doc/info/ja/Atensor.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to atensor::
   3 * Functions and Variables for atensor::
   4 @end menu
   5
   6 @node Introduction to atensor, Functions and Variables for atensor, atensor, atensor
   7 @section Introduction to atensor
   8
   9 @code{atensor}は、代数テンソル操作パッケージです。
  10 @code{atensor}を使うには、@code{load("atensor")}をタイプしてください。
  11 続いて、@code{init_atensor}関数コールしてください。
  12
  13 @code{atensor}の本質は非可換(ドット)積演算子 ("@code{.}")の整理ルール一式です
  14 @code{atensor}はいくつかの代数型を認識します;
  15 @code{init_atensor}関数がコールされた時、
  16 対応する整理ルールが有効になります。
  17
  18 @code{atensor}の能力は、
  19 四元数代数を2つの基底ベクトルを持つClifford代数 Cl(0,2)として
  20 定義することで実演することができます。
  21 3つの四元数虚数単位は2つの基底ベクトルとその積、すなわち以下の通りです:
  22
  23 @example
  24     i = v     j = v     k = v  . v
  25          1         2         1    2
  26 @end example
  27
  28 @code{atensor}パッケージは
  29 四元数代数に関する組み込みの定義を持ちますが、
  30 この例では使わず、四元数乗算表を行列として組むよう試みます:
  31
  32 @example
  33 (%i1) load("atensor");
  34 (%o1)       /share/tensor/atensor.mac
  35 (%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
  36 (%o2)                                done
  37 (%i3) atensimp(v[1].v[1]);
  38 (%o3)                                 - 1
  39 (%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
  40 (%o4)                                 - 1
  41 (%i5) q:zeromatrix(4,4);
  42                                 [ 0  0  0  0 ]
  43                                 [            ]
  44                                 [ 0  0  0  0 ]
  45 (%o5)                           [            ]
  46                                 [ 0  0  0  0 ]
  47                                 [            ]
  48                                 [ 0  0  0  0 ]
  49 (%i6) q[1,1]:1;
  50 (%o6)                                  1
  51 (%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
  52 (%o7)                                done
  53 (%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
  54 (%o8)                               v  . v
  55                                      1    2
  56 (%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
  57       q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
  58 (%o9)                                done
  59 (%i10) q;
  60 @group
  61                    [    1        v         v      v  . v  ]
  62                    [              1         2      1    2 ]
  63                    [                                      ]
  64                    [   v         - 1     v  . v    - v    ]
  65                    [    1                 1    2      2   ]
  66 (%o10)             [                                      ]
  67                    [   v      - v  . v     - 1      v     ]
  68                    [    2        1    2              1    ]
  69                    [                                      ]
  70                    [ v  . v      v        - v       - 1   ]
  71                    [  1    2      2          1            ]
  72 @end group
  73 @end example
  74
  75 @code{atensor}は
  76 添字付きシンボルを基底ベクトルと認識します。
  77 シンボルは@code{asymbol}の中に記憶されたものであり、
  78 添字は1から@code{adim}まで間です。
  79 添字付きシンボルだけに関して
  80 双一次形式
  81 @code{sf}, @code{af}, @code{av}が評価されます。
  82 評価は
  83 @code{fun(v[i],v[j])}に
  84 @code{aform[i,j]}の値を代入します
  85 ここで、@code{v}は @code{asymbol}の値を表し、
  86 @code{fun}は @code{af}か @code{sf}を示します;
  87 あるいは、
  88 @code{av(v[i],v[j])}に @code{v[aform[i,j]]}を代入します。
  89
  90 言うまでもなく、関数 @code{sf}, @code{af}, @code{av}は再定義するこができます。
  91
  92 @code{atensor}パッケージがロードされる時、以下のフラグが設定されます:
  93
  94 @example
  95 dotscrules:true;
  96 dotdistrib:true;
  97 dotexptsimp:false;
  98 @end example
  99
 100 もし非結合代数で実験したいなら、
 101 @code{dotassoc}を @code{false}に設定することも考えるかもしれません。
 102 しかし、この場合、
 103 @code{atensimp}はいつも
 104 望みの整理を得ることができるわけではありません。
 105
 106 @opencatbox
 107 @category{Tensors}
 108 @category{Share packages}
 109 @category{Package atensor}
 110 @closecatbox
 111
 112 @c end concepts atensor
 113 @node Functions and Variables for atensor,  , Introduction to atensor, atensor
 114
 115 @section Functions and Variables for atensor
 116
 117 @deffn {関数} init_atensor (@var{alg_type}, @var{opt_dims})
 118 @deffnx {関数} init_atensor (@var{alg_type})
 119
 120 特定の代数型で
 121 @code{atensor}パッケージを初期化します。
 122 @var{alg_type}は以下のいずれかであり得ます:
 123
 124 @code{universal}: 普遍代数は交換規則を持ちません。
 125
 126 @code{grassmann}: Grassman代数は交換関係 @code{u.v+v.u=0}で定義されます。
 127
 128 @code{clifford}: Clifford代数は
 129 交換関係 @code{u.v+v.u=-2*sf(u,v)}で定義されます。
 130 ここで、 @code{sf}は対称スカラ値函数です。
 131 この代数では、 @var{opt_dims}は、
 132 代数の正の次元数、縮退次元数、負の次元数をそれぞれ表す3つの非負整数までありえます。
 133 もしいずれかの @var{opt_dims}値が供給されたら、
 134 @code{atensor}は
 135 @code{adim}と @code{aform}の値を適切に構成します。
 136 そうでなければ、
 137 @code{adim}はデフォルトが0で、 @code{aform}は未定義です。
 138
 139 @code{symmetric}: 対称代数は交換関係 @code{u.v-v.u=0}で定義されます。
 140
 141 @code{symplectic}: シンプレクティック代数は
 142 交換関係 @code{u.v-v.u=2*af(u,v)}で定義されます。
 143 ここで、 @code{af}は反対称スカラ値函数です。
 144 シンプレクティック代数では、
 145 @var{opt_dims}は
 146 非縮退次元数、縮退次元数をそれぞれ表す2つの非負整数までありえます。
 147 もしいずれかの @var{opt_dims}値が供給されたら、
 148 @code{atensor}は
 149 @code{adim}と @code{aform}の値を適切に構成します。
 150 そうでなければ、
 151 @code{adim}はデフォルトが0で、 @code{aform}は未定義です。
 152
 153 @code{lie_envelop}: Lie包絡代数は交換関係 @code{u.v-v.u=2*av(u,v)}で定義されます。
 154 ここで、 @code{av}は反対称函数です。
 155
 156 @code{init_atensor}関数はいくつかの予め定義された代数型も認識します:
 157
 158 @code{complex}は複素数代数をClifford代数 Cl(0,1)として実装します。
 159 @code{init_atensor(complex)}をコールすることは
 160 @code{init_atensor(clifford,0,0,1)}と同値です。
 161
 162 @code{quaternion}は四元数代数を実装します。
 163 @code{init_atensor (quaternion)}をコールすることは
 164 @code{init_atensor (clifford,0,0,2)}と同値です。
 165
 166 @code{pauli}はPauliスピノール代数をClifford代数 Cl(3,0)として実装します。
 167 @code{init_atensor(pauli)}をコールすることは
 168 @code{init_atensor(clifford,3)}と同値です。
 169
 170 @code{dirac}はDiracスピノール代数をClifford代数 Cl(3,1)として実装します。
 171 @code{init_atensor(dirac)}をコールすることは
 172 @code{init_atensor(clifford,3,0,1)}と同値です。
 173
 174 @opencatbox
 175 @category{Package atensor}
 176 @closecatbox
 177 @end deffn
 178
 179
 180 @deffn {関数} atensimp (@var{expr})
 181
 182 @code{init_atensor}のコールで構成された規則に従って、
 183 代数テンソル式 @var{expr}を整理します。
 184 整理は、
 185 適用可能な場所への
 186 交換関係の再帰的な適用と@code{sf}, @code{af}, @code{av}のコールの決定を含みます。
 187 複雑な式に関してさえ、
 188 関数がいつでも終了することを確実にするために
 189 保護手段が使われます。
 190
 191 @opencatbox
 192 @category{Package atensor}
 193 @category{Simplification functions}
 194 @closecatbox
 195
 196 @end deffn
 197
 198 @c @deffn {関数} alg_type
 199 @c
 200 @c 代数型。有効な値は @code{universal}, @code{grassmann},
 201 @c @code{clifford}, @code{symmetric}, @code{symplectic}, @code{lie_envelop}です。
 202 @c
 203 @c @opencatbox
 204 @c @category{Package atensor}
 205 @c @closecatbox
 206 @c
 207 @c @end deffn
 208
 209 @defvr {変数} adim
 210 デフォルト値: 0
 211
 212 代数の次元。
 213 @code{atensor}は
 214 添字付きオブジェクトが有効な基底ベクトルか決定するのに
 215 @code{adim}の値を使います。
 216 @code{abasep}を参照してください。
 217
 218 @opencatbox
 219 @category{Package atensor}
 220 @category{Global variables}
 221 @closecatbox
 222
 223 @end defvr
 224
 225 @defvr {変数} aform
 226 デフォルト値: @code{ident(3)}
 227
 228 双一次形式@code{sf}, @code{af}, @code{av}のデフォルト値。
 229 デフォルトは、単位行列 @code{ident(3)}です。
 230
 231 @opencatbox
 232 @category{Package atensor}
 233 @category{Global variables}
 234 @closecatbox
 235
 236 @end defvr
 237
 238 @defvr {変数} asymbol
 239 デフォルト値: @code{v}
 240
 241 基底ベクトルのシンボル。
 242
 243 @opencatbox
 244 @category{Package atensor}
 245 @category{Global variables}
 246 @closecatbox
 247
 248 @end defvr
 249
 250 @deffn {関数} sf (@var{u}, @var{v})
 251
 252 交換関係で使われる対称スカラ関数。
 253 デフォルトの実装は
 254 両方の引数が@code{abasep}を使った基底ベクトルかチェックし、
 255 もしそうなら、行列 @code{aform}から対応する値を代入します。
 256
 257 @opencatbox
 258 @category{Package atensor}
 259 @closecatbox
 260
 261 @end deffn
 262
 263 @deffn {関数} af (@var{u}, @var{v})
 264
 265 交換関係で使われる反対称スカラ関数。
 266 デフォルトの実装は
 267 両方の引数が@code{abasep}を使った基底ベクトルかチェックし、
 268 もしそうなら、行列 @code{aform}から対応する値を代入します。
 269
 270 @opencatbox
 271 @category{Package atensor}
 272 @closecatbox
 273
 274 @end deffn
 275
 276 @deffn {関数} av (@var{u}, @var{v})
 277
 278 交換関係で使われる反対称スカラ関数。
 279 デフォルトの実装は
 280 両方の引数が@code{abasep}を使った基底ベクトルかチェックし、
 281 もしそうなら、行列 @code{aform}から対応する値を代入します。
 282
 283 例えば:
 284
 285 @example
 286 (%i1) load("atensor");
 287 (%o1)       /share/tensor/atensor.mac
 288 (%i2) adim:3;
 289 (%o2)                                  3
 290 (%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
 291                                [  0    3   - 2 ]
 292                                [               ]
 293 (%o3)                          [ - 3   0    1  ]
 294                                [               ]
 295                                [  2   - 1   0  ]
 296 (%i4) asymbol:x;
 297 (%o4)                                  x
 298 (%i5) av(x[1],x[2]);
 299 (%o5)                                 x
 300                                        3
 301 @end example
 302
 303 @opencatbox
 304 @category{Package atensor}
 305 @closecatbox
 306
 307 @end deffn
 308
 309
 310 @deffn {関数} abasep (@var{v})
 311
 312 引数が @code{atensor}基底ベクトルかチェックします。
 313 すなわち、@code{asymbol}の値と同じシンボルと
 314 1と @code{adim}の間の数値の添字を持つ添字付きシンボルかどうか、チェックします。
 315
 316 @opencatbox
 317 @category{Package atensor}
 318 @category{Predicate functions}
 319 @closecatbox
 320
 321 @end deffn