share/solve_rec/rtest_simplify_sum.mac

   1 /***************************************
   2  *
   3  * This file contains some examples for simplify_sum function
   4  *
   5  * Use:
   6  *   batch("rtest_simplify_sum.mac", test);
   7  *
   8  ***************************************/
   9 (
  10   kill(all),
  11   load (simplify_sum),
  12   test_sum(sm, ass, use_gamma, smp, ans) := block(
  13     [product_use_gamma : use_gamma, cs, f],
  14     if length(ass)>0 then apply(assume, ass),
  15     cs : simplify_sum(sm),
  16     for f in smp do cs : apply(f, [cs]),
  17     if length(ass)>0 then apply(forget, ass),
  18     ratsimp(cs-ans)),
  19   0
  20 );
  21 0;
  22
  23 test_sum(
  24   sum(r/k*binomial(n,r)*binomial(m,k-r)/binomial(n+m,k),r,0,k),
  25   [n>k, m>k-1, m>k],
  26   true,
  27   [makefact, minfactorial],
  28   n/(n+m));
  29 0;
  30
  31 test_sum(
  32   sum(binomial(n,k)/(k+1), k, 0, n),
  33   [],
  34   true,
  35   [],
  36   (2^(n+1)-1)/(n+1));
  37 0;
  38
  39 test_sum(
  40   sum((-1)^k * binomial(a+b, a+k) * binomial(b+c, b+k) * binomial(c+a, c+k), k, -a, a),
  41   [a<b, a<c],
  42   true,
  43   [factcomb],
  44   (c+b+a)!/(a!*b!*c!));
  45 0;
  46
  47 test_sum(
  48   sum((-1)^k * binomial(n,k)*x/(x+k), k, 0, n),
  49   [],
  50   true,
  51   [factcomb],
  52   (n!*x!)/(x+n)!);
  53 0;
  54
  55 test_sum(
  56   sum((-1)^k * binomial(2*n, k)^2, k, 0, 2*n),
  57   [],
  58   false,
  59   [],
  60   ((product(2*%j1-1,%j1,1,n))*(-1)^n*2^n)/n!);
  61 0;
  62
  63 test_sum(
  64   sum((binomial(3*k+1,k)*binomial(3*(n-k),n-k))/(3*k+1), k, 0, n),
  65   [],
  66   false,
  67   [],
  68   ((product(3*%j1-1,%j1,1,n))*(product(3*%j1+1,%j1,1,n))*3^n)/((product(2*%j1+1,%j1,1,n))*2^n*n!));
  69 0;
  70
  71 test_sum(
  72   sum(binomial(n, k) * binomial(m, r - k), k, 0, r),
  73   [m>r, n>r],
  74   true,
  75   [factcomb],
  76   (n+m)!/((-r+n+m)!*r!));
  77 0;
  78
  79 test_sum(
  80   sum(binomial(2*n,2*k), k, 0, n),
  81   [n>0],
  82   true,
  83   [],
  84   2^(2*n)/2);
  85 0;
  86
  87 test_sum(
  88   sum((-1)^k*binomial(x-2*k,n-k)*binomial(x-k+1,k),k,0,n),
  89   [x>2*n, x>2*n-1, x>n-1],
  90   true,
  91   [],
  92   ((-1)^n+1)/2);
  93 0;
  94
  95 test_sum(
  96   sum((-1)^s*binomial(2*m, s)^3, s, 0, 2*m),
  97   [],
  98   false,
  99   [],
 100   (product(3*%j1-2,%j1,1,m)*product(3*%j1-1,%j1,1,m)*(-1)^m*3^m)/m!^2);
 101 0;
 102
 103 test_sum(
 104   sum((-1)^k*binomial(k,n-k), k, 0, n),
 105   [],
 106   true,
 107   [rectform, trigreduce],
 108   (3*cos((2*%pi*n)/3)-sqrt(3)*sin((2*%pi*n)/3))/3);
 109 0;
 110
 111 test_sum(
 112   sum(binomial(n,k)^2*binomial(3*n+k,2*n), k, -inf, inf),
 113   [n>0],
 114   false,
 115   [],
 116   (product(3*%j1-2,%j1,1,n))^2*(product(3*%j1-1,%j1,1,n))^2*9^n/((product(2*%j1-1,%j1,1,n))^2*4^n*n!^2));
 117 0;
 118
 119 test_sum(
 120   sum((-1)^k*binomial(n-k,k)*2^(n-2*k), k, 0, n),
 121   [],
 122   true,
 123   [],
 124   n+1);
 125 0;
 126
 127 test_sum(
 128   sum(binomial(x,k)*binomial(y,k), k, 0, y),
 129   [x>y],
 130   true,
 131   [factcomb],
 132   (y+x)!/(x!*y!));
 133 0;
 134
 135 test_sum(
 136   sum((-1)^(n-k)*binomial(n,k)*binomial(k+b,k), k, 0, n),
 137   [b>0],
 138   true,
 139   [factcomb],
 140   b!/((b-n)!*n!));
 141 0;
 142
 143 test_sum(
 144   sum(binomial(n+k,k)/2^k,k,0,n),
 145   [],
 146   true,
 147   [],
 148   2^n);
 149 0;
 150
 151 test_sum(
 152   sum((2^(4*k)*binomial(2*n-2*k,n-k))/(2*k*(2*k+1)*binomial(2*k,k)), k, 1, n),
 153   [],
 154   true,
 155   [],
 156   -(4*binomial(-2*(1-n),n-1)*(1-2*n))/(2*n+1));
 157 0;
 158
 159 test_sum(
 160   sum(k^2 * binomial(n, k), k, 1, n),
 161   [],
 162   true,
 163   [],
 164   (n+n^2)*2^n/4);
 165 0;
 166
 167 test_sum(
 168   sum(2^(n-k)*binomial(n+k,2*k),k,-inf,inf),
 169   [n>0],
 170   true,
 171   [],
 172   (2*4^n+1)/3);
 173 0;
 174
 175 test_sum(
 176   sum(((-1)^k*binomial(2*k,k)*binomial(n,k))/4^k,k,0,n),
 177   [],
 178   true,
 179   [],
 180   ((2*n-1)/2)!/(sqrt(%pi)*n!));
 181 0;
 182
 183 test_sum(
 184   sum((-1)^k*binomial(2*k,k)*binomial(2*n,k)*binomial(4*n-2*k,2*n-k),k,0,2*n),
 185   [],
 186   true,
 187   [],
 188   (4^n*2^(2*n)*((2*n-1)/2)!^2)/(%pi*n!^2));
 189 0;
 190
 191 test_sum(
 192   sum(binomial(l+j,j)*(-1)^(l+2*j)*binomial(n+1,l+j+1),l,0,n-j),
 193   [j>1],
 194   true,
 195   [],
 196   1);
 197 0;
 198
 199 test_sum(
 200   sum(binomial(n,4*k),k,0,inf),
 201   [],
 202   true,
 203   [rectform],
 204   (2*2^(n/2)*cos((%pi*n)/4)+2^n)/4
 205   ), sum_min=1;
 206 0;
 207
 208 (declare(n, integer), load(orthopoly), 0);
 209 0;
 210
 211 test_sum(
 212   niceindices(sum(binomial(n, k)/binomial(2*n, k)/k!*(2*x)^k, k, 0, inf)),
 213   [n>0],
 214   true,
 215   [lambda([u], niceindices(ev(u, gen_laguerre)))],
 216   niceindices((-1)^n*gen_laguerre(n,-2*n-1,2*x)/binomial(2*n,n))
 217   );
 218 0;
 219
 220 (kill(n), 0);
 221 0;
 222
 223 test_sum(
 224   sum(binomial(n,i)*p^i*(1-p)^(n-i),i,0,n),
 225   [],
 226   true,
 227   [],
 228   1);
 229 0;
 230
 231 test_sum(
 232   sum(binomial(n,k)*binomial(k-1,j)*(-1)^(k-j-1), k, j+1, n),
 233   [j>1],
 234   true,
 235   [],
 236   1);
 237 0;
 238
 239 test_sum(
 240   sum((n^2+n+1)/(n^4-2*n^2+1),n,2,inf),
 241   [],
 242   true,
 243   [ratsimp, multthru],
 244   %pi^2/6-5/16);
 245 0;
 246
 247 test_sum(
 248   sum(1/n/(2*n+1),n,1,inf),
 249   [],
 250   true,
 251   [ratsimp, multthru],
 252   2-2*log(2));
 253 0;
 254
 255 test_sum(
 256   sum(1/(5*n^2-1),n,1,inf),
 257   [],
 258   true,
 259   [ratsimp, multthru],
 260   (sqrt(5)*harmonic_number(1/sqrt(5))-sqrt(5)*harmonic_number(-1/sqrt(5)))/10);
 261 0;
 262
 263 test_sum(
 264   sum(1/(5*n^2-3),n,1,inf),
 265   [],
 266   true,
 267   [radcan],
 268   (sqrt(3)*sqrt(5)*harmonic_number((sqrt(3)/sqrt(5)))-sqrt(3)*sqrt(5)*harmonic_number(-(sqrt(3)/sqrt(5))))/30);
 269 0;
 270
 271 test_sum(
 272   sum(1/(n^2+1),n,1,inf),
 273   [],
 274   true,
 275   [ratsimp, multthru],
 276   -(%i*harmonic_number(%i)-%i*harmonic_number(-%i))/2);
 277 0;
 278
 279 test_sum(
 280   sum(1/n/(n+a), n, 1, inf),
 281   [],
 282   true,
 283   [ratsimp, multthru],
 284   harmonic_number(a)/a);
 285 0;
 286
 287 test_sum(
 288   sum(1/(5*k+1)^2,k,2,inf),
 289   [],
 290   false,
 291   [],
 292   (psi[1](1/5)-925/36)/25);
 293 0;
 294
 295 test_sum(
 296   sum((-1)^(n+1)/n, n, 1, inf),
 297   [],
 298   true,
 299   [ratsimp, multthru],
 300   log(2));
 301 0;
 302
 303 test_sum(
 304   sum((-1)^k*(k+5)/(2*k+1)/(2*k+3), k, 1, inf),
 305   [],
 306   true,
 307   [ratsimp, multthru],
 308   %pi-41/12);
 309 0;
 310
 311 test_sum(
 312   sum((-1)^(k+1)/(2*k-1)^3, k, 1, inf),
 313   [],
 314   true,
 315   [ratsimp, multthru],
 316   %pi^3/32);
 317 0;
 318
 319 test_sum(
 320   sum(x^n/n!, n, 0, inf),
 321   [],
 322   false,
 323   [],
 324   %e^x
 325 )$
 326 0;
 327
 328 test_sum(
 329   -sum(((-1)^i*x^(2*i))/i,i,1,inf),
 330   [],
 331   false,
 332   [],
 333   log(x^2+1)
 334 )$
 335 0;
 336
 337 test_sum(
 338   sum(n/((n+1)*2^n),n,1,inf),
 339   [],
 340   false,
 341   [ratsimp],
 342   2-2*log(2)
 343 )$
 344 0;
 345
 346 test_sum(
 347   sum(n/((2*n+1)*2^n),n,0,inf),
 348   [],
 349   false,
 350   [ratsimp],
 351   -(sqrt(2)*atanh(1/sqrt(2))-2)/2
 352 )$
 353 0;
 354
 355 test_sum(
 356   sum((4^(-i-1)*(-1)^i*x^(i+1))/(i+1),i,0,inf),
 357   [],
 358   false,
 359   [],
 360   log(x/4+1)
 361 )$
 362 0;
 363
 364 test_sum(
 365   'sum('sum(n!/(k!^2*(n - 2*k)!)*(x/y)^k*(x*y)^(n - k), n, 2*k, inf), k, 0, inf),
 366   [x*y<1],
 367   false,
 368   [lambda([u], scanmap(factor, u, 'bottomup))],
 369   1/sqrt((x*y-2*x-1)*(x*y+2*x-1))
 370 ), use_zeilberger=false$
 371 0;
 372
 373 test_sum(
 374   sum(1/k, k, 1, n),
 375   [],
 376   false,
 377   [],
 378   harmonic_number(n))$
 379 0;
 380
 381 test_sum(
 382   sum(k*harmonic_number(k),k,1,n),
 383   [],
 384   false,
 385   [ratsimp],
 386   ((n^2+n)*(harmonic_number(n)+1/(n+1)))/2-(n^2+n)/4);
 387 0;
 388
 389 test_sum(
 390   sum(k^2*harmonic_number(k),k,1,n),
 391   [],
 392   false,
 393   [ratsimp],
 394   ((12*n^3+18*n^2+6*n)*harmonic_number(n)-4*n^3+3*n^2+n)/36);
 395 0;
 396
 397 test_sum(
 398   sum(k^2*harmonic_number(n+k),k,1,n),
 399   [],
 400   false,
 401   [ratsimp],
 402   ((24*n^3+36*n^2+12*n)*harmonic_number(2*n)+(-12*n^3-18*n^2-6*n)*harmonic_number(n)-10*n^3-9*n^2+n)/36),
 403   harmonic_number_expand=true;
 404 0;
 405
 406 declare(N,integer);
 407 done;
 408
 409 test_sum(
 410   sum(sin(n*x), n, 1, N),
 411   [],
 412   false,
 413   [],
 414   -((cos(x)-1)*sin(x*N+x)-sin(x)*cos(x*N+x)+sin(x))/(2*cos(x)-2));
 415 0;
 416
 417 remove(N,integer);
 418 done;
 419
 420 test_sum(
 421   sum(((-4)^k*binomial(k,m)*binomial(n+k,2*k))*n/(n+k),k,m,n),
 422   [m>1, n>0],
 423   false,
 424   [factcomb, radcan],
 425   (2^(2*m)*n*(-1)^n*(n+m-1)!)/((2*m)!*(n-m)!)), sum_min=m;
 426 0;
 427
 428 test_sum(
 429   sum(harmonic_number(n)/2^n, n, 1, inf),
 430   [],
 431   false,
 432   [],
 433   2*log(2));
 434 0;
 435
 436 test_sum(
 437   sum(harmonic_number(n)/n/(n+1), n, 1, inf),
 438   [],
 439   false,
 440   [],
 441   %pi^2/6);
 442 0;
 443
 444
 445 test_sum(
 446   sum(n*harmonic_number(n)/2^n, n, 1, inf),
 447   [],
 448   false,
 449   [],
 450   2*log(2)+2
 451 );
 452 0;
 453
 454 test_sum(
 455   sum(harmonic_number(n)/n/2^n, n, 1, inf),
 456   [],
 457   false,
 458   [rectform],
 459   %pi^2/12
 460 ), sum_by_integral_transforms=[logcontract];
 461 0;
 462
 463
 464 test_sum(
 465   sum(n^2*harmonic_number(2*n)/2^n, n, 1, inf),
 466   [],
 467   false,
 468   [],
 469   -(17*sqrt(2)*log(3-2*sqrt(2))-24*log(2)-68)/8
 470 );
 471 0;
 472
 473 test_sum(
 474   sum(((x-1)^(2*n+1)*(x+1)^(-2*n-1))/(2*n+1),n,0,inf),
 475   [x<1, x>0],
 476   false,
 477   [rootscontract, lambda([u], scanmap(factor, u)), ratsimp],
 478   log(x)/2
 479 );
 480 0;
 481
 482 test_sum(
 483   sum(-1/(2*k)+1/(2*2*k+1)+1/(2*2*k+3), k, 1, inf),
 484   [],
 485   false,
 486   [ratsimp],
 487   (9*log(2)-8)/6
 488 );
 489 0;
 490
 491 test_sum(
 492   sum(log((2*k+1)/(2*k-1)), k, 1, n),
 493   [],
 494   false,
 495   [ratsimp],
 496   log(2*n+1)
 497 );
 498 0;
 499
 500 test_sum(
 501   sum(k*(k/2)!,k,1,n),
 502   [],
 503   false,
 504   [],
 505   2*(n/2+1)!+2*((n-1)/2+1)!-sqrt(%pi)-2
 506 );
 507 0;
 508
 509 test_sum(
 510   sum(i*fib(i-1)/2^i,i,1,inf),
 511   [],
 512   false,
 513   [],
 514   6
 515 );
 516 0;
 517
 518 test_sum(
 519   sum(1/(sqrt(k*(k + 1)) * (sqrt(k) + sqrt(k + 1))), k, 1, inf),
 520   [],
 521   false,
 522   [],
 523   1
 524 );
 525 0;
 526
 527 block([gamma_expand: true],
 528 test_sum(
 529   sum(%e^-4*(k-4)^2*4^k/k!, k, 0, inf),
 530   [],
 531   false,
 532   [],
 533   4
 534 ));
 535 0;
 536
 537
 538 block([gamma_expand: true],
 539 test_sum(
 540   sum(%e^-4*(k-5)^2*4^k/k!, k, 0, inf),
 541   [],
 542   false,
 543   [],
 544   5
 545 ));
 546 0;
 547
 548 test_sum(
 549   sum(k^2*binomial(n,k), k, 0, n),
 550   [],
 551   false,
 552   [],
 553   2^(-2+n)*n*(1 + n)
 554   );
 555 0;
 556
 557 test_sum(
 558   sum(k^2*binomial(n,k), k, 0, n),
 559   [],
 560   false,
 561   [],
 562   2^(-2+n)*n*(1 + n)
 563   );
 564 0;
 565
 566 test_sum(
 567   sum(k^2*binomial(n,k), k, 1, n),
 568   [],
 569   false,
 570   [],
 571   2^(-2+n)*n*(1 + n)
 572   );
 573 0;
 574
 575 test_sum(
 576   sum(k^2*binomial(n,k), k, 2, n),
 577   [],
 578   false,
 579   [],
 580   1/4*n*(-4+2^n+2^n*n)
 581   );
 582 0;
 583
 584 test_sum(
 585   sum(k^2*binomial(n,k), k, 3, n),
 586   [],
 587   false,
 588   [],
 589   1/4*n*(4+2^n-8*n+2^n*n)
 590   );
 591 0;
 592
 593
 594 test_sum(
 595   sum(binomial(n,k)*binomial(k-1,j)*(-1)**(k-1-j),k,j+1,n),
 596   [j>1],
 597   false,
 598   [],
 599   1
 600   );
 601 0;
 602
 603 /* SF bug #3236: "bug in simplifying infinite sum with 1st (0th) negative term" */
 604
 605 test_sum(
 606   sum(1/((n+1)*(2*n-1)), n, 1,inf),
 607   [],
 608   false,
 609   [],
 610   (2*log(2)+1)/3);
 611 0;
 612
 613 test_sum(
 614   sum(1/((2*n-1)^2*(2*n+1)^2*(2*n+3)^2),n,0,inf),
 615   [],
 616   false,
 617   [],
 618   (3*%pi^2)/256);
 619 0;
 620
 621 ratsimp (simplify_sum(sum(1/((n+1)*(2*n-1)), n, 1,inf)) -simplify_sum(sum(1/((n+1)*(2*n-1)), n, 0,inf)));
 622 1;
 623
 624 ratsimp (simplify_sum(sum(1/((2*n+1)^2-4)^2, n, 0, inf)));
 625 1/64*%pi^2;
 626
 627 /* SF bug #3521: "simplify_sum(sum(binomial(1,n),n,0,inf)) gives 3 instead of 2" */
 628
 629 simplify_sum(sum(binomial(1,n),n,0,inf));
 630 2;
 631
 632 foo: makelist (simplify_sum(sum(binomial(1,n),n,n0,inf)), n0, 0, 10);
 633 [2, 1, 'sum(binomial(1,n),n,2,inf), 'sum(binomial(1,n),n,3,inf), 'sum(binomial(1,n),n,4,inf),
 634  'sum(binomial(1,n),n,5,inf), 'sum(binomial(1,n),n,6,inf), 'sum(binomial(1,n),n,7,inf),
 635  'sum(binomial(1,n),n,8,inf), 'sum(binomial(1,n),n,9,inf), 'sum(binomial(1,n),n,10,inf)];
 636
 637 /* binomial(mm, nn) = 0 for nn - mm an integer and nn > mm.
 638  * This rule seems to interfere with extended_nusum (causing extended_nusum
 639  * to return 0 instead of 1 for 'sum(binomial(0, n), n, 0, inf)), so let's not worry about
 640  * making this a general rule.
 641  */
 642 (matchdeclare (mm, all, nn, lambda ([e], featurep (e - mm, integer) and e > mm)),
 643  myrule: first (tellsimpafter (binomial (mm, nn), 0)),
 644  ev (foo, nouns)); /* expand(foo, 0, 0) doesn't have any effect. dunno what's going on. */
 645 [2, 1, 0, 0, 0,  0, 0, 0, 0, 0,  0];
 646
 647 remrule (binomial, myrule);
 648 binomial;
 649
 650 makelist (simplify_sum(sum(binomial(m, n), n, 0, inf)), m, 0, 10);
 651 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024];
 652
 653 (reset(verbose,linsolvewarn),0);
 654 0$
 655
 656 /* SF bug #3462: "simplify_sum() variable name clash" */
 657
 658 kill(a);
 659 done;
 660
 661 simplify_sum(sum((2*i+1)^-2, i, 0, inf));
 662 %pi^2/8;
 663
 664 (a[i] := i, simplify_sum(sum((2*i+1)^-2, i, 0, inf)));
 665 %pi^2/8;
 666
 667 (kill(a), simplify_sum(sum((2*i+1)^-2, i, 0, inf)));
 668 %pi^2/8;