doc/info/ja/Elliptic.texi

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   4 * Functions and Variables for Elliptic Functions::
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   6 @end menu
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  10 @node Introduction to Elliptic Functions and Integrals, Functions and Variables for Elliptic Functions, , Top
  11 @comment  node-name,  next,  previous,  up
  12
  13 @section Introduction to Elliptic Functions and Integrals
  14
  15 Maximaは、Jacobiの楕円関数と不完全楕円積分のサポートを含みます。
  16 これは、数値評価はもちろんこれらの関数のシンボル操作を含みます。
  17 これらの関数の定義と、プロパティの多くは
  18 Abramowitz and Stegun, 16--17章にあります。
  19 可能な限り、そこれで与えられた定義と関係を使います。
  20
  21 特に、すべての楕円関数と積分は、
  22 法@math{k}や率角@math{\alpha}の代わりにパラメータ@math{m}を使います。
  23
  24 これは、
  25 楕円関数のために率角を使うAbramowitz and Stegunと違っているところです。
  26 以下の関係は真です:
  27 @ifinfo
  28 @math{m = k^2} and @math{k = \sin(\alpha)}
  29 @end ifinfo
  30 @tex
  31 $$m = k^2$$ and $$k = \sin\alpha $$
  32 @end tex
  33
  34 楕円関数と積分は、主としてシンボル計算をサポートするように意図されています。
  35 それ故に、関数と積分の導関数のほとんどが知られています。
  36 しかしながら、もし浮動小数点値が与えられたなら、
  37 浮動小数点の結果が返されます。
  38
  39 楕円関数と積分の他の性質のほとんどのサポートはまだ書かれていません。
  40
  41 楕円関数のいくつかの例:
  42 @c ===beg===
  43 @c jacobi_sn (u, m);
  44 @c jacobi_sn (u, 1);
  45 @c jacobi_sn (u, 0);
  46 @c diff (jacobi_sn (u, m), u);
  47 @c diff (jacobi_sn (u, m), m);
  48 @c ===end===
  49 @example
  50 (%i1) jacobi_sn (u, m);
  51 (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
  52 (%i2) jacobi_sn (u, 1);
  53 (%o2)                        tanh(u)
  54 (%i3) jacobi_sn (u, 0);
  55 (%o3)                        sin(u)
  56 (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
  57 (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
  58 (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
  59 (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
  60
  61       elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
  62  (u - ------------------------------------)/(2 m)
  63                      1 - m
  64
  65             2
  66    jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
  67  + --------------------------------
  68               2 (1 - m)
  69 @end example
  70
  71 楕円積分のいくつかの例:
  72 @c ===beg===
  73 @c elliptic_f (phi, m);
  74 @c elliptic_f (phi, 0);
  75 @c elliptic_f (phi, 1);
  76 @c elliptic_e (phi, 1);
  77 @c elliptic_e (phi, 0);
  78 @c elliptic_kc (1/2);
  79 @c makegamma (%);
  80 @c diff (elliptic_f (phi, m), phi);
  81 @c diff (elliptic_f (phi, m), m);
  82 @c ===end===
  83 @example
  84 (%i1) elliptic_f (phi, m);
  85 (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
  86 (%i2) elliptic_f (phi, 0);
  87 (%o2)                          phi
  88 (%i3) elliptic_f (phi, 1);
  89                                phi   %pi
  90 (%o3)                  log(tan(--- + ---))
  91                                 2     4
  92 (%i4) elliptic_e (phi, 1);
  93 (%o4)                       sin(phi)
  94 (%i5) elliptic_e (phi, 0);
  95 (%o5)                          phi
  96 (%i6) elliptic_kc (1/2);
  97                                      1
  98 (%o6)                    elliptic_kc(-)
  99                                      2
 100 (%i7) makegamma (%);
 101                                  2 1
 102                             gamma (-)
 103                                    4
 104 (%o7)                      -----------
 105                            4 sqrt(%pi)
 106 (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
 107                                 1
 108 (%o8)                 ---------------------
 109                                     2
 110                       sqrt(1 - m sin (phi))
 111 (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
 112        elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
 113 (%o9) (-----------------------------------------------
 114                               m
 115
 116                                  cos(phi) sin(phi)
 117                              - ---------------------)/(2 (1 - m))
 118                                              2
 119                                sqrt(1 - m sin (phi))
 120 @end example
 121
 122 楕円関数と積分のサポートは、Raymond Toyによって書かれました。
 123 Maximaの配布を管理するGeneral Public License (GPL)の条件のもと置かれています。
 124
 125 @opencatbox
 126 @category{Elliptic functions}
 127 @closecatbox
 128
 129 @node Functions and Variables for Elliptic Functions, Functions and Variables for Elliptic Integrals, Introduction to Elliptic Functions and Integrals, Top
 130 @comment  node-name,  next,  previous,  up
 131
 132 @section Functions and Variables for Elliptic Functions
 133
 134 @deffn {関数} jacobi_sn (@var{u}, @var{m})
 135 Jacobiの楕円関数@math{sn(u,m)}
 136
 137 @opencatbox
 138 @category{Elliptic functions}
 139 @closecatbox
 140 @end deffn
 141
 142 @deffn {関数} jacobi_cn (@var{u}, @var{m})
 143 Jacobiの楕円関数@math{cn(u,m)}.
 144
 145 @opencatbox
 146 @category{Elliptic functions}
 147 @closecatbox
 148 @end deffn
 149
 150 @deffn {関数} jacobi_dn (@var{u}, @var{m})
 151 Jacobiの楕円関数@math{dn(u,m)}.
 152
 153 @opencatbox
 154 @category{Elliptic functions}
 155 @closecatbox
 156 @end deffn
 157
 158 @deffn {関数} jacobi_ns (@var{u}, @var{m})
 159 Jacobiの楕円関数@math{ns(u,m) = 1/sn(u,m)}.
 160
 161 @opencatbox
 162 @category{Elliptic functions}
 163 @closecatbox
 164 @end deffn
 165
 166 @deffn {関数} jacobi_sc (@var{u}, @var{m})
 167 Jacobiの楕円関数@math{sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m)}.
 168
 169 @opencatbox
 170 @category{Elliptic functions}
 171 @closecatbox
 172 @end deffn
 173
 174 @deffn {関数} jacobi_sd (@var{u}, @var{m})
 175 Jacobiの楕円関数@math{sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m)}.
 176
 177 @opencatbox
 178 @category{Elliptic functions}
 179 @closecatbox
 180 @end deffn
 181
 182 @deffn {関数} jacobi_nc (@var{u}, @var{m})
 183 Jacobiの楕円関数@math{nc(u,m) = 1/cn(u,m)}.
 184
 185 @opencatbox
 186 @category{Elliptic functions}
 187 @closecatbox
 188 @end deffn
 189
 190 @deffn {関数} jacobi_cs (@var{u}, @var{m})
 191 Jacobiの楕円関数@math{cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m)}.
 192
 193 @opencatbox
 194 @category{Elliptic functions}
 195 @closecatbox
 196 @end deffn
 197
 198 @deffn {関数} jacobi_cd (@var{u}, @var{m})
 199 Jacobiの楕円関数@math{cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m)}.
 200
 201 @opencatbox
 202 @category{Elliptic functions}
 203 @closecatbox
 204 @end deffn
 205
 206 @deffn {関数} jacobi_nd (@var{u}, @var{m})
 207 Jacobiの楕円関数@math{nc(u,m) = 1/cn(u,m)}.
 208
 209 @opencatbox
 210 @category{Elliptic functions}
 211 @closecatbox
 212 @end deffn
 213
 214 @deffn {関数} jacobi_ds (@var{u}, @var{m})
 215 Jacobiの楕円関数@math{ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m)}.
 216
 217 @opencatbox
 218 @category{Elliptic functions}
 219 @closecatbox
 220 @end deffn
 221
 222 @deffn {関数} jacobi_dc (@var{u}, @var{m})
 223 Jacobiの楕円関数@math{dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m)}.
 224
 225 @opencatbox
 226 @category{Elliptic functions}
 227 @closecatbox
 228 @end deffn
 229
 230 @deffn {関数} inverse_jacobi_sn (@var{u}, @var{m})
 231 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{sn(u,m)}.
 232
 233 @opencatbox
 234 @category{Elliptic functions}
 235 @closecatbox
 236 @end deffn
 237
 238 @deffn {関数} inverse_jacobi_cn (@var{u}, @var{m})
 239 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{cn(u,m)}.
 240
 241 @opencatbox
 242 @category{Elliptic functions}
 243 @closecatbox
 244 @end deffn
 245
 246 @deffn {関数} inverse_jacobi_dn (@var{u}, @var{m})
 247 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{dn(u,m)}.
 248
 249 @opencatbox
 250 @category{Elliptic functions}
 251 @closecatbox
 252 @end deffn
 253
 254 @deffn {関数} inverse_jacobi_ns (@var{u}, @var{m})
 255 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{ns(u,m)}.
 256
 257 @opencatbox
 258 @category{Elliptic functions}
 259 @closecatbox
 260 @end deffn
 261
 262 @deffn {関数} inverse_jacobi_sc (@var{u}, @var{m})
 263 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{sc(u,m)}.
 264
 265 @opencatbox
 266 @category{Elliptic functions}
 267 @closecatbox
 268 @end deffn
 269
 270 @deffn {関数} inverse_jacobi_sd (@var{u}, @var{m})
 271 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{sd(u,m)}.
 272
 273 @opencatbox
 274 @category{Elliptic functions}
 275 @closecatbox
 276 @end deffn
 277
 278 @deffn {関数} inverse_jacobi_nc (@var{u}, @var{m})
 279 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{nc(u,m)}.
 280
 281 @opencatbox
 282 @category{Elliptic functions}
 283 @closecatbox
 284 @end deffn
 285
 286 @deffn {関数} inverse_jacobi_cs (@var{u}, @var{m})
 287 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{cs(u,m)}.
 288
 289 @opencatbox
 290 @category{Elliptic functions}
 291 @closecatbox
 292 @end deffn
 293
 294 @deffn {関数} inverse_jacobi_cd (@var{u}, @var{m})
 295 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{cd(u,m)}.
 296
 297 @opencatbox
 298 @category{Elliptic functions}
 299 @closecatbox
 300 @end deffn
 301
 302 @deffn {関数} inverse_jacobi_nd (@var{u}, @var{m})
 303 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{nc(u,m)}.
 304
 305 @opencatbox
 306 @category{Elliptic functions}
 307 @closecatbox
 308 @end deffn
 309
 310 @deffn {関数} inverse_jacobi_ds (@var{u}, @var{m})
 311 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{ds(u,m)}.
 312
 313 @opencatbox
 314 @category{Elliptic functions}
 315 @closecatbox
 316 @end deffn
 317
 318 @deffn {関数} inverse_jacobi_dc (@var{u}, @var{m})
 319 Jacobiの楕円関数の逆関数@math{dc(u,m)}.
 320
 321 @opencatbox
 322 @category{Elliptic functions}
 323 @closecatbox
 324 @end deffn
 325
 326
 327 @node Functions and Variables for Elliptic Integrals, , Functions and Variables for Elliptic Functions, Top
 328 @comment  node-name,  next,  previous,  up
 329
 330 @section Functions and Variables for Elliptic Integrals
 331
 332 @anchor{elliptic_f}
 333 @deffn {関数} elliptic_f (@var{phi}, @var{m})
 334 以下のように定義された第一種不完全楕円積分
 335
 336 @ifhtml
 337 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 338 @end ifhtml
 339 @ifinfo
 340 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 341 @end ifinfo
 342
 343 @tex
 344 $$\int_0^\phi {{d\theta}\over{\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 345 @end tex
 346
 347 @ref{elliptic_e}と@ref{elliptic_kc}も参照してください。
 348
 349 @opencatbox
 350 @category{Elliptic integrals}
 351 @closecatbox
 352 @end deffn
 353
 354 @anchor{elliptic_e}
 355 @deffn {関数} elliptic_e (@var{phi}, @var{m})
 356 以下のように定義された第二種不完全楕円積分
 357
 358 @ifhtml
 359 @math{elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 360 @end ifhtml
 361 @ifinfo
 362 @math{elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 363 @end ifinfo
 364 @tex
 365 $$\int_0^\phi \sqrt{1 - m\sin^2\theta} d\theta$$
 366 @end tex
 367
 368 @ref{elliptic_e}と@ref{elliptic_ec}も参照してください。
 369
 370 @opencatbox
 371 @category{Elliptic integrals}
 372 @closecatbox
 373 @end deffn
 374
 375 @anchor{elliptic_eu}
 376 @deffn {関数} elliptic_eu (@var{u}, @var{m})
 377 以下のように定義された第二種不完全楕円積分
 378
 379 @ifhtml
 380 @math{integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)}
 381
 382 ここで、@math{tau = sn(u,m)}.
 383 @end ifhtml
 384 @ifinfo
 385 @math{integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)}
 386
 387 ここで、@math{tau = sn(u,m)}.
 388 @end ifinfo
 389 @tex
 390 $$\int_0^u {\rm dn}(v, m) dv  = \int_0^\tau \sqrt{{1-m t^2}\over{1-t^2}} dt$$
 391
 392 where $\tau = {\rm sn}(u, m)$.
 393 @end tex
 394
 395 これは、
 396
 397 @ifhtml
 398 @math{elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)}
 399 @end ifhtml
 400 @ifinfo
 401 @math{elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)}
 402 @end ifinfo
 403 @tex
 404 $$E(u,m) = E(\phi, m)$$
 405
 406 where $\phi = \sin^{-1} {\rm sn}(u, m)$.
 407 @end tex
 408 によって@math{elliptic_e}と関連付けられます。
 409
 410 @ref{elliptic_e}も参照してください。
 411 @opencatbox
 412 @category{Elliptic integrals}
 413 @closecatbox
 414 @end deffn
 415
 416 @deffn {関数} elliptic_pi (@var{n}, @var{phi}, @var{m})
 417 以下のように定義された第三種不完全楕円積分
 418
 419 @ifhtml
 420 @math{integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 421 @end ifhtml
 422 @ifinfo
 423 @math{integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)}
 424 @end ifinfo
 425 @tex
 426 $$\int_0^\phi {{d\theta}\over{(1-n\sin^2 \theta)\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 427 @end tex
 428
 429 Maximaが知っている@math{phi}に関する唯一の導関数
 430
 431 @opencatbox
 432 @category{Elliptic integrals}
 433 @closecatbox
 434 @end deffn
 435
 436 @anchor{elliptic_kc}
 437 @deffn {関数} elliptic_kc (@var{m})
 438 以下のように定義された第一種完全楕円積分
 439
 440 @ifhtml
 441 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 442 @end ifhtml
 443 @ifinfo
 444 @math{integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 445 @end ifinfo
 446
 447 @tex
 448 $$\int_0^{{\pi}\over{2}} {{d\theta}\over{\sqrt{1 - m\sin^2\theta}}}$$
 449 @end tex
 450 @math{m}のある値に関して
 451 積分の値は@math{Gamma}関数で表されることが知られています。
 452 それらを評価するには@code{makegamma}を使ってください。
 453
 454 @opencatbox
 455 @category{Elliptic integrals}
 456 @closecatbox
 457 @end deffn
 458
 459 @anchor{elliptic_ec}
 460 @deffn {関数} elliptic_ec (@var{m})
 461 以下のように定義された第二種完全楕円積分
 462
 463 @ifhtml
 464 @math{integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 465 @end ifhtml
 466 @ifinfo
 467 @math{integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)}
 468 @end ifinfo
 469
 470 @tex
 471 $$\int_0^{{\pi}\over{2}} \sqrt{1 - m\sin^2\theta} d\theta$$
 472 @end tex
 473 @math{m}のある値に関して
 474 積分の値は@math{Gamma}関数で表されることが知られています。
 475 それらを評価するには@code{makegamma}を使ってください。
 476
 477 @opencatbox
 478 @category{Elliptic integrals}
 479 @closecatbox
 480 @end deffn
 481