share/calculus/qual.usg

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   2 File SHARE;QUAL > contains MACSYMA functions for qualitative analysis
   3 of an expression, file QUAL DEMO contains a demonstration, and file
   4 QUAL OUT contains the output from executing the demo.  Written by
   5 David R. Stoutemyer, login name STOUTE.  Suggestions, together with
   6 successful or unsuccessful examples of its use will be gratefully
   7 acknowledged.
   8
   9 To use the functions do
  10         ALLOC(2);
  11         BATCH(QUAL,>,SHARE);
  12
  13 Top-level usage is of the form
  14         QUAL(<expression>, <variables>);
  15
  16 <expression> is any given expression.
  17
  18 <variables> is a given indeterminate or list of indeterminates.  If
  19     omitted, this argument defaults to all of the indeterminates in the
  20     first argument.
  21
  22 QUAL returns a list of E-labels of displayed equations, each of the
  23 form  <property name> = <property value>, where   <property name> is
  24 one of the second-level function names below, and <property value>
  25 is the value returned by that function.  These second-level functions
  26 may also be used directly.  Usage is of the form
  27
  28         REVELATION(<expression>, <minimum>, <maximum>);
  29         BOUNDS(<expression>);
  30         SLOPES(<expression>, <variables>);
  31         CURVATURE(<expression>, <variables>);
  32         SYMMETRY(<expression>, <variables>);
  33         PERIODS(<expression>, <variables>);
  34         ZEROSANDPOLES(<expression>, <variables>);
  35         STATIONARYPOINTS(<expression>, <variables>);
  36         LIMITS(<expression>, <variables>);
  37
  38 <expression>, <variables>, and their defaults are as for QUAL.
  39
  40 REVELATION automatically prints successive levels of the
  41 structure of its first argument.  No printout occurs if
  42 <minimum> exceeds the number of print characters of <expression>, and
  43 printout ceases when the output of a level exceeds <maximum> print
  44 characters.  Omitted trailing arguments have defaults:  200 for
  45 <minimum> and 300 for <maximum>.
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  47 BOUNDS returns a list of two expressions which are respectively a
  48 lower bound and upper bound for the expression, computed by symbolic
  49 interval analysis with indeterminates treated as real variables.
  50 BOUNDS makes use of global bounds previously established for
  51 indeterminates by statements of the form
  52
  53         ASSUME(<variable> <relational operator> <value>);
  54
  55 where <variable> is an indeterminate; <relational operator> is one
  56 of <, <=, >=, or >; and <value> is any expression, including MINF
  57 or INF for minus and plus infinity respectively.  As a convenience,
  58 previously unestablished indeterminate bounds are globally set to MINF
  59 and INF respectively, when first needed, with a warning message.  In
  60 practice, bounds other than numbers, MINF, and INF usually lead to
  61 messy results, especially for indeterminates that occur in products,
  62 quotients, or exponentiations.  Note also that although interval
  63 analysis is relatively fast, it often does not give tight bounds when
  64 any indeterminate occurs more than once in an expression.
  65
  66 SLOPES returns a list of items of the form  <type>(<variable>), one
  67 for each <variable> in <variables>.  <type> is DECREASING,
  68 NONINCREASING, CONSTANT, NONDECREASING, INCREASING, or UNKNOWN,
  69 according to how<expression>  is determined to vary with <variable>.
  70 The method is symbolic interval analysis on the first derivatives;
  71 so as with BOUNDS, the result depends upon global bounds established
  72 by ASSUME, and the result may be weaker than necessary.
  73
  74 CURVATURE returns STRICTLYCONCAVE, CONCAVE, CONCAVEANDCONVEX, CONVEX,
  75 STRICTLYCONVEX, NEITHERCONCAVENORCONVEX, or UNKNOWN, according to how
  76 expression> is determined to behave in the domain implied by
  77 previously ASSUMEd global bounds on the
  78 indeterminates.  Interval analysis is used to test for definiteness or
  79 semidefiniteness of the Hessian matrix of second derivatives; so the
  80 result may be weaker than necessary.
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  82 SYMMETRY returns a list of items of the form  <type>(<variable>),
  83 one for each  <variable> in <variables>.  <type> is ODD, NONEVEN,
  84 NONODD, EVEN, NEITHER, or UNKNOWN, according to the determined symmetry of
  85 <expression> with respect to <variable>, with other variables
  86 arbitrary.
  87
  88 PERIODS return a list of equations of the form PERIOD(<variable>) =
  89 <expression>, according to the determined periodicity with respect to
  90 <variable>, while other variables are arbitrary.
  91 A risghthand side 0 means the first argument of
  92 PERIODS is independent of the corresponding variable; a righthand side
  93 INF means nonperiodic; and a righthand side UNKNOWN means periodicity
  94 could not be determined.
  95
  96 ZEROSANDPOLES  returns a list of the E-labels of two equations, of respective
  97 forms
  98         ZEROS = <list of equations>,
  99         POLES = <list of equations>,
 100
 101 where the solutions of each equation in a list are where zeros or
 102 poles occur respectively.
 103
 104 STATIONARYPOINTS returns a list of the E-labels of three equations,
 105 of respective forms
 106
 107         STATIONARYPOINTS = <list of lists of equations>,
 108         CORRESPONDING EXPRESSION VALUES = <list of expressions>,
 109         CORRESPONDING TYPES = <list of types>,
 110
 111 Each list of equations gives the values of the variables
 112 for one stationary point, the corresponding expression gives the value of the first argument to STATIONARYPOINTS evaluated
 113 at the stationary point, and the corresponding type is one of
 114 MAXIMUM, NONMINIMUM, UNKNOWN, NONMAXIMUM,
 115 MINIMUM, SADDLE, or UNKNOWN.
 116
 117 LIMITS returns a list of E-labels of equations of the form
 118         LIMITAS(<variable>,<bound>) = <value>,
 119
 120 where <bound> is an upper or lower bound established by ASSUME.