| blob | 1446c3f0fa4ddd03a1f1ccfe68b7a61ab33137c9 |
1 @menu
2 * Sums and Products::
3 * Introduction to Series::
4 * Functions and Variables for Series::
5 * Poisson series::
6 @end menu
8 @c -----------------------------------------------------------------------------
9 @node Sums and Products, Introduction to Series, Sums Products and Series, Sums Products and Series
10 @section Sums and Products
11 @c -----------------------------------------------------------------------------
13 @c -----------------------------------------------------------------------------
14 @anchor{bashindices}
15 @deffn {関数} bashindices (@var{expr})
16 それぞれの和や積に独自のインデックスを与えることで、
17 式@var{expr}を変換します。
18 これは、
19 和や積と一緒に機能する時
20 @code{changevar}によりよい精度を与えます。
21 独自のインデックスの形式は@code{j@var{number}}です。
22 量@var{number}は、@code{gensumnum}に参照することで決定されます。
23 これを、ユーザーは変更することができます。
24 例えば、@code{gensumnum:0$}はそれを再設定します。
26 @opencatbox
27 @category{Sums and products}
28 @closecatbox
29 @end deffn
31 @c -----------------------------------------------------------------------------
32 @anchor{lsum}
33 @deffn {関数} lsum (@var{expr}, @var{x}, @var{L})
35 @var{L}の中のそれぞれの要素@var{x}に関する@var{expr}の和を表します。
36 もし引数@var{L}がリストに評価されなければ、名詞形@code{'lsum}が返されます。
38 例:
40 @c ===beg===
41 @c lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
42 @c lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1, x));
43 @c ===end===
44 @example
45 (%i1) lsum (x^i, i, [1, 2, 7]);
46 7 2
47 (%o1) x + x + x
48 (%i2) lsum (i^2, i, rootsof (x^3 - 1, x));
49 @group
50 ====
51 \ 2
52 (%o2) > i
53 /
54 ====
55 3
56 i in rootsof(x - 1, x)
57 @end group
58 @end example
60 @opencatbox
61 @category{Sums and products}
62 @closecatbox
63 @end deffn
65 @c NEEDS CLARIFICATION, EXAMPLES
67 @c -----------------------------------------------------------------------------
68 @anchor{intosum}
69 @deffn {関数} intosum (@var{expr})
71 和の外側の掛け算因子を内側に移動します。
72 もし外側の式でインデックスが使われているなら、
73 関数は、@code{sumcontract}に関してするのと同じように、合理的なインデックスを見つけようとします。
74 これは、本質的に、和の@code{outative}プロパティの逆の考えですが、
75 このプロパティを取り除かず、ただ無視するだけであることに注意してください。
77 @c WHAT ARE THESE CASES ??
78 いくつかの場合、
79 @code{intosum}の前に、@code{scanmap (multthru, @var{expr})}が必要になるかもしれません。
81 @opencatbox
82 @category{Expressions}
83 @closecatbox
84 @end deffn
86 @c -----------------------------------------------------------------------------
87 @anchor{product}
88 @deffn {関数} product (@var{expr}, @var{i}, @var{i_0}, @var{i_1})
90 インデックス@var{i}が@var{i_0}から@var{i_1}まで変えた@var{expr}の値の積を返します。
91 名詞形@code{'product}は、大文字Πとして表示されます。
93 @code{product}は、@var{expr}と下限上限@var{i_0}、@var{i_1}を評価し、
94 @code{product}は、インデックス@var{i}をクォートします（評価しません）。
96 もし上限と下限が整数差だけ違うなら、
97 @var{expr}は、インデックス@var{i}のそれぞれの値に関して評価され、
98 結果は陽な積です。
100 そうでなければ、インデックスの範囲は不定です。
101 積を整理するためにいくつかの規則が適用されます。
102 グローバル変数@code{simpproduct}が@code{true}の時、
103 更なる規則が適用されます。
104 いくつかの場合、式整理は、積でない結果を出力します;
105 そうでなければ、結果は名詞形@code{'product}です。
107 @code{nouns}と@code{evflag}も参照してください。
109 例:
111 @c ===beg===
112 @c product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
113 @c product (i^2, i, 1, 7);
114 @c product (a[i], i, 1, 7);
115 @c product (a(i), i, 1, 7);
116 @c product (a(i), i, 1, n);
117 @c product (k, k, 1, n);
118 @c product (k, k, 1, n), simpproduct;
119 @c product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
120 @c product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
121 @c ===end===
123 @example
124 (%i1) product (x + i*(i+1)/2, i, 1, 4);
125 (%o1) (x + 1) (x + 3) (x + 6) (x + 10)
126 (%i2) product (i^2, i, 1, 7);
127 (%o2) 25401600
128 (%i3) product (a[i], i, 1, 7);
129 (%o3) a a a a a a a
130 1 2 3 4 5 6 7
131 (%i4) product (a(i), i, 1, 7);
132 (%o4) a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7)
133 (%i5) product (a(i), i, 1, n);
134 n
135 /===\
136 ! !
137 (%o5) ! ! a(i)
138 ! !
139 i = 1
140 (%i6) product (k, k, 1, n);
141 n
142 /===\
143 ! !
144 (%o6) ! ! k
145 ! !
146 k = 1
147 (%i7) product (k, k, 1, n), simpproduct;
148 (%o7) n!
149 (%i8) product (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
150 n
151 /===\
152 ! ! 1
153 (%o8) ! ! -----
154 ! ! k + 1
155 k = 1
156 (%i9) product (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
157 15 40
158 (%o9) a b
159 @end example
161 @opencatbox
162 @category{Sums and products}
163 @closecatbox
164 @end deffn
166 @c NEEDS CLARIFICATION, EXAMPLES
168 @c -----------------------------------------------------------------------------
169 @anchor{simpsum}
170 @defvr {オプション変数} simpsum
171 デフォルト値: @code{false}
173 @code{simpsum}が@code{true}の時、
174 @code{sum}の結果は、整理されます。
175 この整理は、時々、閉形式を生成することができるかもしれません。
176 もし@code{simpsum}が@code{false}もしくは、もしクォートされた形@code{'sum}が使われたなら、
177 値は、数学で使われるΣ表示の表現である和の名詞形です。
179 @opencatbox
180 @category{Sums and products}
181 @category{Simplification flags and variables}
182 @closecatbox
183 @end defvr
185 @c -----------------------------------------------------------------------------
186 @anchor{sum}
187 @deffn {関数} sum (@var{expr}, @var{i}, @var{i_0}, @var{i_1})
189 インデックス@var{i}が@var{i_0}から@var{i_1}まで変えた@var{expr}の値の和を返します。
190 名詞形@code{'sum}は、大文字Σとして表示されます。
192 @code{sum}は、被和@var{expr}と下限上限@var{i_0}、@var{i_1}を評価し、
193 @code{sum}は、インデックス@var{i}をクォートします（評価しません）。
195 もし上限と下限が整数差だけ違うなら、
196 被和@var{expr}は、インデックス@var{i}のそれぞれの値に関して評価され、
197 結果は陽な和です。
199 そうでなければ、インデックスの範囲は不定です。
200 積を整理するためにいくつかの規則が適用されます。
201 グローバル変数@code{simpsum}が@code{true}の時、
202 更なる規則が適用されます。
203 いくつかの場合、式整理は、和でない結果を出力します;
204 そうでなければ、結果は名詞形@code{'sum}です。
206 @code{evflag}(評価フラグ) @code{cauchysum}が@code{true}の時、
207 和の積は、コーシー積として表現されます。
208 コーシー積では、内側の和のインデックスは、独立に変化するのではなく、外側の和のインデックスの関数になります。
210 グローバル変数@code{genindex}は、
211 和の次のインデックスを生成するのに使われるアルファベット前置です。
213 @code{gensumnum}は、
214 自動生成されるインデックスが必要な時、
215 和の次のインデックスを生成するのに使われる数値接尾です。
216 @code{gensumnum}が@code{false}の時,
217 自動生成されるインデックスは、接尾なしの@code{genindex}のみです。
219 @code{sumcontract}, @code{intosum}, @code{bashindices}, @code{niceindices},
220 @code{nouns}, @code{evflag}, @code{zeilberger}も参照してください。
222 例:
224 @c ===beg===
225 @c sum (i^2, i, 1, 7);
226 @c sum (a[i], i, 1, 7);
227 @c sum (a(i), i, 1, 7);
228 @c sum (a(i), i, 1, n);
229 @c sum (2^i + i^2, i, 0, n);
230 @c sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
231 @c sum (1/3^i, i, 1, inf);
232 @c sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
233 @c sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
234 @c sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
235 @c sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
236 @c sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
237 @c ===end===
239 @example
240 (%i1) sum (i^2, i, 1, 7);
241 (%o1) 140
242 (%i2) sum (a[i], i, 1, 7);
243 (%o2) a + a + a + a + a + a + a
244 7 6 5 4 3 2 1
245 (%i3) sum (a(i), i, 1, 7);
246 (%o3) a(7) + a(6) + a(5) + a(4) + a(3) + a(2) + a(1)
247 (%i4) sum (a(i), i, 1, n);
248 n
249 ====
250 \
251 (%o4) > a(i)
252 /
253 ====
254 i = 1
255 (%i5) sum (2^i + i^2, i, 0, n);
256 n
257 ====
258 \ i 2
259 (%o5) > (2 + i )
260 /
261 ====
262 i = 0
263 (%i6) sum (2^i + i^2, i, 0, n), simpsum;
264 3 2
265 n + 1 2 n + 3 n + n
266 (%o6) 2 + --------------- - 1
267 6
268 (%i7) sum (1/3^i, i, 1, inf);
269 inf
270 ====
271 \ 1
272 (%o7) > --
273 / i
274 ==== 3
275 i = 1
276 (%i8) sum (1/3^i, i, 1, inf), simpsum;
277 1
278 (%o8) -
279 2
280 (%i9) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf);
281 inf
282 ====
283 \ 1
284 (%o9) 30 > --
285 / 2
286 ==== i
287 i = 1
288 (%i10) sum (i^2, i, 1, 4) * sum (1/i^2, i, 1, inf), simpsum;
289 2
290 (%o10) 5 %pi
291 (%i11) sum (integrate (x^k, x, 0, 1), k, 1, n);
292 n
293 ====
294 \ 1
295 (%o11) > -----
296 / k + 1
297 ====
298 k = 1
299 (%i12) sum (if k <= 5 then a^k else b^k, k, 1, 10);
300 10 9 8 7 6 5 4 3 2
301 (%o12) b + b + b + b + b + a + a + a + a + a
302 @end example
304 @opencatbox
305 @category{Sums and products}
306 @closecatbox
307 @end deffn
309 @c NEEDS CLARIFICATION, EXAMPLES
311 @c -----------------------------------------------------------------------------
312 @anchor{sumcontract}
313 @deffn {関数} sumcontract (@var{expr})
314 定数だけ異なる上限と下限を持つ足し算の和すべてを結合します。
315 結果は、
316 そんな和のそれぞれの集合が、この和を形成するよう抽出されなければならないすべての適切な余分の項に加えられた１つの和を含む式です。
317 @code{sumcontract}は、互換性のある和すべてを結合し、
318 可能なら和の１つからインデックスの１つを使い、もし供給されたどれもが使えないなら、合理的なインデックスを形成するよう試みます。
320 @c WHEN IS intosum NECESSARY BEFORE sumcontract ??
321 @code{sumcontract}の前に、@code{intosum (@var{expr})}を実行する必要があるかもしれません。
323 @opencatbox
324 @category{Sums and products}
325 @closecatbox
326 @end deffn
328 @c -----------------------------------------------------------------------------
329 @anchor{sumexpand}
330 @defvr {オプション変数} sumexpand
331 デフォルト値: @code{false}
333 @code{sumexpand}が@code{true}の時、
334 和の積と、指数和は、入れ子の和に整理されます。
336 @code{cauchysum}も参照してください。
338 例:
340 @example
341 (%i1) sumexpand: true$
342 (%i2) sum (f (i), i, 0, m) * sum (g (j), j, 0, n);
343 @group
344 m n
345 ==== ====
346 \ \
347 (%o2) > > f(i1) g(i2)
348 / /
349 ==== ====
350 i1 = 0 i2 = 0
351 @end group
352 (%i3) sum (f (i), i, 0, m)^2;
353 m m
354 ==== ====
355 \ \
356 (%o3) > > f(i3) f(i4)
357 / /
358 ==== ====
359 i3 = 0 i4 = 0
360 @end example
362 @opencatbox
363 @category{Sums and products}
364 @category{Simplification flags and variables}
365 @closecatbox
366 @end defvr
368 @c -----------------------------------------------------------------------------
369 @node Introduction to Series, Functions and Variables for Series, Sums and Products, Sums Products and Series
370 @section Introduction to Series
371 @c -----------------------------------------------------------------------------
373 Maximaは、微分可能な関数の級数を見つけるために、
374 関数@code{taylor}と@code{powerseries}を含みます。
375 ある級数の閉形式を見つける性能がある@code{nusum}のようなツールも持ちます。
376 足し算や掛け算のような演算は、級数上で普通に機能します。
377 この節は、展開を制御するグローバル変数を提供します。
379 @c end concepts Series
381 @c -----------------------------------------------------------------------------
382 @node Functions and Variables for Series, Poisson series, Introduction to Series, Sums Products and Series
383 @section Functions and Variables for Series
384 @c -----------------------------------------------------------------------------
386 @c -----------------------------------------------------------------------------
387 @anchor{cauchysum}
388 @defvr {オプション変数} cauchysum
389 デフォルト値: @code{false}
391 @c REPHRASE
392 上限として@code{inf}を持つ和同士を掛ける時、
393 もし@code{sumexpand}が@code{true}、かつ、@code{cauchysum}が@code{true}なら、
394 通常の積ではなくCauchy積が使われます。
395 Cauchy積では、
396 内側の和のインデックスは、独立に変化するのではなく、外側のインデックスの関数です。
398 例:
400 @example
401 (%i1) sumexpand: false$
402 (%i2) cauchysum: false$
403 (%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
404 inf inf
405 ==== ====
406 \ \
407 (%o3) ( > f(i)) > g(j)
408 / /
409 ==== ====
410 i = 0 j = 0
411 (%i4) sumexpand: true$
412 (%i5) cauchysum: true$
413 (%i6) ''s;
414 inf i1
415 ==== ====
416 \ \
417 (%o6) > > g(i1 - i2) f(i2)
418 / /
419 ==== ====
420 i1 = 0 i2 = 0
421 @end example
423 @opencatbox
424 @category{Sums and products}
425 @closecatbox
426 @end defvr
428 @c -----------------------------------------------------------------------------
429 @anchor{deftaylor}
430 @deffn {関数} deftaylor (@var{f_1}(@var{x_1}), @var{expr_1}, @dots{}, @var{f_n}(@var{x_n}), @var{expr_n})
432 @code{deftaylor}は、
433 ある変数@var{x_i}の関数@var{f_i}それぞれに関して、
434 @var{expr_i}をゼロの回りのTaylor級数と定義します。
435 @var{expr_i}は、典型的には、@var{x_i}の多項式か和です;
436 @code{deftaylor}は、もっと一般的な式も問題なく受け付けます。
438 @code{powerseries (@var{f_i}(@var{x_i}), @var{x_i}, 0)}は、
439 @code{deftaylor}で定義された級数を返します。
441 @code{deftaylor}は、
442 関数@var{f_1}, ..., @var{f_n}のリストを返します。
443 @code{deftaylor}は、引数を評価します。
445 例:
447 @example
448 (%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
449 (%o1) [f]
450 (%i2) powerseries (f(x), x, 0);
451 inf
452 ==== i1
453 \ x 2
454 (%o2) > -------- + x
455 / i1 2
456 ==== 2 i1!
457 i1 = 4
458 (%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
459 2 3 4
460 x 3073 x 12817 x
461 (%o3)/T/ 1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
462 2 18432 307200
463 @end example
465 @opencatbox
466 @category{Power series}
467 @closecatbox
468 @end deffn
470 @c -----------------------------------------------------------------------------
471 @anchor{maxtayorder}
472 @defvr {オプション変数} maxtayorder
473 デフォルト値: @code{true}
475 @c REPHRASE
476 @code{maxtayorder}が@code{true}の時、
477 (切り詰められた)Taylor級数の代数操作の間、
478 @code{taylor}は、厳密とわかっているできるだけ多くの項を保とうとします。
480 @opencatbox
481 @category{Power series}
482 @closecatbox
483 @end defvr
485 @c -----------------------------------------------------------------------------
486 @anchor{niceindices}
487 @deffn {関数} niceindices (@var{expr})
489 @var{expr}の中の和や積のインデックスを改名します。
490 @code{niceindices}は、
491 その名前が被加数や非積数の中に現れないなら、
492 インデックスそれぞれを@code{niceindicespref[1]}の値に改名しようとします。
493 現れた場合、
494 @code{niceindices}は、
495 未使用の変数が見つかるまで@code{niceindicespref}の次の要素を順に試します。
496 もしリスト全部が使い果たされたら、
497 例えば, @code{i0}, @code{i1}, @code{i2}, ....というように、
498 @code{niceindicespref[1]}の値に整数を追加することで、
499 追加のインデックスが構成されます。
501 @code{niceindices}は式を返します。
502 @code{niceindices}は引数を評価します。
504 例:
506 @example
507 (%i1) niceindicespref;
508 (%o1) [i, j, k, l, m, n]
509 (%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
510 inf inf
511 /===\ ====
512 ! ! \
513 (%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
514 ! ! /
515 bar = 1 ====
516 foo = 1
517 (%i3) niceindices (%);
518 @group
519 inf inf
520 /===\ ====
521 ! ! \
522 (%o3) ! ! > f(i j l + k)
523 ! ! /
524 l = 1 ====
525 k = 1
526 @end group
527 @end example
529 @opencatbox
530 @category{Sums and products}
531 @closecatbox
532 @end deffn
534 @c -----------------------------------------------------------------------------
535 @anchor{niceindicespref}
536 @defvr {オプション変数} niceindicespref
537 デフォルト値: @code{[i, j, k, l, m, n]}
539 @code{niceindicespref}は、
540 @code{niceindices}が和や積のインデックスの名前を取ってくる
541 リストです。
543 The elements of
544 @code{niceindicespref}の要素は、
545 @code{niceindices}によって強制されませんが、
546 通常、変数名です。
548 例:
550 @example
551 (%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
552 (%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
553 inf inf
554 /===\ ====
555 ! ! \
556 (%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
557 ! ! /
558 bar = 1 ====
559 foo = 1
560 (%i3) niceindices (%);
561 inf inf
562 /===\ ====
563 ! ! \
564 (%o3) ! ! > f(i j q + p)
565 ! ! /
566 q = 1 ====
567 p = 1
568 @end example
570 @opencatbox
571 @category{Sums and products}
572 @closecatbox
573 @end defvr
575 @c -----------------------------------------------------------------------------
576 @anchor{nusum}
577 @deffn {関数} nusum (@var{expr}, @var{x}, @var{i_0}, @var{i_1})
579 R.W. Gosperによる決定手続きを使って、
580 @var{x}に関する@var{expr}の不定超幾何総和を実行します。
581 @var{expr}と結果は、
582 整数べき、階乗、二項式、有理関数の積として表現可能でなければいけません。
584 @c UMM, DO WE REALLY NEED TO DEFINE "DEFINITE" AND "INDEFINITE" SUMMATION HERE ??
585 @c (CAN'T WE MAKE THE POINT WITHOUT DRAGGING IN SOME NONSTANDARD TERMINOLOGY ??)
586 用語「定」と「不定和」は、
587 「定」と「不定積分」へ類似して使われています。
588 不定に和を取ることは、
589 ただ、例えば0からinfまででなく、
590 変数の長さの区間上の和に関して、シンボリックな結果を与えることを意味します。
591 例えば、二項級数の一般的な部分和に関する公式はないので、
592 @code{nusum}はそれができません。
594 @code{nusum}と@code{unsum}は、有限積の和と差について少し知っています。
595 @code{unsum}も参照してください。
597 例:
599 @example
600 (%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
602 Dependent equations eliminated: (1)
603 (%o1) (n + 1)! - 1
604 (%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
605 4 3 2 n
606 2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
607 (%o2) ------------------------------------------------ - ------
608 693 binomial(2 n, n) 3 11 7
609 (%i3) unsum (%, n);
610 4 n
611 n 4
612 (%o3) ----------------
613 binomial(2 n, n)
614 (%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
615 n - 1
616 /===\
617 ! ! 2
618 (%o4) ( ! ! i ) (n - 1) (n + 1)
619 ! !
620 i = 1
621 (%i5) nusum (%, n, 1, n);
623 Dependent equations eliminated: (2 3)
624 n
625 /===\
626 ! ! 2
627 (%o5) ! ! i - 1
628 ! !
629 i = 1
630 @end example
632 @opencatbox
633 @category{Sums and products}
634 @closecatbox
635 @end deffn
637 @c THIS ITEM NEEDS SERIOUS WORK
639 @c -----------------------------------------------------------------------------
640 @anchor{pade}
641 @deffn {関数} pade (@var{taylor_series}, @var{numer_deg_bound}, @var{denom_deg_bound})
643 分子と分母の次数の和がべき級数の切り詰めレベル以下の
644 与えられたTaylor級数展開、すなわち、「最良」近似を持ち
645 加えて指定された次数範囲を満たす、有理関数すべてのリストを返します。
647 @var{taylor_series}は１変数Taylor級数です。
648 @var{numer_deg_bound}と@var{denom_deg_bound}は、
649 分子と分母上の次数範囲を指定する
650 正の整数です。
652 @var{taylor_series}は
653 Laurent級数も可能です。
654 次数範囲は、@code{inf}も可能で、
655 総次数が、冪級数の長さ以下の有理関数すべてを返すことになります。
656 総次数は
657 @code{@var{numer_deg_bound} + @var{denom_deg_bound}}として定義されます。
658 べき級数の長さは
659 @code{"truncation level" + 1 - min(0, "order of series")}として定義されます。
661 @example
662 (%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
663 2 3
664 (%o1)/T/ 1 + x + x + x + . . .
665 (%i2) pade (%, 1, 1);
666 1
667 (%o2) [- -----]
668 x - 1
669 (%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
670 + 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
671 + 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
672 + 67108864*x - 134217728)
673 /134217728, x, 0, 10);
674 2 3 4 5 6 7
675 x 3 x x 15 x 23 x 21 x 189 x
676 (%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
677 2 16 32 1024 2048 32768 65536
679 8 9 10
680 5853 x 2847 x 83787 x
681 + ------- + ------- - --------- + . . .
682 4194304 8388608 134217728
683 (%i4) pade (t, 4, 4);
684 (%o4) []
685 @end example
687 このべき級数展開を持つ次数4の 分子/分母の有理関数はありません。
688 一般的に、
689 解くのに十分な数の未知の係数を持つために、
690 その和が少なくともべき級数の次数になるまで
691 分子の次数と分母の次数を増やさなければいけません。
693 @example
694 (%i5) pade (t, 5, 5);
695 5 4 3
696 (%o5) [- (520256329 x - 96719020632 x - 489651410240 x
698 2
699 - 1619100813312 x - 2176885157888 x - 2386516803584)
701 5 4 3
702 /(47041365435 x + 381702613848 x + 1360678489152 x
704 2
705 + 2856700692480 x + 3370143559680 x + 2386516803584)]
706 @end example
708 @opencatbox
709 @category{Power series}
710 @closecatbox
711 @end deffn
713 @c -----------------------------------------------------------------------------
714 @anchor{powerseries}
715 @deffn {関数} powerseries (@var{expr}, @var{x}, @var{a})
717 変数@var{x}に関する点@var{a}
718 (無限大のためには@code{inf}かもしれません)
719 の回りの@var{expr}のべき級数展開の一般形式を返します:
720 @example
721 @group
722 inf
723 ====
724 \ n
725 > b (x - a)
726 / n
727 ====
728 n = 0
729 @end group
730 @end example
732 もし@code{powerseries}が@var{expr}を展開することができないなら、
733 @code{taylor}が、級数の最初のいくつかの項を与えることができます。
735 @code{verbose}が@code{true}の時、
736 @code{powerseries}は進捗メッセージを印字します。
738 @example
739 (%i1) verbose: true$
740 (%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
741 can't expand
742 log(sin(x))
743 so we'll try again after applying the rule:
744 d
745 / -- (sin(x))
746 [ dx
747 log(sin(x)) = i ----------- dx
748 ] sin(x)
749 /
750 in the first simplification we have returned:
751 /
752 [
753 i cot(x) dx - log(x)
754 ]
755 /
756 inf
757 ==== i1 2 i1 2 i1
758 \ (- 1) 2 bern(2 i1) x
759 > ------------------------------
760 / i1 (2 i1)!
761 ====
762 i1 = 1
763 (%o2) -------------------------------------
764 2
765 @end example
767 @opencatbox
768 @category{Power series}
769 @closecatbox
770 @end deffn
772 @c -----------------------------------------------------------------------------
773 @anchor{psexpand}
774 @defvr {オプション変数} psexpand
775 デフォルト値: @code{false}
777 @code{psexpand}が@code{true}の時、
778 拡張有理関数展開が完全に展開されて表示されます。
779 スイッチ@code{ratexpand}は同じ効果を持ちます。
781 @c WE NEED TO BE EXPLICIT HERE
782 @code{psexpand}が@code{false}の時、
783 多変数式がちょうど有理関数パッケージにあるかのように表示されます。
785 @c TERMS OF WHAT ??
786 @code{psexpand}が@code{multi}の時、
787 変数に関する同じ総次数の項は一緒にまとめられます。
789 @opencatbox
790 @category{Display flags and variables}
791 @closecatbox
793 @end defvr
795 @c -----------------------------------------------------------------------------
796 @anchor{revert}
797 @deffn {関数} revert (@var{expr}, @var{x})
798 @deffnx {関数} revert2 (@var{expr}, @var{x}, @var{n})
799 これらの関数は、
800 変数@var{x}に関するゼロの回りのTaylor級数@var{expr}の反転を返します。
801 @code{revert}は、
802 @var{expr}の最高次数と等しい次数の多項式を返します。
803 @code{revert2}は、次数@var{n}の多項式を返します。
804 @var{n}は、@var{expr}の次数よりも大きい値も小さい値も同じ値も取り得ます。
806 @code{load ("revert")}はこれらの関数をロードします。
808 例:
810 @example
811 (%i1) load ("revert")$
812 (%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
813 2 3 4 5 6
814 x x x x x
815 (%o2)/T/ x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
816 2 6 24 120 720
817 (%i3) revert (t, x);
818 6 5 4 3 2
819 10 x - 12 x + 15 x - 20 x + 30 x - 60 x
820 (%o3)/R/ - --------------------------------------------
821 60
822 (%i4) ratexpand (%);
823 6 5 4 3 2
824 x x x x x
825 (%o4) - -- + -- - -- + -- - -- + x
826 6 5 4 3 2
827 (%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
828 2 3 4 5 6
829 x x x x x
830 (%o5)/T/ x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
831 2 3 4 5 6
832 (%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
833 (%o6) 0
834 (%i7) revert2 (t, x, 4);
835 4 3 2
836 x x x
837 (%o7) - -- + -- - -- + x
838 4 3 2
839 @end example
841 @opencatbox
842 @category{Power series}
843 @closecatbox
844 @end deffn
846 @c -----------------------------------------------------------------------------
847 @anchor{taylor}
848 @deffn {関数} taylor (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{n})
849 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], @var{a}, @var{n})
850 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x}, @var{a}, @var{n}, 'asymp])
851 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], [@var{a_1}, @var{a_2}, ...], [@var{n_1}, @var{n_2}, ...])
852 @deffnx {関数} taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{a_1}, @var{n_1}], [@var{x_2}, @var{a_2}, @var{n_2}], ...)
854 @code{taylor (@var{expr}, @var{x}, @var{a}, @var{n})}は、
855 式@var{expr}を、変数@var{x}の@var{a}の周りのTaylorもしくはLaurent級数を
856 @code{(@var{x} - @var{a})^@var{n}}まで展開します。
858 もし@var{expr}が形式@code{@var{f}(@var{x})/@var{g}(@var{x})} の形であり、
859 @code{@var{g}(@var{x})}が@var{n}次まで項を持たないなら、
860 @code{taylor}は@code{@var{g}(@var{x})}を@code{2 @var{n}}次まで展開しようとします。
861 もしまだ0でない項がないなら、
862 @code{taylor}は、展開の次数が@code{@var{n} 2^taylordepth}以下である限り
863 @code{@var{g}(@var{x})}の展開の次数を倍にしていきます。
865 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], @var{a}, @var{n})}
866 は、すべての変数@var{x_1}, @var{x_2}, ...について
867 点@code{(@var{a}, @var{a}, , ...)}の周りで@var{n}次までのべき級数を返します。
869 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{a_1}, @var{n_1}], [@var{x_2}, @var{a_2}, @var{n_2}], ...)}は、変数@var{x_1}, @var{x_2}, ...について
870 点@code{(@var{a_1}, @var{a_2}, ...)}の回りで
871 @var{n_1}次, @var{n_2}次, ....まで展開したべき級数を返します。
873 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x_1}, @var{x_2}, ...], [@var{a_1}, @var{a_2}, ...], [@var{n_1}, @var{n_2}, ...])}は、
874 変数@var{x_1}, @var{x_2}, ...について、
875 点@code{(@var{a_1}, @var{a_2}, ...)}の回りで
876 @var{n_1}次, @var{n_2}次, ....まで展開したべき級数を返します。
878 @code{taylor (@var{expr}, [@var{x}, @var{a}, @var{n}, 'asymp])}は、
879 @var{expr}の@code{@var{x} - @var{a}}の負のべき乗展開を返します。
880 最高次の項は@code{(@var{x} - @var{a})^@var{-n}}です。
882 @code{maxtaylorder}が@code{true}の時、
883 （丸められた）Taylor級数の代数操作の間、
884 @code{talyor}は正確とわかっている限り多くの項を保とうとします。
886 @code{psexpand}が@code{true}の時、
887 拡張有理関数式は、フルに展開されて表示されます。
888 スイッチ@code{ratexpand}は同じ効果を持ちます。
889 @code{psexpand}が@code{false}の時、
890 有理関数パッケージかのように多変数式が表示されます。
891 @code{psexpand}が@code{multi}なら、同じ総次数の項が一緒にグループ化されます。
893 展開を制御するには、@code{taylor_logexpand}スイッチも参照してください。
895 例:
897 @c EXAMPLES ADAPTED FROM example (taylor)
898 @c taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
899 @c %^2;
900 @c taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
901 @c %^2;
902 @c product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
903 @c ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
904 @c taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
905 @c taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
906 @c taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
907 @c taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
908 @c taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
909 @c taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
910 @c taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
911 @c taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
912 @c taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
913 @c taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
914 @example
915 (%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
916 2 2
917 (a + 1) x (a + 2 a + 1) x
918 (%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
919 2 8
921 3 2 3
922 (3 a + 9 a + 9 a - 1) x
923 + -------------------------- + . . .
924 48
925 (%i2) %^2;
926 3
927 x
928 (%o2)/T/ 1 + (a + 1) x - -- + . . .
929 6
930 (%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
931 2 3 4 5
932 x x x 5 x 7 x
933 (%o3)/T/ 1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
934 2 8 16 128 256
935 (%i4) %^2;
936 (%o4)/T/ 1 + x + . . .
937 (%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
938 @group
939 inf
940 /===\
941 ! ! i 2.5
942 ! ! (x + 1)
943 ! !
944 i = 1
945 (%o5) -----------------
946 2
947 x + 1
948 @end group
949 (%i6) ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
950 2 3
951 (%o6)/T/ 1 + 2.5 x + 3.375 x + 6.5625 x + . . .
952 (%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
953 2 3
954 1 1 x x 19 x
955 (%o7)/T/ - + - - -- + -- - ----- + . . .
956 x 2 12 24 720
957 (%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
958 4
959 2 x
960 (%o8)/T/ - x - -- + . . .
961 6
962 (%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
963 (%o9)/T/ 0 + . . .
964 (%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
965 2 4
966 1 1 11 347 6767 x 15377 x
967 (%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
968 6 4 2 15120 604800 7983360
969 x 2 x 120 x
971 + . . .
972 (%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
973 2 2 4 2 4
974 k x (3 k - 4 k ) x
975 (%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
976 2 24
978 6 4 2 6
979 (45 k - 60 k + 16 k ) x
980 - -------------------------- + . . .
981 720
982 (%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
983 @group
984 2 2 3 2 3
985 (n - n) x (n - 3 n + 2 n) x
986 (%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
987 2 6
989 4 3 2 4
990 (n - 6 n + 11 n - 6 n) x
991 + ---------------------------- + . . .
992 24
993 @end group
994 (%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
995 3 2
996 y y
997 (%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
998 6 2
1000 3 2
1001 y y 2 1 y 3
1002 + (- - + -- + . . .) x + (- - + -- + . . .) x + . . .
1003 2 12 6 12
1004 (%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
1005 3 2 2 3
1006 x + 3 y x + 3 y x + y
1007 (%o14)/T/ y + x - ------------------------- + . . .
1008 6
1009 (%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
1010 1 y 1 1 1 2
1011 (%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
1012 y 6 2 6 3
1013 y y
1015 1 3
1016 + (- -- + . . .) x + . . .
1017 4
1018 y
1019 (%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
1020 3 2 2 3
1021 1 x + y 7 x + 21 y x + 21 y x + 7 y
1022 (%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
1023 x + y 6 360
1024 @end example
1026 @opencatbox
1027 @category{Power series}
1028 @closecatbox
1029 @end deffn
1031 @c -----------------------------------------------------------------------------
1032 @anchor{taylordepth}
1033 @defvr {オプション変数} taylordepth
1034 デフォルト値: 3
1036 @c UM, THE CONTEXT FOR THIS REMARK NEEDS TO BE ESTABLISHED
1037 もしまだ非ゼロ項がないなら、
1038 展開の次数が@code{@var{n} 2^taylordepth}以下である限り、
1039 @code{taylor}は、
1040 @code{@var{g}(@var{x})}の展開の次数を倍にします。
1042 @opencatbox
1043 @category{Power series}
1044 @closecatbox
1045 @end defvr
1047 @c -----------------------------------------------------------------------------
1048 @anchor{taylorinfo}
1049 @deffn {関数} taylorinfo (@var{expr})
1051 Taylor級数@var{expr}についての情報を返します。
1052 戻り値はリストのリストです。
1053 リストそれぞれは、変数名、展開点、展開次数から成ります。
1055 もし@var{expr}がTaylor級数でないなら、
1056 @code{taylorinfo}は@code{false}を返します。
1058 例:
1060 @example
1061 (%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
1062 2 2
1063 (%o1)/T/ - (y - a) - 2 a (y - a) + (1 - a )
1065 2 2
1066 + (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
1068 2 2 2
1069 + (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
1071 2 2 3
1072 + (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x + . . .
1073 (%i2) taylorinfo(%);
1074 (%o2) [[y, a, inf], [x, 0, 3]]
1075 @end example
1077 @opencatbox
1078 @category{Power series}
1079 @closecatbox
1080 @end deffn
1082 @c -----------------------------------------------------------------------------
1083 @anchor{taylorp}
1084 @deffn {関数} taylorp (@var{expr})
1086 もし@var{expr}がTaylor級数なら、@code{true}を、
1087 そうでないなら、@code{false}を返します。
1089 @opencatbox
1090 @category{Predicate functions}
1091 @category{Power series}
1092 @closecatbox
1093 @end deffn
1095 @c WHAT IS THIS ABOUT EXACTLY ??
1097 @c -----------------------------------------------------------------------------
1098 @anchor{taylor_logexpand}
1099 @defvr {オプション変数} taylor_logexpand
1100 デフォルト値: @code{true}
1102 @code{taylor_logexpand}は、
1103 @code{taylor}級数の中の対数の展開を制御します。
1105 @code{taylor_logexpand}が@code{true}の時、
1106 対数すべては完全に展開されるので、対数的恒等式を含むゼロ認識問題は
1107 展開プロセスを邪魔しません。
1108 しかしながら、分岐情報を無視するので、この方法はいつも数学的にただしいわけではありません。
1110 @code{taylor_logexpand}が@code{false}に設定されている時、
1111 生じる対数の唯一の展開は、
1112 形式的なべき級数を得るのに必要なものです。
1114 @c NEED EXAMPLES HERE
1115 @opencatbox
1116 @category{Power series}
1117 @category{Exponential and logarithm functions}
1118 @closecatbox
1119 @end defvr
1121 @c -----------------------------------------------------------------------------
1122 @anchor{taylor_order_coefficients}
1123 @defvr {オプション変数} taylor_order_coefficients
1124 デフォルト値: @code{true}
1126 @code{taylor_order_coefficients}は、
1127 Taylor級数の中の係数の順序付けを制御します。
1129 @code{taylor_order_coefficients}が@code{true}の時、
1130 Taylor級数の係数は標準に順序付けられます。
1131 @c IS MAXIMA'S NOTION OF "CANONICALLY" DESCRIBED ELSEWHERE ??
1132 @c AND WHAT HAPPENS WHEN IT IS FALSE ??
1134 @c NEED EXAMPLES HERE
1135 @opencatbox
1136 @category{Power series}
1137 @closecatbox
1138 @end defvr
1140 @c -----------------------------------------------------------------------------
1141 @anchor{taylor_simplifier}
1142 @deffn {関数} taylor_simplifier (@var{expr})
1144 べき級数@var{expr}の係数を整理します。
1145 @code{taylor}はこの関数をコールします。
1147 @opencatbox
1148 @category{Power series}
1149 @closecatbox
1150 @end deffn
1152 @c -----------------------------------------------------------------------------
1153 @anchor{taylor_truncate_polynomials}
1154 @defvr {オプション変数} taylor_truncate_polynomials
1155 デフォルト値: @code{true}
1157 @c WHAT IS THE "INPUT TRUNCATION LEVEL" ?? THE ARGUMENT n OF taylor ??
1158 @code{taylor_truncate_polynomials}が@code{true}の時、
1159 多項式は入力切り詰めレベルを基礎に切り詰められます。
1161 そうでないなら、
1162 @code{taylor}への多項式入力は、
1163 不定の精度を持つと考えられます。
1164 @c WHAT IS "INFINITE PRECISION" IN THIS CONTEXT ??
1166 @opencatbox
1167 @category{Power series}
1168 @closecatbox
1169 @end defvr
1171 @c -----------------------------------------------------------------------------
1172 @anchor{taytorat}
1173 @deffn {関数} taytorat (@var{expr})
1174 @code{taylor}形式から標準有理式(CRE)形式に
1175 @var{expr}を変換します。
1176 効果は@code{rat (ratdisrep (@var{expr}))}と同じですが、より速いです。
1178 @opencatbox
1179 @category{Power series}
1180 @category{Rational expressions}
1181 @closecatbox
1182 @end deffn
1184 @c -----------------------------------------------------------------------------
1185 @anchor{trunc}
1186 @deffn {関数} trunc (@var{expr})
1188 一般式@var{expr}の内部表現をアノテートするので、まるでその和が切り詰められたTaylor級数かのように表示されます。
1189 @var{expr}は別に変更されません。
1191 例:
1193 @example
1194 (%i1) expr: x^2 + x + 1;
1195 2
1196 (%o1) x + x + 1
1197 (%i2) trunc (expr);
1198 2
1199 (%o2) 1 + x + x + . . .
1200 (%i3) is (expr = trunc (expr));
1201 (%o3) true
1202 @end example
1204 @opencatbox
1205 @category{Power series}
1206 @closecatbox
1207 @end deffn
1209 @c -----------------------------------------------------------------------------
1210 @anchor{unsum}
1211 @deffn {関数} unsum (@var{f}, @var{n})
1213 最初の後方差@code{@var{f}(@var{n}) - @var{f}(@var{n} - 1)}を返します。
1214 従って、
1215 @code{unsum}は、ある意味、@code{sum}の逆です。
1217 @code{nusum}も参照してください。
1219 例:
1220 @c GENERATED FROM THE FOLLOWING INPUTS
1221 @c g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
1222 @c g(n^4);
1223 @c nusum (%, n, 0, n);
1224 @c unsum (%, n);
1226 @example
1227 (%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
1228 n
1229 p 4
1230 (%o1) g(p) := ----------------
1231 binomial(2 n, n)
1232 (%i2) g(n^4);
1233 4 n
1234 n 4
1235 (%o2) ----------------
1236 binomial(2 n, n)
1237 (%i3) nusum (%, n, 0, n);
1238 4 3 2 n
1239 2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
1240 (%o3) ------------------------------------------------ - ------
1241 693 binomial(2 n, n) 3 11 7
1242 (%i4) unsum (%, n);
1243 4 n
1244 n 4
1245 (%o4) ----------------
1246 binomial(2 n, n)
1247 @end example
1249 @opencatbox
1250 @category{Sums and products}
1251 @closecatbox
1252 @end deffn
1254 @c -----------------------------------------------------------------------------
1255 @anchor{verbose}
1256 @defvr {オプション変数} verbose
1257 デフォルト値: @code{false}
1259 @code{verbose}が@code{true}の時、
1260 @code{powerseries}は進捗メッセージを印字します。
1262 @opencatbox
1263 @category{Power series}
1264 @closecatbox
1266 @end defvr
1268 @c -----------------------------------------------------------------------------
1269 @node Poisson series, , Functions and Variables for Series, Sums Products and Series
1270 @section Poisson series
1271 @c -----------------------------------------------------------------------------
1273 @c NEED EXAMPLES HERE
1275 @c -----------------------------------------------------------------------------
1276 @anchor{intopois}
1277 @deffn {関数} intopois (@var{a})
1278 @var{a}をPoisson符号に変換します。
1280 @opencatbox
1281 @category{Poisson series}
1282 @closecatbox
1283 @end deffn
1285 @c NEED EXAMPLES HERE
1287 @c -----------------------------------------------------------------------------
1288 @anchor{outopois}
1289 @deffn {関数} outofpois (@var{a})
1291 @var{a}をPoisson符号から一般表現に変換します。
1292 もし@var{a}がPoisson形式でないなら、
1293 @code{outofpois}は変換を実行し、
1294 すなわち、その戻り値は、@code{outofpois (intopois (@var{a}))}です。
1295 例えば、この関数は、
1296 特定のタイプのサインやコサイン項のべきの和に関する
1297 標準整理器です。
1299 @opencatbox
1300 @category{Poisson series}
1301 @closecatbox
1302 @end deffn
1304 @c NEED MORE INFO HERE
1305 @c NEED EXAMPLES HERE
1307 @c -----------------------------------------------------------------------------
1308 @anchor{poisdiff}
1309 @deffn {関数} poisdiff (@var{a}, @var{b})
1311 @var{a}を@var{b}に関して微分します。
1312 @var{b}は三角関数の引数の中だけ、または係数の中だけにいなければいけません。
1314 @opencatbox
1315 @category{Poisson series}
1316 @closecatbox
1317 @end deffn
1319 @c LOOKING AT THE CODE IN src/pois3.lisp, THIS FCN SEEMS TO COMPUTE THE EXPONENT BY MULTIPLYING IN A LOOP
1320 @c DUNNO HOW WE WANT TO EXPLAIN THAT
1321 @c REPHRASE WITHOUT USING THE TERM "FUNCTIONALLY IDENTICAL"
1323 @c -----------------------------------------------------------------------------
1324 @anchor{poisexpt}
1325 @deffn {関数} poisexpt (@var{a}, @var{b})
1327 関数的に@code{intopois (@var{a}^@var{b})}と同一です。
1328 @var{b}は正の整数でなければいけません。
1330 @opencatbox
1331 @category{Poisson series}
1332 @closecatbox
1333 @end deffn
1335 @c WHAT IS THIS ABOUT ??
1337 @c -----------------------------------------------------------------------------
1338 @anchor{poisint}
1339 @deffn {関数} poisint (@var{a}, @var{b})
1341 (@code{poisdiffと})似て制限された意味で積分します。
1342 もし@var{b}が三角関数の引数の中にあるなら、
1343 @var{b}の中の非周期的項は落とされます。
1345 @opencatbox
1346 @category{Poisson series}
1347 @closecatbox
1348 @end deffn
1350 @c -----------------------------------------------------------------------------
1351 @anchor{poislim}
1352 @defvr {オプション変数} poislim
1353 デフォルト値: 5
1355 @code{poislim}は、三角関数の引数の中の係数の領域を決定します。
1356 初期値5は
1357 区間[-2^(5-1)+1,2^(5-1)]、すなわち[-15,16]に対応しますが、
1358 [-2^(n-1)+1, 2^(n-1)]に設定することができます。
1360 @opencatbox
1361 @category{Poisson series}
1362 @closecatbox
1363 @end defvr
1365 @c UMM, WHAT IS THIS ABOUT EXACTLY ?? EXAMPLES NEEDED
1367 @c -----------------------------------------------------------------------------
1368 @anchor{poismap}
1369 @deffn {関数} poismap (@var{series}, @var{sinfn}, @var{cosfn})
1371 関数@var{sinfn}を与えられたPoisson級数のサイン項に、
1372 @var{cosfn}をコサイン項に
1373 マップします。
1374 @var{sinfn}と @var{cosfn}は、２引数関数です。
1375 引数それぞれは、級数の中の項の係数と三角関数部です。
1377 @opencatbox
1378 @category{Poisson series}
1379 @closecatbox
1380 @end deffn
1382 @c REPHRASE WITHOUT USING THE TERM "FUNCTIONALLY IDENTICAL"
1384 @c -----------------------------------------------------------------------------
1385 @anchor{poisplus}
1386 @deffn {関数} poisplus (@var{a}, @var{b})
1388 関数的に@code{intopois (a + b)}と同一です。
1390 @opencatbox
1391 @category{Poisson series}
1392 @closecatbox
1393 @end deffn
1395 @c -----------------------------------------------------------------------------
1396 @anchor{poissimp}
1397 @deffn {関数} poissimp (@var{a})
1399 @var{a}を、一般表現の@var{a}に関するPoisson級数に変換します。
1401 @opencatbox
1402 @category{Poisson series}
1403 @closecatbox
1404 @end deffn
1406 @c MORE INFO NEEDED HERE
1408 @c -----------------------------------------------------------------------------
1409 @anchor{poisson}
1410 @defvr {特殊シンボル} poisson
1412 シンボル@code{/P/}は、Poisson級数式の行ラベルに続きます。
1414 @opencatbox
1415 @category{Poisson series}
1416 @closecatbox
1417 @end defvr
1419 @c -----------------------------------------------------------------------------
1420 @anchor{poissubst}
1421 @deffn {関数} poissubst (@var{a}, @var{b}, @var{c})
1423 @var{a}を@var{c}の中の@var{b}に代入します。
1424 @var{c}はPoisson級数です。
1426 (1) @var{b}が変数@var{u}, @var{v}, @var{w}, @var{x}, @var{y}, @var{z}のいずれかの場合、
1427 @var{a}はそれらの変数に関して線形の式(例えば、@code{6*u + 4*v})でなければいけません。
1429 (2) @var{b}はそれらの変数以外の場合、
1430 @var{a}もまたそれらの変数を含んではいけなく、さらに、サインもコサインも含んではいけません。
1432 @code{poissubst (@var{a}, @var{b}, @var{c}, @var{d}, @var{n})}は、
1433 上のタイプ(1)のように@var{a}と@var{b}に関して演算しますが、
1434 @var{d}がPoisson級数の場合、
1435 @var{c}の中で@var{b}に@code{@var{a} + @var{d}}を代入した結果を供給するために、
1436 @code{cos(@var{d})}と@code{sin(@var{d})}を次数@var{n}に展開する
1437 特殊なタイプの代入です。
1438 アイデアは、
1439 @var{d}が小さなパラメータの項に関する展開だということです。
1440 例えば、
1441 @code{poissubst (u, v, cos(v), %e, 3)}は@code{cos(u)*(1 - %e^2/2) - sin(u)*(%e - %e^3/6)}をもたらします。
1443 @opencatbox
1444 @category{Poisson series}
1445 @closecatbox
1446 @end deffn
1448 @c REPHRASE WITHOUT USING THE TERM "FUNCTIONALLY IDENTICAL"
1450 @c -----------------------------------------------------------------------------
1451 @anchor{poistimes}
1452 @deffn {関数} poistimes (@var{a}, @var{b})
1454 @code{intopois (@var{a}*@var{b})}と同じ機能です。
1456 @opencatbox
1457 @category{Poisson series}
1458 @closecatbox
1459 @end deffn
1461 @c HOW DOES THIS WORK ?? NEED MORE INFO AND EXAMPLES
1463 @c -----------------------------------------------------------------------------
1464 @anchor{poistrim}
1465 @deffn {関数} poistrim ()
1467 (もしユーザーがそれを定義したら)
1468 Poisson乗算の間、適用する予約関数です。
1469 項の中の@var{u}, @var{v}, ..., @var{z}の係数を引数とする６引数の述語論理関数です。
1470 (この項の係数に関して)@code{poistrim}が@code{true}の項は、
1471 乗算の間に消去されます。
1473 @opencatbox
1474 @category{Poisson series}
1475 @closecatbox
1476 @end deffn
1478 @c -----------------------------------------------------------------------------
1479 @anchor{printpois}
1480 @deffn {関数} printpois (@var{a})
1482 可読フォーマットでPoisson級数を印字します。
1483 @code{outofpois}と共通で、
1484 もし必要なら、@var{a}を最初にPoisson符号に変換します。
1486 @opencatbox
1487 @category{Poisson series}
1488 @category{Display functions}
1489 @closecatbox
1490 @end deffn