maxima is using rectzto%pi2 to
 666  * evaluate this integral.
 667  *
 668  * If we follow Wang's derivation, we need to find q(z) such that
 669  * q(z)-q(z+2*%i*%pi) = z.  We find that q(z) = %i/(4*%pi)*z^2+z/2.
 670  *
 671  * R(z) = 1/((z-1/z)/2-%i.  We need to find the poles of R(z) such
 672  * that 0 <= Im(z) < 2*%pi.  In this case, the (only) pole is z = %i.
 673  * We need to then find the residue of q(z)/(sinh(z)-%i) at z =
 674  * glog(%i) = %i*%pi/2.  Maxima says the residue is -%i/2.  Hence the
 675  * value of the integral is 2*%i*%pi*(-%i/2) = %pi.
 676  */
 677 /* Tests mtoinf, rectzto%pi2 */
 678 integrate(x/(sinh(x)-%i),x,minf,inf);
 679 %pi;
 680
 681
 682 /* p. 101 */
 683 /* Tests ztoinf, ggr */
 684 integrate(exp(-x^2),x,0,inf);
 685 sqrt(%pi)/2;
 686
 687 /* p. 102 */
 688 /*
 689  * The substitution y=s*t produces 1/sqrt(s)*integrate(y^(-1/2)*exp(-y),y,0,inf),
 690  * which is gamma(1/2)/sqrt(s).
 691  */
 692 /* Tests ztoinf, ggr */
 693 integrate(1/sqrt(t)/exp(s*t),t,0,inf);
 694 sqrt(%pi)/sqrt(s);
 695
 696 /*
 697  * Write this as imagpart(integrate(exp(%i*s*x)/exp(x),x)).  Evaluate
 698  * the result at x=inf and at x=0.  We get the expected answer.
 699  */
 700
 701 integrate(sin(s*x)/exp(x),x,0,inf);
 702 s/(s^2+1);
 703
 704 /* p. 103 */
 705 /*
 706  * There's a typo in Wang's thesis.  He has the integrand as
 707  * exp(-s*t)*x^(1/3)*log(x).  I changed the x's to t's.
 708  *
 709  * Also, Wang says the answer is
 710  *
 711  * -gamma(1/3)*(log(s)-psi(4/3))/(6*s^(4/3))
 712  *
 713  * Assuming psi(4/3) is maxima's digamma function, psi[0](4/3), this
 714  * result is 1/2 of the result maxima produces.
 715  *
 716  * Consider integrate(t^(z+1/3)*exp(-s*t),t,0,inf).  Differentiating
 717  * this wrt to z gives us the integral we're looking for, when we
 718  * evaluate the result at z = 0.
 719  *
 720  * But this integral is equal to
 721  * 1/s^(z+4/3)*integrate(y^(z+1/3)*exp(-y),y,0,inf), which is a Gamma
 722  * function.  Thus, we have
 723  *
 724  * gamma(z+4/3)/s^(z+4/3)
 725  *
 726  * Differentiate wrt to z:
 727  *
 728  * s^(-z-4/3)*(psi[0](z+4/3)-log(s))*gamma(z+4/3)
 729  *
 730  * Evaluate at z = 0:
 731  *
 732  * gamma(1/3)*(psi[0](4/3)-log(s))/(3*s^(4/3))
 733  *
 734  * This is the answer we get below, once we evaluate psi[0](4/3).
 735  * Wang's thesis is off by a factor of 2.
 736  */
 737 integrate(exp(-s*t)*t^(1/3)*log(t),t,0,inf);
 738 gamma(1/3)*(-3*log(3)/2-%pi/(2*sqrt(3))-%gamma+3)/(3*s^(4/3))
 739         -gamma(1/3)*log(s)/(3*s^(4/3));
 740
 741 /* p. 106 */
 742 /* Verified via indefinite integral */
 743 ratsimp(integrate(1/(x^2-3),x,0,1) - sqrt(3)*log(2-sqrt(3))/6);
 744 0$
 745
 746 /* p. 109 */
 747 /* Verified via indefinite integral */
 748 integrate(cos(x)^2-sin(x),x,0,2*%pi);
 749 %pi;
 750
 751 /* p. 109 */
 752 /*
 753  * Wang says 2*%pi
 754  *
 755  * Evaluation of the indefinite integral says 0.
 756  */
 757 integrate(exp(2*%i*x)/(exp(%i*x)+3),x,0,2*%pi);
 758 0;
 759
 760 /* p. 110 */
 761 /*
 762  * Wang gives the equivalent 6/5*gamma(2/3)*gamma(3/4)/gamma(5/12)
 763  */
 764 integrate(cos(x)^(1/3)*sin(x)^(1/2),x,0,%pi/2);
 765 beta(3/4,2/3)/2;
 766
 767 /* p. 112 */
 768 /*
 769  * Wang gives the equivalent 18/7*sqrt(%pi)*gamma(2/3)/gamma(1/6)
 770  */
 771 integrate(cos(x)^(1/3)*sin(x)^2,x,-%pi/2,%pi/2);
 772 beta(2/3,3/2);
 773
 774 /* p. 112 */
 775 integrate(cos(x)^3*sin(x)^2,x,3*%pi/2,3*%pi);
 776 2/15;
 777
 778 /* p. 114 */
 779 /*
 780  * Wang gives -%i/3*plog((3+%i*sqrt(7))/4)
 781  *
 782  * The rectform is -atan(sqrt(7)/3)/3, which is -acos(3/4)/3,
 783  * which is -1/3*(%pi/2-asin(3/4))=-%pi/6+asin(3/4)/3.
 784  * Maxima gives an answer with the opposite sign.
 785  *
 786  * But we can evaluate the indefinite integral to be
 787  *
 788  *   -asin(3/x)/3.
 789  *
 790  * Hence the answer should be %pi/6-asin(3/4)/3.
 791  *
 792  * Wang's thesis is wrong.
 793  */
 794 integrate(1/(x*sqrt(x^2-9)),x,3,4);
 795 %pi/6-asin(3/4)/3;
 796
 797
 798 /* p. 114 */
 799 /* Verified via indefinite integral */
 800 logcontract(integrate(1/((x+1)*sqrt(4-x^2)),x,0,2) - sqrt(3)*log(sqrt(3)+2)/3);
 801 0$
 802
 803 /* p. 120 */
 804 /*
 805  * Maxima asks if k is an integer, but it doesn't matter,
 806  * and I don't know how to tell maxima that k isn't an integer.
 807  *
 808  */
 809 (assume(k1>0),declare(k1,noninteger),0);
 810 0;
 811 /*
 812  * This is not such a good integral to use.  log(x) is negative over
 813  * the integration limits, so integrand is complex.  Let's change the
 814  * integrand to be (-log(x))^k1, instead, which is real-valued.
 815  *
 816  * In this case, it's easy to see that the substitution y=-log(x)
 817  * gives as a gamma function.
 818  */
 819 /*
 820 integrate(log(x)^k1,x,0,1);
 821 (-1)^k1*gamma(k1+1);
 822 */
 823 integrate((-log(x))^k1,x,0,1);
 824 k1*gamma(k1);
 825
 826 /* p. 120 */
 827 integrate(sqrt(log(x))/x^2,x,1,inf);
 828 sqrt(%pi)/2;
 829
 830 /* p. 120 */
 831 /*
 832  * Wang says -sqrt(%pi)/sqrt(4/3) = -sqrt(3)*sqrt(%pi)/2.
 833  *
 834  * This is wrong.  Clearly, the integrand is positive, so the integral
 835  * must be positive.
 836  *
 837  * The issue is that radexpand is true so the Risch integrator is
 838  * doing something not quite right and getting the sign wrong.  If we
 839  * set radexpand to false, we get the correct answer.
 840  */
 841 radexpand:false;
 842 false;
 843
 844 integrate(x^(1/3)/sqrt(-log(x)),x,0,1);
 845 sqrt(3)*sqrt(%pi)/2;
 846
 847 domain:complex;
 848 complex;
 849
 850 /* [ 1731624 ] asked about sign of yx in integral containing only z */
 851 integrate(exp(sqrt(x^3)),x,0,1);
 852 2*((-1)^(1/3)*gamma_incomplete(2/3,-1)-(-1)^(1/3)*gamma(2/3))/3;
 853 /* with radexpand:true and domain:real we get
 854    integrate(exp(sqrt(x^3)),x)  ->  -2*gamma_incomplete(2/3,-x^(3/2))/3
 855    (which is not correct) due to invalid simplification in
 856    integrate-exp-special
 857 */
 858
 859 domain:real;
 860 real;
 861
 862 radexpand:true;
 863 true;
 864
 865 /* p. 121 */
 866 /*
 867  * Wang gives 4*diff(beta(r,3/2),r)
 868  * evaluated at r = 1.
 869  *
 870  * Maxima says 4*factor(ratsimp(subst(1,r,diff(makegamma(beta(r,3/2)),r))))
 871  * = 16*(3*log(2)-4)/9.  Good.
 872  */
 873 factor(integrate(sqrt(1-sqrt(x))*log(x)/sqrt(x),x,0,1));
 874 16*(3*log(2)-4)/9;
 875
 876 /*------------------------------------------------------------------------------*/
 877
 878 /* Problems from Moses' thesis, Appendix D, problems proposed by McIntosh */
 879
 880 /* Problem 1 */
 881 /*
 882  * Answer = 1/a*asin(a/r/sqrt(2*h))
 883  *
 884  * (This answer seems wrong.  The derivative has the wrong sign?)
 885  */
 886 (assume(h>0),0);
 887 0;
 888
 889 ratsimp(integrate(1/r/sqrt(2*h*r^2-a^2),r) + asin(a/sqrt(2)/sqrt(h)/abs(r))/a);
 890 0$
 891
 892 /* Problem 2 */
 893 /*
 894  * Answer = -1/sqrt(a^2-eps^2)*asin(sqrt(a^2+eps^2)/sqrt(2*h)/r)
 895  */
 896 /*
 897 integrate(1/sqrt(2*h*r^2-a^2-eps^2),r);
 898 */
 899
 900 /* Problem 3 */
 901 /*
 902  * Answer = 1/2/a*asin((h*r^2-a^2)/r^2/sqrt(h^2-2*k*a^2))
 903  * h^2 > 2*a^2*k
 904  *
 905  */
 906 (assume(h^2>2*a^2*k),0);
 907 0;
 908 factor(integrate(1/r/sqrt(2*h*r^2-a^2-2*k*r^4),r));
 909 1/2/a*asin((h*r^2-a^2)/r^2/sqrt(h^2-2*k*a^2));
 910
 911 /* Problem 4 */
 912 /*
 913  * Answer = 1/2/sqrt(a^2+eps^2)*asin((h*r^2-(a^2+eps^2))/r^2/sqrt(h^2-2*k*(a^2+eps^2)))
 914  * h^2 > 2*(a^2+eps^2)*k
 915  *
 916  * Maxima doens't get stuck anymore, but I can't figure out the magic
 917  * assume expression so that integrate doesn't ask questions anymore.
 918  */
 919 /*
 920 (assume(2*eps^2*k+2*a^2*k-h^2 < 0),0);
 921 0;
 922 integrate(1/r/sqrt(2*h*r^2-a^2-eps^2-2*k*r^4),r);
 923 1/2/sqrt(a^2+eps^2)*asin((h*r^2-(a^2+eps^2))/r^2/sqrt(h^2-2*k*(a^2+eps^2)));
 924 */
 925
 926 /* Problem 5 */
 927 /*
 928  * Answer = 1/a*asin((k*r-a^2)/r/sqrt(k^2+2*h*a^2))
 929  * k^2+2*h*a^2 > 0
 930  *
 931  * This answer seems wrong.  The derivative doesn't match.
 932  *
 933  * Maxima's answer has a derivative that matches.
 934  */
 935 factor(integrate(1/r/sqrt(2*h*r^2-a^2-2*k*r),r));
 936 -asin((k*r+a^2)/(sqrt(k^2+2*a^2*h)*r))/a;
 937
 938 /* Problem 6 */
 939 /*
 940  * Answer = 1/(a^2+eps^2)*asin((k*r-(a^2+eps^2))/r/sqrt(k^2+2*h*(a^2+eps^2)))
 941  * k^2+2*h*a^2 > 0
 942  *
 943  * Same issue as problem 5.
 944  *
 945  * Maxima's answer has a derivative that matches.
 946  */
 947
 948 factor(integrate(1/r/sqrt(2*h*r^2-a^2-eps^2-2*k*r),r));
 949 -asin((k*r+eps^2+a^2)/(sqrt(k^2+(2*eps^2+2*a^2)*h)*r))/sqrt(eps^2+a^2);
 950
 951 /* Problem 7 */
 952 integrate(x/sqrt(2*e*x^2-a^2),x);
 953 sqrt(2*e*x^2-a^2)/(2*e);
 954
 955 /* Problem 8 */
 956 integrate(x/sqrt(2*e*x^2-a^2-eps^2),x);
 957 sqrt(2*e*x^2-eps^2-a^2)/(2*e);
 958
 959 /* Problem 9 */
 960 /*
 961  * Answer is 1/2/sqrt(2*k)*asin((2*k*r^2-e)/sqrt(e^2-2*k*a^2))
 962  * e^2>2*k*a^2
 963  *
 964  */
 965 (assume(e^2>2*k*a^2,k>0,e>0),0);
 966 0;
 967 factor(integrate(r/sqrt(2*e*r^2-a^2-2*k*r^4),r));
 968 1/2/sqrt(2*k)*asin((2*k*r^2-e)/sqrt(e^2-2*k*a^2));
 969
 970 /* Problem 10 */
 971 /*
 972  * Answer is 1/2/sqrt(2*k)*asin((2*k*r^2-e)/sqrt(e^2-2*k*(a^2+eps^2)))
 973  * e^2>2*k*a^2
 974  *
 975  * For some reason, maxima returns
 976  * -%i*asinh((2*k*r^2-e)/sqrt((2*eps^2+2*a^2)*k-e^2))/(2*sqrt(2)*sqrt(k))
 977  *
 978  * Using the fact that asin(%i*x) = %i*asinh(x), we see that the
 979  * answer is identical.
 980  */
 981 (assume(2*eps^2*k+2*a^2*k-e^2>0),0);
 982 0;
 983 factor(integrate(r/sqrt(2*e*r^2-a^2-eps^2-2*k*r^4),r));
 984 -%i*asinh((2*k*r^2-e)/sqrt((2*eps^2+2*a^2)*k-e^2))/(2*sqrt(2)*sqrt(k));
 985
 986
 987 /* Problem 11 */
 988 /*
 989  * Answer is sqrt(2*E*r^2-a^2-2*k*r)/2*E
 990  *            + 1/(2*h*E*sqrt(-2*E))*asin((2*E*r+k)/sqrt(k^2-2*E-a^2)
 991  * E < 0
 992  */
 993 (assume(E<0,k^2+2*E*a^2>0,k>0),0);
 994 0;
 995 integrate(r/sqrt(2*E*r^2-a^2-2*k*r),r);
 996 sqrt(2*E*r^2-2*k*r-a^2)/(2*E)-k*asin((4*E*r-2*k)/sqrt(4*k^2+8*a^2*E))
 997                                       /(2*sqrt(2)*sqrt(-E)*E);
 998
 999 /* Bug 1741705 */
1000 factor(integrate(1/(sin(x)^2+1),x,0,8));
1001 (atan(sqrt(2)*sin(8)/cos(8))+3*%pi)/sqrt(2);
1002
1003 ratsimp(integrate(1/(sin(x)^2+1),x,-8,0));
1004 (atan(sqrt(2)*sin(8)/cos(8))+3*%pi)/sqrt(2);
1005
1006 ratsimp(integrate(1/(sin(x/3)^2+1),x,0,24));
1007 (3*atan(sqrt(2)*sin(8)/cos(8))+9*%pi)/sqrt(2);
1008
1009 ratsimp(integrate(1/(sin(x-3)^2+1),x,3,11));
1010 (atan(sqrt(2)*sin(8)/cos(8))+3*%pi)/sqrt(2);
1011
1012 /* defint log(sqrt(q^2-1)+1) asks about YX - ID: 924868 */
1013 integrate( log(sqrt(q^2-1)+1),q,0,1);
1014 'integrate( log(sqrt(q^2-1)+1),q,0,1);
1015 /*  should be
1016  *  ((4*asinh(1)+(2-sqrt(2))*%i*%pi+(-2^(3/2)))/2^(3/2));
1017  */
1018
1019 /* Bug 1748168 */
1020 integrate(1/(2+cos(x)),x,-%pi/2,%pi/2);
1021 (2/9)*sqrt(3)*%pi;
1022
1023 /* Bug 1781537 */
1024 integrate(cos(x-c),x,c,%pi/2+c);
1025 1;
1026
1027 integrate(cos(x)^3/sin(x)^4,x,1,2);
1028 1/sin(2)-1/(3*sin(2)^3)-1/sin(1)+1/(3*sin(1)^3);
1029
1030 /* [ 1828956 ] Integration yields wrong results */
1031 /* assume & integrate - ID: 3522750 */
1032 (assume(x>0,l>x),0);
1033 0;
1034 integrate(integrate((acos(x/l)+acos(y/l)-%pi/2)/(2*%pi),y,0,sqrt(l^2-x^2)),x,0,l);
1035 l^2/(4*%pi);
1036 is(l>x);
1037 true;
1038 (forget(x>0,l>x),0);
1039 0;
1040
1041 /* principal value integral */
1042 /* [ 657382 ] defint/limit infinite loop */
1043
1044 /* Because of changes to timesin this does no longer work
1045 integrate(1/(1-x^5), x, 0, inf);
1046 0-(2*sqrt(2*sqrt(5)+10)*atan((sqrt(5)-3)*sqrt(2*sqrt(5)+10)/(4*sqrt(5)))
1047         +2*sqrt(10-2*sqrt(5))*atan(sqrt(10-2*sqrt(5))*(sqrt(5)+3)/(4*sqrt(5)))
1048         -sqrt(2)*sqrt(sqrt(5)+5)*%pi-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))*%pi)
1049         /20;
1050 */
1051
1052 integrate(1/x, x, minf, inf);
1053 0;
1054
1055 /* #2513 wrong principle value integral */
1056 integrate(1/((x-1)*(x-2)),x,0,3);
1057 -2*log(2);
1058
1059 /* integrate(sin(x)^2/x,x,minf,inf) gives not zero - ID: 3480954 */
1060 integrate(sin(x)^2/x,x,minf,inf);
1061 0;
1062
1063 /* [ 1051437 ] Trig integral error */
1064 integrate(2*cot(x)^2*cos(2*x)/(csc(2*x)+cot(2*x)), x);
1065 log(sin(x)^2+cos(x)^2+2*cos(x)+1) + log(sin(x)^2+cos(x)^2-2*cos(x)+1) + cos(2*x);
1066
1067 /* [ 1960200 ] integrate function raises "too many contexts" error */
1068 float(rectform(integrate(integrate(x^2*y^2*(sin(2.*x)+%i*cos(2.*y))*exp(%i*20.*x)*exp(%i*30.*y),x,-1,-10),y,-5,15)));
1069 6.127592006717518 - 40.62195392101798 * %i;
1070
1071 /* [ 2210087 ] integrate((x+1)^2.0,x) loops endlessly */
1072 integrate((x+1)^2.0,x);
1073 .3333333333333333*(x+1)^3.0;
1074
1075 integrate(x^3/(1 + + 4*x^2 + 6*x^4 + 4*x^6 + x^8 ), x, 0, inf);
1076 1/12;
1077
1078 /* [ 1668087 ] integrate(1/cosh(x/R)^4,x,-inf,inf) = 0 */
1079 /* already assumed a>0 */
1080 integrate(1/cosh(x/a)^4,x,-inf,inf);
1081 4*a/3;
1082
1083 /* [ 1309432 ] integrate(1/cosh(a*x)^2,x,-inf,inf); */
1084 /* already assumed a>0 */
1085 integrate(1/cosh(x/a)^2,x,-inf,inf);
1086 2*a;
1087
1088 /* [ 1860487 ] MONSTERTRIG endless recursion */
1089 integrate (x*(cos(2*x) + sin(x)), x);
1090 (2*x*sin(2*x)+cos(2*x))/4+sin(x)-x*cos(x);
1091
1092 /* [ 1631094 ] integrate(sin(n*x)*x, x) => linear time when n is an integer */
1093 integrate(sin(1000000000*x)*x, x);
1094 (sin(1000000000*x)-1000000000*x*cos(1000000000*x))/1000000000000000000;
1095
1096 /* [ 1847543 ] Integration problem of a special periodic function */
1097 integrate( 1/(11/10+sin(2*%pi*x)), x);
1098 10*atan((22*sin(2*%pi*x)/(cos(2*%pi*x)+1)+20)/(2*sqrt(21)))
1099         /(sqrt(21)*%pi);
1100
1101 /* [ 1054472 ] defint(log(1+exp(A+B*cos(phi))),phi,0,%pi) wrong */
1102
1103 /* Commenting this example out
1104  * There is a problem: The integral does not return the noun form, but
1105  * gives an error: "sign: argument cannot be imaginary; found %i".
1106  * If we execute this integral within the testsuite,
1107  * this integral seems to loop endlessly
1108
1109 integrate(log(1+exp(cos(phi))),phi,0,%pi);
1110 'integrate(log(1+exp(cos(phi))),phi,0,%pi);
1111
1112 */
1113
1114 /* atan2 function is a special case in lisp function INTEGRATOR.
1115    There were no regression tests for it. */
1116 integrate(atan2(y,x),x);
1117 y*log(y^2+x^2)/2+x*atan(y/x);
1118
1119 integrate(atan2(y,x),y);
1120 y*atan(y/x)-(x*log(y^2/x^2+1)/2);
1121
1122 /* Bug ID: 3023997 - integrate(x*atan2(x,y),x) -> noun form
1123  * We have generalized the special case for the atan2 function.
1124  */
1125 integrate(y*atan2(y,x),y);
1126 y^2*atan(y/x)/2-(x^2*y-x^3*atan(y/x))/(2*x);
1127
1128 /* [ 2501765 ] integrate((-14*x^2-32)/(x^4+3*x^2+1)^2,x,0,inf); */
1129 integrate(1/(x^4+3*x^2+1)^2,x,0,inf);
1130 (sqrt(3-sqrt(5))*(3*sqrt(2)*sqrt(5)+15*sqrt(2))*%pi
1131   +sqrt(sqrt(5)+3)*(15*sqrt(2)-3*sqrt(2)*sqrt(5))*%pi)
1132 /400;
1133
1134 /* integrate(exp(-x^n),x,0,1) bug for n >2 - ID: 3469184 */
1135 integrate(exp(-t^4),t,0,1);
1136 (gamma(1/4)-gamma_incomplete(1/4,1))/4;
1137
1138 integrate(exp(sqrt(x)),x,1,5);
1139 2*(sqrt(5)*%e^sqrt(5)-%e^sqrt(5));
1140
1141  /* [ 1899352 ] integrate asks about (y-1)(y+1) after assume(y^2>1) */
1142 (assume(y^2>1),0);
1143 0;
1144 ratsimp(integrate(log(x^2+y^2),x,0,1));
1145 log(y^2+1)+2*atan(1/y)*y-2;
1146 (forget(y^2>1),0);
1147 0;
1148
1149 /* integrate(sqrt(t)*log(t)^(1/2),t,0,1) wrong sign - ID: 2847436 */
1150 integrate(sqrt(t)*log(t)^(1/2),t,0,1);
1151 sqrt(2)*sqrt(%pi)*%i/(3^(3/2));
1152
1153 /* #2732 wrong answer for similar to gaussian integral */
1154 integrate(exp(-x^2-1/x^2),x,-inf,inf);
1155 %e^-2*sqrt(%pi);
1156
1157 /* Integrals of the type: c*z^w*log(z)^m*exp(-t^s) for 0 to inf */
1158
1159 integrate(exp(-t),t,0,inf);
1160 1;
1161 integrate(exp(-t^2),t,0,inf);
1162 sqrt(%pi)/2;
1163 integrate(exp(-t^3),t,0,inf);
1164 gamma(1/3)/3;
1165 integrate(exp(-t^4),t,0,inf);
1166 gamma(1/4)/4;
1167
1168 integrate(t*exp(-t),t,0,inf);
1169 1;
1170 integrate(t^2*exp(-t),t,0,inf);
1171 2;
1172 integrate(t^3*exp(-t),t,0,inf);
1173 6;
1174 integrate(t^4*exp(-t),t,0,inf);
1175 24;
1176
1177 integrate(t*exp(-t^2),t,0,inf);
1178 1/2;
1179 integrate(t^2*exp(-t^2),t,0,inf);
1180 sqrt(%pi)/4;
1181 integrate(t^3*exp(-t^2),t,0,inf);
1182 1/2;
1183 integrate(t^4*exp(-t^2),t,0,inf);
1184 3*sqrt(%pi)/8;
1185
1186 integrate(t^-2*exp(-t^-2),t,0,inf);
1187 sqrt(%pi)/2;
1188 integrate(t^-3*exp(-t^-2),t,0,inf);
1189 1/2;
1190 integrate(t^-4*exp(-t^-2),t,0,inf);
1191 sqrt(%pi)/4;
1192
1193 integrate(t^(1/2)*exp(-t^2),t,0,inf);
1194 gamma(3/4)/2;
1195 integrate(t^(1/3)*exp(-t^2),t,0,inf);
1196 gamma(2/3)/2;
1197 integrate(t^(2/3)*exp(-t^2),t,0,inf);
1198 gamma(5/6)/2;
1199
1200 integrate(exp(-t)*log(t),t,0,inf);
1201 -%gamma;
1202 integrate(t*exp(-t)*log(t),t,0,inf);
1203 1-%gamma;
1204 integrate(t^2*exp(-t)*log(t),t,0,inf);
1205 3-2*%gamma;
1206
1207 integrate(t*exp(-t)*log(t)^2,t,0,inf);
1208 (%pi^2+6*%gamma^2-12*%gamma)/6;
1209 integrate(t*exp(-t^(1/2))*log(t)^2,t,0,inf);
1210 8*%pi^2+48*%gamma^2-176*%gamma+96;
1211 integrate(t*exp(-t^2)*log(t),t,0,inf);
1212 -%gamma/4;
1213
1214
1215 /* Integrals of the type: c*z^w*log(z)^m*exp(-t^s) for x to inf */
1216
1217 (assume(x>0),done);
1218 done;
1219
1220 /* Expand Gamma and Incomplete Gamma functions */
1221 gamma_expand:true;
1222 true;
1223
1224 integrate(exp(-t),t,x,inf);
1225 %e^-x;
1226 integrate(exp(-t^2),t,x,inf);
1227 sqrt(%pi)*erfc(abs(x))/2;
1228 integrate(exp(-t^3),t,x,inf);
1229 gamma_incomplete(1/3,x^3)/3;
1230 integrate(exp(-t^4),t,x,inf);
1231 gamma_incomplete(1/4,x^4)/4;
1232
1233 integrate(t*exp(-t),t,x,inf);
1234 (x+1)*%e^-x;
1235 integrate(t^2*exp(-t),t,x,inf);
1236 (x^2+2*x+2)*%e^-x;
1237 integrate(t^3*exp(-t),t,x,inf);
1238 (x^3+3*x^2+6*x+6)*%e^-x;
1239 integrate(t^4*exp(-t),t,x,inf);
1240 (x^4+4*x^3+12*x^2+24*x+24)*%e^-x;
1241
1242 integrate(t*exp(-t^2),t,x,inf);
1243 %e^-x^2/2;
1244 integrate(t^2*exp(-t^2),t,x,inf);
1245 %e^-x^2*(sqrt(%pi)*%e^x^2*erfc(x)+2*x)/4;
1246 integrate(t^3*exp(-t^2),t,x,inf);
1247 (x^2+1)*%e^-x^2/2;
1248 integrate(t^4*exp(-t^2),t,x,inf);
1249 %e^-x^2*(3*sqrt(%pi)*%e^x^2*erfc(x)+4*x^3+6*x)/8;
1250
1251 integrate(t^-2*exp(-t^-2),t,x,inf);
1252 -sqrt(%pi)*(erfc(1/x)-1)/2;
1253 integrate(t^-3*exp(-t^-2),t,x,inf);
1254 %e^-(1/x^2)*(%e^(1/x^2)-1)/2;
1255 integrate(t^-4*exp(-t^-2),t,x,inf);
1256 -%e^-(1/x^2)*(sqrt(%pi)*(erfc(1/x)-1)*x*%e^(1/x^2)+2)/(4*x);
1257
1258 integrate(t^(1/2)*exp(-t^2),t,x,inf);
1259 gamma_incomplete(3/4,x^2)/2;
1260 integrate(t^(1/3)*exp(-t^2),t,x,inf);
1261 gamma_incomplete(2/3,x^2)/2;
1262 integrate(t^(2/3)*exp(-t^2),t,x,inf);
1263 gamma_incomplete(5/6,x^2)/2;
1264
1265 integrate(exp(-t)*log(t),t,x,inf);
1266 -%e^-x*((%e^x-1)*log(x)+(%gamma-hypergeometric_regularized([1,1],[2,2],-x)*x)
1267                         *%e^x);
1268 integrate(t*exp(-t)*log(t),t,x,inf);
1269 -%e^-x*((%e^x-x-1)*log(x)+(-hypergeometric_regularized([2,2],[3,3],-x)*x^2
1270                           +%gamma-1)
1271                           *%e^x);
1272 integrate(t^2*exp(-t)*log(t),t,x,inf);
1273 -%e^-x*((2*%e^x-x^2-2*x-2)*log(x)+(-4*hypergeometric_regularized(
1274                                       [3,3],[4,4],-x)*x^3
1275                                   +2*%gamma-3)
1276                                   *%e^x);
1277
1278 integrate(t*exp(-t)*log(t),t,x,inf);
1279 -%e^-x*((%e^x-x-1)*log(x)+(-hypergeometric_regularized([2,2],[3,3],-x)*x^2
1280                           +%gamma-1)
1281                           *%e^x);
1282 integrate(t*exp(-t^(1/2))*log(t),t,x,inf);
1283 %e^-sqrt(x)*((-12*%e^sqrt(x)+6*x+12)*log(x)+sqrt(x)*(2*x+12)*log(x)
1284                                            +(144
1285                                             *hypergeometric_regularized(
1286                                              [4,4],[5,5],-sqrt(x))*x^2
1287                                             -24*%gamma+44)
1288                                             *%e^sqrt(x));
1289
1290 /* Integrals of the type: c*z^r*log(z)^n*(1-z)^s*log(1-z)^m */
1291
1292 integrate(t*log(t)*(1-t)*log(1-t),t,0,1);
1293 (3*%pi^2-37)/-108;
1294 integrate(t^2*log(t)*(1-t)*log(1-t),t,0,1);
1295 (3*%pi^2-37)/-216;
1296 integrate(t^2*log(t)^2*(1-t)*log(1-t),t,0,1);
1297 (576*zeta(3)+56*%pi^2-1317)/3456;
1298 integrate(t^2*log(t)^2*(1-t)^2*log(1-t),t,0,1);
1299 (72000*zeta(3)+9400*%pi^2-191243)/1080000;
1300 integrate(t^2*log(t)^2*(1-t)^2*log(1-t)^2,t,0,1);
1301 (3384000*zeta(3)+6000*%pi^4+747800*%pi^2-12135541)/-16200000;
1302
1303 /* integrate -> too many contexts - ID: 2838268 */
1304 integrate(t*cos(1.0*t),t);
1305 t*sin(t)+cos(t);
1306
1307 /* definite integral - bad answer - ID: 2880886 */
1308 integrate(cos(x)^2 * (1 + sin(x)^2)^-3,x,0,%pi/2);
1309 7*%pi/2^(11/2);
1310
1311 (forget(x>0),gamma_expand:false,done);
1312 done;
1313
1314 /* BUG ID: 2906049 - integration failure with option integrate_use_rootsof
1315  * This example is more simple than the example in the bug report.
1316  */
1317 %rnum:0;
1318 0;
1319 integrate((a*x^2+b*x+c)/(d*x^3+a*x^2+b),x),integrate_use_rootsof:true;
1320 'lsum((c+%r1*b+%r1^2*a)*log(x-%r1)/(3*%r1^2*d+2*%r1*a),%r1,
1321             rootsof(d*x^3+a*x^2+b));
1322
1323 /* fourier integral incorrect - ID: 2875784 */
1324 integrate(cos(x)*sin(x)/x, x, minf, inf);
1325 %pi/2;
1326
1327 integrate(exp(%i*x)*sin(x)/x, x, minf, inf);
1328 %pi/2;
1329
1330 integrate(exp(-%i*x)*sin(x)/x, x, minf, inf);
1331 %pi/2;
1332
1333 /* Bug ID: 655270 - Incomplete integration
1334  */
1335 integrate(sin(3*asin(x)),x);
1336 (4*x^4-6*x^2+1)/-4;
1337 integrate(sin(4*asin(x)),x);
1338 (15*((1-x^2)^(3/2)/5-x^2*(1-x^2)^(3/2)/5)
1339        +sqrt(1-x)*sqrt(x+1)*(93*x^4-106*x^2+13))/-60;
1340
1341 /* Bug ID: 3029610 - integrate and %e_to_numlog
1342 */
1343 integrate((exp(3/2*log(x))+1)/sqrt(x),x);
1344 2*(x^2/4+sqrt(x));
1345
1346 integrate(3*sqrt(x)*exp(3/2*log(x)),x);
1347 x^3;
1348
1349 /* someday this should return 2*%pi */
1350 /* that would require handling the discontinuity in
1351    gamma_incomplete(0, exp(%i*x))                               */
1352 integrate(exp(cos(x))*cos(sin(x)),x,0,2*%pi);
1353 'integrate(exp(cos(x))*cos(sin(x)),x,0,2*%pi);
1354
1355 /* Bug ID: 3039452 - integrate(sqrt(t^c)/(t*(b*t^c+a)),t) hangs
1356  */
1357 /* These assumptions are already present. Consider to delete it more early.
1358 assume(a>0,b>0);
1359 [a>0,b>0]; */
1360 integrate(sqrt(t^c)/(t*(b*t^c+a)),t);
1361 2*atan(sqrt(b)*%e^(c*log(t)/2)/sqrt(a))/(sqrt(a)*sqrt(b)*c);
1362 forget(a>0,b>0);
1363 [a>0,b>0];
1364
1365 /* Bug ID: 3045559 integrate(exp(-u^2), u, minf, x) => incorrect gamma_incomple
1366  */
1367 integrate(exp(-u^2),u,minf,x);
1368 sqrt(%pi)*erf(x)/2+sqrt(%pi)/2;
1369
1370 /* integration error - ID: 3085498 */
1371 integrate(sqrt(1-cos(t)),t,0,2*%pi);
1372 2^(5/2);
1373
1374 /* incorrect integration - ID: 3153533 */
1375 assume(x>2);
1376 [x>2];
1377 integrate(1/(x-z),z,1,x-1);
1378 log(x-1);
1379 forget(x>2);
1380 [x>2];
1381
1382 /* integrate(x^2*exp(x)/(1+exp(x))^2, x, minf, inf); - ID: 3158526 */
1383 integrate(x^2*exp(x)/(1+exp(x))^2, x, minf, inf);
1384 %pi^2/3;
1385
1386 /* integrate(abs(sin(x)),x,0,2*%pi) wrong result - ID: 3165872 */
1387 integrate(abs(sin(x)),x,0,2*%pi);
1388 'integrate(abs(sin(x)),x,0,2*%pi);
1389
1390 /* integrate(sin(2x)atan(sin(x)),x) - ID: 3199708 */
1391 integrate(sin(2*x)*atan(sin(x)),x,0,%pi/2);
1392 %pi/2 - 1;
1393
1394 /* wrong integration answer - ID: 2989983 */
1395 integrate(cos(w+T)/(1+1/2*cos(T))^2,T,0,2*%pi);
1396 -8*%pi*cos(w)/3^(3/2);
1397
1398 /* wrong sign for integral of e^(-1/x^2) - ID: 3211937 */
1399 integrate(%e^(-1/x^2),x,0,1);
1400 %e^-1*(sqrt(%pi)*%e*erf(1)+1)-sqrt(%pi);
1401
1402 /* definite integration introduces xy variable - ID: 3292707 */
1403 integrate((log((2-x)/2)+log(2))/(1-x), x, 0, 1);
1404 li[2](2)-(6*log(2)^2-6*log(-2)*log(2)+%pi^2)/6;
1405
1406 /* Incorrect integral of log(1+a/(x*t)^2) - ID: 3291160 */
1407 integrate(log(1+7/(x^2)),x,1,inf);
1408 (14*atan(sqrt(7))-sqrt(7)*log(8))/sqrt(7);
1409
1410 /* Wrong sign in exponential integral - ID: 3517785 */
1411 integrate(1/(%e^(2*t)*sqrt(1-1/%e^(2*t))), t, 0, inf);
1412 1;
1413
1414 /* integral from minf to inf of an absolute value combo fails - ID: 3313531 */
1415 integrate(abs(x - 1) + abs(x + 1) - 2*abs(x),x,minf,inf);
1416 2;
1417
1418 /* definite integration - ID: 3315476 */
1419 integrate(1/2^x, x, 0, 1);
1420 1/(2*log(2));
1421
1422 /* discontinuities in integral */
1423 /* error in integrating exp(-x)*sinh(sqrt(x)) - ID: 3292033 */
1424 integrate(exp(sqrt(x)-x), x, 0, inf);
1425 %e^(1/4)*gamma_incomplete(1,1/4)-%e^(1/4)*gamma_incomplete(1/2,1/4)/2
1426                                        +%e^(1/4)*(sqrt(%pi)+2)/2
1427                                        +%e^(1/4)*sqrt(%pi)/2-%e^(1/4);
1428 /* equivalent to:
1429    %e^(1/4)*gamma_incomplete(1,1/4)-%e^(1/4)*gamma_incomplete(1/2,1/4)/2
1430                                        +%e^(1/4)*sqrt(%pi);
1431 */
1432
1433 /* integrate(log(t)*log(t+1),t,0,1) gives Lisp error - ID: 3381012 */
1434 integrate(log(t)*log(t+1),t,0,1);
1435 -2*log(2)-%pi^2/12+2;
1436
1437 /* integrate(log(2*sin(t/2)),t,0,%pi) contains false - ID: 3381037 */
1438 integrate(log(2*sin(t/2)),t,0,%pi);
1439 2*((8*%i*li[2](%i)+8*%i*li[2](-%i)-4*%pi*log(2)+%i*%pi^2)/8
1440  +%pi*log(2)/2-%i*%pi^2/12);
1441 /* above result is really zero */
1442
1443 /* integrate error - ID: 3388801 */
1444 integrate( sqrt((x-474)^2/(107669-(x-474)^2)+1), x, 181, 474);
1445 sqrt(107669)*%i*log(2*sqrt(107669)*%i)
1446  - sqrt(107669)*%i*log(4*sqrt(5455)*%i-586);
1447
1448 /* integrate erf fails - ID: 3454370 */
1449 integrate( erf(x+a)-erf(x-a), x, minf, inf);
1450 4*a;
1451
1452 /* Wrong result for definite integral - ID: 3538167 */
1453 integrate(cos(3*x)/(5-4*cos(x)),x,0,2*%pi);
1454 %pi/12;
1455
1456 /* #2575 Integration error: integrate(sqrt(k-k*cos(2*x)), x) */
1457 integrate(sqrt(cos(x)+1), x, -%pi, %pi);
1458 2^(5/2);
1459
1460 /* #2776 Error when integrate sqrt */
1461 integrate ((1+exp(t))/sqrt(t+exp(t)), t, 0, 1);
1462 2*sqrt(%e+1)-2;
1463
1464 /* #2862 Incorrect result for integrate(u/(u+1)^2,u,0,inf); */
1465 errcatch(integrate(u/(u+1)^2,u,0,inf));
1466 [];
1467
1468 error;
1469 ["defint: integral is divergent."];
1470
1471
1472 /* SF # 2633: ev(integrate,numer) gives strange result */
1473 (foo : ev(integrate(sin(2*%pi*x),x,0,1),numer), 0);
1474 0;
1475
1476 freeof (false, foo);
1477 true;
1478
1479 float (foo);
1480 0.0;