share/solve_rec/simplify_sum_test.mac

   1 /***************************************
   2  *
   3  * This file contains some examples for simplify_sum function
   4  *
   5  * Use:
   6  *   load("simplify_sum");
   7  *   load("simplify_sum_test");
   8  *
   9  ***************************************/
  10
  11 test_sum(sm, ass, use_gamma, smp, [comment]) := block(
  12   [product_use_gamma : use_gamma, cs, f],
  13   if length(ass)>0 then apply(assume, ass),
  14   cs : simplify_sum(sm),
  15   for f in smp do cs : apply(f, [cs]),
  16   print("|----------------------------------------------------------|"),
  17   if length(comment)>0 then apply(print, comment),
  18   if length(ass)>0 then print("Assuming:", ass),
  19   print(sm = cs),
  20   print("|----------------------------------------------------------|"),
  21   if length(ass)>0 then apply(forget, ass)
  22   )$
  23
  24 test_sum(
  25   sum(r/k*binomial(n,r)*binomial(m,k-r)/binomial(n+m,k),r,0,k),
  26   [n>k, m>k-1, m>k],
  27   true,
  28   [makefact, minfactorial]
  29 )$
  30
  31 test_sum(
  32   sum(binomial(n,k)/(k+1), k, 0, n),
  33   [],
  34   true,
  35   []
  36 );
  37
  38 test_sum(
  39   sum((-1)^k * binomial(a+b, a+k) * binomial(b+c, b+k) * binomial(c+a, c+k), k, -a, a),
  40   [a<b, a<c],
  41   true,
  42   [factcomb]
  43 )$
  44
  45 test_sum(
  46   sum((-1)^k * binomial(n,k)*x/(x+k), k, 0, n),
  47   [],
  48   true,
  49   [factcomb]
  50 )$
  51
  52 test_sum(
  53   sum((-1)^k * binomial(2*n, k)^2, k, 0, 2*n),
  54   [],
  55   false,
  56   []
  57 )$
  58
  59 test_sum(
  60   sum((binomial(3*k+1,k)*binomial(3*(n-k),n-k))/(3*k+1), k, 0, n),
  61   [],
  62   false,
  63   []
  64 )$
  65
  66 test_sum(
  67   sum(binomial(n, k) * binomial(m, r - k), k, 0, r),
  68   [m>r, n>r],
  69   true,
  70   [factcomb]
  71 )$
  72
  73 test_sum(
  74   sum(binomial(2*n,2*k), k, 0, n),
  75   [n>0],
  76   true,
  77   []
  78 )$
  79
  80 test_sum(
  81   sum((-1)^k*binomial(x-2*k,n-k)*binomial(x-k+1,k),k,0,n),
  82   [x>2*n, x>2*n-1, x>n-1],
  83   true,
  84   []
  85 )$
  86
  87 test_sum(
  88   sum((-1)^s*binomial(2*m, s)^3, s, 0, 2*m),
  89   [],
  90   false,
  91   []
  92 )$
  93
  94 test_sum(
  95   sum((-1)^k*binomial(k,n-k), k, 0, n),
  96   [],
  97   true,
  98   [rectform, trigreduce]
  99 )$
 100
 101 test_sum(
 102   sum(binomial(n,k)^2*binomial(3*n+k,2*n), k, -inf, inf),
 103   [n>0],
 104   false,
 105   []
 106 )$
 107
 108 test_sum(
 109   sum((-1)^k*binomial(n-k,k)*2^(n-2*k), k, 0, n),
 110   [],
 111   true,
 112   []
 113 )$
 114
 115 test_sum(
 116   sum(binomial(x,k)*binomial(y,k), k, 0, y),
 117   [x>y],
 118   true,
 119   [factcomb]
 120 )$
 121
 122 test_sum(
 123   sum((-1)^(n-k)*binomial(n,k)*binomial(k+b,k), k, 0, n),
 124   [b>0],
 125   true,
 126   [factcomb]
 127 )$
 128
 129 test_sum(
 130   sum(binomial(n+k,k)/2^k,k,0,n),
 131   [],
 132   true,
 133   []
 134 )$
 135
 136 test_sum(
 137   sum((2^(4*k)*binomial(2*n-2*k,n-k))/(2*k*(2*k+1)*binomial(2*k,k)), k, 1, n),
 138   [],
 139   true,
 140   []
 141 )$
 142
 143 test_sum(
 144   sum(k^2 * binomial(n, k), k, 1, n),
 145   [],
 146   true,
 147   []
 148 )$
 149
 150 test_sum(
 151   sum(2^(n-k)*binomial(n+k,2*k),k,-inf,inf),
 152   [n>0],
 153   true,
 154   []
 155 )$
 156
 157 test_sum(
 158   sum(((-1)^k*binomial(2*k,k)*binomial(n,k))/4^k,k,0,n),
 159   [],
 160   true,
 161   []
 162 )$
 163
 164 test_sum(
 165   sum((-1)^k*binomial(2*k,k)*binomial(2*n,k)*binomial(4*n-2*k,2*n-k),k,0,2*n),
 166   [],
 167   true,
 168   []
 169 )$
 170
 171 test_sum(
 172   sum(binomial(l+j,j)*(-1)^(n-l-j)*binomial(n+1,l+j+1),l,0,n-j),
 173   [j>0],
 174   true,
 175   []
 176 )$
 177
 178 test_sum(
 179   sum(binomial(n,4*k),k,0,inf),
 180   [],
 181   true,
 182   [rectform]
 183 )$
 184
 185 (assume(n>0), declare(n, integer), 0);
 186 0;
 187
 188 test_sum(
 189   sum(binomial(n, k)/binomial(2*n, k)/k!*(2*x)^k, k, 0, inf),
 190   [],
 191   true,
 192   []
 193   );
 194 0;
 195
 196 (kill(n), 0);
 197 0;
 198
 199 test_sum(
 200   sum((n^2+n+1)/(n^4-2*n^2+1),n,2,inf),
 201   [],
 202   true,
 203   [ratsimp, multthru]
 204 )$
 205
 206 test_sum(
 207   sum(1/n/(2*n+1),n,1,inf),
 208   [],
 209   true,
 210   [ratsimp, multthru]
 211 )$
 212
 213 test_sum(
 214   sum(1/(5*n^2-1),n,1,inf),
 215   [],
 216   true,
 217   [ratsimp, multthru]
 218 )$
 219
 220 test_sum(
 221   sum(1/(5*n^2-3),n,1,inf),
 222   [],
 223   true,
 224   [ratsimp, multthru]
 225 )$
 226
 227
 228 test_sum(
 229   sum(1/(n^2+1),n,1,inf),
 230   [],
 231   true,
 232   [ratsimp, multthru]
 233 )$
 234
 235 test_sum(
 236   sum(1/n/(n+a), n, 1, inf),
 237   [],
 238   true,
 239   [ratsimp, multthru]
 240 )$
 241
 242 test_sum(
 243   sum((-1)^(n+1)/n, n, 1, inf),
 244   [],
 245   true,
 246   [ratsimp, multthru]
 247 )$
 248
 249 test_sum(
 250   sum((-1)^k*(k+5)/(2*k+1)/(2*k+3), k, 1, inf),
 251   [],
 252   true,
 253   [ratsimp, multthru]
 254 )$
 255
 256 test_sum(
 257   sum((-1)^(k+1)/(2*k-1)^3, k, 1, inf),
 258   [],
 259   true,
 260   [ratsimp, multthru]
 261 )$
 262
 263 test_sum(
 264   sum(x^n/n!, n, 0, inf),
 265   [],
 266   false,
 267   []
 268 )$
 269
 270 test_sum(
 271   -sum(((-1)^i*x^(2*i))/i,i,1,inf),
 272   [],
 273   false,
 274   []
 275 )$
 276
 277 test_sum(
 278   sum(n/((n+1)*2^n),n,1,inf),
 279   [],
 280   false,
 281   [ratsimp]
 282 )$
 283
 284 test_sum(
 285   sum(n/((2*n+1)*2^n),n,0,inf),
 286   [],
 287   false,
 288   [ratsimp]
 289 )$
 290
 291 test_sum(
 292   sum((4^(-i-1)*(-1)^i*x^(i+1))/(i+1),i,0,inf),
 293   [],
 294   false,
 295   []
 296 )$
 297
 298
 299 test_sum(
 300   'sum('sum(n!/(k!^2*(n - 2*k)!)*(x/y)^k*(x*y)^(n - k), n, 2*k, inf), k, 0, inf),
 301   [x*y<1],
 302   false,
 303   [lambda([u], scanmap(factor, u, 'bottomup))]
 304 ), use_zeilberger=false$
 305
 306 test_sum(
 307   sum(1/k, k, 1, n),
 308   [],
 309   false,
 310   []
 311 )$
 312
 313 test_sum(
 314   sum(k*harmonic_number(k),k,1,n),
 315   [],
 316   false,
 317   [ratsimp]
 318 );
 319
 320 test_sum(
 321   sum(k^2*harmonic_number(k),k,1,n),
 322   [],
 323   false,
 324   [ratsimp]
 325 );
 326
 327 test_sum(
 328   sum(k^2*harmonic_number(n+k),k,1,n),
 329   [],
 330   false,
 331   [lambda([u], u:ev(u, harmonic_number_expand=true), ratsimp(u))]
 332 );
 333
 334 test_sum(
 335   sum(((-4)^k*binomial(k,m)*binomial(n+k,2*k))*n/(n+k),k,m,n),
 336   [m>1, n>0],
 337   false,
 338   [factcomb, radcan],
 339   "With sum_min=m"
 340 ), sum_min=m;
 341
 342
 343 test_sum(
 344   sum(harmonic_number(n)/2^n, n, 1, inf),
 345   [],
 346   false,
 347   []
 348 );
 349
 350 test_sum(
 351   sum(harmonic_number(n)/n/(n+1), n, 1, inf),
 352   [],
 353   false,
 354   []
 355 );
 356
 357 test_sum(
 358   sum(n*harmonic_number(n)/2^n, n, 1, inf),
 359   [],
 360   false,
 361   []
 362 );
 363
 364 test_sum(
 365   sum(harmonic_number(n)/n/2^n, n, 1, inf),
 366   [],
 367   false,
 368   [],
 369   "With sum_by_integral_transforms=[logcontract]"
 370 ), sum_by_integral_transforms=[logcontract];
 371
 372 test_sum(
 373   sum(n^2*harmonic_number(2*n)/2^n, n, 1, inf),
 374   [],
 375   false,
 376   []
 377 );
 378
 379
 380 test_sum(
 381   sum(((x-1)^(2*n+1)*(x+1)^(-2*n-1))/(2*n+1),n,0,inf),
 382   [x<1, x>0],
 383   false,
 384   [rootscontract, lambda([u], scanmap(factor, u)), ratsimp]
 385 );
 386
 387 test_sum(
 388   sum(-1/(2*k)+1/(2*2*k+1)+1/(2*2*k+3), k, 1, inf),
 389   [],
 390   false,
 391   [ratsimp]
 392 );
 393
 394 test_sum(
 395   sum(k*(k/2)!,k,1,n),
 396   [],
 397   false,
 398   []
 399 );
 400
 401 test_sum(
 402   sum(i*fib(i-1)/2^i,i,1,inf),
 403   [],
 404   false,
 405   []
 406 );
 407
 408 test_sum(
 409   sum(1/sqrt(k)/sqrt(k+1)/(sqrt(k)+sqrt(k+1)),k,1,inf),
 410   [],
 411   false,
 412   []
 413 );