doc/info/pt/interpol.texi

   1 @c /interpol.texi/1.2/Fri Feb 23 20:00:44 2007//
   2 @menu
   3 * Introdução a interpol::
   4 * Definições para interpol::
   5 @end menu
   6
   7 @node Introdução a interpol, Definições para interpol, interpol, interpol
   8 @section Introdução a interpol
   9
  10 Pacote @code{interpol} define os métodos Lagrangiano, linear e o de
  11 splines cúbicos para interpolação polinomial.
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  15 Comentários, correções e sugestões, por favor contacte-me em @var{'mario AT edu DOT xunta DOT es'}.
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  19 @node Definições para interpol,  , Introdução a interpol, interpol
  20 @section Definições para interpol
  21
  22
  23 @deffn {Função} lagrange (@var{pontos})
  24 @deffnx {Função} lagrange (@var{pontos}, @var{opção})
  25 Calcula a interpolação polinomial através do método Lagrangiano. O argumento @var{pontos} deve ser um dos seguintes:
  26
  27 @itemize @bullet
  28 @item
  29 uma matriz de duas colunas, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
  30 @item
  31 uma lista de pares, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
  32 @item
  33 uma lista de números, @code{p: [4,6,3]}, e nesse caso as abcissas irão ser atribuídas automaticamente aos valores 1, 2, 3, etc.
  34 @end itemize
  35
  36 Nos dois primeiros casos os pares são ordenados em relação à primeira coordenada antes de fazer os cálculos.
  37
  38 Com o argumento @var{opção} é possível escolher o nome da variável independente, o qual é @code{'x} por padrão; para definir qualquer outra, z por exemplo, escreva @code{varname='z}.
  39
  40 Exemplos:
  41
  42 @example
  43 (%i1) load("interpol")$
  44 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
  45 (%i3) lagrange(p);
  46                  4        3         2
  47              73 x    701 x    8957 x    5288 x   186
  48 (%o3)        ----- - ------ + ------- - ------ + ---
  49               420     210       420      105      5
  50 (%i4) f(x):=''%;
  51                      4        3         2
  52                  73 x    701 x    8957 x    5288 x   186
  53 (%o4)    f(x) := ----- - ------ + ------- - ------ + ---
  54                   420     210       420      105      5
  55 (%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
  56       map(f,[2.3,5/7,%pi]);
  57                              919062
  58 (%o5)  [- 1.567534999999992, ------,
  59                              84035
  60                          4          3           2
  61                    73 %pi    701 %pi    8957 %pi    5288 %pi   186
  62                    ------- - -------- + --------- - -------- + ---]
  63                      420       210         420        105       5
  64 (%i6) %,numer;
  65 (%o6) [- 1.567534999999992, 10.9366573451538, 2.89319655125692]
  66 (%i7) /* Plot the polynomial together with points */
  67       plot2d([f(x),[discrete,p]],[x,0,10],
  68            [gnuplot_curve_styles,
  69                  ["with lines","with points pointsize 3"]])$
  70 (%i8) /* Change variable name */
  71       lagrange(p, varname=w);
  72                  4        3         2
  73              73 w    701 w    8957 w    5288 w   186
  74 (%o8)        ----- - ------ + ------- - ------ + ---
  75               420     210       420      105      5
  76 @end example
  77
  78 @end deffn
  79
  80
  81 @deffn {Função} charfun2 (@var{x}, @var{a}, @var{b})
  82 Retorna @code{true}, i. e., verdadeiro se o número @var{x} pertence ao intervalo @math{[a, b)}, e @code{false}, i. e., falsono caso contrário.
  83 @end deffn
  84
  85
  86 @deffn {Função} linearinterpol (@var{pontos})
  87 @deffnx {Função} linearinterpol (@var{pontos}, @var{opção})
  88 Calcula a interpolação polinomial através do método linear. O argumento @var{pontos} deve ser um dos seguintes:
  89
  90 @itemize @bullet
  91 @item
  92 uma matriz de duas colunas, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
  93 @item
  94 uma lista de pares, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
  95 @item
  96 uma lista de números, @code{p: [4,6,3]}, e nesse caso as abcissas irão ser atribuídas automaticamente aos valores 1, 2, 3, etc.
  97 @end itemize
  98
  99 Nos dois primeiros casos os pares são ordenados em relação à primeira coordenada antes de fazer os cálculos.
 100
 101 Com o argumento @var{opção} é possível escolher o nome da variável independente, o qual é @code{'x} por padrão; para definir qualquer outra, z por exemplo, escreva @code{varname='z}.
 102
 103 Examples:
 104 @example
 105 (%i1) load("interpol")$
 106 (%i2) p: matrix([7,2],[8,3],[1,5],[3,2],[6,7])$
 107 (%i3) linearinterpol(p);
 108         13   3 x
 109 (%o3)  (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 110         2     2
 111  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 112     5 x
 113  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 114      3
 115
 116 (%i4) f(x):=''%;
 117                 13   3 x
 118 (%o4)  f(x) := (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
 119                 2     2
 120  + (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
 121     5 x
 122  + (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
 123      3
 124 (%i5)  /* Evaluate the polynomial at some points */
 125        map(f,[7.3,25/7,%pi]);
 126                             62  5 %pi
 127 (%o5)                 [2.3, --, ----- - 3]
 128                             21    3
 129 (%i6) %,numer;
 130 (%o6)  [2.3, 2.952380952380953, 2.235987755982989]
 131 (%i7)  /* Plot the polynomial together with points */
 132        plot2d(['(f(x)),[discrete,args(p)]],[x,-5,20],
 133            [gnuplot_curve_styles,
 134                  ["with lines","with points pointsize 3"]])$
 135 (%i8)  /* Change variable name */
 136        linearinterpol(p, varname='s);
 137        13   3 s
 138 (%o8) (-- - ---) charfun2(s, minf, 3)
 139        2     2
 140  + (s - 5) charfun2(s, 7, inf) + (37 - 5 s) charfun2(s, 6, 7)
 141     5 s
 142  + (--- - 3) charfun2(s, 3, 6)
 143      3
 144 @end example
 145
 146 @end deffn
 147
 148
 149
 150 @deffn {Função} cspline (@var{pontos})
 151 @deffnx {Função} cspline (@var{pontos}, @var{opção1}, @var{opção2}, ...)
 152 Calcula a interpolação polnomial pelo método de splines ( polinómios de ordem k que interpolam os dados e têm k-1 derivadas contínuas em todo o intervalo ) cúbicos. O argumento @var{pontos} deve ser um dos
 153 seguintes:
 154
 155 @itemize @bullet
 156 @item
 157 uma matriz de duas colunas, @code{p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])},
 158 @item
 159 uma lista de pares, @code{p: [[2,4],[5,6],[9,3]]},
 160 @item
 161 uma lista de números, @code{p: [4,6,3]}, e nesse caso as abcissas irão ser atribuídas automaticamente aos valores 1, 2, 3, etc.
 162 @end itemize
 163
 164 Nos dois primeiros casos os pares são ordenados em relação à primeira coordenada antes de fazer os cálculos.
 165
 166 Existem três opções para ajustar necessidades específicas:
 167 @itemize @bullet
 168 @item
 169 @code{'d1}, o padrão é @code{'unknown}, é a primeira derivada em @math{x_1}; se essa primeira derivada for desconhecida, @code{'unknown}, a segunda derivada em @math{x_1} é igualada a 0 (o spline cúbico natural); se
 170 essa primeira
 171 derivada for igual a um número, a segunda derivada é calculada baseando-se nesse número.
 172
 173 @item
 174 @code{'dn}, o padrão é @code{'unknown}, é a primeira derivada em @math{x_n}; se essa primeira derivada for desconhecida, @code{'unknown}, a segunda derivada em @math{x_n} é igualada a 0 (o spline cúbico natural); se
 175 essa primeira
 176 derivada for igual a um número, a segunda derivada é calculada baseando-se nesse número.
 177
 178 @item
 179 @code{'nome_var}, o padrão é @code{'x}, é o nome da variável independente.
 180 @end itemize
 181
 182 Exemplos:
 183 @example
 184 (%i1) load("interpol")$
 185 (%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
 186 (%i3) /* Unknown first derivatives at the extremes
 187          is equivalent to natural cubic splines */
 188       cspline(p);
 189               3         2
 190         1159 x    1159 x    6091 x   8283
 191 (%o3)  (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)
 192          3288      1096      3288    1096
 193             3         2
 194       2587 x    5174 x    494117 x   108928
 195  + (- ------- + ------- - -------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 196        1644       137       1644      137
 197           3          2
 198     4715 x    15209 x    579277 x   199575
 199  + (------- - -------- + -------- - ------) charfun2(x, 6, 7)
 200      1644       274        1644      274
 201             3         2
 202       3287 x    2223 x    48275 x   9609
 203  + (- ------- + ------- - ------- + ----) charfun2(x, 3, 6)
 204        4932       274      1644     274
 205
 206 (%i4) f(x):=''%$
 207 (%i5) /* Some evaluations */
 208       map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;
 209 (%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]
 210 (%i6) /* Plotting interpolating function */
 211       plot2d(['(f(x)),[discrete,p]],[x,0,10],
 212           [gnuplot_curve_styles,
 213                ["with lines","with points pointsize 3"]])$
 214 (%i7) /* New call, but giving values at the derivatives */
 215       cspline(p,d1=0,dn=0);
 216               3          2
 217         1949 x    11437 x    17027 x   1247
 218 (%o7)  (------- - -------- + ------- + ----) charfun2(x, minf, 3)
 219          2256       2256      2256     752
 220             3          2
 221       1547 x    35581 x    68068 x   173546
 222  + (- ------- + -------- - ------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
 223         564       564        141      141
 224          3          2
 225     607 x    35147 x    55706 x   38420
 226  + (------ - -------- + ------- - -----) charfun2(x, 6, 7)
 227      188       564        141      47
 228             3         2
 229       3895 x    1807 x    5146 x   2148
 230  + (- ------- + ------- - ------ + ----) charfun2(x, 3, 6)
 231        5076       188      141      47
 232 (%i8) /* Defining new interpolating function */
 233       g(x):=''%$
 234 (%i9) /* Plotting both functions together */
 235       plot2d(['(f(x)),'(g(x)),[discrete,p]],[x,0,10],
 236            [gnuplot_curve_styles,
 237               ["with lines","with lines","with points pointsize 3"]])$
 238 @end example
 239
 240 @end deffn
 241