doc/info/ja/Number.texi

   1 @menu
   2 * Functions and Variables for Number Theory::
   3 @end menu
   4
   5 @c -----------------------------------------------------------------------------
   6 @node Functions and Variables for Number Theory,  , Number Theory, Number Theory
   7 @section Functions and Variables for Number Theory
   8 @c -----------------------------------------------------------------------------
   9
  10 @c -----------------------------------------------------------------------------
  11 @anchor{bern}
  12 @deffn {関数} bern (@var{n})
  13
  14 整数@var{n}について@var{n}番目のBernoulli数を返します。
  15 @c WELL, ACTUALLY bern SIMPLIFIES, LIKE FACTORIAL -- DO WE WANT TO GET INTO THAT ???
  16 @c OR JUST PRETEND IT'S "RETURNED" ???
  17 もし@code{zerobern}が@code{false}なら
  18 ゼロに等しいBernoulli数は抑制されます。
  19
  20 @code{burn}も参照してください。
  21
  22 @example
  23 (%i1) zerobern: true$
  24 (%i2) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
  25                   1  1       1      1        1
  26 (%o2)       [1, - -, -, 0, - --, 0, --, 0, - --]
  27                   2  6       30     42       30
  28 (%i3) zerobern: false$
  29 (%i4) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
  30             1  1    1   5     691   7    3617  43867
  31 (%o4) [1, - -, -, - --, --, - ----, -, - ----, -----]
  32             2  6    30  66    2730  6    510    798
  33 @end example
  34
  35 @opencatbox
  36 @category{Number theory}
  37 @closecatbox
  38 @end deffn
  39
  40 @c -----------------------------------------------------------------------------
  41 @anchor{bernpoly}
  42 @deffn {関数} bernpoly (@var{x}, @var{n})
  43
  44 変数@var{x}に関する@var{n}番目のBernoulli多項式を返します。
  45
  46 @opencatbox
  47 @category{Number theory}
  48 @closecatbox
  49 @end deffn
  50
  51 @c -----------------------------------------------------------------------------
  52 @anchor{bfzeta}
  53 @deffn {関数} bfzeta (@var{s}, @var{n})
  54
  55 引数@var{s}に関するRiemannのゼータ関数を返します。
  56 戻り値は多倍長浮動小数点(bfloat)です;
  57 @var{n}は戻り値の小数点以下の桁数です。
  58
  59 @opencatbox
  60 @category{Number theory}
  61 @category{Numerical evaluation}
  62 @closecatbox
  63 @end deffn
  64
  65 @c -----------------------------------------------------------------------------
  66 @anchor{bfhzeta}
  67 @deffn {関数} bfhzeta (@var{s}, @var{h}, @var{n})
  68
  69 引数@var{s}と@var{h}に関するHurwitzのゼータ関数を返します。
  70 戻り値は多倍長浮動小数点(bfloat)です;
  71 @var{n}は戻り値の小数点以下の桁数です。
  72
  73 Hurwitzゼータ関数は以下のように定義されます。
  74
  75 @tex
  76 $$\zeta \left(s,h\right) = \sum_{k=0}^\infty {1 \over \left(k+h\right)^{s}}$$
  77 @end tex
  78 @ifnottex
  79 @example
  80                         inf
  81                         ====
  82                         \        1
  83          zeta (s,h)  =   >    --------
  84                         /            s
  85                         ====  (k + h)
  86                         k = 0
  87 @end example
  88 @end ifnottex
  89
  90 @code{load ("bffac")}はこの関数をロードします。
  91
  92 @opencatbox
  93 @category{Number theory}
  94 @category{Numerical evaluation}
  95 @closecatbox
  96 @end deffn
  97
  98 @c -----------------------------------------------------------------------------
  99 @anchor{burn}
 100 @deffn {関数} burn (@var{n})
 101
 102 @var{n}番目のBernoulli数の近似の有理数をを返します。
 103 @code{burn}は、(有理)Bernoulli数が
 104 まあまあの効率で(超越的)ゼータによって近似できるという観察を利用します。
 105
 106 @example
 107                    n - 1  1 - 2 n
 108               (- 1)      2        zeta(2 n) (2 n)!
 109      B(2 n) = ------------------------------------
 110                                 2 n
 111                              %pi
 112 @end example
 113
 114 @code{bern}は、返す前にインデックス@var{n}までのBernoulli数すべてを計算するので、
 115 @code{burn}は、大きな、孤立した@var{n}(たぶん105以上の@var{n})
 116 に対して@code{bern}より効率的かもしれません。
 117 @code{burn}は、255よりおおきな偶数@var{n}に対して近似を呼び出します。
 118 奇数と255以下の@var{n}に対しては、関数@code{bern}が呼び出されます。
 119
 120 @code{load ("bffac")}はこの関数をロードします。@code{bern}も参照してください。
 121
 122 @opencatbox
 123 @category{Number theory}
 124 @closecatbox
 125 @end deffn
 126
 127 @c -----------------------------------------------------------------------------
 128 @anchor{cf}
 129 @deffn {関数} cf (@var{expr})
 130
 131 @var{expr}を連分数に変換します。
 132 @var{expr}は、
 133 連分数と整数の平方根から成る式です。
 134 式の中のオペランドは　代数演算子を組み合わせられます。
 135 連分数と平方根は別にして、式の中の因子は整数か有理数でなければいけません。
 136 Maximaは、
 137 @code{cf}の外側で連分数に関する演算について知りません。
 138
 139 @code{listarith}を@code{false}にバインドした後、
 140 @code{cf}は、引数を評価します。
 141 @code{cf}は、リストとして表現された連分数を返します。
 142
 143 連分数@code{a + 1/(b + 1/(c + ...))}は、
 144 リスト@code{[a, b, c, ...]}で表現されます。
 145 リストの要素@code{a}, @code{b}, @code{c}, ...は、
 146 整数に評価されなければいけません。
 147 @var{expr}は、 may also contain
 148 @code{sqrt (n)}も含むかもしれません。@code{n}は整数です。
 149 この場合、@code{cf}は、
 150 変数@code{cflength}の値掛ける周期と同じ数の連分数の項を与えます。
 151
 152 連分数は、
 153 @code{cfdisrep}が返す代数表現を評価することで、
 154 数に評価することができます。
 155 連分数を評価する別の方法に関しては、
 156 @code{cfexpand}も参照してください。
 157
 158 @code{cfdisrep}, @code{cfexpand}, @code{cflength}も参照してください。
 159
 160 例:
 161
 162 @itemize @bullet
 163 @item
 164 @var{expr}は、連分数と整数の平方根から成る式です。
 165
 166 @example
 167 (%i1) cf ([5, 3, 1]*[11, 9, 7] + [3, 7]/[4, 3, 2]);
 168 (%o1)               [59, 17, 2, 1, 1, 1, 27]
 169 (%i2) cf ((3/17)*[1, -2, 5]/sqrt(11) + (8/13));
 170 (%o2)        [0, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 4, 1, 9, 1, 9, 2]
 171 @end example
 172
 173 @item
 174 @code{cflength}は、
 175 連分数の何周期を代数的無理数のために計算するかを制御します。
 176
 177 @example
 178 (%i1) cflength: 1$
 179 (%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2);
 180 (%o2)                    [1, 1, 1, 1, 2]
 181 (%i3) cflength: 2$
 182 (%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2);
 183 (%o4)               [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
 184 (%i5) cflength: 3$
 185 (%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2);
 186 (%o6)           [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
 187 @end example
 188
 189 @item
 190 連分数は、@code{cfdisrep}が返す代数的表現を評価することによって評価されることができます。
 191
 192 @example
 193 (%i1) cflength: 3$
 194 (%i2) cfdisrep (cf (sqrt (3)))$
 195 (%i3) ev (%, numer);
 196 (%o3)                   1.731707317073171
 197 @end example
 198
 199 @item
 200 Maximaは、
 201 @code{cf}の外側で連分数に関する演算について知りません。
 202
 203 @example
 204 (%i1) cf ([1,1,1,1,1,2] * 3);
 205 (%o1)                     [4, 1, 5, 2]
 206 (%i2) cf ([1,1,1,1,1,2]) * 3;
 207 (%o2)                  [3, 3, 3, 3, 3, 6]
 208 @end example
 209
 210 @end itemize
 211
 212 @opencatbox
 213 @category{Continued fractions}
 214 @closecatbox
 215 @end deffn
 216
 217 @c NEEDS CLARIFICATION -- MAKE EXPLICIT HOW list IS RELATED TO a, b, c, ...
 218 @c ALSO, CAN list CONTAIN ANYTHING OTHER THAN LITERAL INTEGERS ??
 219
 220 @c -----------------------------------------------------------------------------
 221 @anchor{cfdisrep}
 222 @deffn {関数} cfdisrep (@var{list})
 223
 224 連分数@code{[a, b, c, ...]}のリスト表現から、
 225 形式@code{a + 1/(b + 1/(c + ...))}の通常の代数式を構成し返します。
 226
 227 @example
 228 (%i1) cf ([1, 2, -3] + [1, -2, 1]);
 229 (%o1)                     [1, 1, 1, 2]
 230 (%i2) cfdisrep (%);
 231                                   1
 232 (%o2)                     1 + ---------
 233                                     1
 234                               1 + -----
 235                                       1
 236                                   1 + -
 237                                       2
 238 @end example
 239
 240 @opencatbox
 241 @category{Continued fractions}
 242 @closecatbox
 243 @end deffn
 244
 245 @c -----------------------------------------------------------------------------
 246 @anchor{cfexpand}
 247 @deffn {関数} cfexpand (@var{x})
 248
 249 連分数@var{x}のコンバージェントの
 250 最後(列1)とその１つ前(列2)の
 251 分子と分母の行列を返します。
 252
 253 @example
 254 (%i1) cf (rat (ev (%pi, numer)));
 255
 256 `rat' replaced 3.141592653589793 by 103993/33102 =3.141592653011902
 257 (%o1)                  [3, 7, 15, 1, 292]
 258 (%i2) cfexpand (%);
 259                          [ 103993  355 ]
 260 (%o2)                    [             ]
 261                          [ 33102   113 ]
 262 (%i3) %[1,1]/%[2,1], numer;
 263 (%o3)                   3.141592653011902
 264 @end example
 265
 266 @opencatbox
 267 @category{Continued fractions}
 268 @closecatbox
 269 @end deffn
 270
 271 @c -----------------------------------------------------------------------------
 272 @anchor{cflength}
 273 @defvr {オプション変数} cflength
 274 デフォルト値: 1
 275
 276 @code{cflength}は、
 277 値@code{cflength}掛ける周期として
 278 関数@code{cf}が与える連分数の項の数を制御します。
 279 従って、デフォルトは1周期を与えます。
 280
 281 @example
 282 (%i1) cflength: 1$
 283 (%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2);
 284 (%o2)                    [1, 1, 1, 1, 2]
 285 (%i3) cflength: 2$
 286 (%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2);
 287 (%o4)               [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
 288 (%i5) cflength: 3$
 289 (%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2);
 290 (%o6)           [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
 291 @end example
 292
 293 @opencatbox
 294 @category{Continued fractions}
 295 @closecatbox
 296 @end defvr
 297
 298 @c -----------------------------------------------------------------------------
 299 @anchor{divsum}
 300 @deffn {関数} divsum (@var{n}, @var{k})
 301 @deffnx {関数} divsum (@var{n})
 302
 303 @code{divsum (@var{n}, @var{k})}は、
 304 @var{n}の約数の@var{k}乗した和を返します。
 305
 306 @code{divsum (@var{n})}は
 307 @var{n}の約数の和を返します。
 308
 309 @example
 310 (%i1) divsum (12);
 311 (%o1)                          28
 312 (%i2) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12;
 313 (%o2)                          28
 314 (%i3) divsum (12, 2);
 315 (%o3)                          210
 316 (%i4) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2;
 317 (%o4)                          210
 318 @end example
 319
 320 @opencatbox
 321 @category{Number theory}
 322 @closecatbox
 323 @end deffn
 324
 325 @c -----------------------------------------------------------------------------
 326 @anchor{euler}
 327 @deffn {関数} euler (@var{n})
 328
 329 非負の整数@var{n}に対して
 330 @var{n}番目のEuler数を返します。
 331
 332 Euler-Mascheroni定数に関しては、@code{%gamma}を参照してください。
 333
 334 @example
 335 (%i1) map (euler, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]);
 336 (%o1)    [1, 0, - 1, 0, 5, 0, - 61, 0, 1385, 0, - 50521]
 337 @end example
 338
 339 @opencatbox
 340 @category{Number theory}
 341 @closecatbox
 342 @end deffn
 343
 344 @c -----------------------------------------------------------------------------
 345 @anchor{fib}
 346 @deffn {関数} fib (@var{n})
 347 第@var{n}項のFibonacci数を返します。
 348 @code{fib(0)}は0に等しく、@code{fib(1)}は1に等しく、
 349 @code{fib (-@var{n})}は@code{(-1)^(@var{n} + 1) * fib(@var{n})}に等しい。
 350
 351 @code{fib}をコールした後，
 352 @code{prevfib}は@code{fib (@var{x} - 1)}、
 353 計算された最後の１つ前のFibonacci数に等しい。
 354
 355 @example
 356 (%i1) map (fib, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]);
 357 (%o1)         [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
 358 @end example
 359
 360 @opencatbox
 361 @category{Number theory}
 362 @closecatbox
 363 @end deffn
 364
 365 @c -----------------------------------------------------------------------------
 366 @anchor{fibtophi}
 367 @deffn {関数} fibtophi (@var{expr})
 368
 369 @var{expr}に関するFibonacci数を
 370 定数@code{%phi}を使って表現します。
 371 @code{%phi}は、@code{(1 + sqrt(5))/2}, 近似的に1.61803399です。
 372
 373 例:
 374
 375 @c ===beg===
 376 @c fibtophi (fib (n));
 377 @c fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
 378 @c fibtophi (%);
 379 @c ratsimp (%);
 380 @c ===end===
 381 @example
 382 (%i1) fibtophi (fib (n));
 383                            n             n
 384                        %phi  - (1 - %phi)
 385 (%o1)                  -------------------
 386                            2 %phi - 1
 387 (%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
 388 (%o2)          - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
 389 (%i3) fibtophi (%);
 390             n + 1             n + 1       n             n
 391         %phi      - (1 - %phi)        %phi  - (1 - %phi)
 392 (%o3) - --------------------------- + -------------------
 393                 2 %phi - 1                2 %phi - 1
 394                                           n - 1             n - 1
 395                                       %phi      - (1 - %phi)
 396                                     + ---------------------------
 397                                               2 %phi - 1
 398 (%i4) ratsimp (%);
 399 (%o4)                           0
 400 @end example
 401
 402 @opencatbox
 403 @category{Number theory}
 404 @closecatbox
 405 @end deffn
 406
 407 @c -----------------------------------------------------------------------------
 408 @anchor{ifactors}
 409 @deffn {関数} ifactors (@var{n})
 410
 411 正の整数@var{n}に対して、
 412 @var{n}の素因数分解を返します。
 413 もし@code{n=p1^e1..pk^nk}が
 414 @var{n}の素因数への分解なら、
 415 ifactorsは@code{[[p1, e1], ... , [pk, ek]]}を返します。
 416
 417 使われる素因数分解法は9973までの素数による試行除算と、
 418 Pollardのロー法、楕円曲線法です。
 419
 420 @example
 421 (%i1) ifactors(51575319651600);
 422 (%o1)     [[2, 4], [3, 2], [5, 2], [1583, 1], [9050207, 1]]
 423 (%i2) apply("*", map(lambda([u], u[1]^u[2]), %));
 424 (%o2)                        51575319651600
 425 @end example
 426
 427 @opencatbox
 428 @category{Number theory}
 429 @closecatbox
 430 @end deffn
 431
 432 @c -----------------------------------------------------------------------------
 433 @anchor{igcdex}
 434 @deffn {関数} igcdex (@var{n}, @var{k})
 435
 436 リスト @code{[@var{a}, @var{b}, @var{u}]}を返します。
 437 ここで、 @var{u}は@var{n}と @var{k}の最大公約数で、
 438 @var{u}は @code{@var{a} @var{n} + @var{b} @var{k}}に等しいです。
 439 引数 @var{n}と @var{k}は整数でなければいけません。
 440
 441 @code{igcdex}はユークリッドのアルゴリズムを実装します。
 442 @mrefdot{gcdex}も参照してください。
 443
 444 コマンド @code{load("gcdex")}はこの関数をロードします。
 445
 446 例:
 447
 448 @example
 449 (%i1) load("gcdex")$
 450
 451 (%i2) igcdex(30,18);
 452 (%o2)                      [- 1, 2, 6]
 453 (%i3) igcdex(1526757668, 7835626735736);
 454 (%o3)            [845922341123, - 164826435, 4]
 455 (%i4) igcdex(fib(20), fib(21));
 456 (%o4)                   [4181, - 2584, 1]
 457 @end example
 458
 459 @opencatbox
 460 @category{Number theory}
 461 @closecatbox
 462 @end deffn
 463
 464 @c -----------------------------------------------------------------------------
 465 @anchor{inrt}
 466 @deffn {関数} inrt (@var{x}, @var{n})
 467
 468 @var{x}の絶対値の整数@var{n}乗根を返します。
 469
 470 @example
 471 (%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$
 472 (%i2) map (lambda ([a], inrt (10^a, 3)), l);
 473 (%o2) [2, 4, 10, 21, 46, 100, 215, 464, 1000, 2154, 4641, 10000]
 474 @end example
 475
 476 @opencatbox
 477 @category{Number theory}
 478 @closecatbox
 479 @end deffn
 480
 481 @c -----------------------------------------------------------------------------
 482 @anchor{inv_mod}
 483 @deffn {関数} inv_mod (@var{n}, @var{m})
 484
 485 @var{m}を法とする@var{n}の逆元を計算します。
 486 もし@var{n}が@var{m}を法とするゼロ因子なら、
 487 @code{inv_mod (n,m)}は@code{false}を返します。
 488
 489 @example
 490 (%i1) inv_mod(3, 41);
 491 (%o1)                           14
 492 (%i2) ratsimp(3^-1), modulus=41;
 493 (%o2)                           14
 494 (%i3) inv_mod(3, 42);
 495 (%o3)                          false
 496 @end example
 497
 498 @opencatbox
 499 @category{Number theory}
 500 @closecatbox
 501 @end deffn
 502
 503 @c -----------------------------------------------------------------------------
 504 @anchor{isqrt}
 505 @deffn {関数} isqrt (@var{x})
 506
 507 整数 @var{x}の絶対値の「整数平方根」を返します。
 508
 509 @opencatbox
 510 @category{Mathematical functions}
 511 @closecatbox
 512 @end deffn
 513
 514 @c -----------------------------------------------------------------------------
 515 @anchor{jacobi}
 516 @deffn {関数} jacobi (@var{p}, @var{q})
 517
 518 @var{p}と@var{q}のJacobi記号を返します。
 519
 520 @example
 521 (%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$
 522 (%i2) map (lambda ([a], jacobi (a, 9)), l);
 523 (%o2)         [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
 524 @end example
 525
 526 @opencatbox
 527 @category{Number theory}
 528 @closecatbox
 529 @end deffn
 530
 531 @c -----------------------------------------------------------------------------
 532 @anchor{lcm}
 533 @deffn {関数} lcm (@var{expr_1}, ..., @var{expr_n})
 534
 535 引数の最小公倍数を返します。
 536 引数は、整数はもちろん一般式を取り得ます。
 537
 538 @code{load ("functs")}はこの関数をロードします。
 539
 540 @opencatbox
 541 @category{Number theory}
 542 @closecatbox
 543 @end deffn
 544
 545 @c -----------------------------------------------------------------------------
 546 @anchor{mod}
 547 @deffn {関数} mod (@var{x}, @var{y})
 548
 549 もし@var{x}と@var{y}が実数で、@var{y}がゼロでないなら、
 550 @code{@var{x} - @var{y} * floor(@var{x} / @var{y})}を返します。
 551 さらにすべての実数@var{x}に関して、@code{mod (@var{x}, 0) = @var{x}}が成り立ちます。
 552 定義@code{mod (@var{x}, 0) = @var{x}}の議論に関しては、
 553 Graham, Knuth, Patashnik著の「コンピュータの数学」の3.4節を参照してください。
 554 関数@code{mod (@var{x}, 1)} は、周期が1で@code{mod (1, 1) = 0}、@code{mod (0, 1) = 0}ののこぎり波関数です。
 555
 556 複素数の偏角の主値（区間@code{(-%pi, %pi]}での数）を見つけるためには、
 557 関数@code{@var{x} |-> %pi - mod (%pi - @var{x}, 2*%pi)}を使います。
 558 @var{x}は引数です。
 559
 560 @var{x}と@var{y}が定数式(例えば、@code{10 * %pi})の時、
 561 @code{mod}は、@code{floor}や@code{ceiling}が使うのと同じ多倍長浮動小数点評価スキームを
 562 使います。
 563 再び同様に、まれですが、@code{mod}は間違った値を返すことがありえます。
 564
 565 数値でない引数@var{x}や@var{y}に関して,@code{mod}は、いくつかの式整理規則を知っています:
 566
 567
 568 @c ===beg===
 569 @c mod (x, 0);
 570 @c mod (a*x, a*y);
 571 @c mod (0, x);
 572 @c ===end===
 573 @example
 574 (%i1) mod (x, 0);
 575 (%o1)                           x
 576 (%i2) mod (a*x, a*y);
 577 (%o2)                      a mod(x, y)
 578 (%i3) mod (0, x);
 579 (%o3)                           0
 580 @end example
 581
 582 @opencatbox
 583 @category{Mathematical functions}
 584 @closecatbox
 585 @end deffn
 586
 587 @c -----------------------------------------------------------------------------
 588 @anchor{next_prime}
 589 @deffn {関数} next_prime (@var{n})
 590
 591 @var{n}よりも大きな最も小さな素数を返します。
 592
 593 @example
 594 (%i1) next_prime(27);
 595 (%o1)                       29
 596 @end example
 597
 598 @opencatbox
 599 @category{Number theory}
 600 @closecatbox
 601 @end deffn
 602
 603 @c -----------------------------------------------------------------------------
 604 @anchor{partfrac}
 605 @deffn {関数} partfrac (@var{expr}, @var{var})
 606
 607 主変数@var{var}に関する部分分数式@var{expr}を展開します。
 608 @code{partfrac}は、完全な部分分数分解を行います。
 609 利用したアルゴリズムは、
 610 部分分数展開(元の分母の因子)の分母は互いに素であるという事実に基づいています。
 611 分子は分母の線形結合として書け、結果が展開ということになります。
 612
 613 @example
 614 (%i1) 1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x);
 615                       2       2        1
 616 (%o1)               ----- - ----- + --------
 617                     x + 2   x + 1          2
 618                                     (x + 1)
 619 (%i2) ratsimp (%);
 620                                  x
 621 (%o2)                 - -------------------
 622                          3      2
 623                         x  + 4 x  + 5 x + 2
 624 (%i3) partfrac (%, x);
 625                       2       2        1
 626 (%o3)               ----- - ----- + --------
 627                     x + 2   x + 1          2
 628                                     (x + 1)
 629 @end example
 630 @end deffn
 631
 632 @c -----------------------------------------------------------------------------
 633 @anchor{power_mod}
 634 @deffn {関数} power_mod (@var{a}, @var{n}, @var{m})
 635
 636 @code{a^n mod m}を計算するために
 637 剰余アルゴリズムを使います。
 638 ここで、@var{a}と@var{n}は整数で、@var{m}は正の整数です。
 639 もし@var{n}が負なら、@code{inv_mod}が剰余逆元を見つけるために使われます。
 640
 641 @example
 642 (%i1) power_mod(3, 15, 5);
 643 (%o1)                          2
 644 <(%i2) mod(3^15,5);
 645 (%o2)                          2
 646 (%i3) power_mod(2, -1, 5);
 647 (%o3)                          3
 648 (%i4) inv_mod(2,5);
 649 (%o4)                          3
 650 @end example
 651
 652 @opencatbox
 653 @category{Number theory}
 654 @closecatbox
 655 @end deffn
 656
 657 @c -----------------------------------------------------------------------------
 658 @anchor{primep}
 659 @deffn {関数} primep (@var{n})
 660
 661 素数テスト。
 662 もし@code{primep (@var{n})}が@code{false}を返すなら、
 663 @var{n}は合成数であり、
 664 もし@code{true}を返すなら、@var{n}は非常に高い確立で素数です。
 665
 666 3317044064679887385961981より小さな@var{n}に対して、
 667 Miller-Rabinのテストの決定的バージョンが使われます。
 668 もし@code{primep (@var{n})}が@code{true}を返すなら、
 669 @var{n}は素数です。
 670
 671 3317044064679887385961981よりの大きな@var{n}に対して、
 672 @code{primep}は、
 673 @code{primep_number_of_tests}個のMiller-Rabinの疑似素数テストと
 674 1つのLucasの疑似素数テストを使います。
 675 @var{n}がMiller-Rabinのテスト１つを通過する確率は
 676 1/4より小さいです。
 677 @code{primep_number_of_tests}に関してデフォルト値25を使うと、
 678 通過した@var{n}が合成である確率は
 679 10^-15よりもはるかに小さいです。
 680
 681 @opencatbox
 682 @category{Predicate functions}
 683 @category{Number theory}
 684 @closecatbox
 685 @end deffn
 686
 687 @c -----------------------------------------------------------------------------
 688 @anchor{primep_number_of_tests}
 689 @defvr {オプション変数} primep_number_of_tests
 690 デフォルト値: 25
 691
 692 @code{primep}の中で使われるMiller-Rabinのテストの回数。
 693
 694
 695 @opencatbox
 696 @category{Predicate functions}
 697 @category{Number theory}
 698 @closecatbox
 699 @end defvr
 700
 701 @c -----------------------------------------------------------------------------
 702 @anchor{prev_time}
 703 @deffn {関数} prev_prime (@var{n})
 704
 705 @var{n}よりも小さな最大の素数を返します。
 706
 707 @example
 708 (%i1) prev_prime(27);
 709 (%o1)                       23
 710 @end example
 711
 712 @opencatbox
 713 @category{Number theory}
 714 @closecatbox
 715 @end deffn
 716
 717 @c -----------------------------------------------------------------------------
 718 @anchor{qunit}
 719 @deffn {関数} qunit (@var{n})
 720
 721 実二次数体@code{sqrt (@var{n})}の基本単数、
 722 すなわち、ノルムが1の要素を返します。
 723 ここで、@var{n}は整数です。
 724 これは、結果的にペル方程式@code{a^2 - @var{n} b^2 = 1}を解くことになります。
 725
 726 @example
 727 (%i1) qunit (17);
 728 (%o1)                     sqrt(17) + 4
 729 (%i2) expand (% * (sqrt(17) - 4));
 730 (%o2)                           1
 731 @end example
 732
 733 @opencatbox
 734 @category{Number theory}
 735 @closecatbox
 736 @end deffn
 737
 738 @c -----------------------------------------------------------------------------
 739 @anchor{totient}
 740 @deffn {関数} totient (@var{n})
 741
 742 @var{n}以下の、
 743 @var{n}と互いに素な整数の数を返します。
 744
 745 @opencatbox
 746 @category{Number theory}
 747 @closecatbox
 748 @end deffn
 749
 750 @c -----------------------------------------------------------------------------
 751 @defvr {オプション変数} zerobern
 752 デフォルト値: @code{true}
 753
 754 @code{zerobern}が@code{false}の時、
 755 @code{bern}はBernoulli数を除外し、@code{euler}はゼロに等しいEuler数を除外します。
 756 @code{bern}と@code{euler}を参照してください。
 757
 758 @opencatbox
 759 @category{Number theory}
 760 @closecatbox
 761
 762 @end defvr
 763
 764 @c -----------------------------------------------------------------------------
 765 @anchor{zeta}
 766 @deffn {関数} zeta (@var{n})
 767
 768 Riemannのゼータ関数を返します。
 769 もし@var{x}が負の整数、0, 1,または、正の偶数なら、
 770 Reimannのゼータ関数は厳密な値に整理されます。
 771 正の偶数に対しては、
 772 加えて、オプション変数@code{zeta%pi}は@code{true}でなければいけません。
 773 (@code{zeta%pi}を参照してください。)
 774 浮動小数点または多倍長浮動小数点数に対して、Reimannゼータ関数は数値的に評価されます。
 775 Maximaは、
 776 有理非整数、浮動小数点数、複素数の引数を含む
 777 他の引数すべてに対して、また、もし@code{zeta%pi}が値@code{false}なら偶数に対して、
 778 名詞形@code{zeta (@var{n})}を返します。
 779
 780 @code{zeta(1)}は未定義ですが、
 781 Maximaは上からと下からの極限@code{limit(zeta(x), x, ,1)}を知っています。
 782
 783 @code{bfzeta}と@code{zeta%pi}も参照してください。
 784
 785 例：
 786
 787
 788 @c ===beg===
 789 @c zeta([-2, -1, 0, 0.5, 2, 3,1+%i]);
 790 @c limit(zeta(x),x,1,plus);
 791 @c limit(zeta(x),x,1,minus);
 792 @c ===end===
 793 @example
 794 (%i1) zeta([-2, -1, 0, 0.5, 2, 3, 1+%i]);
 795                                              2
 796             1     1                       %pi
 797 (%o1) [0, - --, - -, - 1.460354508809586, ----, zeta(3),
 798             12    2                        6
 799                                                     zeta(%i + 1)]
 800 (%i2) limit(zeta(x),x,1,plus);
 801 (%o2)                          inf
 802 (%i3) limit(zeta(x),x,1,minus);
 803 (%o3)                         minf
 804 @end example
 805
 806 @opencatbox
 807 @category{Number theory}
 808 @closecatbox
 809 @end deffn
 810
 811 @c -----------------------------------------------------------------------------
 812 @anchor{zeta%pi}
 813 @defvr {オプション変数} zeta%pi
 814 デフォルト値: @code{true}
 815
 816 @code{zeta%pi}が@code{true}の時、
 817 偶数@code{n}に対して、@code{zeta}は@code{%pi^n}に比例する式を返します。
 818 そうでないなら、
 819 偶数@code{n}に対して、@code{zeta}は名詞形@code{zeta (n)}を返します。
 820
 821 例:
 822
 823 @c ===beg===
 824 @c zeta%pi: true$
 825 @c zeta (4);
 826 @c zeta%pi: false$
 827 @c zeta (4);
 828 @c ===end===
 829 @example
 830 (%i1) zeta%pi: true$
 831 (%i2) zeta (4);
 832                                  4
 833                               %pi
 834 (%o2)                         ----
 835                                90
 836 (%i3) zeta%pi: false$
 837 (%i4) zeta (4);
 838 (%o4)                        zeta(4)
 839 @end example
 840
 841 @opencatbox
 842 @category{Number theory}
 843 @closecatbox
 844 @end defvr