doc/info/de/romberg.de.texi

   1 @c -----------------------------------------------------------------------------
   2 @c File     : romberg.de.texi
   3 @c License  : GNU General Public License (GPL)
   4 @c Language : German
   5 @c Original : romberg.texi revision 28.11.2007
   6 @c Date     : 08.11.2010
   7 @c Revision : 20.08.2011
   8 @c
   9 @c This file is part of Maxima -- GPL CAS based on DOE-MACSYMA
  10 @c -----------------------------------------------------------------------------
  11
  12 @menu
  13 * Functions and Variables for romberg::
  14 @end menu
  15
  16 @c -----------------------------------------------------------------------------
  17 @node Functions and Variables for romberg, , Top, Top
  18 @section Functions and Variables for romberg
  19 @c -----------------------------------------------------------------------------
  20
  21 @c -----------------------------------------------------------------------------
  22 @anchor{function_romberg}
  23 @deffn  {Function} romberg (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})
  24 @deffnx {Function} romberg (@var{F}, @var{a}, @var{b})
  25
  26 Computes a numerical integration by Romberg's method.
  27
  28 @code{romberg(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})} returns an estimate of
  29 the integral @code{integrate(@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{b})}.
  30 @var{expr} must be an expression which evaluates to a floating point value
  31 when @var{x} is bound to a floating point value.
  32
  33 @code{romberg(@var{F}, @var{a}, @var{b})} returns an estimate of the integral
  34 @code{integrate(@var{F}(x), x, @var{a}, @var{b})} where @code{x} represents the
  35 unnamed, sole argument of @var{F}; the actual argument is not named @code{x}.
  36 @var{F} must be a Maxima or Lisp function which returns a floating point value
  37 when the argument is a floating point value.  @var{F} may name a translated or
  38 compiled Maxima function.
  39
  40 The accuracy of @code{romberg} is governed by the global variables
  41 @mref{rombergabs} and @mrefdot{rombergtol}  @code{romberg} terminates
  42 successfully when the absolute difference between successive approximations is
  43 less than @code{rombergabs}, or the relative difference in successive
  44 approximations is less than @code{rombergtol}.  Thus when @code{rombergabs} is
  45 @code{0.0} (the default) only the relative error test has any effect on
  46 @code{romberg}.
  47
  48 @code{romberg} halves the stepsize at most @mref{rombergit} times before it
  49 gives up; the maximum number of function evaluations is therefore
  50 @code{2^rombergit}.  If the error criterion established by @code{rombergabs}
  51 and @code{rombergtol} is not satisfied, @code{romberg} prints an error message.
  52 @code{romberg} always makes at least @mref{rombergmin} iterations; this is a
  53 heuristic intended to prevent spurious termination when the integrand is
  54 oscillatory.
  55
  56 @code{romberg} repeatedly evaluates the integrand after binding the variable
  57 of integration to a specific value (and not before).  This evaluation policy
  58 makes it possible to nest calls to @code{romberg}, to compute multidimensional
  59 integrals.  However, the error calculations do not take the errors of nested
  60 integrations into account, so errors may be underestimated.  Also, methods
  61 devised especially for multidimensional problems may yield the same accuracy
  62 with fewer function evaluations.
  63
  64 @code{load("romberg")} loads this function.
  65
  66 See also @ref{Einf@"uhrung in QUADPACK}, a collection of numerical integration
  67 functions.
  68
  69 Examples:
  70
  71 A 1-dimensional integration.
  72
  73 @example
  74 (%i1) load ("romberg");
  75 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
  76 (%i2) f(x) := 1/((x - 1)^2 + 1/100) + 1/((x - 2)^2 + 1/1000)
  77               + 1/((x - 3)^2 + 1/200);
  78 @group
  79                     1                 1                1
  80 (%o2) f(x) := -------------- + --------------- + --------------
  81                      2    1           2    1            2    1
  82               (x - 1)  + ---   (x - 2)  + ----   (x - 3)  + ---
  83                          100              1000              200
  84 @end group
  85 (%i3) rombergtol : 1e-6;
  86 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
  87 (%i4) rombergit : 15;
  88 (%o4)                          15
  89 (%i5) estimate : romberg (f(x), x, -5, 5);
  90 (%o5)                   173.6730736617464
  91 (%i6) exact : integrate (f(x), x, -5, 5);
  92 (%o6) 10 sqrt(10) atan(70 sqrt(10))
  93  + 10 sqrt(10) atan(30 sqrt(10)) + 10 sqrt(2) atan(80 sqrt(2))
  94  + 10 sqrt(2) atan(20 sqrt(2)) + 10 atan(60) + 10 atan(40)
  95 (%i7) abs (estimate - exact) / exact, numer;
  96 (%o7)                7.5527060865060088E-11
  97 @end example
  98
  99 A 2-dimensional integration, implemented by nested calls to @code{romberg}.
 100
 101 @example
 102 (%i1) load ("romberg");
 103 (%o1)    /usr/share/maxima/5.11.0/share/numeric/romberg.lisp
 104 (%i2) g(x, y) := x*y / (x + y);
 105                                     x y
 106 (%o2)                   g(x, y) := -----
 107                                    x + y
 108 (%i3) rombergtol : 1e-6;
 109 (%o3)                 9.9999999999999995E-7
 110 (%i4) estimate : romberg (romberg (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 111 (%o4)                   0.81930239628356
 112 (%i5) assume (x > 0);
 113 (%o5)                        [x > 0]
 114 (%i6) integrate (integrate (g(x, y), y, 0, x/2), x, 1, 3);
 115                                           3
 116                                     2 log(-) - 1
 117                     9                     2        9
 118 (%o6)       - 9 log(-) + 9 log(3) + ------------ + -
 119                     2                    6         2
 120 (%i7) exact : radcan (%);
 121                     26 log(3) - 26 log(2) - 13
 122 (%o7)             - --------------------------
 123                                 3
 124 (%i8) abs (estimate - exact) / exact, numer;
 125 (%o8)                1.3711979871851024E-10
 126 @end example
 127 @end deffn
 128
 129 @c -----------------------------------------------------------------------------
 130 @anchor{rombergabs}
 131 @defvr {Option variable} rombergabs
 132 Default value: @code{0.0}
 133
 134 The accuracy of @mref{romberg} is governed by the global variables
 135 @code{rombergabs} and @mrefdot{rombergtol}  @code{romberg} terminates
 136 successfully when the absolute difference between successive approximations is
 137 less than @code{rombergabs}, or the relative difference in successive
 138 approximations is less than @code{rombergtol}.  Thus when @code{rombergabs} is
 139 @code{0.0} (the default) only the relative error test has any effect on
 140 @code{romberg}.
 141
 142 See also @mref{rombergit} and @mrefdot{rombergmin}
 143 @end defvr
 144
 145 @c -----------------------------------------------------------------------------
 146 @anchor{rombergit}
 147 @defvr {Option variable} rombergit
 148 Default value: @code{11}
 149
 150 @mref{romberg} halves the stepsize at most @code{rombergit} times before it
 151 gives up; the maximum number of function evaluations is therefore
 152 @code{2^rombergit}.  @code{romberg} always makes at least @mref{rombergmin}@w{}
 153 iterations; this is a heuristic intended to prevent spurious termination when
 154 the integrand is oscillatory.
 155
 156 See also @mref{rombergabs} and @mrefdot{rombergtol}
 157 @end defvr
 158
 159 @c -----------------------------------------------------------------------------
 160 @anchor{rombergmin}
 161 @defvr {Option variable} rombergmin
 162 Default value: @code{0}
 163
 164 @mref{romberg} always makes at least @code{rombergmin} iterations; this is a
 165 heuristic intended to prevent spurious termination when the integrand is
 166 oscillatory.
 167
 168 See also @mrefcomma{rombergit} @mrefcomma{rombergabs} and @mrefdot{rombergtol}
 169 @end defvr
 170
 171 @c -----------------------------------------------------------------------------
 172 @anchor{rombergtol}
 173 @defvr {Option variable} rombergtol
 174 Default value: @code{1e-4}
 175
 176 The accuracy of @mref{romberg} is governed by the global variables
 177 @mref{rombergabs} and @code{rombergtol}.  @code{romberg} terminates successfully
 178 when the absolute difference between successive approximations is less than
 179 @code{rombergabs}, or the relative difference in successive approximations is
 180 less than @code{rombergtol}.  Thus when @code{rombergabs} is @code{0.0} (the
 181 default) only the relative error test has any effect on @code{romberg}.
 182
 183 See also @mref{rombergit} and @mrefdot{rombergmin}
 184 @end defvr
 185
 186 @c --- End of file romberg.de.texi ---------------------------------------------
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