doc/info/fr/Symmetries.texi

   1 @c end concepts Symmetries
   2 @menu
   3 * Definitions for Symmetries::
   4 @end menu
   5
   6 @node Definitions for Symmetries,  , Symmetries, Symmetries
   7 @section Definitions for Symmetries
   8
   9 @deffn {Function} comp2pui (@var{n}, @var{l})
  10 re'alise le passage des fonctions syme'triques
  11 comple`tes, donnee's dans la liste @var{l}, aux fonctions
  12 syme'triques e'le'mentaires de 0 a` @var{n}. Si la liste
  13 @var{l} contient moins de @code{@var{n}+1} e'le'ments les valeurs formelles viennent
  14 la completer. Le premier e'le'ment de la liste @var{l} donne le cardinal
  15 de l'alphabet si il existe, sinon on le met e'gal a @var{n}.
  16
  17 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
  18 @c comp2pui (3, [4, g]);
  19 @example
  20 (%i1) comp2pui (3, [4, g]);
  21                         2                    2
  22 (%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]
  23 @end example
  24
  25 @end deffn
  26
  27 @deffn {Function} cont2part (@var{pc}, @var{lvar})
  28 rend le polyno^me partitionne' associe'
  29 a` la forme  contracte'e @var{pc} dont les variables sont dans @var{lvar}.
  30
  31 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
  32 @c pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
  33 @c cont2part (pc, [x, y]);
  34 @example
  35 (%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
  36                            3    4      5
  37 (%o1)                   2 a  b x  y + x
  38 (%i2) cont2part (pc, [x, y]);
  39                                    3
  40 (%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]
  41 @end example
  42
  43 @noindent
  44 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
  45
  46 @code{contract}, @code{explose}, @code{part2cont}, @code{partpol}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}.
  47
  48
  49 @end deffn
  50
  51 @deffn {Function} contract (@var{psym}, @var{lvar})
  52 rend une forme contracte'e (i.e. un mono^me
  53 par orbite sous l'action du groupe syme'trique) du polyno^me @var{psym}
  54 en les variables contenues dans la liste @var{lvar}. La fonction @code{explose}
  55 re'alise l'ope'ration inverse. La fonction @code{tcontract} teste en plus
  56 la syme'trie du polyno^me.
  57
  58 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
  59 @c psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
  60 @c contract (psym, [x, y, z]);
  61 @example
  62 (%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
  63          3      4      3      4      3    4        3    4
  64 (%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z
  65
  66                                            3      4      3    4
  67                                       + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
  68 (%i2) contract (psym, [x, y, z]);
  69                               3    4
  70 (%o2)                      2 a  b x  y
  71 @end example
  72
  73 @noindent
  74 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
  75
  76 @code{cont2part}, @code{explose}, @code{part2cont}, @code{partpol}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}.
  77
  78
  79 @end deffn
  80
  81 @deffn {Function} direct ([@var{p_1}, ..., @var{p_n}], @var{y}, @var{f}, [@var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}])
  82 calcul l'image
  83 directe (voir M. GIUSTI, D. LAZARD et A. VALIBOUZE, ISSAC 1988, Rome)
  84 associe'e a` la fonction @var{f}, en les listes de variables @var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n},
  85 et aux polyno^mes @var{p_1}, ..., @var{p_n} d'une variable @var{y}. l'arite' de la fonction
  86 @var{f} est importante pour le calcul. Ainsi, si l'expression de @var{f} ne depend
  87 pas d'une variable, non seulement il est inutile de donner cette
  88 variable mais cela diminue conside'rablement lees calculs si on ne le
  89 fait pas.
  90
  91 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
  92 @c direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
  93 @c               z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
  94 @c ratsimp (%);
  95 @c ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
  96 @c               z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
  97 @example
  98 (%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
  99               z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
 100        2
 101 (%o1) y  - e1 f1 y
 102
 103                                  2            2             2   2
 104                   - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
 105                 + -----------------------------------------------
 106                                          2
 107 (%i2) ratsimp (%);
 108               2                2                   2
 109 (%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1
 110 (%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
 111               z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
 112        6            5         2                        2    2   4
 113 (%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y
 114
 115                           3                               3   3
 116  + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y
 117
 118          2       2        4    2
 119  + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2
 120
 121                     2       2       2                   2    4
 122  + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )
 123
 124   2          2                      2     3          2
 125  y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2
 126
 127                  2            2    3                5
 128  + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y
 129
 130            2                   3           3     2   2    3
 131  + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2
 132
 133          2      3                   3    2   2
 134  + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2
 135
 136                    2    4        2   6
 137  + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1
 138 @end example
 139
 140 Recherche du polyno^me dont les racines sont les somme a+u ou a est
 141 racine de z^2  - e1* z + e2 et u est racine de z^2  - f1* z + f2
 142
 143 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 144 @c ratsimp (direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
 145 @c                           z, a + u, [[u], [a]]));
 146 @example
 147 (%i1) ratsimp (direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
 148                           z, a + u, [[u], [a]]));
 149        4                    3             2
 150 (%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2
 151
 152      2   2                              2               2
 153  + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1
 154
 155                   2                     2            2
 156  - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1
 157
 158      2
 159  + e2
 160 @end example
 161
 162 @code{direct} peut prendre deux drapeaux possibles : @code{elementaires} et
 163 @code{puissances} (valeur par de'faut) qui permettent de de'composer
 164 les polyno^mes syme'triques apparaissant dans ce calcul par
 165 les fonctions syme'triques e'le'mentaires ou les fonctions puissances
 166 respectivement.
 167
 168 Fonctions de @code{sym} utilis'ees dans cette fonction :
 169
 170 @code{multi_orbit} (donc @code{orbit}), @code{pui_direct}, @code{multi_elem}
 171 (donc @code{elem}), @code{multi_pui} (donc @code{pui}), @code{pui2ele}, @code{ele2pui}
 172 (si le drapeau @code{direct} est a` @code{puissances}).
 173
 174 @end deffn
 175
 176 @deffn {Function} ele2comp (@var{m}, @var{l})
 177 passe des fonctions syme'triques e'le'mentaires
 178 aux fonctions comple`tes. Similaire a` @code{comp2ele} et @code{comp2pui}.
 179
 180 Autres fonctions de changements de bases :
 181
 182 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2pui}, @code{elem}, @code{mon2schur}, @code{multi_elem},
 183 @code{multi_pui}, @code{pui}, @code{pui2comp}, @code{pui2ele}, @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 184
 185 @end deffn
 186
 187 @deffn {Function} ele2polynome (@var{l}, @var{z})
 188 donne le polyno^me en @var{z} dont les fonctions
 189 syme'triques e'le'mentaires des racines sont dans la liste @var{l}.
 190 @code{@var{l} = [@var{n}, @var{e_1}, ..., @var{e_n}]} ou` @var{n} est le degre' du polyno^me
 191 et @var{e_i} la @var{i}-ie`me
 192 fonction syme'trique e'le'mentaire.
 193
 194 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 195 @c ele2polynome ([2, e1, e2], z);
 196 @c polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
 197 @c ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
 198 @example
 199 (%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
 200                           2
 201 (%o1)                    z  - e1 z + e2
 202 (%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
 203 (%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
 204 (%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
 205                   7       5       3
 206 (%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22
 207 @end example
 208
 209 @noindent
 210
 211 La re'ciproque: @code{polynome2ele (@var{P}, @var{z})}
 212
 213 Autres fonctions a` voir :
 214
 215 @code{polynome2ele}, @code{pui2polynome}.
 216
 217
 218 @end deffn
 219
 220 @deffn {Function} ele2pui (@var{m}, @var{l})
 221 passe des fonctions syme'triques e'le'mentaires
 222 aux fonctions comple`tes. Similaire a` @code{comp2ele} et @code{comp2pui}.
 223
 224 Autres fonctions de changements de bases :
 225
 226 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{elem}, @code{mon2schur}, @code{multi_elem},
 227 @code{multi_pui}, @code{pui}, @code{pui2comp}, @code{pui2ele}, @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 228
 229 @end deffn
 230
 231 @deffn {Function} elem (@var{ele}, @var{sym}, @var{lvar})
 232 de'compose le polyno^me syme'trique @var{sym}, en les variables
 233 contenues de la liste @var{lvar}, par les fonctions syme'triques e'le'mentaires
 234 contenues dans la liste @var{ele}. Si le premier e'le'ment de @var{ele} est donne'
 235 ce sera le cardinal de l'alphabet sinon on prendra le degre' du polyno^me
 236 @var{sym}. Si il manque des valeurs a` la liste @var{ele} des valeurs formelles
 237 du type "ei" sont rajoute'es. Le polyno^me @var{sym} peut etre donne'
 238 sous 3 formes diffe'rentes : contracte'e (@code{elem} doit alors valoir 1 sa valeur
 239 par de'faut), partitionne'e (@code{elem} doit alors valoir 3) ou e'tendue (i.e. le
 240 polyno^me en entier) (@code{elem} doit alors valoir 2). L'utilsation
 241 de la fonction @code{pui} se re'alise sur le me^me mode`le.
 242
 243 Sur un alphabet de cardinal 3 avec e1, la premie`re fonction syme'trique
 244 e'le'mentaire, valant 7, le polyno^me syme'trique en 3 variables dont
 245 la forme contracte'e (ne de'pendant ici que de deux de ses variables)
 246 est x^4-2*x*y se de'compose ainsi en les fonctions syme'triques
 247 e'le'mentaires :
 248
 249 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 250 @c elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
 251 @c ratsimp (%);
 252 @example
 253 (%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
 254 (%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3
 255
 256                                          + (- 2 (49 - e2) - 2) e2
 257 (%i2) ratsimp (%);
 258                               2
 259 (%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401
 260 @end example
 261
 262 @noindent
 263 Autres fonctions de changements de bases :
 264
 265 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{ele2pui},
 266 @code{mon2schur}, @code{multi_elem}, @code{multi_pui},
 267 @code{pui}, @code{pui2comp}, @code{pui2ele}, @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 268
 269
 270 @end deffn
 271
 272 @deffn {Function} explose (@var{pc}, @var{lvar})
 273 rend le polyno^me syme'trique associe' a` la forme
 274 contracte'e @var{pc}. La liste @var{lvar} contient les variables.
 275
 276 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 277 @c explose (a*x + 1, [x, y, z]);
 278 @example
 279 (%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
 280 (%o1)                  a z + a y + a x + 1
 281 @end example
 282
 283 @noindent
 284 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 285
 286 @code{contract}, @code{cont2part}, @code{part2cont}, @code{partpol}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}.
 287
 288 @end deffn
 289
 290 @deffn {Function} kostka (@var{part_1}, @var{part_2})
 291 e'crite par P. ESPERET, calcule le nombre de
 292 Kostka associe' aux partition @var{part_1} et @var{part_2}.
 293
 294 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 295 @c kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
 296 @example
 297 (%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
 298 (%o1)                           6
 299 @end example
 300
 301 @end deffn
 302
 303 @deffn {Function} lgtreillis (@var{n}, @var{m})
 304 rend la liste des partitions de poids @var{n} et de longueur @var{m}.
 305
 306 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 307 @c lgtreillis (4, 2);
 308 @example
 309 (%i1) lgtreillis (4, 2);
 310 (%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]
 311 @end example
 312
 313 Voir e'galement : @code{ltreillis}, @code{treillis} et @code{treinat}.
 314
 315
 316 @end deffn
 317
 318 @deffn {Function} ltreillis (@var{n}, @var{m})
 319 rend la liste des partitions de poids @var{n} et de longueur
 320 infe'rieure ou e'gale a` @var{m}.
 321
 322 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 323 @c ltreillis (4, 2);
 324 @example
 325 (%i1) ltreillis (4, 2);
 326 (%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]
 327 @end example
 328
 329 @noindent
 330 Voir e'galement : @code{lgtreillis}, @code{treillis} et @code{treinat}.
 331
 332 @end deffn
 333
 334 @c NOT REALLY HAPPY ABOUT MATH NOTATION HERE
 335 @deffn {Function} mon2schur (@var{l})
 336 la liste @var{l} repre'sente la fonction de Schur S_@var{l}:
 337  On a @var{l} = [@var{i_1}, @var{i_2}, ..., @var{i_q}]
 338 avec @var{i_1} <= @var{i_2} <= ... <= @var{i_q}.
 339 La fonction de Schur est S_[@var{i_1}, @var{i_2}, ..., @var{i_q}]
 340 est le mineur de la matrice infinie (h_@{i-j@}) @var{i} >= 1, @var{j} >= 1 compose'
 341 des q premie`res lignes et des colonnes @var{i_1} + 1, @var{i_2} + 2, ..., @var{i_q} + @var{q}.
 342
 343 On e'crit cette fonction de Schur en fonction des
 344 formes monomiales en utilisant les fonctions @code{treinat} et @code{kostka}. La forme
 345 rendue est un polyno^me syme'trique dans une de ses repre'sentations
 346 contracte'es avec les variables @var{x_1}, @var{x_2}, ....
 347
 348 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 349 @c mon2schur ([1, 1, 1]);
 350 @c mon2schur ([3]);
 351 @c mon2schur ([1, 2]);
 352 @example
 353 (%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
 354 (%o1)                       x1 x2 x3
 355 (%i2) mon2schur ([3]);
 356                                   2        3
 357 (%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1
 358 (%i3) mon2schur ([1, 2]);
 359                                       2
 360 (%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2
 361 @end example
 362
 363 @noindent
 364 ce qui veut dire que pour 3 variables cela donne :
 365
 366 @c UM, FROM WHAT ARGUMENTS WAS THE FOLLOWING GENERATED ??
 367 @example
 368    2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
 369     + x2^2 x3 + x3^2 x2
 370 @end example
 371
 372 @noindent
 373 Autres fonctions de changements de bases :
 374
 375 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{ele2pui}, @code{elem}, @code{multi_elem},
 376 @code{multi_pui}, @code{pui}, @code{pui2comp}, @code{pui2ele}, @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 377
 378 @end deffn
 379
 380 @deffn {Function} multi_elem (@var{l_elem}, @var{multi_pc}, @var{l_var})
 381 de'compose un polyno^me
 382 multi-syme'trique sous la forme multi-contracte'e @var{multi_pc} en les groupes
 383 de variables contenue dans la liste de listes @var{l_var} sur les
 384 groupes de fonctions syme'triques e'le'mentaires contenues dans @var{l_elem}.
 385
 386 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 387 @c multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
 388 @c ratsimp (%);
 389 @example
 390 (%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
 391                                                   3
 392 (%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
 393 (%i2) ratsimp (%);
 394                          2                       3
 395 (%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1
 396 @end example
 397
 398 Autres fonctions de changements de bases :
 399
 400 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{ele2pui}, @code{elem},
 401 @code{mon2schur}, @code{multi_pui}, @code{pui}, @code{pui2comp}, @code{pui2ele},
 402 @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 403
 404 @end deffn
 405
 406 @deffn {Function} multi_orbit (@var{P}, [@var{lvar_1}, @var{lvar_2}, ..., @var{lvar_p}])
 407 @var{P} est un polyno^me en l'ensemble
 408 des variables contenues dans les listes @var{lvar_1}, @var{lvar_2}, ..., @var{lvar_p}.
 409 Cette fonction rame`ne l'orbite du polyno^me @var{P} sous l'action du produit
 410 des groupes syme'triques des ensembles de variables repre'sente's par
 411 ces @var{p} listes.
 412
 413 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 414 @c multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
 415 @c multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
 416 @example
 417 (%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
 418 (%o1)                [b y + a x, a y + b x]
 419 (%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
 420 (%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]
 421 @end example
 422
 423 @noindent
 424 Voir e'galement : @code{orbit} pour l'action d'un seul groupe syme'trique.
 425
 426 @end deffn
 427
 428 @c WHAT ARE THE ARGUMENTS FOR THIS FUNCTION ??
 429 @deffn {Function} multi_pui
 430 est a` la fonction @code{pui} ce que la fonction @code{multi_elem} est
 431 a` la fonction @code{elem}.
 432
 433 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 434 @c multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
 435 @example
 436 (%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
 437                                             3
 438                                 3 p1 p2   p1
 439 (%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
 440                                    2       2
 441 @end example
 442
 443 @end deffn
 444
 445 @deffn {Function} multinomial (@var{r}, @var{part})
 446 ou` @var{r} est le poids de la partition @var{part}. Cette
 447 fonction rame`ne le coefficient multinomial associe' : si les
 448 parts de la partitions part sont @var{i_1}, @var{i_2}, ..., @var{i_k}, le re'sultat de
 449 @code{multinomial} est @code{@var{r}!/(@var{i_1}! @var{i_2}! ... @var{i_k}!)}.
 450
 451 @end deffn
 452
 453 @deffn {Function} multsym (@var{ppart_1}, @var{ppart_2}, @var{n})
 454 re'alise le produit de deux polyno^mes
 455 syme'triques de @var{n} variables en ne travaillant que modulo l'action du
 456 groupe syme'trique d'ordre @var{n}. Les polyno^mes sont dans leur repre'sentation
 457 partitionne'e.
 458
 459 Soient les 2 polyno^mes syme'triques en @code{x}, @code{y}: @code{3*(x + y) + 2*x*y} et @code{5*(x^2 + y^2)}
 460 dont les formes partitionne'es sont respectivement @code{[[3, 1], [2, 1, 1]]} et @code{[[5, 2]]},
 461 alors leur produit sera donne' par :
 462
 463 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 464 @c multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
 465 @example
 466 (%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
 467 (%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]
 468 @end example
 469
 470 @noindent
 471 soit @code{10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)}.
 472
 473 Fonctions de changements de repre'sentations d'un polyno^me syme'trique :
 474
 475 @code{contract}, @code{cont2part}, @code{explose}, @code{part2cont},
 476 @code{partpol}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}.
 477
 478 @end deffn
 479
 480 @deffn {Function} orbit (@var{P}, @var{lvar})
 481 calcul l'orbite du polyno^me @var{P} en les variables de la liste
 482 @var{lvar} sous l'action du groupe syme'trique de l'ensemble des variables contenues
 483 dans la liste @var{lvar}.
 484
 485 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 486 @c orbit (a*x + b*y, [x, y]);
 487 @c orbit (2*x + x^2, [x, y]);
 488 @example
 489 (%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
 490 (%o1)                [a y + b x, b y + a x]
 491 (%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
 492                         2         2
 493 (%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]
 494 @end example
 495
 496 @noindent
 497 Voir e'galement : @code{multi_orbit} pour l'action d'un produit de groupes
 498 syme'triques sur un polyno^me.
 499
 500
 501 @end deffn
 502
 503 @deffn {Function} part2cont (@var{ppart}, @var{lvar})
 504 passe de la forme partitionne'e a` la forme contracte'e
 505 d'un polyno^me syme'trique. La forme contracte'e est rendue avec les variables
 506 contenues dans @var{lvar}.
 507
 508 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 509 @c part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
 510 @example
 511 (%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
 512                               3    4
 513 (%o1)                      2 a  b x  y
 514 @end example
 515
 516 @noindent
 517 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 518
 519 @code{contract}, @code{cont2part}, @code{explose}, @code{partpol}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}.
 520
 521
 522 @end deffn
 523
 524 @deffn {Function} partpol (@var{psym}, @var{lvar})
 525 @var{psym} est un polyno^me syme'trique en les variables
 526 de @var{lvar}. Cette fonction rame`ne sa repre'sentation partitionne'e.
 527
 528 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 529 @c partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
 530 @example
 531 (%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
 532 (%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]
 533 @end example
 534
 535 @noindent
 536 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
 537
 538 @code{contract}, @code{cont2part}, @code{explose}, @code{part2cont}, @code{tcontract}, @code{tpartpol}.
 539
 540 @end deffn
 541
 542 @deffn {Function} permut (@var{l})
 543 rame`ne la liste des permutations de la liste @var{l}.
 544
 545
 546 @end deffn
 547
 548 @deffn {Function} polynome2ele (@var{P}, @var{x})
 549 donne la liste @code{@var{l} = [@var{n}, @var{e_1}, ..., @var{e_n}]} ou` @var{n} est le degre'
 550 du polyno^me @var{P} en la variable @var{x} et @var{e_i} la @var{i}-ieme fonction syme'trique
 551 e'le'mentaire des racines de @var{P}.
 552
 553 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 554 @c polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
 555 @c ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
 556 @example
 557 (%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
 558 (%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
 559 (%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
 560                   7       5       3
 561 (%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22
 562 @end example
 563
 564 @noindent
 565 La re'ciproque : @code{ele2polynome (@var{l}, @var{x})}
 566
 567 @end deffn
 568
 569 @deffn {Function} prodrac (@var{l}, @var{k})
 570 @var{l} est une liste contenant les fonctions syme'triques
 571 e'le'mentaires sur un ensemble @var{A}. @code{prodrac} rend le polyno^me dont
 572 les racines sont les produits @var{k} a` @var{k} des e'le'ments de @var{A}.
 573
 574 @end deffn
 575
 576 @c HMM, pui IS A VARIABLE AS WELL
 577 @deffn {Function} pui (@var{l}, @var{sym}, @var{lvar})
 578 de'compose le polyno^me syme'trique @var{sym}, en les variables
 579 contenues de la liste @var{lvar}, par les fonctions puissances
 580 contenues dans la liste @var{l}. Si le premier e'le'ment de @var{l} est donne'
 581 ce sera le cardinal de l'alphabet sinon on prendra le degre' du polyno^me
 582 @var{sym}. Si il manque des valeurs a` la liste @var{l}, des valeurs formelles
 583 du type "pi" sont rajoute'es. Le polyno^me sym peut etre donne'
 584 sous 3 formes diffe'rentes : contracte'e (@code{pui} doit alors valoir 1 sa valeur
 585 par de'faut), partitionne'e (@code{pui} doit alors valoir 3) ou e'tendue (i.e. le
 586 polyno^me en entier) (@code{pui} doit alors valoir 2). La fonction @code{elem}
 587 s'utilise de la me^me manie`re.
 588
 589 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 590 @c pui;
 591 @c pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
 592 @c ratsimp (%);
 593 @example
 594 (%i1) pui;
 595 (%o1)                           1
 596 (%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
 597                        2
 598                    a (a  - b) u   (a b - p3) u
 599 (%o2)              ------------ - ------------
 600                         6              3
 601 (%i3) ratsimp (%);
 602                                        3
 603                       (2 p3 - 3 a b + a ) u
 604 (%o3)                 ---------------------
 605                                 6
 606 @end example
 607
 608 @noindent
 609 Autres fonctions de changements de bases :
 610
 611 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{ele2pui}, @code{elem}, @code{mon2schur},
 612 @code{multi_elem}, @code{multi_pui}, @code{pui2comp}, @code{pui2ele}, @code{puireduc},
 613 @code{schur2comp}.
 614
 615 @end deffn
 616
 617 @deffn {Function} pui2comp (@var{n}, @var{lpui})
 618 rend la liste des @var{n} premie`res fonctions comple`tes
 619 (avec en te^te le cardinal) en fonction des fonctions puissance donne'es dans
 620 la liste @var{lpui}. Si la liste @var{lpui} est vide le cardinal est N sinon
 621 c'est son premier e'le'ment similaire a` @code{comp2ele} et @code{comp2pui}.
 622
 623 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 624 @c pui2comp (2, []);
 625 @c pui2comp (3, [2, a1]);
 626 @c ratsimp (%);
 627 @example
 628 (%i1) pui2comp (2, []);
 629                                        2
 630                                 p2 + p1
 631 (%o1)                   [2, p1, --------]
 632                                    2
 633 (%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
 634                                             2
 635                                  a1 (p2 + a1 )
 636                          2  p3 + ------------- + a1 p2
 637                   p2 + a1              2
 638 (%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
 639                      2                  3
 640 (%i3) ratsimp (%);
 641                             2                     3
 642                      p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
 643 (%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
 644                         2               6
 645 @end example
 646
 647 @noindent
 648 Autres fonctions de changements de bases :
 649
 650 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{ele2pui}, @code{elem},
 651 @code{mon2schur}, @code{multi_elem}, @code{multi_pui}, @code{pui}, @code{pui2ele},
 652 @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 653
 654 @end deffn
 655
 656 @deffn {Function} pui2ele (@var{n}, @var{lpui})
 657 re'alise le passage des fonctions puissances aux
 658 fonctions syme'triques e'le'mentaires.
 659 Si le drapeau @code{pui2ele} est @code{girard}, on re'cupe`re la liste des fonctions
 660 syme'triques e'le'mentaires de 1 a` @var{n}, et s'il est e'gal a` @code{close},
 661 la @var{n}-ie`me fonction syme'trique e'le'mentaire.
 662
 663 Autres fonctions de changements de bases :
 664
 665 @code{comp2ele}, @code{comp2pui}, @code{ele2comp}, @code{ele2pui}, @code{elem},
 666 @code{mon2schur}, @code{multi_elem}, @code{multi_pui}, @code{pui}, @code{pui2comp},
 667 @code{puireduc}, @code{schur2comp}.
 668
 669 @end deffn
 670
 671 @deffn {Function} pui2polynome (@var{x}, @var{lpui})
 672 calcul le polyno^me en @var{x} dont les fonctions puissances
 673 des racines sont donne'es dans la liste @var{lpui}.
 674
 675 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 676 @c polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
 677 @c ele2pui (3, %);
 678 @c pui2polynome (x, %);
 679 @example
 680 (%i1) pui;
 681 (%o1)                           1
 682 (%i2) kill(labels);
 683 (%o0)                         done
 684 (%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
 685 (%o1)                     [3, 4, 5, 1]
 686 (%i2) ele2pui (3, %);
 687 (%o2)                     [3, 4, 6, 7]
 688 (%i3) pui2polynome (x, %);
 689                         3      2
 690 (%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1
 691 @end example
 692
 693 @noindent
 694 Autres fonctions a` voir :
 695 @code{polynome2ele}, @code{ele2polynome}.
 696
 697 @end deffn
 698
 699 @deffn {Function} pui_direct (@var{orbite}, [@var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}], [@var{d_1}, @var{d_2}, ..., @var{d_n}])
 700
 701 Soit @var{f} un polynome en @var{n} blocs de variables @var{lvar_1}, ..., @var{lvar_n}.
 702 Soit @var{c_i} le nombre de variables dans @var{lvar_i} . Et @var{SC} le produit des @var{n}
 703 groupes syme'triques de degre' @var{c_1}, ..., @var{c_n}. Ce groupe agit
 704 naturellement sur @var{f}.
 705 La liste @var{orbite} est l'orbite, note'e @code{@var{SC}(@var{f})}, de la fonction @var{f} sous
 706 l'action de @var{SC}. (Cette liste peut e^tre obtenue avec la fonction :
 707 @code{multi_orbit}).
 708 Les di sont des entiers tels que @var{c_1} <= @var{d_1}, @var{c_2} <= @var{d_2}, ..., @var{c_n} <= @var{d_n}.
 709 Soit @var{SD} le produit des groupes syme'triques @var{S_d1} x @var{S_d2} x ... x @var{S_dn}.
 710
 711 La fonction @code{pui_direct} rame`ne les @var{n} premie`res fonctions puissances de @code{@var{SD}(@var{f})}
 712 de'duites des fonctions puissances de @code{@var{SC}(@var{f})} ou` @var{n} est le cardinal de @code{@var{SD}(@var{f})}.
 713
 714 Le re'sultat est rendue sous forme multi-contracte'e par rapport a @var{SD}.
 715 i.e. on ne conserve qu'un e'le'ment par orbite sous l'action de @var{SD}).
 716
 717 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 718 @c l: [[x, y], [a, b]];
 719 @c pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
 720 @c pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
 721 @c pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
 722 @example
 723 (%i1) l: [[x, y], [a, b]];
 724 (%o1)                   [[x, y], [a, b]]
 725 (%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
 726                                        2  2
 727 (%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]
 728 (%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
 729                              2  2     2    2        3  3
 730 (%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x ,
 731
 732     2  2  2  2      3    3        4  4
 733 12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x ,
 734
 735     3  2  3  2      4    4        5  5
 736 10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x ,
 737
 738     3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
 739 40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]
 740 (%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
 741                              2              2
 742 (%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a ,
 743
 744                  2                   3        2       2        3
 745               9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]
 746 @end example
 747 @c THIS NEXT FUNCTION CALL TAKES A VERY LONG TIME (SEVERAL MINUTES)
 748 @c SO LEAVE IT OUT TIL PROCESSORS GET A LITTLE FASTER ...
 749 @c pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [3, 4]);
 750
 751 @end deffn
 752
 753 @deffn {Function} puireduc (@var{n}, @var{lpui})
 754 @var{lpui} est une liste dont le premier e'le'ment est un entier
 755 @var{m}. @code{puireduc} donne les @var{n} premie`res fonctions puissances en fonction
 756 des @var{m} premie`res.
 757
 758 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 759 @c puireduc (3, [2]);
 760 @example
 761 (%i1) puireduc (3, [2]);
 762                                          2
 763                                    p1 (p1  - p2)
 764 (%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
 765                                          2
 766 (%i2) ratsimp (%);
 767                                            3
 768                                3 p1 p2 - p1
 769 (%o2)              [2, p1, p2, -------------]
 770                                      2
 771 @end example
 772
 773 @end deffn
 774
 775 @deffn {Function} resolvante (@var{P}, @var{x}, @var{f}, [@var{x_1}, ..., @var{x_d}])
 776 calcule la re'solvante du polyno^me @var{P}
 777 de la variable @var{x} et de degre' @var{n} >= @var{d} par la fonction @var{f} exprime'e en
 778 les variables @var{x_1}, ..., @var{x_d}. Il est important pour l'efficacite' des
 779 calculs de ne pas mettre dans la liste @code{[@var{x_1}, ..., @var{x_d}]} les variables
 780 n'intervenant pas dans la fonction de transformation @var{f}.
 781
 782 Afin de rendre plus efficaces les calculs on peut mettre des drapeaux
 783 a` la variable @code{resolvante} afin que des algorithmes ade'quates soient
 784 utilise's :
 785
 786 Si la fonction @var{f} est unitaire :
 787 @itemize @bullet
 788 @item
 789 un polyno^me d'une variable,
 790 @item
 791   line'aire ,
 792 @item
 793   alterne'e,
 794 @item
 795   une somme de variables,
 796 @item
 797   syme'trique en les variables qui apparaissent dans son expression,
 798 @item
 799   un produit de variables,
 800 @item
 801 la fonction de la re'solvante de Cayley (utilisable qu'en degre' 5)
 802
 803 @c WHAT IS THIS ILLUSTRATING EXACTLY ??
 804 @example
 805 (x1*x2 + x2*x3 + x3*x4 + x4*x5 + x5*x1 -
 806      (x1*x3 + x3*x5 + x5*x2 + x2*x4 + x4*x1))^2
 807 @end example
 808
 809   generale,
 810 @end itemize
 811 le drapeau de @code{resolvante} pourra e^tre respectivement :
 812 @itemize @bullet
 813 @item
 814   unitaire,
 815 @item
 816   lineaire,
 817 @item
 818   alternee,
 819 @item
 820   somme,
 821 @item
 822   produit,
 823 @item
 824   cayley,
 825 @item
 826   generale.
 827 @end itemize
 828
 829 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
 830 @c resolvante: unitaire$
 831 @c resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1, [x]);
 832 @c resolvante: lineaire$
 833 @c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
 834 @c resolvante: general$
 835 @c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
 836 @c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);
 837 @c direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
 838 @c resolvante :lineaire$
 839 @c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
 840 @c resolvante: symetrique$
 841 @c resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
 842 @c resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
 843 @c resolvante: alternee$
 844 @c resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
 845 @c resolvante: produit$
 846 @c resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
 847 @c resolvante: symetrique$
 848 @c resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
 849 @c resolvante: cayley$
 850 @c resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);
 851 @example
 852 (%i1) resolvante: unitaire$
 853 (%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1, [x]);
 854
 855 " resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840, - 2772, 56448, - 33880,
 856
 857 413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464,
 858
 859 175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760]
 860   3       6      3       9      6      3
 861 [x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1,
 862
 863  12      9      6      3       15      12       9       6      3
 864 x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x
 865
 866        18      15       12       9       6      3
 867  - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1,
 868
 869  21      18       15       12       9       6      3
 870 x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1]
 871 [- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011]
 872        7      6        5         4          3           2
 873 (%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y
 874
 875                                               + 376999 y + 125253
 876 (%i3) resolvante: lineaire$
 877 (%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
 878
 879 " resolvante lineaire "
 880        24       20         16            12             8
 881 (%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y
 882
 883                                                     4
 884                                        + 344489984 y  + 655360000
 885 (%i5) resolvante: general$
 886 (%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
 887
 888 " resolvante generale "
 889        24       20         16            12             8
 890 (%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y
 891
 892                                                     4
 893                                        + 344489984 y  + 655360000
 894 (%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);
 895
 896 " resolvante generale "
 897        24       20         16            12             8
 898 (%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y
 899
 900                                                     4
 901                                        + 344489984 y  + 655360000
 902 (%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
 903        24       20         16            12             8
 904 (%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y
 905
 906                                                     4
 907                                        + 344489984 y  + 655360000
 908 (%i9) resolvante :lineaire$
 909 (%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
 910
 911 " resolvante lineaire "
 912                               4
 913 (%o10)                       y  - 1
 914 (%i11) resolvante: symetrique$
 915 (%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
 916
 917 " resolvante symetrique "
 918                               4
 919 (%o12)                       y  - 1
 920 (%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
 921
 922 " resolvante symetrique "
 923                            6      2
 924 (%o13)                    y  - 4 y  - 1
 925 (%i14) resolvante: alternee$
 926 (%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
 927
 928 " resolvante alternee "
 929             12      8       6        4        2
 930 (%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229
 931 (%i16) resolvante: produit$
 932 (%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
 933
 934 " resolvante produit "
 935         35      33         29        28         27        26
 936 (%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y
 937
 938          24           23          22            21           20
 939  + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y
 940
 941           19           18             17              15
 942  - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y
 943
 944              14              12             11            10
 945  - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y
 946
 947               9            8            7             6
 948  - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y
 949
 950             5             3
 951  - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
 952 (%i18) resolvante: symetrique$
 953 (%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
 954
 955 " resolvante symetrique "
 956         35      33         29        28         27        26
 957 (%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y
 958
 959          24           23          22            21           20
 960  + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y
 961
 962           19           18             17              15
 963  - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y
 964
 965              14              12             11            10
 966  - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y
 967
 968               9            8            7             6
 969  - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y
 970
 971             5             3
 972  - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
 973 (%i20) resolvante: cayley$
 974 (%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);
 975
 976 " resolvante de Cayley "
 977         6       5         4          3            2
 978 (%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x
 979
 980                                                        + 93392896
 981 @end example
 982
 983 Pour la re'solvante de Cayley, les 2 derniers arguments sont neutres
 984 et le polyno^me donne' en entre'e doit ne'cessairement e^tre de degre' 5.
 985
 986 Voir e'galement :
 987
 988 @code{resolvante_bipartite}, @code{resolvante_produit_sym},
 989 @code{resolvante_unitaire}, @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein},
 990 @code{resolvante_klein3}, @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}.
 991
 992 @end deffn
 993
 994 @deffn {Function} resolvante_alternee1 (@var{P}, @var{x})
 995 calcule la transformation de
 996 @c UMM, I THINK THE TEX STUFF SHOULD BE REPLACED BY @code
 997 @code{@var{P}(@var{x})} de degre @var{n} par la fonction $\prod_@{1\leq i<j\leq n-1@} (x_i-x_j)$.
 998
 999 Voir e'galement :
1000
1001 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1002 @code{resolvante} , @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1003 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}, @code{resolvante_bipartite}.
1004
1005 @end deffn
1006
1007 @deffn {Function} resolvante_bipartite (@var{P}, @var{x})
1008 calcule la transformation de
1009 @code{@var{P}(@var{x})} de degre @var{n} (@var{n} pair) par la fonction
1010 @c UMM, I THINK THE TEX STUFF SHOULD BE REPLACED BY @code
1011 $x_1x_2\ldots x_@{n/2@}+x_@{n/2+1@}\ldotsx_n$
1012
1013 Voir e'galement :
1014
1015 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1016 @code{resolvante} , @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1017 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}, @code{resolvante_alternee1}.
1018
1019 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
1020 @c resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
1021 @example
1022 (%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
1023               10        8           6             4
1024 (%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y
1025 @end example
1026
1027 Voir e'galement :
1028
1029 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1030 @code{resolvante}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1031 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale},
1032 @code{resolvante_alternee1}.
1033
1034 @end deffn
1035
1036 @deffn {Function} resolvante_diedrale (@var{P}, @var{x})
1037 calcule la transformation de
1038 @code{@var{P}(@var{x})} par la fonction @code{@var{x_1} @var{x_2} + @var{x_3} @var{x_4}}.
1039
1040 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
1041 @c resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
1042 @example
1043 (%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
1044        15       12       11       10        9         8         7
1045 (%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x
1046
1047         6         5          4          3          2
1048  - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x
1049
1050  - 697
1051 @end example
1052
1053 Voir e'galement :
1054
1055 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1056 @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1057 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante}.
1058
1059 @end deffn
1060
1061 @deffn {Function} resolvante_klein (@var{P}, @var{x})
1062 calcule la transformation de
1063 @code{@var{P}(@var{x})} par la fonction @code{@var{x_1} @var{x_2} @var{x_4} + @var{x_4}}.
1064
1065 Voir e'galement :
1066
1067 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1068 @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante}, @code{resolvante_klein3},
1069 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}.
1070
1071 @end deffn
1072
1073 @deffn {Function} resolvante_klein3 (@var{P}, @var{x})
1074 calcule la transformation de
1075 @code{@var{P}(@var{x})} par la fonction @code{@var{x_1} @var{x_2} @var{x_4} + @var{x_4}}.
1076
1077 Voir e'galement :
1078
1079 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1080 @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante},
1081 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}.
1082
1083 @end deffn
1084
1085 @deffn {Function} resolvante_produit_sym (@var{P}, @var{x})
1086 calcule la liste toutes les
1087 r\'esolvantes produit du polyn\^ome @code{@var{P}(@var{x})}.
1088
1089 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
1090 @c resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
1091 @c resolvante: produit$
1092 @c resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);
1093 @example
1094 (%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
1095         5      4             10      8       7       6       5
1096 (%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y
1097
1098     4       3      2       10      8       7    6       5       4
1099  - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y
1100
1101        3      2       5      4
1102  - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]
1103 (%i2) resolvante: produit$
1104 (%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);
1105
1106 " resolvante produit "
1107        10      8       7    6        5       4       3     2
1108 (%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1
1109 @end example
1110 @c INPUT %i3 TICKLES A MINOR BUG IN resolvante:
1111 @c " resolvante produit " IS PRINTED FROM SOMEWHERE IN THE BOWELS OF resolvante
1112 @c AND IT GOOFS UP THE DISPLAY OF THE EXPONENTS OF %o3 -- I THREW IN A LINE BREAK TO ADJUST
1113
1114 Voir e'galement :
1115
1116 @code{resolvante}, @code{resolvante_unitaire},
1117 @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1118 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}.
1119
1120 @end deffn
1121
1122 @deffn {Function} resolvante_unitaire (@var{P}, @var{Q}, @var{x})
1123 calcule la r\'esolvante du
1124 polyn\^ome @code{@var{P}(@var{x})} par le polyn\^ome @code{@var{Q}(@var{x})}.
1125
1126 Voir e'galement :
1127
1128 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante},
1129 @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1130 @code{resolvante_vierer}, @code{resolvante_diedrale}.
1131
1132 @end deffn
1133
1134 @deffn {Function} resolvante_vierer (@var{P}, @var{x})
1135 calcule la transformation de
1136 @code{@var{P}(@var{x})} par la fonction @code{@var{x_1} @var{x_2} - @var{x_3} @var{x_4}}.
1137
1138 Voir e'galement :
1139
1140 @code{resolvante_produit_sym}, @code{resolvante_unitaire},
1141 @code{resolvante_alternee1}, @code{resolvante_klein}, @code{resolvante_klein3},
1142 @code{resolvante}, @code{resolvante_diedrale}.
1143
1144 @end deffn
1145
1146 @deffn {Function} schur2comp (@var{P}, @var{l_var})
1147 @var{P} est un polyno^mes en les variables contenues dans
1148 la liste @var{l_var}. Chacune des variables de @var{l_var} repre'sente une fonction
1149 syme'trique comple`te. On repre'sente dans @var{l_var} la ie`me fonction syme'trique
1150 comple`te comme la concate'nation de la lettre @code{h} avec l'entier @var{i} : @code{h@var{i}}.
1151 Cette fonction donne l'expression de @var{P} en fonction des fonctions
1152 de Schur.
1153
1154 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
1155 @c schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
1156 @c schur2comp (a*h3, [h3]);
1157 @example
1158 (%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
1159 (%o1)                         s
1160                                1, 2
1161 (%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
1162 (%o2)                         s  a
1163                                3
1164 @end example
1165
1166 @end deffn
1167
1168 @deffn {Function} somrac (@var{l}, @var{k})
1169 la liste @var{l} contient les fonctions syme'triques e'le'mentaires
1170 d'un polyno^me @var{P} . On calcul le polyno^mes dont les racines sont les sommes
1171 @var{K} a` @var{K} distinctes des racines de @var{P}.
1172
1173 Voir e'galement @code{prodrac}.
1174
1175
1176 @end deffn
1177
1178 @deffn {Function} tcontract (@var{pol}, @var{lvar})
1179 teste si le polyno^me pol est syme'trique en les
1180 variables contenues dans la liste @var{lvar}. Si oui il rend une forme contracte'e
1181 comme la fonction @code{contract}.
1182
1183 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
1184
1185 @code{contract}, @code{cont2part}, @code{explose}, @code{part2cont}, @code{partpol}, @code{tpartpol}.
1186
1187
1188 @end deffn
1189
1190 @deffn {Function} tpartpol (@var{pol}, @var{lvar})
1191 teste si le polyno^me pol est syme'trique en les
1192 variables contenues dans la liste @var{lvar}. Si oui il rend sa forme partionne'e
1193 comme la fonction @code{partpol}.
1194
1195 Autres fonctions de changements de repre'sentations :
1196
1197 @code{contract}, @code{cont2part}, @code{explose}, @code{part2cont}, @code{partpol}, @code{tcontract}.
1198
1199
1200 @end deffn
1201
1202 @deffn {Function} treillis (@var{n})
1203 rame`ne toutes les partitions de poids @var{n}.
1204
1205 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
1206 @c treillis (4);
1207 @example
1208 (%i1) treillis (4);
1209 (%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
1210 @end example
1211
1212 Voir e'galement : @code{lgtreillis}, @code{ltreillis} et @code{treinat}.
1213
1214 @end deffn
1215
1216 @deffn {Function} treinat (@var{part})
1217 rame`ne la liste des partitions infe'rieures a` la partition
1218 @var{part} pour l'ordre naturel.
1219
1220 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING
1221 @c treinat ([5]);
1222 @c treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
1223 @c treinat ([3, 2]);
1224 @example
1225 (%i1) treinat ([5]);
1226 (%o1)                         [[5]]
1227 (%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
1228 (%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1],
1229
1230                                                  [1, 1, 1, 1, 1]]
1231 (%i3) treinat ([3, 2]);
1232 (%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]
1233 @end example
1234
1235 Voir e'galement : @code{lgtreillis}, @code{ltreillis} et @code{treillis}.
1236
1237 @end deffn