doc/info/ja/interpol.texi

   1 @menu
   2 * Introduction to interpol::
   3 * Functions and Variables for interpol::
   4 @end menu
   5
   6 @node Introduction to interpol, Functions and Variables for interpol, interpol, interpol
   7 @section Introduction to interpol
   8
   9 パッケージ@code{interpol}は
  10 多項式内挿のためのLagrange、線形、三次スプライン法を定義します。
  11
  12 コメント、バグ、提案は@var{'mario AT edu DOT xunta DOT es'}にコンタクトを取ってください。
  13
  14 @opencatbox
  15 @category{Numerical methods}
  16 @category{Share packages}
  17 @category{Package interpol}
  18 @closecatbox
  19
  20 @node Functions and Variables for interpol,  , Introduction to interpol, interpol
  21 @section Functions and Variables for interpol
  22
  23
  24 @deffn {関数} lagrange (@var{points})
  25 @deffnx {関数} lagrange (@var{points}, @var{option})
  26 Lagrange法で多項式内挿を計算します。
  27 引数 @var{points}は以下のいずれかでなければいけません:
  28
  29 @itemize @bullet
  30 @item
  31 2列行列, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
  32 @item
  33 対のリスト, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
  34 @item
  35 数のリスト, @code{p: [4,6,3]},
  36 この場合、横座標は自動的に1, 2, 3などに割り当てられます。
  37 @end itemize
  38
  39 最初の2つの場合には、
  40 計算を行う前に、対は最初の座標に関して並び替えられます。
  41
  42 @var{option}引数を使って、
  43 独立変数の名前を選択することが可能です。
  44 デフォルトでは @code{'x}です;
  45 別のものを定義するには、 @code{varname='z}のようなものを書いてください。
  46
  47 高次多項式を使って計算する時には、浮動小数点評価は不安定なことに注意してください。
  48
  49 例:
  50
  51 @example
  52 (%i1) load("interpol")$
  53 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
  54 (%i3) lagrange(p);
  55        (x - 7) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  56 (%o3)  -------------------------------
  57                      35
  58    (x - 8) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  59  - -------------------------------
  60                  12
  61    7 (x - 8) (x - 7) (x - 3) (x - 1)
  62  + ---------------------------------
  63                   30
  64    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 1)
  65  - -------------------------------
  66                  60
  67    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 3)
  68  + -------------------------------
  69                  84
  70 (%i4) f(x):=''%;
  71                (x - 7) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  72 (%o4)  f(x) := -------------------------------
  73                              35
  74    (x - 8) (x - 6) (x - 3) (x - 1)
  75  - -------------------------------
  76                  12
  77    7 (x - 8) (x - 7) (x - 3) (x - 1)
  78  + ---------------------------------
  79                   30
  80    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 1)
  81  - -------------------------------
  82                  60
  83    (x - 8) (x - 7) (x - 6) (x - 3)
  84  + -------------------------------
  85                  84
  86 (%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
  87       expand(map(f,[2.3,5/7,%pi]));
  88                                   4          3           2
  89                     919062  73 %pi    701 %pi    8957 %pi
  90 (%o5)  [- 1.567535, ------, ------- - -------- + ---------
  91                     84035     420       210         420
  92                                              5288 %pi   186
  93                                            - -------- + ---]
  94                                                105       5
  95 (%i6) %,numer;
  96 (%o6) [- 1.567535, 10.9366573451538, 2.89319655125692]
  97 (%i7) load("draw")$  /* load draw package */
  98 (%i8) /* Plot the polynomial together with points */
  99       draw2d(
 100         color      = red,
 101         key        = "Lagrange polynomial",
 102         explicit(f(x),x,0,10),
 103         point_size = 3,
 104         color      = blue,
 105         key        = "Sample points",
 106         points(p))$
 107 (%i9) /* Change variable name */
 108       lagrange(p, varname=w);
 109        (w - 7) (w - 6) (w - 3) (w - 1)
 110 (%o9)  -------------------------------
 111                      35
 112    (w - 8) (w - 6) (w - 3) (w - 1)
 113  - -------------------------------
 114                  12
 115    7 (w - 8) (w - 7) (w - 3) (w - 1)
 116  + ---------------------------------
 117                   30
 118    (w - 8) (w - 7) (w - 6) (w - 1)
 119  - -------------------------------
 120                  60
 121    (w - 8) (w - 7) (w - 6) (w - 3)
 122  + -------------------------------
 123                  84
 124 @end example
 125
 126 @opencatbox
 127 @category{Package interpol}
 128 @closecatbox
 129
 130 @end deffn
 131
 132
 133 @deffn {関数} charfun2 (@var{x}, @var{a}, @var{b})
 134 もし数 @var{x}が区間 @math{[a, b)}に属するなら、@code{true}を返し、
 135 そうでないなら、 @code{false}を返します。
 136
 137 @opencatbox
 138 @category{Package interpol}
 139 @closecatbox
 140
 141 @end deffn
 142
 143
 144 @deffn {関数} linearinterpol (@var{points})
 145 @deffnx {関数} linearinterpol (@var{points}, @var{option})
 146 線形法で多項式内挿を計算します。
 147 引数 @var{points}は以下のいずれかでなければいけません:
 148
 149 @itemize @bullet
 150 @item
 151 2列行列, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 152 @item
 153 対のリスト, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 154 @item
 155 数のリスト, @code{p: [4,6,3]},
 156 この場合、横座標は自動的に1, 2, 3などに割り当てられます。
 157 @end itemize
 158
 159 最初の2つの場合には、
 160 計算を行う前に、対は最初の座標に関して並び替えられます。
 161
 162 @var{option}引数を使って、
 163 独立変数の名前を選択することが可能です。
 164 デフォルトでは @code{'x}です;
 165 別のものを定義するには、 @code{varname='z}のようなものを書いてください。
 166
 167 例:
 168 @example
 169 (%i1) load("interpol")$
 170 (%i2) p: matrix([7,2],[8,3],[1,5],[3,2],[6,7])$
 171 (%i3) linearinterpol(p);
 172         13   3 x
 173 (%o3)  (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 174         2     2
 175  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 176     5 x
 177  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 178      3
 179
 180 (%i4) f(x):=''%;
 181                 13   3 x
 182 (%o4)  f(x) := (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 183                 2     2
 184  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 185     5 x
 186  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 187      3
 188 (%i5)  /* Evaluate the polynomial at some points */
 189        map(f,[7.3,25/7,%pi]);
 190                             62  5 %pi
 191 (%o5)                 [2.3, --, ----- - 3]
 192                             21    3
 193 (%i6) %,numer;
 194 (%o6)  [2.3, 2.952380952380953, 2.235987755982989]
 195 (%i7) load("draw")$  /* load draw package */
 196 (%i8)  /* Plot the polynomial together with points */
 197        draw2d(
 198          color      = red,
 199          key        = "Linear interpolator",
 200          explicit(f(x),x,-5,20),
 201          point_size = 3,
 202          color      = blue,
 203          key        = "Sample points",
 204          points(args(p)))$
 205 (%i9)  /* Change variable name */
 206        linearinterpol(p, varname='s);
 207        13   3 s
 208 (%o9) (-- - ---) charfun2(s, minf, 3)
 209        2     2
 210  + (s - 5) charfun2(s, 7, inf) + (37 - 5 s) charfun2(s, 6, 7)
 211     5 s
 212  + (--- - 3) charfun2(s, 3, 6)
 213      3
 214 @end example
 215
 216 @opencatbox
 217 @category{Package interpol}
 218 @closecatbox
 219
 220 @end deffn
 221
 222
 223
 224 @deffn {関数} cspline (@var{points})
 225 @deffnx {関数} cspline (@var{points}, @var{option1}, @var{option2}, ...)
 226 三次スプライン法で多項式内挿を計算します。
 227 引数 @var{points}は以下のいずれかでなければいけません:
 228
 229 @itemize @bullet
 230 @item
 231 2列行列, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 232 @item
 233 対のリスト, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 234 @item
 235 数のリスト, @code{p: [4,6,3]},
 236 この場合、横座標は自動的に1, 2, 3などに割り当てられます。
 237 @end itemize
 238
 239 最初の2つの場合には、
 240 計算を行う前に、対は最初の座標に関して並び替えられます。
 241
 242 特定の必要性に合わせるため3つのオプションがあります:
 243 @itemize @bullet
 244 @item
 245 @code{'d1}, デフォルトは @code{'unknown}, は
 246  @math{x_1}での一階導関数です;
 247 もし @code{'unknown}なら、
 248  @math{x_1}での二階導関数は0に等しいとされます(自然な三次スプライン);
 249 もし数字だったら、二階導関数はこの数字に基づいて計算されます。
 250
 251 @item
 252 @code{'dn}, デフォルトは @code{'unknown}, は
 253  @math{x_n}での一階導関数です;
 254 もし @code{'unknown}なら、
 255  @math{x_n}での二階導関数は0に等しいとされます(自然な三次スプライン);
 256 もし数字だったら、二階導関数はこの数字に基づいて計算されます。
 257
 258 @item
 259 @code{'varname}, デフォルトは @code{'x}, は
 260 独立変数の名前です。
 261 @end itemize
 262
 263 例:
 264 @example
 265 (%i1) load("interpol")$
 266 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
 267 (%i3) /* Unknown first derivatives at the extremes
 268          is equivalent to natural cubic splines */
 269       cspline(p);
 270               3         2
 271         1159 x    1159 x    6091 x   8283
 272 (%o3)  (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)
 273          3288      1096      3288    1096
 274             3         2
 275       2587 x    5174 x    494117 x   108928
 276  + (- ------- + ------- - -------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 277        1644       137       1644      137
 278           3          2
 279     4715 x    15209 x    579277 x   199575
 280  + (------- - -------- + -------- - ------) charfun2(x, 6, 7)
 281      1644       274        1644      274
 282             3         2
 283       3287 x    2223 x    48275 x   9609
 284  + (- ------- + ------- - ------- + ----) charfun2(x, 3, 6)
 285        4932       274      1644     274
 286
 287 (%i4) f(x):=''%$
 288 (%i5) /* Some evaluations */
 289       map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;
 290 (%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]
 291 (%i6) load("draw")$  /* load draw package */
 292 (%i7) /* Plotting interpolating function */
 293       draw2d(
 294         color      = red,
 295         key        = "Cubic splines",
 296         explicit(f(x),x,0,10),
 297         point_size = 3,
 298         color      = blue,
 299         key        = "Sample points",
 300         points(p))$
 301 (%i8) /* New call, but giving values at the derivatives */
 302       cspline(p,d1=0,dn=0);
 303               3          2
 304         1949 x    11437 x    17027 x   1247
 305 (%o8)  (------- - -------- + ------- + ----) charfun2(x, minf, 3)
 306          2256       2256      2256     752
 307             3          2
 308       1547 x    35581 x    68068 x   173546
 309  + (- ------- + -------- - ------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 310         564       564        141      141
 311          3          2
 312     607 x    35147 x    55706 x   38420
 313  + (------ - -------- + ------- - -----) charfun2(x, 6, 7)
 314      188       564        141      47
 315             3         2
 316       3895 x    1807 x    5146 x   2148
 317  + (- ------- + ------- - ------ + ----) charfun2(x, 3, 6)
 318        5076       188      141      47
 319 (%i8) /* Defining new interpolating function */
 320       g(x):=''%$
 321 (%i9) /* Plotting both functions together */
 322       draw2d(
 323         color      = black,
 324         key        = "Cubic splines (default)",
 325         explicit(f(x),x,0,10),
 326         color      = red,
 327         key        = "Cubic splines (d1=0,dn=0)",
 328         explicit(g(x),x,0,10),
 329         point_size = 3,
 330         color      = blue,
 331         key        = "Sample points",
 332         points(p))$
 333 @end example
 334
 335 @opencatbox
 336 @category{Package interpol}
 337 @closecatbox
 338
 339 @end deffn
 340
 341 @deffn {関数} ratinterpol (@var{points}, @var{numdeg})
 342 @deffnx {関数} ratinterpol (@var{points}, @var{numdeg}, @var{option1}, @var{option2}, ...)
 343  @var{points}で与えられたデータと@var{numdeg}に等しい分子の次数の関して、
 344 有理形内挿を生成します;
 345 分子の次数は自動的に計算されます。
 346 引数 @var{points}は以下のいずれかでなければいけません:
 347
 348 @itemize @bullet
 349 @item
 350 2列行列, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 351 @item
 352 対のリスト, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 353 @item
 354 数のリスト, @code{p: [4,6,3]},
 355 この場合、横座標は自動的に1, 2, 3などに割り当てられます。
 356 @end itemize
 357
 358 最初の2つの場合には、
 359 計算を行う前に、対は最初の座標に関して並び替えられます。
 360
 361 特定の必要性に合わせるため2つのオプションがあります:
 362 @itemize @bullet
 363 @item
 364 @code{'denterm}, デフォルトは @code{1}, は
 365 分子の中の多項式の独立項です。
 366
 367 @item
 368 @code{'varname}, デフォルトは @code{'x}, は
 369 独立変数の名前です。
 370 @end itemize
 371
 372 例:
 373
 374 @example
 375 (%i1) load("interpol")$
 376 (%i2) load("draw")$
 377 (%i3) p:[[7.2,2.5],[8.5,2.1],[1.6,5.1],[3.4,2.4],[6.7,7.9]]$
 378 (%i4) for k:0 thru length(p)-1 do
 379         draw2d(
 380           explicit(ratinterpol(p,k),x,0,9),
 381           point_size = 3,
 382           points(p),
 383           title = concat("Degree of numerator = ",k),
 384           yrange=[0,10])$
 385 @end example
 386
 387 @opencatbox
 388 @category{Package interpol}
 389 @closecatbox
 390
 391 @end deffn