doc/info/ja/solve_rec.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to solve_rec::
   3 * Functions and Variables for solve_rec::
   4 @end menu
   5
   6 @node Introduction to solve_rec, Functions and Variables for solve_rec, solve_rec, solve_rec
   7 @section Introduction to solve_rec
   8
   9 @code{solve_rec}は多項式係数を持つ線形漸化式を解くためのパッケージです。
  10
  11 デモが
  12 @code{demo(solve_rec);}で利用可能です。
  13
  14 例:
  15
  16 @example
  17 (%i1) load("solve_rec")$
  18 @group
  19 (%i2) solve_rec((n+4)*s[n+2] + s[n+1] - (n+1)*s[n], s[n]);
  20                                     n
  21                  %k  (2 n + 3) (- 1)          %k
  22                    1                            2
  23 (%o2)       s  = -------------------- + ---------------
  24              n     (n + 1) (n + 2)      (n + 1) (n + 2)
  25 @end group
  26 @end example
  27
  28 @opencatbox
  29 @category{Linear recurrences}
  30 @category{Share packages}
  31 @category{Package solve_rec}
  32 @closecatbox
  33
  34 @node Functions and Variables for solve_rec,  , Introduction to solve_rec, solve_rec
  35 @section Functions and Variables for solve_rec
  36
  37 @deffn {関数} reduce_order (@var{rec}, @var{sol}, @var{var})
  38
  39 特殊解@var{sol}が知られている時、
  40 線形漸化式@var{rec}の次数を減らします。
  41
  42 例:
  43
  44 @example
  45 @group
  46 (%i3) rec: x[n+2] = x[n+1] + x[n]/n;
  47                                       x
  48                                        n
  49 (%o3)               x      = x      + --
  50                      n + 2    n + 1   n
  51 @end group
  52 @group
  53 (%i4) solve_rec(rec, x[n]);
  54 WARNING: found some hypergeometrical solutions!
  55 (%o4)                    x  = %k  n
  56                           n     1
  57 @end group
  58 @group
  59 (%i5) reduce_order(rec, n, x[n]);
  60 (%t5)                    x  = n %z
  61                           n       n
  62
  63                            n - 1
  64                            ====
  65                            \
  66 (%t6)                %z  =  >     %u
  67                        n   /        %j
  68                            ====
  69                            %j = 0
  70
  71 (%o6)             (- n - 2) %u     - %u
  72                               n + 1     n
  73 @end group
  74 @group
  75 (%i6) solve_rec((n+2)*%u[n+1] + %u[n], %u[n]);
  76                                      n
  77                             %k  (- 1)
  78                               1
  79 (%o6)                 %u  = ----------
  80                         n    (n + 1)!
  81
  82 だから一般解は以下の通りです。
  83
  84              n - 1
  85              ====        j
  86              \      (- 1)
  87        %k  n  >    -------- + %k  n
  88          2   /     (j + 1)!     1
  89              ====
  90              j = 0
  91 @end group
  92 @end example
  93
  94 @opencatbox
  95 @category{Package solve_rec}
  96 @closecatbox
  97
  98 @end deffn
  99
 100 @defvr {オプション変数} simplify_products
 101 デフォルト値: @code{true}
 102
 103 もし@code{simplify_products}が@code{true}なら、
 104 @code{solve_rec}は答えの積をを整理しようとします。
 105
 106 以下も参照してください: @code{solve_rec}.
 107
 108 @opencatbox
 109 @category{Package solve_rec}
 110 @closecatbox
 111
 112 @end defvr
 113
 114 @deffn {関数} simplify_sum (@var{expr})
 115
 116 @var{expr}に現れるすべての和を閉形式に整理しようとします。
 117
 118 この関数を初めて使うには、
 119 @code{load("simplify_sum")}で
 120 @code{simplify_sum}パッケージをロードしてください。
 121
 122 例:
 123
 124 @c ===beg===
 125 @c load("simplify_sum")$
 126 @c sum(binomial(n+k,k)/2^k, k, 1, n) + sum(binomial(2*n, 2*k), k, 1,n);
 127 @c simplify_sum(%);
 128 @c ===end===
 129 @example
 130 (%i1) load("simplify_sum")$
 131 @group
 132 (%i2) sum(binomial(n+k,k)/2^k,k,1,n)+sum(binomial(2*n,2*k),k,1,n);
 133         n                          n
 134        ====                       ====
 135        ¥     binomial(n + k, k)   ¥
 136 (%o2)   >    ------------------ +  >    binomial(2 n, 2 k)
 137        /              k           /
 138        ====          2            ====
 139        k = 1                      k = 1
 140 @end group
 141 @group
 142 (%i3) simplify_sum(%);
 143
 144                          2 n - 1    n
 145 (%o3)                   2        + 2  - 2
 146 @end group
 147 @end example
 148
 149 @opencatbox
 150 @category{Package solve_rec}
 151 @category{Sums and products}
 152 @category{Simplification functions}
 153 @closecatbox
 154
 155 @end deffn
 156
 157 @deffn {関数} solve_rec (@var{eqn}, @var{var}, [@var{init}])
 158 変数@var{var}に関して多項式係数を持つ線形漸化式@var{eqn}の超幾何解について解きます。
 159 オプション引数@var{init}は初期条件です。
 160
 161 @code{solve_rec}は、
 162 定数係数の線形漸化式を解くことができ、
 163 多項式係数の斉次線形漸化式の超幾何解と多項式係数の有理解を見つけ、
 164 Ricatti型漸化式を解くことができます。
 165
 166 超幾何解を見つけるのに使われるアルゴリズムの実行時間は
 167 主係数と最小次数(trailing)係数の次数に関して指数的であることに注意してください。
 168
 169 この関数を使うには、
 170 最初に
 171 @code{load("solve_rec");}で@code{solve_rec}パッケージをロードしてください。
 172
 173
 174 定係数の線形漸化式の例:
 175
 176 @example
 177 @group
 178 (%i2) solve_rec(a[n]=a[n-1]+a[n-2]+n/2^n, a[n]);
 179                         n          n
 180            (sqrt(5) - 1)  %k  (- 1)
 181                             1           n
 182 (%o2) a  = ------------------------- - ----
 183        n               n                  n
 184                       2                5 2
 185                                                 n
 186                                    (sqrt(5) + 1)  %k
 187                                                     2    2
 188                                  + ------------------ - ----
 189                                             n              n
 190                                            2            5 2
 191 @end group
 192 @end example
 193
 194 多項式係数の線形漸化式の例:
 195
 196 @example
 197 @group
 198 (%i7) 2*x*(x+1)*y[x] - (x^2+3*x-2)*y[x+1] + (x-1)*y[x+2];
 199                          2
 200 (%o7) (x - 1) y      - (x  + 3 x - 2) y      + 2 x (x + 1) y
 201                x + 2                   x + 1                x
 202 @end group
 203 @group
 204 (%i8) solve_rec(%, y[x], y[1]=1, y[3]=3);
 205                               x
 206                            3 2    x!
 207 (%o9)                 y  = ---- - --
 208                        x    4     2
 209 @end group
 210 @end example
 211
 212 Ricatti型漸化式の例:
 213
 214 @example
 215 @group
 216 (%i2) x*y[x+1]*y[x] - y[x+1]/(x+2) + y[x]/(x-1) = 0;
 217                             y         y
 218                              x + 1     x
 219 (%o2)         x y  y      - ------ + ----- = 0
 220                  x  x + 1   x + 2    x - 1
 221 @end group
 222 (%i3) solve_rec(%, y[x], y[3]=5)$
 223 @group
 224 (%i4) ratsimp(minfactorial(factcomb(%)));
 225                                    3
 226                                30 x  - 30 x
 227 (%o4) y  = - -------------------------------------------------
 228        x        6      5       4       3       2
 229              5 x  - 3 x  - 25 x  + 15 x  + 20 x  - 12 x - 1584
 230 @end group
 231 @end example
 232
 233
 234 以下も参照してください: @code{solve_rec_rat}, @code{simplify_products}, and @code{product_use_gamma}.
 235
 236 @opencatbox
 237 @category{Package solve_rec}
 238 @closecatbox
 239
 240 @end deffn
 241
 242 @deffn {関数} solve_rec_rat (@var{eqn}, @var{var}, [@var{init}])
 243
 244 線形漸化式の有理解について解きます。
 245 引数の記述についてはsolve_recを参照してください。
 246
 247 この関数を使うには、
 248 最初に
 249 @code{load("solve_rec");}で@code{solve_rec}パッケージをロードしてください。
 250
 251 例:
 252
 253 @example
 254 @group
 255 (%i1) (x+4)*a[x+3] + (x+3)*a[x+2] - x*a[x+1] + (x^2-1)*a[x];
 256 (%o1)  (x + 4) a      + (x + 3) a      - x a
 257                 x + 3            x + 2      x + 1
 258                                                    2
 259                                                + (x  - 1) a
 260                                                             x
 261 @end group
 262 @group
 263 (%i2) solve_rec_rat(% = (x+2)/(x+1), a[x]);
 264                        1
 265 (%o2)      a  = ---------------
 266             x   (x - 1) (x + 1)
 267 @end group
 268 @end example
 269
 270
 271 以下も参照してください: @code{solve_rec}.
 272
 273 @opencatbox
 274 @category{Package solve_rec}
 275 @closecatbox
 276
 277 @end deffn
 278
 279 @defvr {オプション変数} product_use_gamma
 280 デフォルト値: @code{true}
 281
 282 積を整理する時、
 283 もし@code{product_use_gamma}が@code{true}なら、
 284 @code{solve_rec}は式の中にガンマ函数を導入します。
 285
 286
 287 以下も参照してください: @code{simplify_products}, @code{solve_rec}.
 288
 289 @opencatbox
 290 @category{Package solve_rec}
 291 @closecatbox
 292
 293 @end defvr
 294
 295 @deffn {関数} summand_to_rec (@var{summand}, @var{k}, @var{n})
 296 @deffnx {関数} summand_to_rec (@var{summand}, [@var{k}, @var{lo}, @var{hi}], @var{n})
 297
 298 和
 299
 300 @example
 301 @group
 302      hi
 303     ====
 304     \
 305      >     summand
 306     /
 307     ====
 308   k = lo
 309 @end group
 310 @end example
 311
 312 が満たす漸化式を返します。
 313 ここで、被和(summand)は@var{k}と@var{n}に対して超幾何的です。
 314 もし@var{lo}と@var{hi}が省略されたら、
 315 それらは@code{lo = -inf}、@code{hi = inf}と仮定されます。
 316
 317 この関数を初めて使うには、
 318 @code{load("simplify_sum")}で
 319 @code{simplify_sum}パッケージをロードしてください。
 320
 321 例:
 322
 323 @example
 324 (%i1) load("simplify_sum")$
 325 @group
 326 (%i2) summand: binom(n,k);
 327 (%o2)                           binomial(n, k)
 328 @end group
 329 @group
 330 (%i3) summand_to_rec(summand,k,n);
 331 (%o3)                      2 sm  - sm      = 0
 332                                n     n + 1
 333 @end group
 334 @group
 335 (%i7) summand: binom(n, k)/(k+1);
 336                                 binomial(n, k)
 337 (%o7)                           --------------
 338                                     k + 1
 339 @end group
 340 @group
 341 (%i8) summand_to_rec(summand, [k, 0, n], n);
 342 (%o8)               2 (n + 1) sm  - (n + 2) sm      = - 1
 343                                 n             n + 1
 344 @end group
 345 @end example
 346
 347 @opencatbox
 348 @category{Package solve_rec}
 349 @closecatbox
 350
 351 @end deffn