doc/info/es/lapack.texi

   1 @c English version 2011-07-15
   2 @menu
   3 * Introducción a lapack::
   4 * Funciones y variables para lapack::
   5 @end menu
   6
   7 @node Introducción a lapack, Funciones y variables para lapack, lapack, lapack
   8 @section Introducción a lapack
   9
  10 @code{lapack} es una traducción automática a Common Lisp (con el programa @code{f2c})
  11 de la librería LAPACK escrita en Fortran.
  12
  13
  14 @node Funciones y variables para lapack, , Introducción a lapack, lapack
  15 @section Funciones y variables para lapack
  16
  17 @deffn {Función} dgeev (@var{A})
  18 @deffnx {Función} dgeev (@var{A}, @var{right_p}, @var{left_p})
  19
  20 Calcula los autovalores y, opcionalmente, también los autovectores de la matriz @var{A}.
  21 Todos los elementos de @var{A} deben ser enteros o números decimales en coma flotante.
  22 Además, @var{A} debe ser cuadrada (igual número de filas que de columnas) y puede
  23 ser o no simétrica.
  24
  25 @code{dgeev(@var{A})} calcula sólo los autovalores de @var{A}.
  26 @code{dgeev(@var{A}, @var{right_p}, @var{left_p})} calcula los autovalores de @var{A}
  27 y los autovectores por la derecha cuando @math{@var{right_p} = @code{true}}, y
  28 los autovectores por la izquierda cuando @math{@var{left_p} = @code{true}}.
  29
  30 La función devuelve una lista de tres elementos.
  31 El primer elemento es una lista con los autovalores.
  32 El segundo elemento es @code{false} o la matriz de autovectores por la derecha.
  33 El tercer elemento es @code{false} o la matriz de autovectores por la izquierda.
  34
  35 El autovector por la derecha @math{v(j)} (la @math{j}-ésima columna de la matriz de
  36 autovectores por la derecha) satisface
  37
  38 @math{A . v(j) = lambda(j) . v(j)}
  39
  40 donde @math{lambda(j)} es su autovalor asociado.
  41
  42 El autovector por la izquierda @math{u(j)} (la @math{j}-ésima columna de la matriz de
  43 autovectores por la izquierda) satisface
  44
  45 @math{u(j)**H . A = lambda(j) . u(j)**H}
  46
  47 donde @math{u(j)**H} denota la transpuesta conjugada de @math{u(j)}.
  48
  49 La función de Maxima @code{ctranspose} calcula la transpuesta conjugada.
  50
  51 Los autovectores calculados están normalizados para que su norma
  52 euclídea valga 1 y su componente mayor tenga su parte
  53 imaginaria igual a cero.
  54
  55 Ejemplo:
  56
  57 @c ===beg===
  58 @c load ("lapack")$
  59 @c fpprintprec : 6;
  60 @c M : matrix ([9.5, 1.75], [3.25, 10.45]);
  61 @c dgeev (M);
  62 @c [L, v, u] : dgeev (M, true, true);
  63 @c D : apply (diag_matrix, L);
  64 @c M . v - v . D;
  65 @c transpose (u) . M - D . transpose (u);
  66 @c ===end===
  67 @example
  68 (%i1) load ("lapack")$
  69 (%i2) fpprintprec : 6;
  70 (%o2)                           6
  71 (%i3) M : matrix ([9.5, 1.75], [3.25, 10.45]);
  72                          [ 9.5   1.75  ]
  73 (%o3)                    [             ]
  74                          [ 3.25  10.45 ]
  75 (%i4) dgeev (M);
  76 (%o4)          [[7.54331, 12.4067], false, false]
  77 (%i5) [L, v, u] : dgeev (M, true, true);
  78                            [ - .666642  - .515792 ]
  79 (%o5) [[7.54331, 12.4067], [                      ],
  80                            [  .745378   - .856714 ]
  81                                         [ - .856714  - .745378 ]
  82                                         [                      ]]
  83                                         [  .515792   - .666642 ]
  84 (%i6) D : apply (diag_matrix, L);
  85                       [ 7.54331     0    ]
  86 (%o6)                 [                  ]
  87                       [    0     12.4067 ]
  88 (%i7) M . v - v . D;
  89                 [      0.0       - 8.88178E-16 ]
  90 (%o7)           [                              ]
  91                 [ - 8.88178E-16       0.0      ]
  92 (%i8) transpose (u) . M - D . transpose (u);
  93                      [ 0.0  - 4.44089E-16 ]
  94 (%o8)                [                    ]
  95                      [ 0.0       0.0      ]
  96 @end example
  97 @end deffn
  98
  99
 100
 101 @deffn {Función} dgeqrf (@var{A})
 102
 103 Calcula la descomposición QR de la matriz @var{A}.
 104 Todos los elementos de @var{A} deben ser enteros o números
 105 reales. No es necesario que @var{A} tenga
 106 el mismo número de filas que de columnas.
 107
 108 La función devuelve una lista con dos elementos; el primero es
 109 la matriz cuadrada ortonormal @var{Q}, con el mismo número de
 110 filas que @var{A}, y el segundo es la matriz triangular superior @var{R},
 111 de iguales dimensiones que @var{A}. El producto @code{@var{Q} . @var{R}},
 112 siendo "." el operador de la multiplicación matricial, es igual a
 113 @var{A}, ignorando errores de redondeo.
 114
 115 @c ===beg===
 116 @c load ("lapack")$
 117 @c fpprintprec : 6;
 118 @c M : matrix ([1, -3.2, 8], [-11, 2.7, 5.9]);
 119 @c [q, r] : dgeqrf (M);
 120 @c q . r - M;
 121 @c mat_norm (%);
 122 @c ===end===
 123 @example
 124 (%i1) load ("lapack") $
 125 (%i2) fpprintprec : 6 $
 126 (%i3) M : matrix ([1, -3.2, 8], [-11, 2.7, 5.9]) $
 127 (%i4) [q, r] : dgeqrf (M);
 128        [ - .0905357  .995893  ]
 129 (%o4) [[                      ],
 130        [  .995893    .0905357 ]
 131                                [ - 11.0454   2.97863   5.15148 ]
 132                                [                               ]]
 133                                [     0      - 2.94241  8.50131 ]
 134 (%i5) q . r - M;
 135          [ - 7.77156E-16   1.77636E-15   - 8.88178E-16 ]
 136 (%o5)    [                                             ]
 137          [      0.0       - 1.33227E-15   8.88178E-16  ]
 138 (%i6) mat_norm (%, 1);
 139 (%o6)                      3.10862E-15
 140 @end example
 141
 142 @end deffn
 143
 144
 145
 146
 147 @deffn {Función} dgesv (@var{A}, @var{b})
 148
 149 Calcula la solución @var{x} de la ecuación @math{@var{A} @var{x} = @var{b}},
 150 siendo @var{A} una matriz cuadrada y @var{b} otra matriz con el mismo
 151 número de filas que @var{A} y un número arbitrario de columnas. Las
 152 dimensiones de la solución @var{x} son las mismas de @var{b}.
 153
 154 Los elementos de @var{A} y @var{b} deben ser reducibles a números decimales
 155 si se les aplica la función @code{float}, por lo que tales elementos
 156 pueden en principio ser de cualquier tipo numérico, constantes numéricas
 157 simbólicas o cualesquiera expresiones reducibles a un número decimal.
 158 Los elementos de @var{x} son siempre números decimales. Todas las
 159 operaciones aritméticas se realizan en coma flotante.
 160
 161 @code{dgesv} calcula la solución mediante la descomposición LU de @var{A}.
 162
 163 Ejemplos:
 164
 165 @code{dgesv} calcula la solución @var{x} de la ecuación
 166 @math{@var{A} @var{x} = @var{b}}.
 167
 168 @c ===beg===
 169 @c A : matrix ([1, -2.5], [0.375, 5]);
 170 @c b : matrix ([1.75], [-0.625]);
 171 @c x : dgesv (A, b);
 172 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
 173 @c ===end===
 174 @example
 175 (%i1) A : matrix ([1, -2.5], [0.375, 5]);
 176                                [   1    - 2.5 ]
 177 (%o1)                          [              ]
 178                                [ 0.375    5   ]
 179 (%i2) b : matrix ([1.75], [-0.625]);
 180                                   [  1.75   ]
 181 (%o2)                             [         ]
 182                                   [ - 0.625 ]
 183 (%i3) x : dgesv (A, b);
 184                             [  1.210526315789474  ]
 185 (%o3)                       [                     ]
 186                             [ - 0.215789473684211 ]
 187 (%i4) dlange (inf_norm, b - A.x);
 188 (%o4)                                 0.0
 189 @end example
 190
 191 @var{b} una matriz con el mismo número de filas que @var{A}
 192 y un número arbitrario de columnas. Las dimensiones de
 193 @var{x} son las mismas de @var{b}.
 194
 195 @c ===beg===
 196 @c A : matrix ([1, -0.15], [1.82, 2]);
 197 @c b : matrix ([3.7, 1, 8], [-2.3, 5, -3.9]);
 198 @c x : dgesv (A, b);
 199 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
 200 @c ===end===
 201 @example
 202 (%o0)                                done
 203 (%i1) A : matrix ([1, -0.15], [1.82, 2]);
 204                                [  1    - 0.15 ]
 205 (%o1)                          [              ]
 206                                [ 1.82    2    ]
 207 (%i2) b : matrix ([3.7, 1, 8], [-2.3, 5, -3.9]);
 208                               [  3.7   1    8   ]
 209 (%o2)                         [                 ]
 210                               [ - 2.3  5  - 3.9 ]
 211 (%i3) x : dgesv (A, b);
 212         [  3.103827540695117   1.20985481742191    6.781786185657722  ]
 213 (%o3)   [                                                             ]
 214         [ - 3.974483062032557  1.399032116146062  - 8.121425428948527 ]
 215 (%i4) dlange (inf_norm, b - A . x);
 216 (%o4)                       1.1102230246251565E-15
 217 @end example
 218
 219 Los elementos de @var{A} y @var{b} deben ser reducibles a números decimales.
 220
 221 @c ===beg===
 222 @c A : matrix ([5, -%pi], [1b0, 11/17]);
 223 @c b : matrix ([%e], [sin(1)]);
 224 @c x : dgesv (A, b);
 225 @c dlange (inf_norm, b - A . x);
 226 @c ===end===
 227 @example
 228 (%i1) A : matrix ([5, -%pi], [1b0, 11/17]);
 229                                [   5    - %pi ]
 230                                [              ]
 231 (%o1)                          [         11   ]
 232                                [ 1.0b0   --   ]
 233                                [         17   ]
 234 (%i2) b : matrix ([%e], [sin(1)]);
 235                                   [   %e   ]
 236 (%o2)                             [        ]
 237                                   [ sin(1) ]
 238 (%i3) x : dgesv (A, b);
 239                              [ 0.690375643155986 ]
 240 (%o3)                        [                   ]
 241                              [ 0.233510982552952 ]
 242 (%i4) dlange (inf_norm, b - A . x);
 243 (%o4)                        2.220446049250313E-16
 244 @end example
 245
 246 @end deffn
 247
 248
 249
 250
 251 @deffn {Función} dgesvd (@var{A})
 252 @deffnx {Función} dgesvd (@var{A}, @var{left_p}, @var{right_p})
 253
 254 Calcula la descomposición singular (SVD, en inglés) de la matriz @var{A},
 255 que contiene los valores singulares y, opcionalmente, los vectores singulares por
 256 la derecha o por la izquierda. Todos los elementos de @var{A} deben ser enteros o
 257 números decimales en coma flotante. La matriz @var{A} puede ser cuadrada o no
 258 (igual número de filas que de columnas).
 259
 260 Sea @math{m} el número de filas y @math{n} el de columnas de @var{A}.
 261 La descomposición singular de @var{A} consiste en calcular tres matrices:
 262 @var{U}, @var{Sigma} y @var{V^T}, tales que
 263
 264 @c @math{@var{A} = @var{U} . @var{Sigma} . @var{V^T}}
 265 @math{@var{A} = @var{U} . @var{Sigma} . @var{V}^T}
 266
 267 donde @var{U} es una matriz unitaria @math{m}-por-@math{m},
 268 @var{Sigma} es una matriz diagonal @math{m}-por-@math{n} y
 269 @var{V^T} es una matriz unitaria @math{n}-por-@math{n}.
 270
 271 Sea @math{sigma[i]} un elemento diagonal de @math{Sigma}, esto es,
 272 @math{@var{Sigma}[i, i] = @var{sigma}[i]}. Los elementos @math{sigma[i]}
 273 se llaman valores singulares de @var{A}, los cuales son reales y no negativos,
 274 siendo devueltos por la función @code{dgesvd} en orden descendente.
 275
 276 Las primeras @math{min(m, n)} columnas de @var{U} y @var{V} son los vectores
 277 singulares izquierdo y derecho de @var{A}. Nótese que @code{dgesvd}
 278 devuelve la transpuesta de @var{V}, no la propia matriz @var{V}.
 279
 280 @code{dgesvd(@var{A})} calcula únicamente los valores singulares de @var{A}.
 281 @code{dgesvd(@var{A}, @var{left_p}, @var{right_p})} calcula los valores singulares
 282 de @var{A} y los vectores sigulares por la izquierda cuando @math{@var{left_p} = @code{true}},
 283 y los vectores sigulares por la derecha cuando @math{@var{right_p} = @code{true}}.
 284
 285 La función devuelve una lista de tres elementos.
 286 El primer elemento es una lista con los valores singulares.
 287 El segundo elemento es @code{false} o la matriz de vectores singulares por la izquierda.
 288 El tercer elemento es @code{false} o la matriz de vectores singulares por la derecha.
 289
 290 Ejemplo:
 291
 292 @c ===beg===
 293 @c load ("lapack")$
 294 @c fpprintprec : 6;
 295 @c M: matrix([1, 2, 3], [3.5, 0.5, 8], [-1, 2, -3], [4, 9, 7]);
 296 @c dgesvd (M);
 297 @c [sigma, U, VT] : dgesvd (M, true, true);
 298 @c m : length (U);
 299 @c n : length (VT);
 300 @c Sigma:
 301 @c   genmatrix(lambda ([i, j], if i=j then sigma[i] else 0),
 302 @c             m, n);
 303 @c U . Sigma . VT - M;
 304 @c transpose (U) . U;
 305 @c VT . transpose (VT);
 306 @c ===end===
 307 @example
 308 (%i1) load ("lapack")$
 309 (%i2) fpprintprec : 6;
 310 (%o2)                           6
 311 (%i3) M: matrix([1, 2, 3], [3.5, 0.5, 8], [-1, 2, -3], [4, 9, 7]);
 312                         [  1    2    3  ]
 313                         [               ]
 314                         [ 3.5  0.5   8  ]
 315 (%o3)                   [               ]
 316                         [ - 1   2   - 3 ]
 317                         [               ]
 318                         [  4    9    7  ]
 319 (%i4) dgesvd (M);
 320 (%o4)      [[14.4744, 6.38637, .452547], false, false]
 321 (%i5) [sigma, U, VT] : dgesvd (M, true, true);
 322 (%o5) [[14.4744, 6.38637, .452547],
 323 [ - .256731  .00816168   .959029    - .119523 ]
 324 [                                             ]
 325 [ - .526456   .672116   - .206236   - .478091 ]
 326 [                                             ],
 327 [  .107997   - .532278  - .0708315  - 0.83666 ]
 328 [                                             ]
 329 [ - .803287  - .514659  - .180867    .239046  ]
 330 [ - .374486  - .538209  - .755044 ]
 331 [                                 ]
 332 [  .130623   - .836799   0.5317   ]]
 333 [                                 ]
 334 [ - .917986   .100488    .383672  ]
 335 (%i6) m : length (U);
 336 (%o6)                           4
 337 (%i7) n : length (VT);
 338 (%o7)                           3
 339 (%i8) Sigma:
 340         genmatrix(lambda ([i, j], if i=j then sigma[i] else 0),
 341                   m, n);
 342                   [ 14.4744     0        0    ]
 343                   [                           ]
 344                   [    0     6.38637     0    ]
 345 (%o8)             [                           ]
 346                   [    0        0     .452547 ]
 347                   [                           ]
 348                   [    0        0        0    ]
 349 (%i9) U . Sigma . VT - M;
 350           [  1.11022E-15        0.0       1.77636E-15 ]
 351           [                                           ]
 352           [  1.33227E-15    1.66533E-15       0.0     ]
 353 (%o9)     [                                           ]
 354           [ - 4.44089E-16  - 8.88178E-16  4.44089E-16 ]
 355           [                                           ]
 356           [  8.88178E-16    1.77636E-15   8.88178E-16 ]
 357 (%i10) transpose (U) . U;
 358        [     1.0      5.55112E-17    2.498E-16     2.77556E-17  ]
 359        [                                                        ]
 360        [ 5.55112E-17      1.0       5.55112E-17    4.16334E-17  ]
 361 (%o10) [                                                        ]
 362        [  2.498E-16   5.55112E-17       1.0       - 2.08167E-16 ]
 363        [                                                        ]
 364        [ 2.77556E-17  4.16334E-17  - 2.08167E-16       1.0      ]
 365 (%i11) VT . transpose (VT);
 366           [      1.0           0.0      - 5.55112E-17 ]
 367           [                                           ]
 368 (%o11)    [      0.0           1.0       5.55112E-17  ]
 369           [                                           ]
 370           [ - 5.55112E-17  5.55112E-17       1.0      ]
 371 @end example
 372
 373
 374 @end deffn
 375
 376 @deffn {Función} dlange (@var{norm}, @var{A})
 377 @deffnx {Función} zlange (@var{norm}, @var{A})
 378
 379 Calcula una norma o seudonorma de la matriz @var{A}.
 380
 381 @table @code
 382 @item max
 383 Calcula @math{max(abs(A(i, j)))}, siendo @math{i} y @math{j} números de filas
 384 y columnas, respectivamente, de @var{A}.
 385 Nótese que esta función no es una norma matricial.
 386 @item one_norm
 387 Calcula la norma @math{L[1]} de @var{A},
 388 esto es, el máximo de la suma de los valores absolutos de los elementos de cada columna.
 389 @item inf_norm
 390 Calcula la norma @math{L[inf]} de @var{A},
 391 esto es, el máximo de la suma de los valores absolutos de los elementos de cada fila.
 392 @item frobenius
 393 Calcula la norma de Frobenius de @var{A},
 394 esto es, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos de
 395 la matriz.
 396 @end table
 397 @end deffn
 398
 399
 400 @deffn {Función} dgemm (@var{A}, @var{B})
 401 @deffnx {Función} dgemm (@var{A}, @var{B}, @var{options})
 402 Calcula el producto de dos matrices y, opcionalmente, suma este producto
 403 con una tercera matriz.
 404
 405 En su forma más simple, @code{dgemm(@var{A}, @var{B})} calcula el
 406 producto de las matrices reales @var{A} y @var{B}.
 407
 408 En la segunda forma, @code{dgemm} calcula @math{@var{alpha} *
 409 @var{A} * @var{B} + @var{beta} * @var{C}}, donde @var{A}, @var{B} y
 410 @var{C} son matrices reales de dimensiones apropiadas, siendo @var{alpha}
 411 y @var{beta} números reales. De forma opcional, tanto @var{A} como @var{B}
 412 pueden transponerse antes de calcular su producto. Los parámetros adicionales
 413 se pueden especificar en cualquier orden, siendo su sintaxis de la forma
 414 @code{clave=valor}. Las claves reconocidas son:
 415
 416 @table @code
 417 @item C
 418 La matriz @var{C} que debe ser sumada. El valor por defecto es @code{false},
 419 lo que significa que no se sumará ninguna matriz.
 420 @item alpha
 421 El producto de @var{A} por @var{B} se multiplicará por este vaalor. El valor
 422 por defecto es 1.
 423 @item beta
 424 Si se da la matriz @var{C}, se multiplicará por este valor antes de ser sumada.
 425 El valor por defecto es 0, lo que significa que @var{C} no se suma, incluso estando
 426 presente. Por lo tanto, téngase cuidado en especificar un valor no nulo para @var{beta}.
 427 @item transpose_a
 428 Si toma el valor @code{true}, se utilizará la transpuesta de @var{A}, en lugar de la
 429 propia matriz @var{A}, en el producto. El valor por defecto es @code{false}.
 430 @item transpose_b
 431 Si toma el valor @code{true}, se utilizará la transpuesta de @var{B}, en lugar de la
 432 propia matriz @var{B}, en el producto. El valor por defecto es @code{false}.
 433 @end table
 434
 435 @c ===beg===
 436 @c load ("lapack")$
 437 @c A : matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
 438 @c B : matrix([-1,-2,-3],[-4,-5,-6],[-7,-8,-9]);
 439 @c C : matrix([3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]);
 440 @c dgemm(A,B);
 441 @c A . B;
 442 @c dgemm(A,B,transpose_a=true);
 443 @c transpose(A) . B;
 444 @c dgemm(A,B,c=C,beta=1);
 445 @c A . B + C;
 446 @c dgemm(A,B,c=C,beta=1, alpha=-1);
 447 @c -A . B + C
 448 @example
 449 (%i1) load ("lapack")$
 450 (%i2) A : matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);
 451                                   [ 1  2  3 ]
 452                                   [         ]
 453 (%o2)                             [ 4  5  6 ]
 454                                   [         ]
 455                                   [ 7  8  9 ]
 456 (%i3) B : matrix([-1,-2,-3],[-4,-5,-6],[-7,-8,-9]);
 457                                [ - 1  - 2  - 3 ]
 458                                [               ]
 459 (%o3)                          [ - 4  - 5  - 6 ]
 460                                [               ]
 461                                [ - 7  - 8  - 9 ]
 462 (%i4) C : matrix([3,2,1],[6,5,4],[9,8,7]);
 463                                   [ 3  2  1 ]
 464                                   [         ]
 465 (%o4)                             [ 6  5  4 ]
 466                                   [         ]
 467                                   [ 9  8  7 ]
 468 (%i5) dgemm(A,B);
 469                          [ - 30.0   - 36.0   - 42.0  ]
 470                          [                           ]
 471 (%o5)                    [ - 66.0   - 81.0   - 96.0  ]
 472                          [                           ]
 473                          [ - 102.0  - 126.0  - 150.0 ]
 474 (%i6) A . B;
 475                             [ - 30   - 36   - 42  ]
 476                             [                     ]
 477 (%o6)                       [ - 66   - 81   - 96  ]
 478                             [                     ]
 479                             [ - 102  - 126  - 150 ]
 480 (%i7) dgemm(A,B,transpose_a=true);
 481                          [ - 66.0  - 78.0   - 90.0  ]
 482                          [                          ]
 483 (%o7)                    [ - 78.0  - 93.0   - 108.0 ]
 484                          [                          ]
 485                          [ - 90.0  - 108.0  - 126.0 ]
 486 (%i8) transpose(A) . B;
 487                            [ - 66  - 78   - 90  ]
 488                            [                    ]
 489 (%o8)                      [ - 78  - 93   - 108 ]
 490                            [                    ]
 491                            [ - 90  - 108  - 126 ]
 492 (%i9) dgemm(A,B,c=C,beta=1);
 493                          [ - 27.0  - 34.0   - 41.0  ]
 494                          [                          ]
 495 (%o9)                    [ - 60.0  - 76.0   - 92.0  ]
 496                          [                          ]
 497                          [ - 93.0  - 118.0  - 143.0 ]
 498 (%i10) A . B + C;
 499                             [ - 27  - 34   - 41  ]
 500                             [                    ]
 501 (%o10)                      [ - 60  - 76   - 92  ]
 502                             [                    ]
 503                             [ - 93  - 118  - 143 ]
 504 (%i11) dgemm(A,B,c=C,beta=1, alpha=-1);
 505                             [ 33.0   38.0   43.0  ]
 506                             [                     ]
 507 (%o11)                      [ 72.0   86.0   100.0 ]
 508                             [                     ]
 509                             [ 111.0  134.0  157.0 ]
 510 (%i12) -A . B + C;
 511                                [ 33   38   43  ]
 512                                [               ]
 513 (%o12)                         [ 72   86   100 ]
 514                                [               ]
 515                                [ 111  134  157 ]
 516
 517 @end example
 518 @end deffn
 519
 520