doc/info/de/affine.de.texi

   1 @c -----------------------------------------------------------------------------
   2 @c File        : affine.de.texi
   3 @c License     : GNU General Public License (GPL)
   4 @c Language    : German
   5 @c Translation : Dr. Dieter Kaiser
   6 @c Original    : Affine.texi revision 04.02.2008
   7 @c Date        : 14.11.2010
   8 @c Revision    : 10.05.2011
   9 @c
  10 @c This file is part of Maxima -- GPL CAS based on DOE-MACSYMA
  11 @c -----------------------------------------------------------------------------
  12
  13 @menu
  14 * Introduction to Affine::
  15 * Functions and Variables for Affine::
  16 @end menu
  17
  18 @c -----------------------------------------------------------------------------
  19 @node Introduction to Affine, Functions and Variables for Affine, affine, affine
  20 @section Introduction to Affine
  21 @c -----------------------------------------------------------------------------
  22
  23 @code{affine} is a package to work with groups of polynomials.
  24
  25 @c -----------------------------------------------------------------------------
  26 @node Functions and Variables for Affine,  , Introduction to Affine, affine
  27 @section Functions and Variables for Affine
  28 @c -----------------------------------------------------------------------------
  29
  30 @c -----------------------------------------------------------------------------
  31 @anchor{fast_linsolve}
  32 @deffn {Function} fast_linsolve ([@var{expr_1}, @dots{}, @var{expr_m}], [@var{x_1}, @dots{}, @var{x_n}])
  33
  34 Solves the simultaneous linear equations @var{expr_1}, @dots{}, @var{expr_m}
  35 for the variables @var{x_1}, @dots{}, @var{x_n}.  Each @var{expr_i} may be an
  36 equation or a general expression; if given as a general expression, it is
  37 treated as an equation of the form @code{@var{expr_i} = 0}.
  38
  39 The return value is a list of equations of the form @code{[@var{x_1} =
  40 @var{a_1}, ..., @var{x_n} = @var{a_n}]} where @var{a_1}, @dots{}, @var{a_n} are
  41 all free of @var{x_1}, @dots{}, @var{x_n}.
  42
  43 @code{fast_linsolve} is faster than @mref{linsolve} for system of equations
  44 which are sparse.
  45
  46 @code{load("affine")} loads this function.
  47 @end deffn
  48
  49 @c TODO: POLYSIMP IS NOT DOCUMENTED.
  50
  51 @c -----------------------------------------------------------------------------
  52 @anchor{grobner_basis}
  53 @deffn {Function} grobner_basis ([@var{expr_1}, @dots{}, @var{expr_m}])
  54
  55 Returns a Groebner basis for the equations @var{expr_1}, @dots{}, @var{expr_m}.
  56 The function @code{polysimp} can then be used to simplify other functions
  57 relative to the equations.
  58
  59 @code{polysimp(f)} yields 0 if and only if @var{f} is in the ideal generated by
  60 @var{expr_1}, @dots{}, @var{expr_m}, that is, if and only if @var{f} is a
  61 polynomial combination of the elements of @var{expr_1}, @dots{}, @var{expr_m}.
  62
  63 @code{load("affine")} loads this function.
  64
  65 Beispiel:
  66
  67 @example
  68 (%i1) load("affine")$
  69
  70 (%i2) grobner_basis ([3*x^2+1, y*x]);
  71 eliminated one
  72  . 0 . 0                                   2
  73 (%o2)/R/                [- y, - 3 x  - 1]
  74 (%i3) polysimp(y^2*x+x^3*9+2);
  75 (%o3)/R/                    - 3 x + 2
  76 @end example
  77 @end deffn
  78
  79 @c NEEDS CLARIFICATION IN A SERIOUS WAY
  80 @c TODO: CURRENT_SIMPLIFICATIONS AND DOT_SIMPLIFICATIONS IS NOT DOCUMENTED.
  81
  82 @c -----------------------------------------------------------------------------
  83 @anchor{set_up_dot_simplifications}
  84 @deffn  {Function} set_up_dot_simplifications (@var{eqns}, @var{check_through_degree})
  85 @deffnx {Function} set_up_dot_simplifications (@var{eqns})
  86
  87 The @var{eqns} are polynomial equations in non commutative variables.  The
  88 value of @code{current_variables} is the list of variables used for computing
  89 degrees.  The equations must be homogeneous, in order for the procedure to
  90 terminate.
  91
  92 If you have checked overlapping simplifications in @code{dot_simplifications}
  93 above the degree of @var{f}, then the following is true:
  94 @code{dotsimp(@var{f})} yields 0 if and only if @var{f} is in the ideal
  95 generated by the equations, i.e., if and only if @var{f} is a polynomial
  96 combination of the elements of the equations.
  97
  98 The degree is that returned by @mrefdot{nc_degree} This in turn is influenced
  99 by the weights of individual variables.
 100
 101 @code{load("affine")} loads this function.
 102 @end deffn
 103
 104 @c -----------------------------------------------------------------------------
 105 @anchor{declare_weights}
 106 @deffn {Function} declare_weights (@var{x_1}, @var{w_1}, @dots{}, @var{x_n}, @var{w_n})
 107
 108 Assigns weights @var{w_1}, @dots{}, @var{w_n} to @var{x_1}, @dots{}, @var{x_n},
 109 respectively.  These are the weights used in computing @mrefdot{nc_degree}
 110
 111 @code{load("affine")} loads this function.
 112 @end deffn
 113
 114 @c -----------------------------------------------------------------------------
 115 @anchor{nc_degree}
 116 @deffn {Function} nc_degree (@var{p})
 117
 118 Returns the degree of a noncommutative polynomial @var{p}.
 119 See @mrefdot{declare_weights}
 120
 121 @code{load("affine")} loads this function.
 122 @end deffn
 123
 124 @c NEEDS CLARIFICATION -- TO WHICH EQUATIONS DOES THIS DESCRIPTION REFER ??
 125
 126 @c -----------------------------------------------------------------------------
 127 @anchor{dotsimp}
 128 @deffn {Function} dotsimp (@var{f})
 129
 130 Returns 0 if and only if @var{f} is in the ideal generated by the equations,
 131 i.e., if and only if @var{f} is a polynomial combination of the elements of
 132 the equations.
 133
 134 @code{load("affine")} loads this function.
 135 @end deffn
 136
 137 @c -----------------------------------------------------------------------------
 138 @anchor{fast_central_elements}
 139 @deffn {Function} fast_central_elements ([@var{x_1}, @dots{}, @var{x_n}], @var{n})
 140
 141 If @mref{set_up_dot_simplifications} has been previously done, finds the
 142 central polynomials in the variables @var{x_1}, @dots{}, @var{x_n} in the given
 143 degree, @var{n}.
 144
 145 For example:
 146
 147 @c TODO: DIESES BEISPIEL PRUEFEN. SCHEINT NICHT ZU FUNKTIONIEREN?!
 148
 149 @example
 150 set_up_dot_simplifications ([y.x + x.y], 3);
 151 fast_central_elements ([x, y], 2);
 152 [y.y, x.x];
 153 @end example
 154
 155 @code{load("affine")} loads this function.
 156 @end deffn
 157
 158 @c THIS IS NOT AT ALL CLEAR
 159
 160 @c -----------------------------------------------------------------------------
 161 @anchor{check_overlaps}
 162 @deffn {Function} check_overlaps (@var{n}, @var{add_to_simps})
 163
 164 Checks the overlaps thru degree @var{n}, making sure that you have sufficient
 165 simplification rules in each degree, for @mref{dotsimp} to work correctly.
 166 This process can be speeded up if you know before hand what the dimension of
 167 the space of monomials is.  If it is of finite global dimension, then
 168 @code{hilbert} should be used.  If you don't know the monomial dimensions, do
 169 not specify a @code{rank_function}.  An optional third argument @code{reset},
 170 @code{false} says don't bother to query about resetting things.
 171
 172 @code{load("affine")} loads this function.
 173 @end deffn
 174
 175 @c -----------------------------------------------------------------------------
 176 @anchor{mono}
 177 @deffn {Function} mono ([@var{x_1}, @dots{}, @var{x_n}], @var{n})
 178
 179 Returns the list of independent monomials relative to the current dot
 180 simplifications of degree @var{n} in the variables @var{x_1}, @dots{},
 181 @var{x_n}.
 182
 183 @code{load("affine")} loads this function.
 184 @end deffn
 185
 186 @c -----------------------------------------------------------------------------
 187 @anchor{monomial_dimensions}
 188 @deffn {Function} monomial_dimensions (@var{n})
 189
 190 Compute the Hilbert series through degree @var{n} for the current algebra.
 191
 192 @code{load("affine")} loads this function.
 193 @end deffn
 194
 195 @c -----------------------------------------------------------------------------
 196 @anchor{extract_linear_equations}
 197 @deffn {Function} extract_linear_equations ([@var{p_1}, @dots{}, @var{p_n}], [@var{m_1}, @dots{}, @var{m_n}])
 198
 199 Makes a list of the coefficients of the noncommutative polynomials @var{p_1},
 200 @dots{}, @var{p_n} of the noncommutative monomials @var{m_1}, @dots{},
 201 @var{m_n}.  The coefficients should be scalars.  Use @code{list_nc_monomials}
 202 to build the list of monomials.
 203
 204 @code{load("affine")} loads this function.
 205 @end deffn
 206
 207 @c -----------------------------------------------------------------------------
 208 @anchor{list_nc_monomials}
 209 @deffn  {Function} list_nc_monomials ([@var{p_1}, @dots{}, @var{p_n}])
 210 @deffnx {Function} list_nc_monomials (@var{p})
 211
 212 Returns a list of the non commutative monomials occurring in a polynomial
 213 @var{p} or a list of polynomials @var{p_1}, @dots{}, @var{p_n}.
 214
 215 @code{load("affine")} loads this function.
 216 @end deffn
 217
 218 @c THIS FUNCTION DOESN'T SEEM TO BE APPROPRIATE IN USER-LEVEL DOCUMENTATION
 219 @c PRESERVE THIS DESCRIPTION PENDING FURTHER DECISION
 220 @c @defun pcoeff (poly monom [variables-to-exclude-from-cof (list-variables monom)])
 221 @c
 222 @c This function is called from Lisp level, and uses internal poly format.
 223 @c @example
 224 @c
 225 @c CL-MAXIMA>>(setq me (st-rat #$x^2*u+y+1$))
 226 @c (#:Y 1 1 0 (#:X 2 (#:U 1 1) 0 1))
 227 @c
 228 @c CL-MAXIMA>>(pcoeff me (st-rat #$x^2$))
 229 @c (#:U 1 1)
 230 @c @end example
 231 @c @noindent
 232 @c
 233 @c Rule: if a variable appears in monom it must be to the exact power,
 234 @c and if it is in variables to exclude it may not appear unless it was
 235 @c in monom to the exact power.  (pcoeff pol 1 ..) will exclude variables
 236 @c like substituting them to be zero.
 237 @c
 238 @c @end defun
 239
 240 @c THIS FUNCTION DOESN'T SEEM TO BE APPROPRIATE IN USER-LEVEL DOCUMENTATION
 241 @c PRESERVE THIS DESCRIPTION PENDING FURTHER DECISION
 242 @c @defun new-disrep (poly)
 243 @c
 244 @c From Lisp this returns the general Maxima format for an arg which is
 245 @c in st-rat form:
 246 @c
 247 @c @example
 248 @c (displa(new-disrep (setq me (st-rat #$x^2*u+y+1$))))
 249 @c
 250 @c        2
 251 @c y + u x  + 1
 252 @c @end example
 253 @c
 254 @c @end defun
 255
 256 @c -----------------------------------------------------------------------------
 257 @anchor{all_dotsimp_denoms}
 258 @defvr {Option variable} all_dotsimp_denoms
 259 Default value: @code{false}
 260
 261 When @code{all_dotsimp_denoms} is a list, the denominators encountered by
 262 @mref{dotsimp} are appended to the list.  @code{all_dotsimp_denoms} may be
 263 initialized to an empty list @code{[]} before calling @code{dotsimp}.
 264
 265 By default, denominators are not collected by @code{dotsimp}.
 266 @end defvr
 267
 268 @c --- End of file affine.de.texi ----------------------------------------------
 269