share/calculus/optvar_1.dem

   1 load('optvar)$
   2 depends(y,x)$
   3 /*
   4 The functional may include derivatives of higher that first
   5 order.  For example, including the small-deflection energy
   6 of bending, shear, and an elastic foundation, the elastic
   7 energy of a nonuniform beam with loading  W(X)  is the
   8 integral of the following function: */
   9 a(x)*'d(y,x,2)**2 + b(x)*'d(y,x)**2 + c(x)*y**2 + w(x)*y$
  10 /* to get the Euler-Lagrange equation: */
  11 eq:el(%, y, x);
  12 /* If the shear & foundation energy are negligible, as
  13 is often the case, we may solve this differential equation,
  14 for specific A(X) and  W(X), by two successive applications
  15 of ODE2.  For example: */
  16 first(eq),d,infeval,a(x)=x, b(x)=0, c(x)=0, w(x)=1$
  17 bb:%,'d(y,x,3)='d(dy2,x),'d(y,x,4)='d(dy2,x,2);
  18
  19 dependencies(dy2(x))$
  20 ev(bb,d,eval);
  21 ode2(%, dy2, x);
  22 ode2(subst([%k1=%k3,%k2=%k4,dy2='d(y,x,2)],%), y, x);
  23 /* Now let's impose the boundary conditions
  24 Y='D(Y,X)=0 at X=1, Y=0, 'D(Y,X)=1 at X=2: */
  25 ic2(%, x=1, y=0, 'd(y,x)=0);
  26 ic2(subst([%k3=%k1,%k4=%k2],%), x=2, y=0, 'd(y,x)=1);
  27 /* as another specific beam example: */
  28 eq,eval,a(x)=1,b(x)=2,c(x)=1,w(x)=1$
  29 first(%),d;
  30 /* We cannot treat this as 2 successive second-order
  31 equations, but the function DESOLVE in the SHARE file
  32 DESOLN, already loaded, is applicable to some linear
  33 arbitrary-order constant coefficient equations.  First we
  34 must convert the equation so that the dependency of  Y  is
  35 explicitly indicated: */
  36 convert(%, y, x);
  37 /* DESOLVE requires all boundary conditions to be at
  38 X=0, and it works best if they are specified before calling
  39 the function. However, we may overcome this restriction, as
  40 illustrated by the following example, where the beam has
  41 zero slope and deflection at both ends: */
  42 (atvalue(y(x),x=0,0), atvalue('d(y(x),x),x=0,0),
  43 atvalue('d(y(x),x,2),x=0,%k1), atvalue('d(y(x),x,3),x=0,%k2))$
  44 desolve(%th(2), y(x));
  45 ic2(subst(y(x)=y,%), x=1, y=0, 'd(y,x)=0);