share/tensor/tetrad.dem

   1 /* Copyright (C) 2004 Viktor T. Toth <http://www.vttoth.com/>\r
   2  *\r
   3  * This program is free software; you can redistribute it and/or\r
   4  * modify it under the terms of the GNU General Public License as\r
   5  * published by the Free Software Foundation; either version 2 of\r
   6  * the License, or (at your option) any later version.\r
   7  *\r
   8  * This program is distributed in the hope that it will be\r
   9  * useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied\r
  10  * warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR\r
  11  * PURPOSE.  See the GNU General Public License for more details.\r
  12  *\r
  13  * Derive the Schwarzschild solution in a tetrad base\r
  14  *\r
  15  */\r
  16 if get('ctensor,'version)=false then load(ctensor);\r
  17 ("\r
  18 \r
  19 Derive and verify Schwarzschild's solution in a tetrad base.")$\r
  20 init_ctensor();\r
  21 ct_coords:[t,r,d,c]$\r
  22 ("We use dimension 4. The four base vectors arranged in matrix form:")$\r
  23 fri:matrix(\r
  24   [sqrt(f(r)),  0,  0,       0],\r
  25   [0,  sqrt(h(r)),  0,       0],\r
  26   [0,           0,  r,       0],\r
  27   [0,           0,  0,r*sin(d)]);\r
  28 ("The problem is simple enough for automatic simplification:")$\r
  29 (ctrgsimp:true,ratwtlvl:false,ratfac:true,cframe_flag:true)$\r
  30 cmetric();\r
  31 ("Compute the Ricci rotation coefficients")$\r
  32 christof(true);\r
  33 ("And the Riemann tensor in tetrad base")$\r
  34 lriemann(true);\r
  35 ("Now compute the Ricci tensor")$\r
  36 ricci(true);\r
  37 ("For a vacuum metric, the components of the Ricci tensor must be 0")$\r
  38 ("We begin by adding ric1,1 and ric2,2 which yields a simple equation:")$\r
  39 ric[2,2]+ric[1,1];\r
  40 ("Some algebraic manipulation yields a solution for f(r) in terms of h(r):")$\r
  41 factor(%th(2));\r
  42 num(%);\r
  43 %/f(r)/h(r);\r
  44 distrib(%);\r
  45 first(%)=-last(%);\r
  46 integrate(%,r);\r
  47 solve(%,f(r));\r
  48 ("We can choose the constant to be 1 by rescaling the metric:")$\r
  49 solf:subst(1,num(last(%th(2)[1])),last(%th(2)[1]));\r
  50 ("We substitute the solution for f(r) into ric3,3:")$\r
  51 ric[3,3];\r
  52 ("Further algebraic manipulation helps get a solution for h(r):")$\r
  53 ratsimp(%th(2));\r
  54 subst(solf,f(r),%);\r
  55 ratsimp(%);\r
  56 num(%);\r
  57 %,diff;\r
  58 ode2(%,h(r),r);\r
  59 exp(first(%))=exp(last(%));\r
  60 solve(%,h(r));\r
  61 ("We rename the constant to get the result in the usual form:")$\r
  62 solh:ratsimp(subst(1/2/m,exp(%c),last(%th(2)[1])));\r
  63 ("Now substitute the solutions back into our base vectors:")$\r
  64 subst(solf,f(r),fri);\r
  65 fri:subst(solh,h(r),%);\r
  66 ("And compute the metric, which is the standard Schwarzschild metric:")$\r
  67 cmetric(true);\r
  68 ("We're done... now let us verify our solution.")$\r
  69 ("We begin with recomputing the Ricci rotation coefficients:")$\r
  70 christof(true);\r
  71 ("And the Riemann tensor:")$\r
  72 lriemann(true);\r
  73 ("And last, the Ricci tensor, which should indicate an empty spacetime:")$\r
  74 ricci(true);\r
  75 \r
  76 /* End of demo -- comment line needed by MAXIMA to resume demo menu */\r