share/calculus/taylor1.mac

   1 /* find the taylor series of a function of x which is defined implicitly
   2  by a polynomial equation in x and y, if there is a unique branch at a particular
   3  pt.
   4  implicit_taylor(f,pt,deg,init_a0) where F is the implicit defining equation,
   5  pt is the value of x around which we wish to form the expansion, deg is the
   6  highest degree of x to appear in the expansion, and init_a0 is the initial value
   7  of y at point, for the branch for which we will form the expansion.
   8
   9 (C2) implicit_taylor(y^3+x*y^2+x*y+y-2,0,10,1);
  10               10         9         8        7       6       5       4    3
  11        83787 X     2847 X    5853 X    189 X    21 X    23 X    15 X    X
  12 (D2) - --------- + ------- + ------- - ------ - ----- + ----- - ----- - --
  13        134217728   8388608   4194304   65536    32768   2048    1024    32
  14
  15                                                                       2
  16                                                                    3 X    X
  17                                                                  + ---- - - + 1
  18                                                                     16    2
  19
  20 */
  21
  22 implicit_taylor(f,pt,deg,init_a0):=
  23  block([n:deg,ratwtlvl:deg,ratweights:[],expansion,res,ans:[],eqns],
  24   ratweight(x,1),
  25   expansion:sum((x-pt)^i*concat(a,i),i,0,n),
  26   res:sublis([y=expansion],f),
  27   res:ratsimp(res),
  28   eqns:create_list(coeff(res,x,i),i,1,n),
  29   ans:[a0=init_a0],
  30   eqns:sublis(ans,eqns),
  31   for i:1 thru n do (ans:append(ans,solve(eqns[i],concat(a,i))),
  32                    eqns: sublis(ans,eqns)),
  33   sublis(ans,expansion));
  34
  35